WWW.MASH.DOBROTA.BIZ
БЕСПЛАТНАЯ  ИНТЕРНЕТ  БИБЛИОТЕКА - онлайн публикации
 

«ГИДРОДИНАМИКА УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ ВУЗОВ Рекомендовано методическим советом УрФУ в качестве учебного пособия для студентов, обучающихся по программе бакалавриата ...»

Д. В. Александров, А. Ю. Зубарев, Л. Ю. Искакова

ПРИКЛАДНАЯ

ГИДРОДИНАМИКА

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ ВУЗОВ

Рекомендовано методическим советом УрФУ в качестве учебного пособия

для студентов, обучающихся по программе бакалавриата по направлениям

подготовки «Механика и математическое моделирование», «Математика»,

«Математика и компьютерные науки», «Прикладная информатика»

Книга доступна в электронной библиотечной системе biblio-online.ru Москва Юрайт 2018 Екатеринбург Издательство Уральского университета УДК 532(075.8) ББК 22.253я73 А46

Авторы:

Александров Дмитрий Валерьевич — доктор физико-математических наук, профессор кафедры теоретической и математической физики Школы наук Института естественных наук и математики Уральского федерального университета имени первого Президента России Б. Н. Ельцина;

Зубарев Андрей Юрьевич — доктор физико-математических наук, профессор кафедры теоретической и математической физики Школы наук Института естественных наук и математики Уральского федерального университета имени первого Президента России Б. Н. Ельцина;

Искакова Лариса Юрьевна — кандидат физико-математических наук, доцент кафедры теоретической и математической физики Школы наук Института естественных наук и математики Уральского федерального университета имени первого Президента России Б. Н. Ельцина .



Рецензенты:

отдел механики машин и технологий Института машиноведения УрО РАН (заведующий отделом — доктор технических наук, член-корреспондент РАН Колмогоров В. Л.);

Соловьева О. Э. — доктор физико-математических наук Института иммунологии и физиологии УрО РАН .

Александров, Д. В .

Прикладная гидродинамика : учеб. пособие для вузов / Д. В. Александров, А46 А. Ю. Зубарев, Л. Ю. Искакова. — М. : Издательство Юрайт, 2018 ; Екатеринбург : Изд-во Урал. ун-та. — 109 с. — (Серия : Университеты России) .

ISBN 978-5-534-07621-9 (Издательство Юрайт) ISBN 978-5-7996-0785-2 (Изд-во Урал. ун-та) Серия «Университеты России» позволит высшим учебным заведениям нашей страны использовать в образовательном процессе издания (в том числе учебники и учебные пособия) по различным дисциплинам, подготовленные преподавателями лучших университетов России и впервые опубликованные в издательствах университетов. Все представленные в этой серии работы прошли экспертную оценку учебно-методического отдела издательства и публикуются в оригинальной редакции .

В книге излагаются классические основы гидродинамики идеальной и вязкой жидкости, а также основы теории

–  –  –

Все права защищены. Никакая часть данной книги не может быть воспроизведена в какой бы то ни было форме без письменного разрешения владельцев авторских прав .

Правовую поддержку издательства обеспечивает юридическая компания «Дельфи» .

–  –  –

Гидродинамика — наука о течении газов и низкомолекуляр ных жидкостей, механические свойства которых подобны свойст вам воды. Огромное число природных явлений и процессов совре менных технологий подчиняются законам гидродинамики. Среди них — движения воздушных и океанических масс, определяющих климат на Земле; сложнейшие движения плазмы в недрах звезд, и, в частности, в Солнце (эти движения определяют светимость звезд, излучаемую ими энергию, а значит, в случае Солнца — жизнь и климат на Земле); циркуляция крови в кровеносных сосу дах людей и животных; аэро и гидродинамические течения вблизи летательных аппаратов и судов; течения расплавленных металлов, химических реагентов, грунтовых вод, жидкостей в недрах Земли и т. д. Список гидродинамических явлений, играющих важную, часто определяюще важную роль в нашей жизни, можно было бы продолжать очень долго .



В пособии излагаются основы гидродинамики идеальной, вяз кой и вязкоупругой жидкостей. При отборе материала мы стара лись уделить основное внимание обсуждению физической основы гидродинамических явлений. Математический аппарат гидроди намики иллюстрируется на основе сравнительно простых задач и примеров, не требующих знаний, выходящих за пределы стан дартных курсов математического анализа и уравнений математи ческой физики. Однако рассмотренные примеры являются основой для исследования и описания более сложных проблем гидродина мики. По сравнению со стандартными курсами в предлагаемом пособии рассматриваются основы гидромеханики суспензий, а также реологии вязкоупругих сред. Эти разделы современной гидродинамики приобретают все большее значение в связи со все более активным развитием науки о течении коллоидов, суспензий, полимерных растворов и других вязкоупругих жидкостей .

Глава 1

ОСНОВНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ

ГИДРОДИНАМИКИ

С точки зрения механики, как науки о различных формах движения, гидродинамика относится к механике сплошных сред .

Это значит, что в рамках гидродинамики мы забываем о молеку лярной структуре вещества и считаем, что описываемое вещество сохраняет все свои свойства вплоть до его деления на мельчай шие объемы. Такое приближение оправдано, если в мельчайшем (элементарном) объеме, который мы еще можем воспринимать при помощи наших органов чувств или приборов, содержится очень много молекул. Объемы, содержащие очень много молекул и «представляющие» все свойства вещества, называются предста вительными. Следовательно, условием применения гидродинами ческого приближения является возможность выделения в веще стве элементарного представительного объема .

Опыт показывает, что при постоянной температуре среды для описания ее гидродинамического течения достаточно указать зна чения скорости v, плотности среды и давления p в ней как функ ций координат и времени. Нашей ближайшей задачей является вывод уравнений, позволяющих определить эти функции. В соот ветствии с опытом мы будем заранее предполагать, что v, p и — непрерывные функции координат и времени .

–  –  –

Изменение массы M вещества в этом объеме за малое время dt есть (2) Здесь учтено, что по определению и при постоян ных границах объема операции интегрирования по объему и диф ференцирования по времени можно менять местами .

Масса вещества в объеме V может меняться за счет двух меха низмов. Первый — вещество появляется или исчезает из этого объема вследствие какихлибо физикохимических реакций. Вто рой — за счет его нескомпенсированного потока через границы объема. Мы не будем рассматривать первый механизм, так как он крайне не типичен для гидродинамических явлений .





Для анализа второго механизма выделим на поверхности нашего объема маленькую (элементарную) площадку с пло щадью ds. Выберем размеры этой площадки настолько малень кими, чтобы, вопервых, считать ее локально плоской и, вовто рых, чтобы на ее размерах можно было пренебречь изменением скорости потока и плотности среды. Обозначим вектор единич ной нормали к этой площадке, направленный наружу из объема V .

проекцию вектора скорости v на нормаль .

Обозначим Несложно показать, что за время dt через эту площадку из объема V наружу переходит масса вещества, равная (3) Круглые скобки в (3) и далее снова означают скалярное произ ведение векторов .

Чтобы получить полную массу вещества, пересекающую изну три наружу всю границу S объема V, нужно проинтегрировать (3) по поверхности S рассматриваемого объема. Этот интеграл равен массе вещества, покидающего объем V за время dt, следовательно, он равен dM. Учитывая (2), получаем (4) По теореме Остроградского — Гаусса (5) Используя (5) в (4), приходим к равенству (6) При выводе равенства (6) мы не делали никаких оговорок относительно формы или размера объема V, по которому прово дится интегрирование. Следовательно, это равенство выполняется для любого объема интегрирования, что возможно, только если подынтегральные функции в (6) тождественно равны. Учитывая это, приходим к уравнению (1). Заметим также, что при выводе этого уравнения мы не использовали никаких предположений о физических свойствах среды, кроме непрерывности изменения ее скорости и плотности. Поэтому уравнение (1) в приближении сплошной среды описывает связь скорости и плотности в любом веществе независимо от его физической природы .

Уравнение неразрывности (1) может быть упрощено в важном частном случае, когда движущуюся среду можно считать несжи маемой, т. е. пренебречь изменением ее плотности при гидроди намическом течении. Опыт показывает, что реальные жидкости обладают очень малой сжимаемостью — нужно приложить очень большое усилие, чтобы заметно изменить плотность жидкости .

Поэтому, как правило, при решении задач гидродинамики жидко сти рассматриваются как несжимаемые среды. Полагая в (1) плот ность постоянной величиной, получаем (7) div v = 0 .

Соотношение (7) называется у р а в н е н и е м н е с ж и м а е м о с т и. Уравнения неразрывности недостаточно, чтобы найти две скалярные величины — плотность жидкости и давление в ней, а также три компоненты скорости течения. Уравнения, необходи мые для замыкания задачи, обсуждаются в следующих главах .

Глава 2

ИДЕАЛЬНАЯ ЖИДКОСТЬ

В этой главе мы рассмотрим простейшую, но, тем не менее, описывающую очень широкий класс гидродинамических явлений модель идеальной жидкости. В рамках этой модели пренебрега ется эффектами вязкости и другими процессами, вызывающими диссипацию энергии движения жидкости .

–  –  –

Здесь мы учли определение оператора .

Подставляя последний результат в закон Ньютона (11), прихо дим к векторному уравнению v + ( v ) v = p + f g. (12) t Соотношение (12) называется у р а в н е н и е м Э й л е р а .

Скалярное уравнение неразрывности (1) и векторное урав нение Эйлера (12) образуют систему из четырех уравнений, в то время как нам нужно определить пять неизвестных функций, p, vx, vy, и vz. Уравнения (1) и (12) никак не отражают внутреннюю молекулярную структуру движущейся среды. Пятое уравнение, замыкающее задачу, является уравнением состояния вещества, которое связывает между собой концентрацию молекул в веще стве, давление и температуру. Такое уравнение может быть полу чено или методами молекулярной физики, или же, если проб лема вывода этого уравнения оказывается слишком сложной для теории, — эмпирическими методами, на основе результатов экспериментов. Из курса молекулярной физики известны уравне ния состояния идеального газа и газа ВандерВаальса, которые позволяют записать давление в виде функции плотности вещества. Используя явный вид этой функции, соответствующий веществу, движение которого нам нужно описать, мы приходим к замкнутой системе пяти уравнений, состоящей из уравнений (1), (12) и уравнения состояния, из которой можно определить три компоненты скорости, а также давление и плотность вещества .

В случае несжимаемой жидкости ( = const) нам необходимо найти четыре функции — p, vx, vy, и vz. Для этого достаточно четы рех уравнений — уравнения несжимаемости (7) и трех уравнений в векторном уравнении Эйлера (12) .

Итак, полная система уравнений гидродинамики идеаль ной жидкости состоит из уравнения неразрывности (1), уравне ния Эйлера (12) и соответствующего уравнения состояния. Если жидкость может рассматриваться как несжимаемая, замкнутую систему образуют уравнения несжимаемости (7) и Эйлера (12) .

§ 3. Гидростатика Целью гидростатики является определение распределения плотности и давления, а также формы свободной поверхности для неподвижной жидкости. Рассмотрим несколько типичных задач гидростатики .

Барометрическая формула Больцмана. Эта формула опре деляет зависимость давления изотермического идеального газа от высоты в поле силы тяжести .

Рассмотрим идеальный газ в однородном поле тяжести. Пред полагаем, что интересующие нас расстояния от поверхности Земли много меньше ее радиуса, поэтому кривизной поверхности можно пренебречь. Кроме того, пренебрежем зависимостью температуры от высоты .

Для неподвижного газа уравнение Эйлера (12) имеет вид p + g = 0. (13) Введем декартову систему координат так, как показано на рис. 3 .

–  –  –

называется барометрической формулой Больцмана .

Гидростатическое давление в несжимаемой жидкости .

Рассмотрим несжимаемую жидкость, находящуюся в однородном поле тяжести. Над плоской поверхностью жидкости находится атмосфера c постоянным давлением pa. Требуется найти зависи мость давления в жидкости от глубины, т. е. от расстояния до ее поверхности .

Используем систему координат, показанную на рис. 4. Анало гично предыдущему случаю уравнение Эйлера сейчас снова имеет вид (14).

Учитывая, что плотность сейчас постоянна, получаем решение этого уравнения:

p = const gz .

–  –  –

Рис. 4 Постоянную интегрирования определяем из граничного усло вия при. Вводя глубину жидкости, окончательно получаем Свободная поверхность вращающейся жидкости. Рассмот рим вертикальный очень длинный цилиндрический сосуд, в кото ром находится несжимаемая жидкость. Верхняя часть цилиндра открыта и сообщается с атмосферой. Сосуд вместе с жидкостью вращается вокруг своей оси с угловой скоростью. Требуется определить форму свободной поверхности жидкости. Задача про иллюстрирована на рис. 5, где горизонтальная штриховая линия отмечает уровень жидкости в покоящемся цилиндре .

–  –  –

Перейдем в систему координат, вращающуюся вместе с цилин дром. С учетом действия центробежной силы, а также того, что в этой системе координат движение жидкости отсутствует, уравне ние Эйлера имеет вид p + g + r = 0 .

Расписывая это векторное уравнение по компонентам,




Похожие работы:

«Терлыч Андрей Евгеньевич МОДЕЛИ И АЛГОРИТМЫ УПРАВЛЕНИЯ ПРОЦЕССОМ ЭКСТРУЗИИ ПОЛИМЕРОВ ПРИ ПРОИЗВОДСТВЕ КАБЕЛЕЙ 05.13.06 Автоматизация и управление технологическими процессами и производствами (в промышленности) АВТОРЕФЕРАТ д...»

«СГУПС Филиал федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования "Сибирский государственный университет путей сообщения" в г. Белово (Филиал СГУПС в г. Белово) ЗАДАНИЕ И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ НА КОНТРОЛЬНУЮ РАБОТУ №1 ОП.11 БЕЗОПАСНОСТЬ ЖИЗНЕДЕЯТЕЛЬНОСТИ...»

«1408413 Новейшие немецкие разработки и решения в стерилизации и лиофилизации продуктов Более 25 лет опыта изготовления стерилизаторов, автоклавов и систем лиофилизации для лабораторий, промышленности и исследовательских учреждений Промышленные автоклавы Объем камеры от 586 до 5 060 л и т р о в Безопасная эксплуатация, легкость в использовании,...»

«1407956 VINCI TECHNOLOGIES ОБОРУДОВАНИЕ ДЛЯ PVT-ИССЛЕДОВАНИЙ ПЛАСТОВЫХ ФЛЮИДОВ ^FiniC СЕРВИС ЛАБОРАТОРНОЕ ОБОРУДОВАНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ ПРИБОРЫ О компании ЗАО "ЭПАК-Сервис" осуществляет полный ком­ УВАЖАЕМЫЕ КОЛЛЕГИ! плекс услуг для приборов и оборудования компа­ нии VINCI T...»

«Шуваева Анна Вячеславовна РЕЗИНОТКАНЕВЫЕ МЕМБРАННЫЕ МАТЕРИАЛЫ НА ОСНОВЕ ГИДРИРОВАННЫХ БУТАДИЕН-НИТРИЛЬНЫХ КАУЧУКОВ 05.17.06. Технология и переработка полимеров и композитов АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук А nZv^^ # " КЮН 2011 Москва-2011 Работа выполнена в Мос...»

«О ВОЙТЕХОВИЧЕ И. Л. — ПЕШКОВОЙ Е. П. ВОЙТЕХОВИЧ Иосиф Людвигович, родился в 1893. С 1906 — работал на Обуховском заводе в Санкт-Петербурге, в 1917 — активный участник революции в рядах Красной гвардии, член ВКП (б). С 1918 — воевал в Красной армии, с 1924 — после демобилизации...»

«1406594 АРКТИК МАШИН Ведущий производитель оборудования для содержания дорог в Северной Европе f КАТАЛОГ ПРОДУКЦИИ www.arcticmachine.ru 2013/2014 О КОМПАНИИ arctic Компания "Arctic Machine Oy" сегодня является одним из ведущих европейских производителей оборудования для содержания дорог и городских улиц. Мы о...»

«РГи ОД ^ АЗГ 2000 ' ГУСЕВ Юрий Андреевич УДК 669.716 РАЗРАБОТКА ЭЛЕМЕНТОВ ТЕХНОЛОГИИ ВОССТАНОВЛЕНИЯ ДЕ­ ТАЛЕЙ СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННОЙ ТЕХНИКИ ГАЗОПЛАМЕННОМ НАПЛАВКОЙ НАПЫЛЕНИЕМ ПОРОШКОВЫХ СПЛАВОВ И РАС­ ЧЕТНЫХ МЕТОДОВ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОСНОВН...»




 
2019 www.mash.dobrota.biz - «Бесплатная электронная библиотека - онлайн публикации»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.