WWW.MASH.DOBROTA.BIZ
БЕСПЛАТНАЯ  ИНТЕРНЕТ  БИБЛИОТЕКА - онлайн публикации
 

Pages:   || 2 |

««Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова»  Государственное образовательное учреждение высшего образования  «Тверской государственный университет»  ...»

-- [ Страница 1 ] --

Министерство образования и наук

и Российской Федерации 

Государственное образовательное учреждение высшего образования 

«Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова» 

Государственное образовательное учреждение высшего образования 

«Тверской государственный университет» 

Государственное образовательное учреждение высшего образования 

«Тверской государственный технический университет» 

Институт прикладной математики им. М. В. Келдыша РАН 

Центр «Стратегии динамического развития» им. С. П. Курдюмова  Институт экономических стратегий  Управление по культуре, спорту и делам молодежи администрации г. Твери  Межрегиональная общественная организация «Женщины в науке и образовании»  Тверское региональное отделение   межрегиональной общественной организации   «Женщины в науке и образовании»       

Десятые Юбилейные Курдюмовские чтения:

«Cинергетика в общественных и естественных науках»

МАТЕРИАЛЫ МЕЖДУНАРОДНОЙ

МЕЖДИСЦИПЛИНАРНОЙ

НАУЧНОЙ КОНФЕРЕНЦИИ

С ЭЛЕМЕНТАМИ НАУЧНОЙ ШКОЛЫ ДЛЯ МОЛОДЕЖИ

22 – 26 апреля 2015 г .

В трёх частях Часть I Тверь 2015 УДК 5 (082)  ББК Бв 8629я431  С38     

Редакционная коллегия: 

д.х.н. Лапина Г.П. (ответственный редактор),  д.ф.-м.н. Малинецкий Г.Г.,  д.ф .



-м.н. Ризниченко Г.Ю.,  директор «СДР-Центра» Курдюмов В.С.  асс. Лихуша П.С. (ответственный секретарь)      С38 Десятые Юбилейные Курдюмовские чтения «Синергетика в общественных и естественных науках»: материалы  международной  междисциплинарной научной конференции с элементами научной школы  для  молодежи  /  Ответственные  за  выпуск:  Г.П.  Лапина,  П.С.  Лихуша  –  Тверь: Твер. гос. ун-т, 2015. – Ч. I – 196 с.    ISBN978-5-7609-1012-7    В  сборнике  содержатся  материалы  докладов,  представленных  на  конференцию по следующим направлениям:   Синергетика в математике и математическом моделировании;  Синергетика в физике;  Математическое моделирование в науках о живом;  Моделирование  социально-экономических  и  демографических  процессов;  Синергетика  в  гуманитарном  и  естественно-научном  образовании.  Сборник  представляет  интерес  для  научных  работников,  преподавателей, аспирантов, студентов вузов и школьников.   Материалы докладов издаются в авторской редакции.    УДК 5 (082)  ББК Бв 8629я431  Сборник материалов включён в систему РИНЦ    ©Тверской государственный   ISBN978-5-7609-1012-7                                                  университет, 2015  ©Авторы статей  2     

Оргкомитет:

А.В. Белоцерковский - Председатель, д.ф.-м.н, профессор, ректор ТвГУ  Г.Ю.  Ризниченко    -  Сопредседатель,  д.ф.-м.н.,  профессор  МГУ,  председатель  правления МОО «Женщины в науке и образовании»  Г.Г.  Малинецкий  -  Сопредседатель,    д.ф.-м.н.,  профессор,  Институт  прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН  Л.Н. Скаковская – Сопредседатель, д.филол.н., профессор, Первый проректор-  проректор по учебно-воспитательной работе ТвГУ   И.А.Каплунов  -  Сопредседатель,    д.т.н.,  профессор,  проректор  по  научной  и  инновационной деятельности ТвГУ  В.С.  Курдюмов  –  Сопредседатель, зам.  ген.  директора  Института  экономических стратегий РАН  О.В.  Жукова  –  нач.  управления  по  культуре,  спорту  и  делам  молодежи  администрации г. Твери  А.Н.  Балуева  –  зам.  нач.  управления  по  культуре,  спорту  и  делам  молодежи  администрации г. Твери   С.М. Дементьева – Сопредседатель, декан биологического факультета ТвГУ 



Программный комитет:

И.Р.  Бугаян,  О.В.  Губарь,  И.С.  Гудович,  И.С.  Емельянова,  Е.А.Солодова,  Г.В.  Киотина, Е.Н. Князева, В.А. Кузнецова, В.С.Курдюмов, И.В. Мельникова, Н.И.  Мерлина,  О.А.  Плечова,  Д.С.  Чернавский,  Н.М.  Чернавская,  Е.С.  Никитина,  Т.В.Потапова,  А.С.  Слепнев,  Ф.А.  Сурков,  Н.Д.  Гернет  (Украина),  Л.И.Дюженкова (Украина), И.И. Ковтун (Украина), И.Н. Катковская (Беларусь),  Д.С. Чернавский, S. Payche (Франция), L. Thurne (Швеция)  Локальный комитет: М.С. Белякова,    С.С.Борисов,  Е.В.  Борисова  (сопредседатель),  Васильева  М.Н.,    Е.Г.  Виноградова,  В.А.  Волков,    П.И.  Галат,  Н.И.Горбачева, У.С.Гуйда,  А.В. Изотова, Г.П. Лапина (председатель),  П.С.Лихуша  (секретарь),  Маргаритова  М.Ю.,  С.С.Мижуева,  Е.В.  Мочалова,   Ю.В.Налоева, М.С.Олонцев, Н.В.Парфентьева, Л.С.Полаева, С.И.Ушаков, Д.А.  Чумакова.   3    Дорогие друзья и коллеги!

  Традиционно  уже  на  протяжении  девяти  лет  в  апреле  в  Тверском  государственном  университете.  Мы  приветствуем  Ваше  участие  в  юбилейных  десятых  Курдюмовских  чтениях  «Синергетика  в  общественных  и  естественных  науках»,  посвященных  воплощению  идей  синергетики  в  разных  областях  науки  и  образования.  Курдюмовские чтения организуются Тверским государственным университетом  и  Тверским  государственным  техническим  университетом  совместно  с  Московским  государственным университетом, Институтом прикладной математики им. Келдыша  РАН,  Центром  "Стратегии  динамического  развития"  им.  С.П. Курдюмова,  Институтом  экономических  стратегий,  Администрацией  г.  Твери,  Тверским  отделением  Межрегиональной  общественной  организацией  «Женщины  в  науке  и  образовании».   Курдюмовские  чтения  собирают  вместе  учеников,  друзей,  последователей  Сергея  Павловича  Курдюмова  –  крупнейшего  российского  ученого,  педагога,  организатора науки, общественного деятеля. Уже десять лет Сергея Павловича нет с  нами, а мечты его во многом сбылись. Идеи самоорганизации, нелинейного развития,  режимов с обострением широко распространились и завоевали умы не только ученых 

-  математиков  и  естественников,  но  и  экономистов,  философов,  историков,  социологов, людей, занимающихся администрированием и принимающих решения. В  большой мере этому способствовало издание серии книг «Синергетика от прошлого к  будущему»,  задуманное  Сергеем  Павловичем  и  осуществленное  под  научным  руководством профессора  Георгия  Геннадьевича Малинецкого  издательством URSS.  К  настоящему  времени  издано  около  100  книг  этой  серии.  Замечательной  статьей  Г.Г.Малинецкого,  в  которой  обсуждаются  идеи  С.П.Курдюмова  и  их  воплощение  в  жизнь, открывается этот сборник материалов Десятых Курдюмовских чтений.   Сергей  Павлович  Курдюмов  считал,  что  общие  законы  мироздания,  изучаемые  физиками  и  математиками,  необходимо  рассматривать  в  широком  контексте  цивилизации .



 Он призывал своих учеников, коллег, слушателей и читателей сочетать  научную  строгость  с  широтой  восприятия  мира  во  всей  его  полноте,  с  умением  воспринимать  другие,  непохожие  идеи  в  контексте  общечеловеческой  культуры.  4    Напряженно работая в науке и будучи директором Института прикладной математики  им.  Келдыша,  Сергей  Павлович  приезжал  в  разные  города  на  десятки  научнообразовательных конференций, выступал с лекциями и докладами, вел многочасовые  беседы  с  участниками.  Он  считал  чрезвычайно  важной  деятельность  Межрегиональной общественной организации «Женщины в науке и образовании» по  организации междисциплинарных конференций и консолидации российского научнообразовательного сообщества.   Программа  Курдюмовских  чтений  разнообразна,  что  отражает  широту  распространения  идей  синергетики.  Участников  ожидают  доклады,  посвященные  естественно-научной  философской  и  социологической,  образовательной  проблематике, экскурсии, концерт.   Мы  благодарим  наших  хозяев  –  ректора  и  администрацию  Тверского  государственного  университета  и  Тверского  государственного  технического  университета,  всех  членов  Оргкомитета  во  главе  с  руководителем  Тверского  отделения  Межрегиональной  общественной  организации  «Женщины  в  науке  и  образовании»  –профессором  Галиной  Петровной  Лапиной  за  самоотверженный  труд  по  подготовке  и  проведению,  и  публикации  материалов  Десятых  Курдюмовских  чтений.  Желаем  всем  нашим  участникам  интересных  докладов,  плодотворных  научных  дискуссий, теплого дружеского общения на гостеприимной Тверской земле.    Со-председатель Оргкомитета Курдюмовских чтений,  Председатель правления Межрегиональной   общественной организации «Женщины в науке и образовании»,  профессор  Московского  государственного  университета  им.  М.В.Ломоносова          Галина Юрьевна Ризниченко   5   

ПЛЕНАРНЫЕ ДОКЛАДЫ

ОБРАЗ УЧИТЕЛЯ. ДЕСЯТЬ ЛЕТ СПУСТЯ

  Г.Г. Малинецкий Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН    Жизнь ведь тоже только миг,  Только растворенье  Нас самих во всех других  Как бы им в даренье.  Б. Пастернак   Время  проходит,  меняются  задачи,  появляются  новые  проблемы, и  в  соответствии  с  этим  становится  иным  взгляд  на  прошлое.  Кроме  того,  формируется новый образ будущего, стратегии и цели развития. Поэтому  при самом добросовестном отношении к знанию, истине и науке историю  вновь и вновь переписывают, чтобы осмыслить вчерашний день с позиции  завтрашнего.   Выдающийся  специалист  по  прикладной  математике,  междисциплинарным  исследованиям,  философии  и  методологии  науки,  член-корреспондент  РАН,  мой  учитель, Сергей Павлович Курдюмов  говаривал  по  этому  поводу:  «Будущее  временит  настоящее  и  проясняет  прошлое»  (см.  рис.  1).  Кроме  того,  приходят  следующие  поколения,  которым  хочется  передать  результаты,  надежды,  мечты  предыдущих  и,  если  получится, уберечь от уже сделанных  ошибок.  Именно  с  этих  позиций  сейчас  хотелось  бы  взглянуть  на  научное  творчество С.П. Курдюмова, на идеи,  которые выдвигал  он  сам, и  которые  сейчас развивает его научная школа.  О личности Сергея Павловича, о  его  взглядах  на  жизнь,  науку,  будущее  замечательно  рассказывает  книга  воспоминаний  о  нем,  которую  успела  подготовить  писательница  Рис. 1. Сергей Павлович Курдюмов  Зоя  Журавлёва  [1].  Сергей  Павлович  со  школьных  лет  вел  подробные  (1928–2004).  6    дневники, в которых впечатления и раздумья перемежались с формулами.  Зоя Журавлёва настояла, чтобы эти дневники, писавшиеся наскоро, были  расшифрованы, и часть их была представлена в этих воспоминаниях.  О  многом  проще  сказать  «от  первого  лица».  Сергей  Павлович,  размышляя,  перечитывал  записи,  сделанные  им  в  разные  годы.  «Удивительно, но одни и те же мысли приходили и возвращались вновь и  вновь,  начиная  со  школьных  лет»,    несколько  раз  говорил  он  мне.  Казалось  бы,  внешние  события  его  большой  жизни  уже  описаны.  На  70летнем  рубеже  он  задумался,  какие  из  его  работ  и  идей,  хотелось  бы  «передать в будущее». Поэтому мы подготовили сборник «главных работ»  научной  школы  с  комментариями  к  ним  [2],  который  потом  издавался  и  переиздавался.   Сергей  Павлович  умел  «любить  науку  в  себе,  а  не  себя  в  науке»  и  обычно радовался успехам и достижениям учеников и коллег больше, чем  своим. Он считал, что мы делаем общее дело, работаем на будущее, и что  самое  главное  и  интересное  –  впереди.  Когда  мы  получили  тираж  этого  сборника,  то  он  сразу  подарил  больше  трех  десятков  экземпляров  своим  коллегам,  друзьям  и  ученикам.  При  этом  он,  подписывая,  не  только  адресовал  теплые  слова,  но  и  там  же  написал  каждому  задачу,  которую  очень  важно  было  бы  решить  в  будущем.  Каждому  свою.  Сергей  Павлович был очень щедрым человеком – он с удовольствием дарил своё  внимание, мысли, время, идеи и задачи тоже.  В своё время ученики, коллеги и друг С.П. Курдюмова – В.Б. Уваров,  специалист по уравнениям состояния, крайне важным при моделировании  ядерных  взрывов  и  в  задачах  астрофизики,  после  его  смерти  издали  монографию,  посвященную  развивавшимся им  идеям.  «Продолжить  дело  учёного, пойти дальше, превзойти его – это и есть лучший памятник ему.  Дело  его  надо  продолжать,  а  не  мраморные  глыбы  ставить!»,    с  воодушевлением говорил Сергей Павлович.  Поэтому,  наверно,  стоит  рассказать  о  нескольких  главных  идеях  Сергея Павловича, об «инвариантах» его научного творчества, к которым  он возвращался вновь и вновь на своём жизненном пути.  Хотя этот текст рассчитан «на всех», в нем иногда будут встречаться  формулы.  Мы  как-то  обсуждали  с  Сергеем  Павловичем  план  и  стиль  одной из наших научно-популярных брошюр и уместность в ней формул .
  Я приводил ему слова выдающегося физика и блестящего популяризатора  Стивена  Вайнберга:  «Каждая  формула  в  научно-популярной  книге  уменьшает число читателей книги вдвое» и отстаивал «текст без формул».  «Для  математиков,  физиков,  естественников  формулы  выразят  проще,  точнее и конкретнее то, что мы хотим. Гуманитариям мы расскажем то же  7    самое, но формулы напомнят им, что есть и другой язык. И это сила, а не  слабость», – возражал мне Сергей Павлович.  По  его  инициативе  и  самом  активном  участии  Зои  Журавлёвой  и  ассоциации  «Женщины в науке и образовании» была организована целая  серия  замечательных  конференций  «Языки  науки,  языки  искусства.»  Поэтому формулы иногда будут попадаться.  Сергей  Павлович  был  одним  из  основоположников  теории самоорганизации или синергетики (от греческого – совместного действия) 

–  междисциплинарного  подхода,  который  активно  развивается  в  отечественной  и  мировой  науке  с  1970-х  годов.  Его  исследования  и  работы его научной школы получили мировое признание.  Однако,  как  говорили  восточные  мудрецы,  которых  любил  вспоминать Сергей Павлович: «Сначала мы выбираем Путь, а потом Путь  выбирает  нас».  Применительно  к  науке  это  означает,  что  мировоззрение,  идеи  и  мечты  в  большой  степени  определяются  задачами,  которыми  занимается исследователь.  Прикладная математика, как основа мировоззрения Природа смеется над трудностями  интегрирования  П.С. Лаплас Вся  научная  жизнь  Сергея  Павловича  прошла  в  Институте  прикладной  математики  (ИПМ)  АН  СССР,  а  позже  в  ИПМ  им.  М.В.  Келдыша  РАН.  Этот  институт  был  создан  в  1953  году  выдающимся  советским  математиком,  механиком,  организатором  науки,  академиком  Мстиславом  Всеволодовичем  Келдышем  для  решения  стратегических  задач,  стоявших  перед  страной,  которые  требовали  математического  моделирования  и  компьютерных  расчётов.  Институт  сыграл  огромную  роль  в  реализации  советского  ядерного  и  космического  проектов.  Благодаря  этим  проектам  нынешняя  Россия  и  существует  сейчас  как  суверенное государство.   Срочная  важная  работа  на  переднем  крае  науки  требовала  квалифицированных,  самоотверженных,  талантливых  людей.  С  другой  стороны,  именно  работа  над  такими  задачами  помогала  выращивать  выдающихся  учёных,  позволяла  создавать  новые  области  науки,  порождала новые идеи и необычный взгляд на мир.  Чтобы понять новое, естественно сравнить его со старым. Основным  инструментом  в  Институте,  где  работал  Сергей  Павлович  и  которым  позже  руководил,  была  прикладная  математика.  Наверно,  с  неё  и  стоит  начать.  В  ХХ  веке  произошла  важная  бифуркация  в  развитии  науки.  Напомним,  что  бифуркация  (от  французского  –  раздвоение,  ветвление)  в  строгом  смысле    это  изменение  числа  и/или  устойчивости  решений  8    определённого  вида  при  варьировании  параметров.  В  более  широком  смысле,  и  в  гуманитарных  науках,  и  в  массовом  сознании,  с  этим  понятием  связывается  ситуация,  в  которой  предыдущая  траектория  системы  теряет  устойчивость  и  появляются  новые  возможности  для  развития, другие траектории.  Математика  едина,  но  в  XIX  веке  сначала  неявно,  а  затем  явно  произошло  разделение  на  «теоретическую»  и  «прикладную»  математику.  Дело  в  том,  что  в  XVIII  веке  учёные  не  обращали  особого  внимания  на  строгость  доказательств,  на  теоремы  существования  и  единственности.  Член  Санкт-Петербургской  академии  наук  Леонард  Эйлер  полагал,  что  работа  учёного  –  делать  выкладки,  а  их  строгое  обоснование  –  дело  второстепенное. Однако, Коши, Вейерштрасс, другие учёные столкнулись  с  парадоксами,  возникающими  при  переходе  к  пределу  в  ряде  задач  математического  анализа,  а  позже  и  с  логическими  задачами,  не  имеющими  убедительных,  очевидных  решений.  Требования  к  строгости  возросли.  Стало  ясно,  что  прежде,  чем  вычислить  ответ,  надо  доказать,  что решение задачи существует и единственно. Это потребовало больших  усилий и работы многих талантливых людей.  С  другой  стороны,  потребности  техники,  физики,  механики,  астрономии ставили множество сложных проблем. При этом приходилось  применять различные приближенные методы, уточнять постановку задач,  самым  активным  образом  взаимодействовать  со  специалистами, которым  нужно решение.   Например  –  авиационная  и  космическая  техника,  судостроение  и  множество  задач,  связанных  с  обороной,  требуют  описания  движения  вязкой  жидкости  или  газа.  Классической  моделью,  описывающей  такое  движение,  является  выведенное  столетия  назад  уравнение  Навье–Стокса.  Однако  у  нас  до  сих  пор  нет  доказательств  существования  и  единственности  решений  этого  замечательного  уравнения  в  трехмерной  постановке.  Однако  именно  в  такой  постановке  можно  описывать  сложные, хаотические – турбулентные  движения жидкости и множество  других важных и интересных явлений. И это уравнение нельзя «отложить  на  потом».  Надо  строить  более  простые  модели,  учиться  считать  их  на  компьютере,  сопоставлять  вместе  со  специалистами-гидродинамиками  с  экспериментом,  уточнять  модели  и  т.д.  Именно  этим  и  занимается  прикладная математика.  Иногда шутят: «Теоретическая математика делает то, что можно, так,  как нужно, а прикладная – то, что нужно, так, как можно».   Отсюда  появляется  и  два  взгляда  на  математические  науки,  отличающиеся  расстановкой  акцентов.  Первый  взгляд  очень  точно  определил математик и популяризатор науки В.А. Успенский [3]: «Автору  9    очень  хочется  сказать,  что  математика  –  единственная  наука,  где  достигается абсолютная истина, но он всё же на это не решается, так как  подозревает, что абсолютность истины не достигается нигде. Но в любом  случае математические истины ближе к абсолютным, чем истины других  наук .

  Поэтому  математика  –  наилучший  полигон  для  тренировки  на  истину. Истина – основной предмет математики».  Такая  трактовка  широко  распространена  на  механикоматематическом  факультете  МГУ.  Студенты  других  факультетов  часто  в  шутку называют мехматян «носителями высшего знания».  Да и, собственно, о какой истине мы говорим? Только в классической  философии  есть  две  принципиально  различные  концепции  истины.  Одна  из  них  основывается  на  принципе  корреспонденции  как  соответствия  знания  объективному  положению  дел  предметного  мира  (Аристотель,  Ф.  Бэкон,  Дидро,  Фейербах,  Ленин).  Другая  –  на  принципе  когеренции  как  соответствия  знания  характеристикам  содержания  идеальной  сферы:  Абсолюта  (Платон,  Гегель  и  др),  врождённым  когнитивным  структурам  (Августин,  Декарт),  априорным  формам  (Кант),  интерсубъективным  конвенциям,  соглашениям  (А.  Пуанкаре)  и  т.д.  В  постмодерне  рассматриваются «игры истины в отношении индивидуума к самому себе»  (Фуко).  Тот  же  философ  рассматривал  «историю  истины»  как  создание  «такой  истории,  которая  была  бы  не  историей  того,  что  может  быть  истинного в знаниях, а анализом «игр истины», игр истинного и ложного,  игр,  через  которые  бытие  исторически  конструирует  себя  как  опыт,  то  есть  как  то,  что  может  и  должно  быть  помыслено»  [4].  Как  видим,  и  с  «истиной»  не  всё  просто.  Другим  любимым  утверждениям  «теоретических математиков» является положение, что «математика – это  язык» и «сфера творчества».  И  действительно,  после  открытия  Н.И.  Лобачевским  первой  неевклидовой  геометрии,  а  впоследствии  и  множества  других,  после  создания  в  ХХ  веке  нескольких  вариантов  математического  анализа  (например,  в  нестандартном  анализе  вводится  отдельное  пространство  «бесконечно  малых  чисел»,  отличных  от  всех  других)  стало  ясно,  что  разных  «математик»  может  быть  много.  И  здесь  уместна  трактовка  математики  как  «науки  о  возможных  мирах»,  данная  Вильгельмом  Лейбницем.  Однако  эта  произвольность  открывает  возможность  для  творчества.  Поэтому,  к  примеру,  во  многих  американских  университетах  математические  факультеты  находятся  в  отделениях  изящных  искусств.  Но есть и совершенно другой взгляд на математику, делающий акцент на  прикладном аспекте этой дисциплины.  10    В  этом  контексте  первична  именно  «прикладная»,  а  не  «теоретическая»  математика.  Именно  так  смотрел  на  науку,  которой  занимался, Сергей Павлович.  Этот  взгляд  очень  точно  выразил  выдающийся  российский  исследователь,  академик  Владимир  Игоревич  Арнольд  –  представитель  теоретической  математики:  «Вся  математика  делится  на  три  части:  криптография (оплачиваемая ЦРУ, КГБ и им подобными), гидродинамика  (поддерживаемая производителями атомных подводных лодок) и небесная  механика  (финансируемая  военными  и  другими  организациями  типа  НАСА, имеющими отношение к ракетам).  Криптография  привела  к  созданию  теории  чисел,  алгебраической  геометрии  над  конечными  полями,  алгебре1,  комбинаторики  и  компьютеров.  Гидродинамика  породила  комплексный  анализ,  уравнения  в  частных  производных,  теорию  групп  и  алгебр  Ли,  теорию  когомологий  и  методы  вычислений.  Небесная  механика  дала  начало  теории  динамических  систем,  линейной  алгебры,  топологии,  вариационному  исчислению  и  симплектической геометрии.  Существование таинственных связей между всеми этими различными  областями  –  самая  поразительная  и  прекрасная  сторона  математики  (не  имеющая никакого разумного объяснения)» [5].  С.П.  Курдюмов  и  В.И.  Арнольд  были  знакомы,  относились  с  симпатией друг к другу и даже говорили о совместных исследованиях, но  не  успели.  В  своё  время  в  Московском  физико-техническом  институте  (МФТИ),  в  котором  Сергей  Павлович  много  лет  преподавал,  а  затем  заведовал  кафедрой  прикладной  математики,  была  позиция  заведующего  кафедрой математики. На неё претендовал В.И. Арнольд – исследователь  с  мировым  именем.  К  сожалению,  ученый  совет  отклонил  эту  кандидатуру, о чём Сергей Павлович не раз с сожалением вспоминал. В.И.  Арнольд не раз говорил, что математика – часть физики.  Этих  исследователей  многое  связывало  и  по  существу,  в  научном  пространстве. Оба считали, что главным действующим лицом математики,  естествознания, да и науки в целом будет нелинейность. Сергей Павлович  часто говорил на своих лекциях: «Мы вступили с вами в новый мир – мир  нелинейных процессов».  Для  линейных  уравнений  справедлив принцип суперпозиции  (наложения),  встречающийся  нам  постоянно,  начиная  со  школьной  программы,  где  он  упоминается  в  связи  с  законом  Кулона.  Благодаря  принципу  суперпозиции  через  наш  радиоприёмник  одновременно   Создатель современной алгебры Виет был криптографом короля Генриха IV во Франции.  11    приходят сигналы тысяч радиостанций, не мешая друг другу, и мы можем  их «поймать», покрутив ручку настройки.  Если  L   –  линейный  оператор,  то  в  соответствии  с  принципом  суперпозиции  Lau v aLu Lv.  (1)  Или  «на  гуманитарном  языке»  –  в  линейном  мире  действие  совокупности  причины  1  и  2  является  обычной  арифметической  суммой  результатов причины 1 (как будто второй не существует) и 2 (как будто не  существует первой). Именно принцип суперпозиции позволяет «разделять  и  властвовать»,  «собирая»  общее  решение  линейной  задачи  из  частных.  Иногда  математическую  физику,  которую  проходят  в  университетах,  называют  «наукой  о  трех  уравнениях»,  –  теплопроводности,  Лапласа  и  колебаний струны –   u t u xx,  0,  vtt v xx 0.  (2)  С нелинейными уравнениями, которыми занимался Сергей Павлович,  всё гораздо сложнее и интересней. Он часто говорил примерно так: «Мир  един,  поэтому  его  главные  свойства  можно  выяснить  на  самых  простых  моделях»,  –  и  приводил  такой  пример .

  Уравнение  Мальтуса  описывает  рост популяции  N  со временем  t   dN aN,  N 0 N 0,  a 0,  N t N 0e.  at (3)  dt Его решение – экспонента – она неограниченно растет за бесконечное  время  ( a   –  постоянная,  называемая  мальтузианским  коэффициентом).  Мальтус полагал, что в соответствии с этим законом (в равное число раз  за  равные  промежутки  времени)  растет  численность  человечества.  И  в  этом он ошибался.  Однако уже простейшее нелинейное уравнение  du u 2,  u 0 u0,  0    u t   1 u0 t dt ведёт себя гораздо интереснее. Здесь  ut  стремиться к бесконечности  за  конечное  время,  называемое  временем  обострения  t f.  И  это  время  существования зависит от начальных данных. Исследования, проведённые  профессором  Сергеем  Петровичем  Капицей,  показали,  что  именно  по  этому,  гиперболическому  закону  численность  человечества  росла  около  миллиона  лет.  Именно  это  кардинально  отличает  нас  от  всех  видов,  живущих  на  Земле.  Если  бы  складывавшаяся  в  течение  сотен  тысяч  лет  тенденция сохранялась бы, то «временем обострения», когда нас стало бы  бесконечно  много,  стал  2025  год  (на  Западе  иногда  это  время  называют  точкой  сингулярности).  Удивительно  простое  уравнение  оказывается  содержательным и отражающим ключевые вещи, касающиеся каждого из  нас.  Сергей  Павлович  был  дружен  с  профессором  Физтеха,  выдающимся  12    просветителем  и  бессменным  ведущим  передачи  «Очевидноеневероятное».  По  словам  С.П.  Капицы  именно  в  ИПМ,  на  семинаре  у  Сергея  Павловича  его  глобальная  демографическая  теория  нашла  понимание  и  поддержку.  Оба  они  очень  ценили  свою  совместную  монографию [6].   В  творчестве  В.И.  Арнольда  огромную  роль  сыграло  исследование  тоже очень простой модели  n 1 f n mod 2,  0 2,  (4)  задающей  отражение  окружности  (   –  угол)  в  себя.  Несмотря  на  удивительную  внешнюю  простоту,  эта  модель  оказалась  глубокой  и  содержательной.  По  мнению  Сергея  Павловича,  прикладная  математика  играет  очень  важную  творческую  роль  в  процессе  познания.  С  одной  стороны,  исследование  свойств  нелинейных  моделей  даёт  более  глубокое  понимание  явлений  в  разных  областях  науки.  Оно  помогает  «увидеть  единое во многом».  С  другой  стороны,  это  исследование  «подсказывает»,  где  следует  искать  новые,  пока  неизвестные  явления  и  сущности.  Сергею  Павловичу  нравилась мысль выдающегося французского математика Анри Пуанкаре  о будущем математики, в котором можно будет предсказывать и находить  новое  на  основе  анализа  общей  математической  структуры  теории,  используемой  в  данной  области.  В  большой  степени  компьютерное  моделирование сделало эту мечту реальностью.  В  основе  нашего  знания  и  способности  разумно  и  дальновидно  действовать  лежит  умение  отделять  основное  от  второстепенного.  Но  именно это и является главным при построении математических моделей!  В  ходе  создания  модели  выделяются  ключевые  факторы  и  процессы,  которые  надо  описать,  и  второстепенные,  которыми  можно  пренебречь.  Это  гораздо  больше,  чем  просто  «язык»,  о  котором  любят  говорить  «теоретические  математики».  Ещё  Галилео  Галилей  считал,  что  книга  Природы написана языком математики. Сегодня мы можем добавить, что  само содержание книги – математические модели, отражающие наиболее  важные  познанные  причинно-следственные  связи,  характеризующие  Природу, общество, человека.  Сергей  Павлович  предвидел,  что  математика  XXI  века  будет  очень  сильно  отличаться  от той,  что  мы  знаем  сейчас. В самом  деле,  главными  «заказчиками», «поставщиками задач» в ХХ веке были механика, физика,  отчасти химия. Однако наступившее столетие, вероятно будет определять  развитие  наук  о  человеке  и  обществе.  На  авансцену  выходят  медицина,  психология,  социология,  история,  теория  управления  рисками,  нейронаука,  исследование  различных  сетевых  структур.  Они  должны  13    очень многое изменить и в прикладной математике, и в нашем понимании  реальности.  В  отличие  от  многих  коллег,  считающих,  что  математическое  творчество  –  дело  избранных,  своеобразная  «игра  в  бисер»,  доступная  немногим,  или  своеобразный  «спорт»  Сергей  Павлович  представлял  эту  область  исследований  совершенно  иначе.  По  его  мысли  –  это  сфера  взаимодействия  специалистов  разного  профиля,  увлекательная  попытка  понять,  что  в  разных  областях  науки  является  наиболее  важным  и  общезначимым.  По  его  мысли,  идеи  и  понятия,  рождающиеся  в  прикладной математике, становятся элементами культуры, а затем входят  в массовое сознание.  И  действительно,  такие  понятия  как  «точка  бифуркации»,  «динамический  хаос»,  «эффект  бабочки»,  «режимы  с  обострением»,  пришедшие  из  прикладной  математики,  уже  появились  на  страницах  газет, в оценках экспертов, в речах политиков.  Сергей  Павлович  предвидел,  что  прикладная  математика  из  дисциплины,  «обслуживающей»  другие  области  науки  и  сферы  жизнедеятельности,  станет,  «генератором  идей»,  основой  междисциплинарных  подходов.  И  на  наших  глазах  этот  прогноз  сбывается.  Время и необратимость. На пороге новой революции в физике Время всё ещё остаётся большой  загадкой. Оно для нас не более, чем общее  понятие; мы не знаем даже, существует ли  оно.  К. Саймак Сергей  Павлович  заканчивал  физический  факультет  Московского  государственного университета и делал дипломную работу, посвященную  теории  атомного  ядра,  под  руководством  академика  М.А.  Маркова.  Сформировавшийся  у  него  в  этом  время  физический  стиль  мышления,  глубокое  понимание  значения  законов  природы  он  пронёс  через  всю  жизнь.  Сергей  Павлович  считал  своими  учителями  и  относился  с  глубоким  уважением  и  благодарностью  к  основоположнику  вычислительного  эксперимента  академику  Александру  Андреевичу  Самарскому  и  выдающемуся  специалисту  в  области  прикладной  математики  –  асимптотического  анализа,  теории  вычислительных  алгоритмов,  теории  некорректных  задач  –  академику  Андрею  Николаевичу  Тихонову  (которого он сменил на посту директора ИПМ) .
 Важной вехой в истории  Института, да и всей советской науки, стали расчёты ядерных устройств.  Первая  советская  атомная  бомба  благодаря  огромной  физической  интуиции,  очень  удачным  математическим  моделям  и  алгоритмам  14    вычислений  была  рассчитана  на  логарифмических  линейках.  Однако  совершенствование  оружия  требовало  объёма  расчётов,  далеко  выходящих за пределы возможностей одного специалиста и даже бригады  расчетчиков  –  нужны  были  вычислительные  машины,  компьютерные  модели и новое поколение алгоритмов.  Когда  А.Н.  Тихонов  на  одном  из  совещаний  рассказал  о  принципиальной  возможности  провести  прямые  численные  расчёты  ядерных  взрывов,  выдающийся  физик  Л.Д.  Ландау  назвал  такую  работу  «научным  подвигом».  И  этот  подвиг  был  совершён  в  отделе,  которым  руководил академик А.А. Самарский. Одним из активных участников всех  этих  работ  был  Сергей  Павлович.  Он  мало  рассказывал  о  том  времени,  хотя ясно осознавал, что главные задачи Института были решены именно  тогда.  По  мнению  А.А.  Самарского,  причиной  успешной  конкуренции,  несмотря  на  отставание  в  вычислительной  технике,  с  командой  американских  исследователей,  занимавшейся  аналогичными  задачами,  состояла в том, что ядро американской команды составили математики, а  советской  –  физики.  Они  глубже  понимали  сущность  описываемых  процессов  и  приближения,  которые  могут  быть  сделаны  при  моделировании.  Кроме  того,  мир  уравнений  в  частных  производных,  с  помощью  которых  описываются  законы  природы,  очень  сильно  отличается  от  «дискретного»,  «цифрового»,  в  котором  работают  вычислительные  машины.  Это  разные  сущности.  Второй  мир  гораздо  беднее,  и  надо  тщательно  взвесить,  как  и  какие  свойства  исходных  уравнений  следует  передать  на  дискретном  уровне.  И  физики  обычно  понимают  это  лучше.  Не  случайно  одним  из  наиболее  развитых  разделов  компьютерного  эксперимента является вычислительная физика.  В  физической  науке  Сергея  Павловича  волновала  проблема  стрелы  времени,  необратимости  физических,  химических,  биологических,  социальных процессов.  В  судьбе  учёного  очень  важно  время,  в  которое  он  живет,  основное  течение  научной  мысли,  или,  как  сейчас  говорят  на  западный  манер,  «мейнстрим».  Вспомним уравнение Ньютона  mr 2 U m F r U r E      (5)  r r Его  следствием  является  сохранение  энергии  Е,  представляющей  сумму  кинетической  и  потенциальной  энергий.  Кроме  того,  оно  независимо  (инвариантно)  относительно  смены  знака  времени  t t. Это  означает, что если уравнения Ньютона описывают пулю, вылетающую из  15    ружья,  или  падающий  и  разбивающийся  стакан,  то  с  таким  же  успехом  этому  уравнению  удовлетворяет  и  пуля,  влетающая  в  ружьё,  и  стакан  «впрыгиващий»  на  стол.  Однако  мы  почему-то  не  видим  ни  того,  ни  другого. Откуда же берется эта необратимость.  В  школе  объясняют,  что  всё  дело  в  диссипативных  (рассеивающих  энергию)  процессах,  переводяших  её  в  более  низкоорганизованную  форму.  Среди  них  трение,  вязкость,  теплопроводность,  диффузия,  электрическое сопротивление.  Вместе  с  тем  в  самых  фундаментальных  уравнения,  как  например,  в  уравнении Ньютона (5) или Шредингера  i U   (6)  t 2m диссипации  нет.  Она  возникает  на  другом  уровне,  при  описании  взаимодействия многих частиц.  Уравнения,  в  которых  сохраняется  энергия,  так  называемые  гамильтоновы системы,  были  в  центре  внимания  в  прикладной  математике с 1970-х годов. Это уравнение Кортевега-де-Вриза  ut u u x u xxx 0   или кубическое уравнение Шредингера  it,  которые  имеют  бесконечно много законов  сохранения.  В  силу  этого  их решения во многих отношениях ведут себя как частицы.  Модные сейчас квантовые вычисления также происходят с помощью  гамильтоновых, обратимых систем.  Сергей  Павлович  в  этом  отношении  шёл  против  течения.  Именно  в  необратимости  он  видел  непонятое  и  непознанное  свойство  времени.  Он  считал,  что  эта  необратимость  должна  содержаться  на  самом  глубоком  уровне материи, который описывают фундаментальные теории.  Во время нашей первой встречи я – тогда третьекурсник физфака – и  Сергей Павлович – ведущий научный сотрудник – часа четыре ходили по  скверу  на  Миусской  площади.  Мы  говорили  обо  всём  на  свете,  вновь  и  вновь  возвращаясь  к  проблеме  времени.  Он  посоветовал  мне  множество  философских трудов, связанных со временем, которые «хотя и не доходят  до  уровня  моделей,  но  хотя  бы  содержат  размышления  об  этих  сущностях».  Мысль  о  важности  времени  в  его  необратимой  ипостаси  возникла  у  него  ещё  в  школе.  В  течение  всей  жизни  он  возвращался  к  идеям  древнегреческого  философа  Гераклита  Эфесского  (544–475  г.  до  н.э.)  и  любил  повторять  его  фразу:  «Мир  не  создан  никем  из  богов  и  никем  из  людей,  а  всегда  был,  есть  и  будет  вечно  живым  огнём,  мерами  воспламеняющимся  и  мерами  угасающим».  Очень  долгие  годы  16    изображение  огня  было  на  сайте  С.П.  Курюмова  http://spkurdyumov.ru,  который  ведет  В.С.  Курдюмов  и  который  стал  одним  из  крупнейших  порталов России.  Здесь  две  главные  доминанты  научной  судьбы  Сергея  Павловича.  Первая  –  огонь,  необратимые  процессы,  которые,  по  его  мысли,  и  являются  основой  ткани  мироздания.  Вторая  –  самоорганизация.  Сергей  Павлович  был  атеистом.  Но  это  мировоззрение  требует  объяснения,  как  же возникла вся эта удивительная и прекрасная сложность мира, начиная  от  элементарных  частиц  и  большого  взрыва  и  кончая  человеком,  сознанием, обществом.  Мировое  признание  Сергею  Павловичу  и  его  научной  школе  принесло исследование модели тепловых структур  Tt divT gradT T,  1, 0,  x,  T r,0 T0 r.  (7)  Это  уравнение  описывает  процесс  распространения  тепла  в  горящей  среде,  в  которой  и  коэффициент  теплопроводности,  и  интенсивность  источника  являются  нелинейными  функциями  температуры.  Первоначально  это  уравнение  возникло  как  часть  модели,  описывающей  быстрые,  нелинейные  процессы  в  плазме.  Однако  Сергей  Павлович  пришёл  к  выводу,  что  оно  заслуживает  отдельного,  специального  изучения,  и  не  ошибся.  Решение  этого  уравнения  обладает  многими  необычными для классической математической физики свойствами.  Во-первых, во многих случаях решения этого уравнения существуют  конечное время – растут в режиме с обострением  max T r, t  при  t t f.  r Во-вторых,  в  широком  классе  начальных  данных  они  стремятся  при  t t f.и автомодельным (самоподобным) решениям вида  T r, t g t f r t,  где  g t t f t 1 (1)   определяет  закон  роста  амплитуды,  t   –  полуширины, а функция  f x  задает форму профиля температуры .
  В-третьих,  при  1   эти  решения  оказываются  пространственно  локализованы.  Их  можно  рассматривать  как  структуры,  возникающие  в  нелинейной горящей среде. Поскольку диссипативные процессы (которые  описывает член  div T grad T ) играют в их формировании принципиальную  роль,  Сергей  Павлович  назвал  их  нестационарными диссипативными структурами.  В-четвёртых,  был  обнаружен  большой  класс  таких  структур,  представляющих  собой  сходящиеся  к  центру  волны  горения,  в  котором  может  быть  множество  максимумов,  минимумов,  слоёв.  В  достаточно  простом уравнении открылся целый мир.  17    В-пятых,  в  простейшем  «линеаризованном»  случае  уравнение  для  функции  f совпало  с  уравнением  Шредингера  для  атома  водорода  (точнее,  для  его  «пространственной  части»).  Естественно  возник  вопрос,  нельзя ли интерпретировать атом как структуру горящей среды.   В  одном  нелинейном  уравнении  открылось  огромное  пространство  возможностей.  О  замечательных  математических  методах  и  результатах,  полученных при его исследовании, тоже можно рассказывать подробно и  интересно.  В  Институте  любили  Сергея  Павловича  за  его  энергию,  оптимизм,  доброжелательность, умение организовать коллектив единомышленников,  за  справедливость  и  принципиальность.  В  течение  многих  лет  он  был  секретарем  парткома  Института,  а  затем  был  избран  его  директором.  Нашим  первым  директором  был  М.В.  Келдыш,  вторым  –  А.Н.  Тихонов,  третьим – Сергей Павлович.  Вместе  с  тем,  работу  по  глубокому  исследованию  модели  тепловых  структур  и  режимов  с  обострением  в  Институте  не  всегда  ценили  и  поддерживали.  Академик  А.Н.  Тихонов  советовал  Сергею  Павловичу  взяться  за  более  сложные  и  реалистичные  модели,  академик  А.А.  Самарский  настаивал  на  том,  что  следует  заниматься  вычислительной  математикой.  Выдающийся  физик,  один  из  создателей  советского  ядерного  оружия,  академик  Я.Б.  Зельдович  говорил,  что  Природа  любит  гамильтоновы  системы.  Сергей  Павлович,  относящийся  с  глубоким  уважением к этим людям, шёл своим путём. Иногда отвечал: «Сегодня мы  подтаскиваем  математический  аппарат  для  будущих  физических  теорий.  И скоро всё это понадобится».  Иногда  говорят,  что  исследователи  являются  сотрудниками  единого  «незримого  колледжа»,  и  единомышленниками  могут  оказаться  учёные,  работающие  на  другом  конце  планеты.  Для  Сергея  Павловича  большой  поддержкой  оказались  работы  выдающегося  бельгийского  ученого,  лауреата  Нобелевской  премии  по  химии  (1977)  Ильи  Романовича  Пригожина.  Их  объединяло  не  только  исследование  диссипативных  структур, но и создание нового научного мировоззрения.  По  сути,  есть  три  картины  физической  реальности.  В  первой,  восходящей  к  Ньютону,  мир  предстает  огромным  часовым  механизмом,  созданным  и  запущенным  Богом.  И  цель  учёных  состоит  в  том,  чтобы  постичь  замысел  этого  творения.  Этой  идее  следовал  Эйнштейн,  превратив  время  просто  в  одну  из  координат  в  своём  описании  пространства  –  времени.  Этот  идеал,  к  которому  стремится  большинство  современных  физиков,  известный  специалист  по  космологии  Стивен  Хокинг  выразил  в  следующих  словах:  «Если  мы  действительно  откроем  полную теорию, то со временем  её основные принципы станут доступны  18    пониманию  каждого,  а  не  только  нескольким  специалистам.  И  тогда  все  мы, философы, учёные и просто обычные люди, сможем принять участие  в  дискуссии  о  том,  почему  так  произошло,  что  существуем  мы  и  существует  Вселенная.  И  если  будет  найден  ответ  на  такой  вопрос,  это  будет  триумфом  человеческого  разума,  ибо  тогда  нам  станет  понятен  замысел Бога».  Другая выдающаяся физическая теория – квантовая механика – имеет  двойственную  природу.  На  уровне  описания  объектов  микромира  мы  вновь  имеем  дело  с  гамильтоновыми  системами  и  эрмитовыми  операторами.  Но  это  описание  определяет  не  само  состояние  квантового  объекта, а вероятность найти его в том или ином положении в результате  измерения.  Необратимость  создает  процедура  измерения,  в  результате  которого  из  множества  возможностей  выбирается  одна.  Модель  же  «измерителя»  и  его  свойства  при  этом  обычно  выносится  за  скобки.  Вместе  с  тем  само  поле  возможностей  чётко  очерчено.  Нового  не  возникает. Времени вновь нет.  И, конечно, эта ситуация, имеющая мало общего с тем, что мы видим  в мире, вызывает неудовлетворенность. Выдающийся математик и физиктеоретик  Роджер  Пенроуз  выразил  её  в  таких  словах:  «Я  убежден,  что  наше  современное  представление  о  физической  реальности  –  особенно  в  том,  что  касается  природы  времени – нуждается  в  коренном  пересмотре,  пожалуй,  даже  в  более  радикальном,  чем  тот,  который  был  вызван  к  жизни современной теорией относительности и квантовой механикой»[8].  Путь  к  новому  пониманию  времени  сам  Роджер  Пенроуз  связывал  с  пока  не  созданной  квантовой  теорией  гравитации.  Илья  Пригожин,  в  конечном  итоге,  приходил  к  несамосопряжённым  квантовомеханическим  операторам,  описывающим  системы,  в  которых  будущее  отличается  от  прошлого.  Сергей  Павлович  полагал,  что  ответ  даст  теория  самоорганизации  и  нелинейная  динамика.  В  самом  деле,  развитие  и  в  теории  эволюции,  и  в  биологии,  и  в  истории  всё  чаще  трактуется  как  прохождение  последовательности  бифуркаций.  При  этом  выбор,  зачастую  случайный,  сделанный  на  одном  уровне  организации  материи,  может  определить  законы, действующие на другом. Мир не является ньютоновским часовым  механизмом, он – здание, которое недостроено, система в процессе своего  творения,  и  мы  иногда  можем  выступать  не  в  качестве  пассивных  наблюдателей, а в роли его творцов. Акт творения возникает в результате  разрешения  тех  или  иных  противоречий.  И  это  очень  близко  к  гераклитовскому мировидению.  Предчувствие  будущей  революции  физики,  как  это  обычно  бывает,  возникает  и  у  писателей,  поэтов,  философов:  «Отрицание  временной  19    последовательности,  отрицание  себя,  отрицание  астрономической  Вселенной  –  всё  это  акты  отчаяния  и  тайного  сожаления.  Время  –  это  река, уносящая меня, но я сам река; это тигр, пожирающий меня, но я сам  тигр;  это  огонь,  поглощающий  меня,  но  я  сам  огонь».  Эти  строки  выдающиеся  писателя  Хорхе  Луиса  Борхеса  были  очень  близки  Сергею  Павловичу. Он сам зажигал огонь, освещающий путь в будущее .

Синергетика в гуманитарном измерении Тот, кто не хочет прибегать к новым  средствам, должен ожидать новых бед.  Ф. Бекон В 1950-х годах английский писатель и физик Чарльз Сноу с тревогой  писал  о  растущей  пропасти  между  двумя  культурами  –  естественнонаучной и гуманитарной .

 Первая опирается на эксперимент и  формализованные теории. Она устремлена в будущее, отвечает на вопрос  «Как?»  и  игнорирует  авторитеты,  стремясь  к  объективности.  Вторая  в  большой  степени  обращена  в  прошлое,  опирается  на  традицию,  принимает  во  внимание  мнение  известных  лиц.  Она  должна  отвечать  на  вопросы  о  целях,  стратегиях,  должном,  допустимом  и  желательном,  на  вопрос «Что?».  Очевидно,  средства,  созданные  благодаря  стремительно  растущим  возможностям  естественных  наук,  употребляемые  в  неверных  целях,  могут  представлять  огромную  опасность.  С  другой  стороны,  провал  гуманитарных  дисциплин,  не  умеющих  или  не  желающих  заглядывать  в  будущее,  не  менее  фатален.  Нельзя  в  сегодняшнем  или,  тем  более,  в  завтрашнем  дне  исходить  из  картины  мира,  относящейся  ко  вчерашним  реалиям. Мир меняется очень быстро и существенно.  Сергей  Павлович  считал,  что  именно  синергетика  и  междисциплинарные  подходы  дадут  тот  общий  язык,  на  котором  естественники, гуманитарии, математики, эксперты, руководители смогут  обсуждать  свои  проблемы,  полученные  результаты,  ставить  задачи  и  рассматривать  наиболее  вероятные  последствия  принимаемых  решений.  Он  думал,  что  именно  синергетика  станет  мостом,  переброшенным  над  пропастью двух культур.  Немецкий  физик-теоретик  Герман  Хакен,  предложивший  термин  «синергетика» вкладывал в него тот же смысл.  С  одной  стороны,  этот  подход  рассматривает  появление  новых  свойств и качеств у сложных систем, части или элементы которых такими  свойствами не обладают.  С другой стороны, это подход, развитие которого требует совместных  творческих  усилий  и  взаимодействия  естественников,  математиков,  гуманитариев, инженеров, управленцев.  20    Почти  полвека  развития  синергетики  показали,  что  достигнутые  успехи  пока  представляются  достаточно  скромными.  Активность  и  желание  взаимодействовать  со  стороны  естественников  и  математиков  многократно  превышают  готовность  и  желание  гуманитариев  сотрудничать.  В схожей ситуации развития совместной деятельности математиков и  биологов,  где  так  же  не  всё  шло  поначалу  гладко,  сотрудник  ИПМ,  выдающийся  математик  и  основоположник  математической  медицины,  академик  И.М.  Гельфанд  говорил:  «Главная  проблема  в  том,  что  математики не знаю математику, а биологи – биологию».  Возможно,  сдвиги  в  сознании  научного  сообщества  происходят  достаточно медленно, и пока просто прошло слишком мало времени. Как  говорил Сергей Павлович: «Будьте готовы к тому, что работу, которую вы  написали  сегодня,  прочтут,  поймут  и  оценят  лет  через  десять,  а  то  и  позже».  Но,  наверно,  главная  причина  в  том,  что  и  гуманитарии,  и  математики, и естественники остро ощущают преимущество своего стиля  мышления и восприятия мира и поэтому не готовы всерьёз учиться иному,  вставать  на  другую  точку  зрения,  вести  на  равных  содержательный  диалог. Это общее правило. Но Сергей Павлович относился к счастливым  исключениям.  На первых курсах, во время учёбы на физическом факультете МГУ у  него  был  план  перейти  на  философский  факультет  университета,  чтобы  разобраться  с  самыми  общими  вопросами  познания  и  бытия.  Большой  удачей  стало  то,  что  в  деканате  этого  факультета  ему  попался  мудрый  человек.  Он  посоветовал  сначала  стать  физиком,  а  потом  браться  за  всё  остальное.  И  если  интерес  к  философии  не  пропадёт,  то  этими  проблемами можно будет заниматься позже.  Интерес  не  пропал.  Просматривая  список  научных  трудов  Сергея  Павловича,  в  котором  более  500  названий,  видишь,  что  существенная  часть  работ  в  нем  оказалась  посвящена  гуманитарной  проблематике.  Более  10  учеников  Сергея  Павловича  стали  докторами  физикоматематических  наук,  а  Елена  Князева  –  философских.  Тиражи  его  книг,  посвященных  философским  проблемам,  намного  превышают  тиражи  его  работ по прикладной математике.  С.П. Курдюмов считал, что в ходе работы на острие научных проблем  ХХ века в Институте возникли новое знание, понимание и мировоззрение,  значение  которых  далеко  выходит  за  пределы  уже  решенных  задач,  и  очень важно было бы сделать всё это достижением всего общества.  В философии  он  видел способ  сделать  понятое  элементом  культуры.  «Надо  вовлечь  друзей,  коллег,  гуманитариев  в  тот  замечательный  театр  21    идей»,  –  который  мы  увидели.  И  сам  Сергей  Павлович  занимался  этим  с  огромной  энергией  и  энтузиазмом.  Он  читал  лекции  школьникам  и  академикам,  профессорам  и  студентам.  За  последнее  десятилетие  своего  творческого  пути  он  прочёл  более  сотни  лекций  на  конференциях,  которые  организовала  ассоциация  «Женщины  в  науке  и  образовании»,  возглавляемая  Галиной  Юрьевной  Ризниченко.  Он  был  очень  увлекающимся  лектором  и  готов  был  превысить  временной  лимит,  отведенный ему на выступление, многократно – были бы слушатели.  Кроме  преподавания на Физтехе  он вел несколько  курсов  в  Дубне, в  университете  «Природа,  общество,  человек»,  созданном  Евгенией  Наумовной  Черемисиной  –  человеком огромной  энергии,  способностей и  доброжелательности.  Там  его  с  восхищением  слушали  сотни  человек.  «Мне  нравятся  большие  аудитории.  Всегда  думаешь,  что  из  многих  несколько  человек  воспримут  наши  идеи  и  либо  воплотят  в  жизнь,  либо  понесут дальше, в будущее».  Он  привлёк  к  преподаванию  в  Российскую  академию  государственной  службы  при  Президенте  РФ  (РАГСе)  многих  своих  учеников: «Если мы объясним будущему президенту России, каким будет  мир  завтрашнего  дня,  и  каким  образом  в  государственных  делах  следует  опираться  на  науку,  то  этого  будет  более,  чем  достаточно»,  –  с  энтузиазмом  говорил  он  коллегам.  В  РАГСе  «мотором»,  стремившимся  внести  в  преподавание  высшим  государственным  чиновникам  идеи  синергетики и междисциплинарности, был Вячеслав Леонидович Романов 

–  доктор  и  социологических,  и  медицинских  наук.  Жаль,  что  РАГС  поглотила Академия народного хозяйства и переориентировала его вместо  второго  высшего  образования,  направленного  на  подготовку  государственных  руководителей  высокого  ранга,  на  первое  высшее,  связанное с обучением мелких клерков.  На  мой  взгляд,  Сергей  Павлович  объехал  всю  страну.  Во  многих  городах  появились  друзья  и  единомышленники,  увлеченные  идеями  синергетики.  Многие  слушали  его  всего  несколько  раз,  но  пошли  по  намеченному им пути. «Дальние дети – самые близкие», – порой говорил  он. Десятые Курдюмовские чтения в Твери – яркое тому подтверждение.  Гуманитарная  и  просветительская  часть  деятельности  Сергея  Павловича  часто  вызывала  и  непонимание,  и  своеобразную  ревность  его  «физико-математических учеников». Помню, как долго и горячо мы с ним  обсуждали  его  книгу  «Основания  синергетики»,  в  которой  было  дано  философское  обоснование  этого  междисциплинарного  подхода.  В  математических  книжках  вводимые  сущности  требуют  более  жёстких  и  точных  формулировок,  а  область  применимости  полученных  результатов  и их обобщений должна быть четко очерчена. Сейчас мне ясно, что нельзя  22    требовать от полотен импрессионистов той ясности и прорисовки деталей,  к которым стремился классицизм. Но тогда споры были очень горячими.  Масштаб замыслов Сергея Павловича стал ясен, когда в 1990-х годах  по  инициативе  ректора  Российского  открытого  университета  (РОУ)  Б.М.  Бим-Бада  в  нем  был  организован  факультет  прикладной  математики,  научным  руководителем  которого  стал  Сергей  Павлович.  Б.М.  Бим-Бад  видел  в  науке  школу  рационального  мышления  и  считал,  что  рефлексия  учёных над своим творчеством и яркая научная работа очень много могут  дать студентам. Были начаты новые проекты, связанные с математической  психологией,  со  стратегической  стабильностью,  синергетикой,  исследованием  и  использованием  динамического  хаоса,  с  имитационным  моделированием  мировой  динамики  и  нетрадиционными  подходами  к  описанию  экономических  процессов .

  К  этой  работе  были  привлечены  многие  выдающиеся  ученые.  Если  бы  этот  проект  просуществовал  хотя  бы  с  десяток  лет,  то,  вероятно,  прикладная  математика  в  современной  России была бы совсем другой…  Сергей Павлович был желанным гостем в Институте философии РАН  (ИФ  РАН).  Во  многом  это  связано  с  духовной  близостью  и  научным  сотрудничеством  с  выдающимся  специалистом  по  философии  науки,  тогда  директором  ИФ  РАН  Вячеславом  Семеновичем  Степиным,  со  взаимодействием  с сотрудниками этого института В.И. Аршиновым, В.Г.  Будановым, Е.Н. Князевой, Я.И. Свирским. Все они провели много часов  дома  у  Сергея  Павловича  в  беседах  о  главных  проблемах  синергетики  и  современной философии.  Сейчас,  перечитывая  «философские  книги»  Сергея  Павловича,  ловишь себя на мысли, что очень много важного и интересного, того, что  рождалось в спорах, беседах, выступлениях, оказалось упущено.  Многие  гуманитарные  проблемы  Сергей  Павлович  обсуждал  со  своими  друзьями  С.П.  Капицей  и  ректором  МФТИ  –  Николаем  Васильевичем  Карловым,  оставившим  блестящие  воспоминания  о  Физтехе  «Основные  этапы  сосания  лапы»,  как  он  сам  их  назвал,  и  глубокие размышления о сущности образования.  Сергей  Павлович  не  очень  любил  писать,  предпочитал  обсуждать,  докладывать,  делиться  результатами  с  учениками  и  коллегами.  Как  я  понимаю,  именно  этот  «сократический  стиль»,  превращающий  коллег  и  знакомых  в  друзей  и  единомышленников,  сыграл  очень  важную  роль  в  становлении  синергетики  в  нашем  отечестве.  Сергей  Павлович  часто  повторял:  «Наука  –  это  диалог.  Это  то,  что  связывает,  а  не  разделяет».  Однако  оставшиеся  «гуманитарные  книги»,    скорее  его  монолог.  Думается,  что  ему  очень  не  хватало  «гуманитарного  собеседника»  его  масштаба,  так  же  страстно  увлеченного  проблемами  23    междисциплинарности  и  строительством  моста  над  пропастью  двух  культур.  Вместе  с  тем,  многое  из  того,  о  чем  он  мечтал,  воплотилось  в  реальность.  Леонардо-да-Винчи  называл  оптику  –  «раем  для  математиков».  С  не  меньшим  основанием  гуманитарные  науки  можно  назвать  «раем  для  синергетиков».  Дело  в  том,  что  репертуар  механизмов  самоорганизации на разных уровнях и масштабах – психики, пространства  знаний человека и общества, малых групп, государств, этносов, различных  сообществ, компаний - здесь огромен. Он гораздо больше, чем, к примеру,  в физике или химии.  Сергей  Павлович  в  течение  нескольких  десятилетий  занимался  физикой плазмы и, в частности, проблемами управляемого термоядерного  синтеза  (УТС),  который  должен  был  бы  дать  океан  дешевой,  чистой  энергии.  Но  плазма  удивительно  изобретательна.  Как  только  учёные  укрощали одну неустойчивость, мешающую удержать плазму в реакторе,  её  сменяла  следующая,  не  менее  коварная.  И  это  происходит  уже  почти  полвека.  При  этом  каждая  неустойчивость  –  результат  самоорганизации,  которая здесь выступает в такой зловредной роли.  Однако  нечто  подобное  происходит  и  с  обществом,  где  нужны  большие усилия для того, чтобы самоорганизация действовала не во зло, а  во благо.   При  поддержке  Сергея  Павловича  была  начата  [6],  а  сейчас  продолжена  работа  по  моделированию  российской  системы  образования.  Показано,  что  управляющие  воздействия  в  последние  20  лет  привели  сначала  к  его  деградации,  а  потом  к  развалу,  к  превращению  в  «колониальное  образование».  Построены  модели,  проанализированы  данные,  работы  получили  высокую  оценку  научного  сообщества.  Но  получилось всё именно так, как предсказывал М.В. Келдыш. Текст писан,  но  не  читан,  текст  читан,  но  не  понят,  текст  понят,  но  не  так,  а  Васька  слушает да ест.  В  бытность  Сергея  Павловича  была  выдвинута  исследовательская  программа,  связанная  с  построением  математической истории  [6].  В  основе этого подхода лежит 

– полномасштабное  междисциплинарное  моделирование  исторических  процессов  с  использованием  результатов  экономики,  социологии, социальной психологии, истории техники и военного дела; 

– анализ  точек  бифуркации  на  территориях  исторического  развития  и  открывавшихся  альтернатив  (при  таком  подходе  у  истории  появляется сослагательное наклонение);  24    решение задачи исторического прогноза и его использование в 

– задачах  стратегического  прогноза  (при  этом  у  исторической  науки  появляется и повелительное наклонение).  Эта  программа  была  подхвачена  и  в  России,  и  в  США.  Её  развитие  позволило  получить  ряд  важных  и  интересных  результатов  [9-12].  Но  мало иметь науку в государстве. Ей надо ещё и пользоваться.  Сергей  Павлович  считал,  что  наука  должна  помогать  обществу  и  государству,  служить  ему  опорой.  Синергетика  может  очень  многое  во  многих  областях.  Но  одно  из  наиболее  важных  её  дел  сегодня  –  это  проектирование будущего.  Это  анализ  тех  небольших  изменений  в  сегодняшнем  дне,  которые  могут  в  10-20  летней  перспективе  изменить  будущее  крупных  компаний,  регионов,  стран,  мира  в  целом.  Составной  частью  этой  работы  является  системный  анализ,  математическое  моделирование, выработка стратегий и синтез управляющих воздействий,  которые  могли  бы  обеспечить  достижения  поставленных  целей.  И  здесь  также есть важные научные результаты и практические рекомендации [13Приятно иногда увидеть фрагменты этих работ или отдельные мысли  в  выступлениях  первых  лиц  государства.  Однако  хотелось  бы  гораздо  большего.  Одной  из  любимых  мыслей  Сергея  Павловича  была  идея  о  нелинейной  среде,  свойства  которой  определяют  поле  возможностей  –  типы  структур,  которые  на  этой  среде  могут  быть  построены.  Естественно, это относится к социальным средам. Чтобы в них появились  эффективно работающие структуры, в том числе использующие науку или  управляющие ей, надо менять свойства среды.  Например,  Сергей  Павлович,  мечтал  об  «обучающей  игровой  программе»,  дающей  представление  о  междисциплинарном  мировидении  и знакомящее с идеями теории самоорганизации.  Эти  идеи,  нашли  воплощение  в  нескольких  проектах.  С  2002  года  в  издательстве URSS выпускается серия книг: «Синергетика от прошлого к  будущему».  Здесь  и  учебники,  и  популярные  книги,  и  монографии,  посвященные  нелинейной  науке.  К  настоящему  времени  в  серии  выпущено  более  70  книг,  некоторые  из  них  переведены  на  испанский  язык. Тиражи нескольких из них с учётом множества переизданий вышли  на  рекордные  для  России  и  этого  сегмента  книжного  рынка  показатели.  Обзор  первых  шестидесяти  представлен  в  книге  «Пространство  синергетики» [17].  С  2004  года  в  этом  же  издательстве  выпускается  серия  «Будущая  Россия».  К  настоящему  времени  в  ней  было  издано  около  30  книг.  В  некоторых  из  них  предложены  конструктивные  способы  решения  российских  проблем  и  прочерчены  контуры  будущего.  25    Междисциплинарность оказалась и  здесь очень важна.  В XXI веке одной  организации  недостаточно,  придётся  опираться  на  самоорганизацию  и  знание её законов.  Представление  науки  как  диалога,  как  борьбы  идей,  подходов,  проектов  должна  жить  в  массовом  сознании.  Даже  в  лучших  научнопопулярных российских передачах этого не было. В прекрасной передаче  С.П.  Капицы  «Очевидное-невероятное»  блестящий  ведущий  расспрашивал выдающегося учёного, который, как казалось, знает ответы  на все  вопросы  в  своей  области.  В  передаче  Гордона,  которая  шла  после  полуночи, учёные вели интересные диалоги, зачастую забывая о зрителе,  который тоже хотел бы что-нибудь вынести из увиденного.  Однако  четыре  года  назад  мечта  Сергея  Павловича  оказалась  удивительным образом воплощена .

 На канале ТВЦ в ночь с понедельника  на вторник каждую неделю шла программа Анны Урманцевой «Мозговой  штурм» (mozgovoyshturm.ru).  В  этой  программе  ведущие  ученые,  как  правило,  имеющие  противоположенные  мнения,  обсуждали  важные  для  общества  научные  проблемы.  Поскольку  «нет  пророка  в  своём  отечестве»  во  многих  передачах  в  эфир  выходил  американский  корреспондент,  рассказывающий,  как  решаются  подобные  проблемы  в  США.  И  оказывается,  что  иногда  обсуждение задачи у них решается лучше, а иногда и гораздо хуже, чем у  нас. Кроме того, в коротких репортажах показывалось, как идет работа в  этой области в различных российских лабораториях.  Вы заметили, что у нас перестали показывать лица крупным планом?  Крупно показанное лицо молчащего человека говорит о нем почти всё. А  если  сказать  нечего…  то  лучше  и  не  показывать.  На  лица  участников  «Мозгового штурма» смотреть очень интересно.  На нашем телевидении кроме курсов доллара и  евро и цены барреля  нефти  практически  исчезли  количественные  показатели.  Эмоциональное  восприятие  вытеснило  рацио.  В  течение  многих  лет  культивируется  клиповое сознание.  «Мозговой  штурм»  решил  обращаться  со  своими  зрителями  как  со  взрослыми  людьми,  представляя  в  каждой  передаче  результаты  математического  моделирования  обсуждаемых  процессов  либо  статистическую  справку.  И  то,  и  другое  позволяет  зрителям  самим  составить  мнение  о  вопросах,  обсуждаемых  учёными  в  эфире.  Эти  материалы готовились в научно-образовательном центре ИПМ. При этом  в  передаче  фигурировала  только  вершина  айсберга  переработанной  и  проанализированной информации. По некоторым, наиболее интересным и  важным,  передачам  была  выпущена  книга,  в  которой  обсуждение  было  26    представлено  «без  купюр»  и  подготовленная  в  ИПМе  информация  была  дана  в  полном  объёме  [18].  Думаю,  Сергею  Павловичу  такой  подход  к  изменению  информационного  и  социального  пространства  в  нашем  отечестве понравилось бы.  Делай  то,  что  должно,  будь,  что  будет,  а  будущее  покажет,  достаточно ли было сделанного.  Самоорганизация. От знания к пониманию Мы ничего не хотим знать, но всё  хотим понимать.  А. Эйнштейн «Научный  внук»  Сергея  Павловича  –  Андрей  Подлазов,  секретарь  семинара  «Будущее  прикладной  математики»,  который  проводится  в 

ИПМ уже не один десяток лет, любит при обсуждении докладов говорить: 

«Если понимание достигнуто, то его результаты можно изложить в любом  заданном объёме – от абзаца до книжного шкафа».  Теория  самоорганизации  сегодня  находится  на  том  уровне,  когда  о  ней можно рассказать кратко и содержательно.  Американский  философ  и  историк  науки  Томас  Кун  в  1950-х  годах  ввёл очень яркий и удачный термин «парадигма». Этим словом он назвал  выдающееся научное достижение, которое  

– определяет  уровень  и  задает  стандарт  научной  работы  в  некоторой области исследований, подходе или науке; 

– позволяет генерировать задачи разного масштаба и сложности,  развивающие и обобщающие полученный результат.  Психологический  возраст  человека  естественно  измерить  не  календарными  годами,  а  тем,  что  пережито,  понято,  сделано.  Вероятно,  точно так же «возраст» какой-либо науки или подхода можно оценить по  числу  парадигм,  которые  сменяли  в  них  одна  другую.  Характерным  признаком  смены  парадигмы  является  ситуация,  в  которой  казавшееся  сложным  оказываться  простым,  и,  напротив,  в  простом  открывается  глубина  и  не  осознававшиеся  ранее  проблемы.  В  синергетике  уже  было  три  парадигмы  и  сейчас  на  наших  глазах  рождается  четвертая.  В  чем  же  их суть?  Парадигма диссипативных структур  во  многом  связана  с  объяснением  того,  почему  в  открытых,  нелинейных,  далёких  от  равновесия  системах  возникают  различные  типы  упорядоченности.  Например,  сходящиеся  к  центру  волны  горения,  которые  описываются  уравнением  (7),  или  стационарные  (не  зависящие  от  времени)  распределения концентраций в химической реакции [19], или спиральные  волны  в  возбудимой  среде,  ответственные  за  возникновение  сердечных  аритмий.  Впервые  на  важность,  парадоксальность  и  саму  возможность  возникновения  таких  структур  обратил  внимание  выдающийся  27    английский математик, криптограф, один из пророков компьютерной эры  Алан Тьюринг.  Он  предложил  описывать  сложнейший  биологический  процесс  клеточной дифференцировки в растениях с помощью системы уравнений,  учитывающей  только  процессы  диффузии  двух  реагентов  и  химическую  реакцию, протекающую между ними:  X t D1 X rr f X, Y Yt D2Yrr g X,Y.  (8)  0 r l, X r 0, t X r l, t Yr 0, t Yr l, t 0 X r, t X 0 r, Y r, t Y0 r Описание  процессов  в  нелинейной  среде  –  сложнейшая  задача.  Она  требует  определения,  по  крайней  мере,  одного  числа,  характеризующего  состояние среды, в каждый момент времени в каждой точке пространства.  В  результате  самоорганизации  возникает  упорядоченность  в  обычном  физическом  пространстве.  Ее  описание  требует  всего  лишь  нескольких  чисел  (параметров  порядка).  За  внешней  сложностью  скрывается  внутренняя простота.  В  научной  школе  С.П.  Курдюмова  это  было  показано  для  многих  замечательных  уравнений  и  задач,  и,  в  частности,  для  обобщенного,  зависящего  от  времени  уравнения  Гинзбурга–Ландау  (или,  как  его  часто  называют в литературе уравнение Курамото–Цузуки)  Wt W 1 ic1 W 1 ic2 W W.  Здесь  тоже  удалось  увидеть  и  новые  виды  упорядоченности,  и  выделить параметры порядка [20].  Сейчас  в  рамках  этой  парадигмы  в  центре  внимания  оказались  процессы упорядочения, происходящие на наномасштабах. В частности, в  качестве  символа  нанотехнологий  часто  используют  удивительно  красивую  молекулу  фуллерена  С60,  имеющую  форму  футбольного  мяча  размером  в  1  нанометр  (нм),  и  необычные  физические,  химические  и  биологические свойства. Однако сама эта молекула не строится учёными  атом  за  атомом,  а  возникает  в  результате  самоорганизации  при  определённых условиях.  Другой  пример.  Из  школьного  курса  химии  мы  узнаём,  что  благородный  металл  –  золото  –  является  химически  инертным  и  не  обладает  каталитической  активностью.  Однако  в  конце  1980-х  годов  японский  исследователь  –  Масатаке  Харуто  показал,  что  каталитическая  активность золота при размере его наночастицы в 3 нм превосходит даже  активность платины, однако при уменьшении размера  до 2,5 нм падает в  пять  раз  [21].  Можно  сказать,  что  в  таких  системах  каждый  атом  оказывается на счету.  28    Будущность  нанотехнологий  сейчас  зависит  от  того,  удастся  ли  выяснить  законы  самоорганизации  на  наноуровне,  научиться  для  многих  веществ  проходить  путь  «снизу-вверх»  –  от  наномасштабов  до  макрообъектов – и использовать полученное знание.  Парадигма динамического хаоса. Выдающийся  учёный  наполеоновской  эпохи  П.С.  Лаплас  считал,  что  ум,  достаточно  мощный  для  того,  чтобы  принять  в  расчет  координаты  и  скорости  всех  частиц  во  Вселенной,  может  заглянуть  как  угодно  далеко  в  прошлое  и  как  угодно  далеко  в  будущее.  Или,  говоря  современным  языком,  при  наличии  достаточных вычислительных мощностей может быть сделан глобальный  прогноз. Такого мнения учёных придерживались до 1963 года.  В  1963  году  американский  метеоролог  Эдвард  Лоренц  исследовал  простейшую  математическую  модель  формирования  погоды,  состоящую  из трех обыкновенных дифференциальных уравнений вида  dx f x,  0 t,  x 0 x0,  x x1,...x p   (9)  dt Компьютерный  расчет  показал,  что  исследованные  уравнения  порождают  непериодические  траектории,  хаотические  колебания  [22].  Более того, само состояние этой системы мы можем предсказать только до  определенного  времени,  называемого  горизонтом прогноза,  а  дальше  приходится опираться на вероятность и статистику [27].  Открытие  этого  явления,  называемого  динамическим хаосом,  показало, что в очень простых системах вида (9) (даже, когда  p 3 ) может  иметь место очень сложное и интересное поведение!  Это  открытие  самым  существенным  образом  повлияло  на  мировоззрение. Одной из основных задач науки является прогноз. И когда  в  этой  области  устанавливаются  фундаментальные  ограничения,  то  мир  начинает восприниматься по-другому.  Для  систем  с  динамическим  хаосом  имеет  место  эффект бабочки  –  взмах её крыльев в правильном месте в правильное время может вызвать  через  2-3  недели  разрушительный  ураган  за  1000  километров  от  того  цветка,  на  котором  сидела  бабочка.  Малые  причины  в  таких  системах  могут  иметь  большие  следствия.  И  такие  системы  являются  правилом,  а  не исключением для нашего мира.  И  здесь  также  принципиальную  роль  играет  самоорганизация  и  диссипативные  процессы .

  Со  времени  Ньютона  числа  x1,...x p в  уравнении  (9)  рассматривают  как  координаты  точки  в  фазовом пространстве  исследуемой  системы.  Каждая  точка  в  этом  пространстве  соответствует  одному  из возможных  состояний  изучаемого  объекта.  Если в  системе  (9)  есть  члены,  описывающие  диссипативные  процессы  (например,  теплопроводность  или  вязкость,  как  в  системе  Лоренца),  то  с  течением  29    времени  траектория  x t   стремится  к  притягивающему  множеству  в  фазовом  пространстве,  называемому  аттрактором  (  от  английского  to  attract  –  притягивать).  Это  также  самоорганизация  –  из  огромного  пространства возможностей системы (9) «выбирают» лишь небольшую их  часть.  Применение  динамического  хаоса  обширны  и  разнообразны  –  медицинская диагностика, защита информации, новые типы радиосвязи, а  также многое-многое другое.   Парадигма сложности. Первые  две  парадигмы  имели  дело  с  отдельными  объектами,  третья  –  с  системами.  От  мудрецов  Античности  до  нас  дошёл  классический  парадокс.  Миллион  песчинок  –  куча.  Будем  постепенно  забирать  по  песчинке  из  неё.  В  конце  концов  остаётся  одна  песчинка, которая, точно – не куча. Где же та грань, на которой множество  песчинок становится кучей?  В  рамках  парадигмы  сложности  и,  в  частности,  в  теории  самоорганизованной  критичности  учёные  научились  отвечать  на  подобные  вопросы  [23,24].  Системные  свойства  множества  населённых  пунктов  в  географии  были  открыты  ещё  в  начале  ХХ  века  Дж.  Ципфом.  Оказалось,  что,  если  упорядочить  города  в  порядке  убывания  числа  жителей  N r, r 1,2...  ( N1  – население самого большого города,  N 2  – второго  по  величине  и  т.д.),  то  для  больших  стран  мира  в  целом  и  других  целостных систем  N r r 1.  (10)  Подобный закон оказался характерен и для множества других систем  (см.  рис.  2).  Законы  вида  (10)  иногда  называют  зависимостями  ранг– размер.  Их  удобнее  представить  в  логарифмических  координатах,  откладывая по осям не сами величины, а их логарифмы.  Оказывается,  что  зависимости,  подобные  (1),  с  показателями,  близкими  к  1,  характерны  и  для  статистики  стихийных  бедствий,  и  техногенных  катастроф  (см.  рис.2).  И  это  тоже  существенно  меняет  мировоззрение.  В  самом  деле,  наша  интуиция  настроена  на  «гауссовы»  законы,  в  соответствии с которыми большие отклонения от средних значений почти  невероятны. Характеристики людей распределены по такому же закону, и  мы с лёгкостью можем пренебречь вероятностью встречи с 2,5-метровым  гигантом  и  30-сантиметровым  карликом.  На  «гуманитарном  языке»  этот  факт выражает расхожая мудрость: «Чудес не бывает».  Но  выражение  (10)  выражает  прямо  противоположное.  Гигантские  отклонения  возможны  и  мы  с  ними  иногда  сталкиваемся.  Например,  ущерб и затраты на ликвидацию последствий Чернобыльской аварии пока  30    превышают  общие  расходы  такого  типа  для всех аварий  в  мировой  атомной энергетике [25].   

Рис. 2. Зависимость ранг–размер для: 

а) максимальной распространённости компьютерных вирусов;   б) капитализации крупнейших компаний ($ млрд);  в) числа жителей населенных пунктов России;  г) числа раненых в ходе стихийных бедствий.    Позитивный  пример.  Гонорары  авторов  как  художественных,  так  и  научных  книг  оказываются  на  удивление  невелики.  Вместе  с  тем  доход  создательницы  «Гарри  Поттера»  Джоан  Роулингс  превысил  $1  млрд.  Берясь за перо, автор оказывается в пространстве, где возможны события  гигантского  масштаба.  «Эти  сегодня  стихи  и  оды,  в  аплодисментах  ревомые  ревмя,  войдут  в  историю  как  накладные  расходы  на  сделанное  нами – двумя или тремя», как писал поэт.  Это  гораздо  ближе  к  восточным  сказкам  «1001-й  ночи»,  в  которых  джинны, дэвы, ифриты высотой в десятки или сотни метров встречаются  нечасто,  но  уже,  если  они  попались  на  пути,  то  последствия  этого  оказываются огромны.   Замечательно,  что  одной  из  главных  моделей  теории  самоорганизованной критичности является куча песка, и что в этом случае  самоорганизация также играет ключевую роль [23,24].  31    В  самом  деле,  представим  себе  чашку  весов,  на  которую  случайным  образом  падают  песчинки.  Когда  возникла  горка  песка,  падающая  песчинка  может  остаться  в  ней,  привести  к  падению  с  чашки  другой  песчинки или сходу целой лавины.  Если горка достаточно крутая, то больших лавин будет сходить много  и  крутизна  кучи  будет  уменьшаться.  Если,  напротив,  куча  пологая,  то  крутизна её будет расти. И эта своеобразная самоорганизация будет вести  систему  в  неустойчивое  положение  равновесия,  в  котором  возможны  лавины любого масштаба.  Этот  механизм  является  очень  общим  и  типичным.  Детали  моделей  здесь, как правило, несущественны.  Сейчас модели, создаваемые в рамках парадигмы сложности успешно  применяются  для  описания  землетрясений  и  биржевых  крахов,  техногенных  катастроф  и  работы  сознания,  биологической  эволюции  и  солнечных  вспышек.  Горизонты  теории  самоорганизации  стремительно  расширяются.  В нашем институте работало много выдающихся ученых. И иногда в  связи с различными юбилеями открывают посвященные им мемориальные  доски.   —  А  Сергею  Павловичу  Курдюмову  тоже  со  временем  на  здании  Института установят доску? — спросил меня как-то дипломник.  —  Это  зависит  от  нас  с  вами, от  того,  насколько  успешно  мы  будем  развивать  его  подходы  и  теорию  самоорганизации.  Будущее  часто  даёт  оценку прошлого.  Пока все идёт неплохо. И это прекрасно!    СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 

1. Мне  нужно  быть:  Памяти  Сергея  Павловича  Курдюмова  /  Ред.  –  сост. З.Е. Журавлева. – М.: КРАСАНД, 2010 – 480с. 

2. Режимы  с  обострением.  Эволюция  идеи.  Законы  коэволюции  сложных структур. – М.: Наука, 1998. – 255с. 

3. Успенский  В.А.  Математическое  и  гуманитарное:  преодоление  барьера – 3-е изд. – М.:МЦНМО, 2014. – 48с. 

4. Всемирная философия/ ред. А.Р. Грицанов. – М.: АСТ, Мн: Харвест,  Современный литератор, 2001 – 1312с. 

5. Математика: границы и перспективы – М,: ФАЗИС, 2005. – 624с. 

6. Капица  С.П.,  Курдюмов  С.П.,  Малинецкий  Г.Г.  Синергетика  и  прогнозы  будущего.  Изд.  3-е.  –  М.:  Едиториал  УРССС,  2003.  –  288с.  –  (Синергетика: от прошлого к будущему) 

7. Пригожин  И.,  Стенгерс  И.  Время.  Хаос.  Квант.  К  решению  парадокса  времени.  Изд.  6-е.  –  М.:  КомКнига,  2005.  –  232с.  –  (Синергетика: от прошлого к будущему).  32   

8. Пенроуз Р. Новый ум короля: О компьютерах, мышлении и законах  физики.  Изд.  4-е.  –  М.:УРСС;  Издательство  ЛКИ,  2011  –  400с.  –  (Синергетика: от прошлого к будущему). 

9. Проблемы  математической  истории:  Основания,  информационные  ресурсы, анализ данных. Отв. Ред. Г.Г.Малинецкий, А.В. Коротаев. – М.:  Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2009. – 256с. 

10. Проблемы  математической  истории:  Математическое  моделирование исторических процессов . отв. Ред. Г.Г. Малинецкий, А.В.  Коротаев. – М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2008. – 208с. 

11. Турчин  П.В.  Историческая  динамика:  по  пути  к  теоретической  истории. Изд. 2-е. – М.: Издательство ЛКИ, 2010. – 368с. – (Синергетика:  от прошлого к будущему). 

12. Бадалян  Л.Г.,  Криворотов  В.Ф.  История.  Кризисы.  Перспективы:  Новый  взгляд  на  прошлое  и  будущее.  Изд.  2-е.  –  М.:  Книжный  дом  «ЛИБРОКОМ»,  2012,  –  288с.  –  (Синергетика:  от  прошлого  к  будущему,  №50, Будущая Россия). 

13. Будущее России в зеркале синергетики /Под ред. Г.Г. Малинецкого. 

– М.: КомКнига, 2006. – 272с. – (Синергетика: от прошлого к будущему). 

14. Синергетика. Будущее мира и России / Под ред. Г.Г. Малинецкого –  М.:  Издательство  ЛКИ,  2008.  –  384с.  –  (Синергетика:  от  прошлого  к  будущему. Будущая Россия). 

15. Будущее  России.  Вызовы  и  проекты:  Экономика.  Техника.  Инновации. – М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2009. – 344с. – (Будущая  Россия)  

16. Малинецкий Г.Г. Чтоб сказку сделать былью… Высокие технологии 

–  путь  России  в  будущее.  –  М.:  Книжный  дом  «ЛИБРОКОМ»,  2014.  –  224с.  –  (Синергетика:  от  прошлого  к  будущему  №58.  Будущая  Россия  №17). 

17. Малинецкий Г.Г. Пространство синергетики. Взгляд с высоты. – М.:  Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2013. – 248с. – (Синергетика: от прошлого  к будущему №60). 

18. Урманцева  А.  Мозговой  штурм.  Избранные  дискуссии.  –  М.:  ЗАО  «СВР- Медиапроекты», 2013. – 336с. 

19. Николис Г., Пригожин И. Самоорганизация в неравных системах. От  диссипативных структур к упорядоченности чере флуктуации. – М.: Мир,  1979. – 512с. 

20. Ахромеева Т.С., Курдюмов  С.П.,  Малинецкий  Г.Г.,  Самарский  А.А.  Структуры и хаос в нелинейных средах. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007. – 483с. 

21. Эрлих Г. Золото, пуля, спасительный яд. 250 лет нанотехнологий. –  М.: КоЛибри. Азбука-Аттикус, 2012. – 400с. – (Galileo)  33   

22. странные аттракторы. / Под. ред. Я.Г. Синая, Л.П. Шильникова – М.:  Мир, 1981. – 256с. 

23. Бак  П.  Как  работает  природа  Теория  самоорганизованной  критичности. – М.6 УРСС. Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2014. – 276с. 

24. Малинецкий  Г.Г.,  Потапов  А.Б.  Подлазов  А.В.  Нелинейная  динамика: Подходы. Результаты. Надежды. – М.: КомКнига, 2006. – 280с. 

– (Синергетика: от прошлого к будущему). 

25. Владимиров  В.А.,  Воробьёв  Ю.Л.,  Малинецкий  Г.Г.  и  др. 

Управление  риском:  Риск.  Устойчивое  развитие.  Синергетика.  –  М.: 

Наука,  2000.  –  431с.  –  (Кибернетика:  неограниченные  возможности  и  возможные ограничения). 

26. Талеб  Н.Н.  Чёрный  лебедь.  Под  знаком  непредсказуемости.  –М.:  Издательство Колибри, 2010. – 528с.   

СЕРГЕЙ ПАВЛОВИЧ КУРДЮМОВ

Г.Ю. Ризниченко д.физ.-мат.наук, проф., МГУ им. М.В.Ломоносова, г. Москва

СИНЕРГЕТИКА

В БАЗОВЫХ МОДЕЛЯХ ИННОВАЦИОННОГО РАЗВИТИЯ

В.Е. Лепский Институт философии РАН, Москва, Россия E-mail: Lepsky@tm-net.ru С  начала  XXI  века  руководство  страны  упорно  призывает  представителей  государства,  бизнеса  и  общества  перевести  страну  на  инновационный  курс  развития.  Перепробовали  все  западные  наработки:  технопарки,  кластеры,  технологические  платформы,  институты  развития,  национальную инновационную систему и др. Результаты, к сожалении, не  совпадают с ожидаемыми успехами, а достижения существуют только на  бумаге.  Главная  причина  неудач  в  отсутствии  целостности  в  подходах  к  решению  данной  проблемы.  Стимулирование  и  поддержка  инноваций  организуется  в  контексте  рыночной  экономики,  в  коммерческих  целях,  а  не в интересах сохранения суверенитета страны, развития ее экономики и  повышения  благосостояния  народа.  Одним  из  важнейших  подходов  к  созданию  механизмов  обеспечивающих  целостность  развития  является  синергетика,  достижения  которой  игнорируются  разработчиками  стратегических документов и проектов инновационного развития России.  В  статье  представлен  философско-методологический  анализ  базовых  моделей  инновационного  развития,  с  учетом  специфики  этих  моделей  проведена  оценка  отдельных  стратегических  документов  и  проектов,  34    определяющих  современное  состояние  инновационного  развития  России,  рассмотрены место и роль синергетики в совершенствовании механизмов  инновационного развития.  Научная рациональность и модели инновационного развития. В  последние  десятилетия  в  науке  происходят  принципиальные  изменения,  связанные,  согласно  В.С.Степину,  со  становлением  постнеклассического  этапа ее развития. Не принимая во внимание этих изменений, мы  рискуем  упустить из виду  принципиальные изменения в моделях инновационного  развития.  Смена  общенаучных  картин  мира  сопровождалась  коренным  изменением  нормативных  структур  исследования,  а  также  философских  оснований науки. Эти периоды правомерно рассматривать как революции,  которые могут приводить к изменению типа научной рациональности. Три  этапа  развития  науки  можно  охарактеризовать  как  связанные  с  доминантой  одного  из  трех  типов  научной  рациональности,  сменявших  друг  друга  в  истории  техногенной  цивилизации.  Это  –  классическая,  неклассическая и постнеклассическая рациональности.  Каждый  новый  тип  научной  рациональности  характеризуется  особыми,  свойственными  лишь  ему  основаниями  науки,  которые  позволяют  выделить  и  исследовать  соответствующие  типы  системных  объектов. При этом возникновение нового типа рациональности и образа  науки  не  следует  понимать  упрощенно  в  том  смысле,  что  каждый  этап  приводит  к  полному  исчезновению  представлений  и  методологических  установок предшествующего периода. Напротив, между ними существует  преемственность  и  конвергенция.  Каждый  этап  характеризуется  особым  состоянием  научной  деятельности.  Если  схематично  представить  эту  деятельность  как  отношения  «субъект-средства-объект»,  то  описанные  этапы  эволюции  науки,  выступающие  в  качестве  разных  типов  научной  рациональности,  характеризуются  различной  глубиной  рефлексии  по  отношению  к  самой  научной  деятельности.  Важно  отметить,  что  постнеклассическая научная рациональность являясь «рамочной» для всех  видов научной рациональности ориентирована на органичную связь науки  с культурой и этикой.  В Таблице 1 с позиций трех типов научной рациональности выделены  основные  модели  инновационного  развития  и  характерные  для  них  парадигмы, научные подходы и механизмы [1].   Таблица 1 .

Базовые аспекты философско-методологического анализа моделей инновационного развития Тип  научной  Базовая  Базовые  Базовые  Доминирующ Модели  рациональност парадигма  объекты  научные  ие  этики  инновационно и  управления  управления  и  подходы  сборки  го развития    инновацион виды  субъектов  35    ным  активности  инновационно развитием  субъектов  го развития  Классическая  «Субъект  –  Сложные  Деятельнос Этики целей  Функциональн   Объект»  системы  тный  ые    Деятельност Монодисци Линейные  ная  плинарный  активность  Неклассическа «Субъект  –  Активные  Субъектно- Коммуникати Нелинейные  я  Субъект»  системы  деятельност вные этики    ный   Коммуникат Междисцип ивная  линарный   активность  Постнеклассич «Субъект  –  Саморазвива Субъектно- Этики  Саморазвиваю еская  Метасубъек ющиеся  ориентиров стратегически щиеся  т»  среды  анный   х субъектов  инновационны «Саморазви Рефлексивна Трансдисци е среды  вающиеся  я   плинарный   рефлексивн активность   о-активные  среды»  Заданные  базовые  аспекты  рассмотрения,  на  наш  взгляд,  позволяют  отразить  наиболее  существенные  особенности  моделей  инновационного  развития.  Отметим,  что  роль  синергетики  наиболее  важна  в  нелинейных  моделях  и  саморазвивающихся  инновационных  средах.  Эти  модели  описаны в работах [2, 3].  Интернальные и экстернальные модели инновационного развития. В  философии  науки  выделяется  два  направления  ее  развития:  интернальное  и  экстернальное.  Которые  соответствуют  различным  источникам  инициации  развития  (внутринаучным  и  внешним).  Аналогичный подход может быть применим и к анализу инновационного  развития.  Экстернализм  –  направление  в  историографии  и  теории  развития  науки,  по  которому  наука  как  система  знаний  и  социальный  институт  является  частью  социальной  среды,  и,  следовательно,  испытывает  с  ее  стороны существенное влияние как  целое и как  совокупность подсистем.  Направления  и  темпы  научного  развития  оказываются  зависимыми  от  практических  потребностей,  возникающих  в  различных  сферах  общественной  жизни:  экономика,  обороноспособность,  социальная  организация, культура и др.   Интернализм  признает  движущей  силой  развития  науки  факторы,  связанные  с  внутренней  природой  научного  знания:  логика  решения  его  проблем,  соотношение  традиций  и  новаций.  Развитие  науки  можно  рассматривать  как  самоорганизующийся  процесс  взаимодействия 

–  –  –

40    Введя  класс  АТ-прообразов,  мы  автоматически  приходим  к  пониманию, существования эффекта воздействия предстоящего состояния  системы  на  характер  процессов  в  ней.  Современный  математический  аппарат  не  способен  учитывать  этот  эффект.  Поэтому  на  его  основе  невозможно  создать  адекватную  модель  эволюции.  Сформулированы  условия, которым должна удовлетворять математическая и/или на другом  языке описаний эволюционная модель.  Представленный  понятийный  аппарат  используется  для  интерпретации механизма ‘Интуиции’  и трактовки категории ‘Время’.   ‘Интуиция’  интерпретируется  как  результат  взаимодействия  мыслительного аппарата человека с формирующимся особым АТ-прообразом.  Категория ‘Время’  трактуется  как  алгоритм  ЖЦС. Поэтому  по  своей  сути  Время  –  нелинейно.  В  ЖЦС  анализируются  два  вида  нелинейности  Времени,  условно  обозначенные:  непрерывная  и  дискретная.  На  примере  жизненного  цикла  человека  проанализирована  квадратичная  модель  непрерывной нелинейности.   В статье обобщаются и развиваются результаты, изложенные в [2 – 8].  Введение.  Мы  с  восхищением  смотрим  на  разнообразие  форм  существования окружающего мира. Но в разнообразии форм пытливый ум  homo  sapiens  чувствует  действие  жёсткого  фильтра,  определяющего  спектр  допустимых  структур.  Да  и  сам  разум  homo  является  одной  из  допустимых форм существования в эволюционном процессе  Так в завораживающей картинке Мандельброта в разнообразии форм,  допустимы  только  фрактальные  структуры,  порождаемые  алгоритмом  в  виде простого рекуррентного соотношения:  = +   Подобный алгоритм, определяющий допустимое многообразие  форм,  существует в эволюционном процессе ПРИРОДЫ. Существование такого  алгоритма  проявляется  в  наблюдаемом  спектре  структур  и  в  существование общих закономерностей в структурах разного вида.  Вполне  естественно,  что  в  XX  веке  оформились  два  естественнонаучных  направлениях  Системный  анализ  и  Кибернетика.  В  Системном  анализе  был  обобщён  опыт  исследований  в  разнообразных  областях  человеческой  деятельности:  научной,  технической,  социальноэкономической  и  т.д.  Главным  явилось  понимание  общности  принципов  анализа к системам разных предметных областей.  Система – это конечная совокупность элементов (подсистем) находящихся в отношениях и связях между собой, обладающей целостностью и новым качеством /эмерджентностью/ по отношению к сумме свойств элементов (подсистем) .

41    В  ‘Кибернетике’  главным  было  понимание  общности  информационных  процессов  в  живой  и  неживой  природе.  В  Системном  анализе  и  Кибернетике    общность  процессов  в  различных  системах  воспринимался  как  факт,  подтвержденный  многолетними  наблюдениями.  Со  временем  встал  вопрос:  «Чем  обусловлена  общность  процессов  в  системах  разного  вида?».  Инициировалось  появление  естественнонаучного  направления  ‘Синергетика’.  Синергетика – это междисциплинарное научное направление, в рамках которого изучаются процессы самоорганизации и самодезорганизации в открытых нелинейных средах самой различной ПРИРОДЫ [1] .

ПРИРОДА- это  весь  мир,  включая  человека  с  его  мыслительной  деятельностью  и  человечество  с  его  разнообразными  (экономическими,  социальными…) формами отношений.  Структура – совокупность  элементов  Системы  с  указанием  связей  между  ними. Примечание:  если  элементами  Системы  являются  аттракторы, то термины ‘система’ и ‘структура’ будут синонимами.  Эволюция – смена  одних  квазиустойчивых  состояний  системы  другими. Основным вектором эволюции ПРИРОДЫ является усложнение  структур:  неживая  природа    живая  природа    homo  sapiens  –  по  неизвестному нам пока (?) глобальному закону развития.  Жизненный цикл системы (ЖЦС) – временнй процесс, включающий  в  себя  зарождение  (самоорганизацию),  самостабилизацию  оптимального  состояния, гибель (самодезорганизацию) системы (рис.1).    Рис. 1. Жизненный цикл системы – зависимость состояния системы от  времени t.  tкр пред – предельное время жизнесуществования системы;  tкр – реальное время жизнесуществования системы, tкр tкр пред  Следствием самоподобия (смысловой, семантической фрактальности)  эволюционного  процесса  является  существование  единого  базового  набора режимов, проявляющихся в ЖЦС любого вида.  42      а)  S  б)  HS  в) LS (обострения) –  (зарождения)  -  (расширения)  - пространственновременной  пространственный  временной  Рис.2 Режимы ЖЦС, описанные в [1]  Режимы.  Режим  –  процесс  в  ЖЦС,  с  присущими  ему    специфическими  признаками.  В  работе  [1]  описываются  режимы:  S,  HS,  LS  (рис.2).  Отражая  специфику  режимов,  конкретизируем  их  название:  S  –  зарождения,  HS  –  расширения,  LS  –  обострения  или  когерентности  IIрода.    Добавим  два  новых  режима  [8]:  расщепления  и  асимметризации  (рис.3).  Известные  (рис.2)  и  предложенные  (рис.3)  режимы  образуют  полный, базовый набор режимов, проявляющихся в разных комбинациях в  ЖЦС.      а)  Расщепления;  пространственно- б) Асимметризации;  временной  временной  Рис.3 Режимы ЖЦС, описанные в [8]  Например,  в  результате  действия  режима  с  обострением  (рис.  2в),  появилась  новая  система  (биологическая,  социальная,  экономическая).  Сначала  реализуется  режим  Зарождения  (рис.2а).  Процесс  локализован  в  пространстве; происходят количественные накопления в системе; система  «взрослеет».  Запускается  процесс  Расширения  (рис.2б).  Процесс  делокализуется;  это  пространственный  процесс.  Следующим  этапом  начинается  процесс  Расщепления  (рис.3а),  это  сначала  временной  (рис.3аа),  а  затем  пространственный  процесс  (рис.3аb).  Подсистемы  начинают  существовать  в  несмежных  пространствах.  /Здесь  и  далее  речь  идёт о реальном или о фазовом пространстве./ В несмежных подсистемах  начинают  накапливаться  присущие  только  ей  качественные  изменения  (мутации). Начинает проявляться и  усиливаться со временем асимметрия  43    подсистем  (рис.3б);  это  временнй  процесс.  При  переходе  значения  асимметрии  через  критическое  значение,  в  системе  начинается  локализующийся,  нарастающий  во  времени  режим  с  обострением,  он  же  режим LS (рис.2в); это пространственно-временнй процесс.  Рассмотрим  подробнее  режим  с  обострением.  Он  обусловлен   когерентным взаимодействием объектов системы.  Когерентность – согласованное во времени и пространстве поведение элементов (подсистем) внутри системы [1] .

Используя  понятийный  аппарат  аттракторов,  который  будет  описан  ниже, предложим следующее определение когерентного взаимодействия:  Когерентность – одновременный переход фрактальных подструктур в состояния, соответствующие особым АТ-прообразам .

В  [1]  рассматривается  процесс  когерентности  в  режиме  с  Обострением (рис.2в), меняющий сущность системы. Определим это, как  когерентность  II-рода.    В  ЖЦС  (рис.1)  когерентности  II-рода  соответствует  гибель  системы,  которая  наступает  при  t  =  tкр.  В  данной  работе  отмечается,  что  в  системе  могут  происходить  когерентные  процессы  с сохранением  её  сущности.  Определим  это, как  когерентность  I-рода. В ЖЦС (рис.1) это соответствует дискретным переходам системы  из одного состояния в другое в моменты времени: t1, ..ti-1, ti, ti+1, …tn-1.  Когерентные  процессы  I-рода  наблюдаются  во  всех  подсистемах  ПРИРОДЫ.  В этот  миг –  по  сравнению со  временем  tкр  жизни  системы  -  наблюдается изменение интенсивности процессов на несколько порядков.  Например: сверхмощные магнитные бури на Солнце; вспышки пандемии;  одномоментное увеличение численности популяции; усиление отдельных  этносов;  экономический  бум;  insight  (озарение,  интуиция)  творческих  личностей. Когерентные процессы I-рода – это имманентное (внутреннее)  свойство  любой  системы.  И  для  их  объяснения  нет  необходимости  привлекать внешнее воздействие, как это делает Л. Гумилёвым [9] в своей  ‘пассионарной теории’.  Моменты когерентности, при которых система дискретно переходит с  одного состояние в другое /когерентность I-рода/ или вообще меняет свою  сущность  /когерентность  II-рода/  –  это  особые  мгновения  состояния  системы.  Они  обусловлены  возрастающей  нелинейностью  в  системе  и  в  свою  очередь  порождают  нелинейные  эффекты:  нелинейность  времени;  резкое увеличения числа мутаций; зарождение новой структуры.  Когерентные  процессы  I-рода  и  II-рода  влияют  друг  на  друга.  В  моменты  ti  [0titкр;  i=1..(n-1)]  /когерентности  I-рода/  может  меняться,  варьироваться  значение  tкр,  т.е.  времени,  при  котором  наступает  когерентный  процесс  II-рода.  Бумерангом,  вариация  значения  tкр,  может  44    изменить  количество  и  дислокацию  /значение/  ti  на  временной  оси.  Мы  видим взаимовлияния настоящего и будущего состояний системы.  Естественно,  в  ПРИРОДЕ  может  встречаться  любая  многоуровневая  комбинация  из  описанных  базовых  режимов:  зарождения,  расширения,  расщепления,  асимметризации,  когерентности  I-рода  и  II-рода.  Так  блоками вычислительного алгоритма любой степени сложности являются  три базовых алгоритма: линейный, ветвящийся и циклический.  Аттрактор. В работах  по  синергетике широко  используется  понятие  ‘аттрактор’(АТ).  АТ – это образ в фазовом пространстве системы, находящейся в реальном пространстве в стационарном состоянии. Такой  ‘АТ’  мы  будем  именовать  ‘АТ-образ’  (рис.4,  серые  кружки  в  фазовом  пространстве).  Этим  самым  мы  подчеркнём  его  специфику  и  отличим  от  введённых новых классов АТ [5–8]: АТ-прообраз и особый АТ.  АТ-прообраз – это динамичный образ в фазовом пространстве потенциально возможного состояния, в которое может перейти система в реальном пространстве.  На  рис.4  АТ  обозначены  кружками.  Реализованные  состояния  -  в  реальном  пространстве  и  АТ-образы  в  фазовом пространстве - изображены кружками с оттенками серой заливки.  АТ-прообразы  в  фазовом  пространстве  и  потенциально  возможные  состояния  в  реальном  пространстве  -  представлены  кружками,  с  белой  заливкой;  тип  линии  контура  отображает  различия:  в  силе  воздействия  АТ-прообраза  и  в  величине  вероятности  перехода  системы  в  данное  состояние.    Рис.4  Схема  отношений  аттракторов-образов  и  аттракторовпрообразов  соответственно  с  существующими  и  потенциально  возможными состояниями системы  Из определений следует, что АТ – динамичные объекты. АТ-образы и  АТ-прообразы формируют новые АТ-прообразы (рис.5). Причём АТ-образ  45    может  участвовать  в  формировании  разных  АТ-прообразов;  соответственно АТ-  прообраз  может  формироваться  разными  АТ-  образами.  АТ-  прообразы,  особенно  на  начальных  этапах  развития  системы,  являются  многоуровневыми.  АТ-прообраз  появляется  с  временной задержкой и в процессе существования степень его влияния на  процессы  в  реальном  пространстве  меняется  с  течением  времени;  можно  сказать - имеет переменную силу притяжения.    Рис.5.  Фрагмент  схемы  эволюции,  выраженный  через  структуру  аттракторов.  Особый  АТ  представлен  кружком  с  ромбиками.  Кружком  чёрного цвета представлен АТ, замыкающий тупиковую ветвь эволюции .

Всё  время  идёт  процесс  непрерывного  взаимного  сопряжения  между  состояниями  систем  в  реальном  пространстве  и  АТ  в  фазовом  пространстве.  Если  в  реальном  пространстве  система  перешла  в  одно  из  потенциально  возможных  состояний,  то  в  фазовом  пространстве  соответствующий  АТ-прообраз  становится  АТ-  образом,  что  приводит  к  дискретному изменению конфигурации АТ образов и прообразов.  Среди  АТ-прообразов  и  АТ-образов  выделим  подкласс,  который  назовём  ‘особый  АТ’.  Особый  АТ  –  это  АТ,  который  система  “обязана”  пройти  в  процессе  эволюции  (рис.5;  кружки  с  ромбиками).  В  силу  фрактальности, некоторые «рядовые»  АТ в  структуре,  могут  выступать в  роли особых АТ для подструктур. И всё это повторяется «вглубь» для ещё  более мелких, частных, тонких  подструктур. Соответственно,  особый  АТ  в  структуре, может  быть  “рядовым”  АТ  в  надструктуре.  Поэтому  в  структуре  сила  притяжения  АТ–прообразов,  в  зависимости  от  надпроцессов и подпроцессов, может существенно изменяться.  Алгоритм взаимодействия аттракторов.  Постулируем  Принцип  взаимодействия  АТ.  «Алгоритм формирования АТ-прообразов НЕ ЗАВИСИТ от вида Системы, которую они представляют и с которой взаимодействуют; но свойства формирующегося особого АТ-прообраза зависят от, существующей на момент его формирования, структуры АТ-образов и АТ-прообразов».  В роли  Системы  может  быть:  неживая  природа, этапы её  перехода  к  живой  природе;  усложнение  биологических  видов,  появление  homo;  46    формирование  мышления  и  сам  процесс  мышление;  общественные  формации;  социально-экономические  отношения  и  т.д.  Именно  в  силу  независимости алгоритма, возникшие системы (структуры):  в содержательной части развиваются по универсальным законам;  накладываются  ограничения  на  спектр  допустимых  форм  образовавшихся структур.  Конкретные  свойства  и  период  времени  формирования  особого  АТпрообраза  зависят  от  имеющейся  на  данный  момент  предшествующих  структур АТ-образов и АТ-прообразов.  Вид  зависимости  определяется  вектором  эволюции:  от  простого  к  сложному.  В  эволюционном  процессе  происходит  качественное  усложнении образующихся структур: 

1. переход от неживой природы к живой природе; 

2. переходы  в  живой  природе  к  представителям  фауны,  способными к более высокой организации рассудочной деятельности; 

3. появлении  homo  sapiens,  познающего  законы  эволюции  ПРИРОДЫ.  С  развитием  системы,  период  времени  формирования  каждого  последующего особого АТ-прообраза уменьшается.  Предмет Синергетики.  В  терминах  АТ-образ  и  АТ-прообраз  дадим  следующее  определение:  «Синергетика – направление естествознания, целью которого является изучение алгоритма взаимодействия АТобразов и АТ-прообразов». Если за основу взять результат взаимодействия  АТ,  то  можно  сформулировать:  «Синергетика – направление естествознания, целью которого является изучение универсальных принципов эволюции ПРИРОДЫ».  Принципы синергетики. Принцип – правило, отражающее один из механизмов эволюции ПРИРОДЫ. Хотя  мы  понимаем,  что  передать  переливающуюся  полифонию  взаимосвязей  ПРИРОДЫ  полностью  невозможно. Во-первых, в ПРИРОДЕ есть иррациональная, непознаваемая  компонента, во-вторых, при анализе теряется сущность системы.  Прежде  чем  рассмотреть  конкретные  принципы  синергетики,  вспомним  два  закона  диалектики:  «Закон  единства  и  борьбы  противоположностей»  и  «Закон  отрицания  отрицания».  С  нашей  точки  зрения,  эти  законы  являются  следствием,  предлагаемого  нами,  обобщённого механизма эволюции и выражения (1):  «Эволюция  инициируется  отрицающими  и  сменяющими  друг  друга  составляющими Теза  АнтиТеза».  Изменение во времени одной из составляющих приводит к появлению  переменной  компоненты  противоположной  составляющей.  Чем  больше  скорость  изменения  во  времени  одной  из  составляющих,  тем  больше  по  47    модулю  величина  переменной  компоненты  противоположной  составляющей (1).     (АнтиТеза) (Теза) АнтиТеза~ ; Теза~          (1)    Если  в  роли  Тезы  выступают:  дивергенция,  многовариантность,  симметрия,  непрерывность,  то  соответственно  в  роли  АнтиТезы  будут  выступать:  конвергенция,  одновариантность,  асимметрия,  дискретность.  Приведённые соотношения (1) отражают факт систематической смены во  времени  Тезы  и  АнтиТезы.  Так  процесс  дивергенции  порождает  антипроцесс:  конвергенцию,  которая  затем  вновь  сменяется  процессом  дивергенции.      Многовариантность  подэволюционных  путей  приводит  через  особый  АТ-прообраз  к  одновариантной  возможности  дальнейшей  эволюции  и  выводит  «на  просторы»  следующей  многовариантности  подэволюционных путей.  

Мы рассмотрим следующие принципы и подпринципы: 

1. симметричного – асимметричного развития структуры; 

2. одновариантного – многовариантных путей эволюции;  i. подпринцип гистерезиса. 

3. стохастической  –  детерминированной  обусловленности  эволюции:  i. подпринцип анизотропной реакции системы;  ii. подпринцип мутации. 

4. положительной  – отрицательной обратной связи; 

5. непрерывно – дискретного изменения состояния системы.  Принцип симметрии – асимметрии.  Асимметрия  –  различия  в  значениях  характеристик  элементов,  принадлежащих  одной  структуре.  Различия,  при  малом  кванте  дискретности,  могут  описываться  непрерывной  кривой,  например,  нормальным  законом  распределения;  а  могут  иметь  чётко  выраженный  дискретный  характер,  например  хромосомы  XX  и  XY.  Расширим  смысл  симметрии,  включив  в  него  понятие  равновероятных  возможных  вариантов  развития  системы.  Соответственно,  в  смысл  асимметрии  включим  понятие  преобладания  вероятности развития одного из возможных вариантов над другими.  Формулировка  принципа:  Симметрия – условие возникновения структуры; нарастающая Асимметрия – условие развития структуры, завершающееся её гибелью .

Появление  у  аминокислот  и  сахароз  асимметрии  (левой  и  правой  поляризации)  способствовало  переходу  от  неживой  природы  к  живой.  Появление  кроме  симметричной  хромосомы  ХХ  асимметричной  хромосомы  XY  способствовало  значительному  расширению  48    приспособляемости  биологического  вида.  Это  увеличило  время  его  жизненного  цикла.  Как  следствие,  увеличилась  вероятность  организации  более  сложной  структуры  у  следующего  биологического  вида.  Асимметрия  полушарий  головного  мозга  позволяет  homo  sapiens  создавать новые знания и думать о роли Создателя. Можно предположить,  что  рациональные  и  иррациональные  методы  познания  связаны  между  собой  соотношением,  аналогичным  соотношениям  неопределённости  Гейзенберга.  В  отдельности  иррациональное  и  рациональное  имеют  пределы познания, но вместе позволяют полнее понять ПРИРОДУ.  Принцип одновариантного – многовариантного путей эволюции .

В процессе эволюции система  «обязана»  проходить смежные особые АТi  (i=1..n)  (на  рис.5  –  кружочки  с  ромбиками).  Они  образуют  одновариантный  путь  эволюции.  /Образно  говоря,  имеется  «система  игольных  ушек»,  через  которые  «должна  пролезть  ‘Эволюция’».  Правда,  каждое последующее ушко имеет бльший диаметр./ В силу случайностей  процессов  в  ПРИРОДЕ  для  образования  особого  АТi  требуется,  как  показано  на  рис.5,  многовариантное,  комбинированное  взаимодействие  предыдущих  АТ-образов  и  АТ-прообразов.  С  увеличением  индекса  i,  количество  вариантов,  т.е.  число  АТ,  участвующих  в  формировании  особого АТi – уменьшается. Переход системы из состояния особого ATn-1– образа  в  состояние,  прописанного  в  особом  ATn–прообразе  —  одновариантный,  происходит  в  режиме  с  обострением,  приводит  к  образованию  новой  структуры  или  хаоса.  Цикл  замыкается,  вновь  начинается  формирование  многовариантных  подэволюционных  путей  с  целью образования особого AT1–прообраза новой структуры.  С появлением homo sapiens условие многовариантности для эволюции  социально-экономических  отношений,  научно-культурных  свершений  не  является  обязательным.  Например,  Наполеон  в  социальной  сфере;  Д.  Максвелл  в  науке  –  переводили  систему  (соответственно  социальноэкономическую и научную) с одного квазиустойчивого состояния в другое  по  кратчайшей  траектории  в  фазовом  пространстве.  Пример  противоположной  направленности.  В.  Ленин  загнал  социальноэкономические  отношения  в  России  на  такую  тупиковую  траекторию  развития,  что  нашим  потомкам  долго  ещё  придётся  потрудиться,  «блуждая  в  многовариантности»,  чтобы  выйти  на  эволюционный  путь,  соответствующий экономически развитым странам.  Подпринцип гистерезиса. Он следует из принципа одновариантного –  многовариантного  путей  эволюции.  Функциональность,  жизнеспособность, эволюционность образовавшейся структуры определяется её  предысторией.  Для  того  чтобы  образовавшаяся  структура  функционировала  конструктивным  образом  и  далее  была  в  фарватере  49    эволюционного  процесса,  она  должна  последовательно  пройти  смежные  устойчивые  состояния.  В  фазовом  пространстве  такому  процессу  соответствует  существование  смежных  особых  АТ-образов.  Например:  АТj,  АТj+1,  АТj+2  …  АТm-1,  АТm.  В  случае  пропуска  в  процессе  развития  устойчивого(ых)  состояния(ий),  образовавшееся  подсистема,  как  минимум,  будет  нежизнеспособной;  в  худшем  случае,  ещё  больше  ухудшить  состояние  системы.  Например,  шоковая  терапия  Е.  Гайдара,  предполагавшая,  что  начнут  действовать  законы  рыночной  экономики.  С  таким  же  успехом  можно  было  ожидать,  что  в  эволюции  биологических  видов,  пропустив  промежуточные  видовую  цепочку  /смежные  особые  АТ/, из земноводных сразу произойдёт homo.  Принцип стохастической – детерминированной обусловленности эволюционного процесса. На  начальном  этапе  зарождающейся  структуры формирование особого АТ1 происходит за счёт стохастических  процессов  в  системе.  Случайный  перебор  событий  в  системе  происходит  до  тех  пор,  пока  не  образуется  комбинация,  способствующая  возникновению  особого  АТ1-прообраза.  /’Эволюция’  пролезла  в  первое  игольное  ушко/.  Случайность  выступает  как  необходимое  условие  /особенно,  на  начальном  этапе/  эволюционного  процесса.  При  «созревании»  особого  АТ1-прообраза,  в  реальном  пространстве  система  переходит  в  соответствующее  состояние.  Особый    АТ1-прообраз скачком  становится  особым  АТ1  -  образом.  В  фазовом  пространстве  начинается  формирование особого АТ2  - прообраза. В процесс формирования, в силу  наличия  АТ1  -  образа,    добавляется  детерминированная  компонента.  Поэтому  формирование  особого  АТ2-прообраза  и  переход  системы  в  соответствующее  состояние  происходит  за  меньший  период.  Обобщая,  можем  сказать,  в  формирование  каждого  последующего  особого  АТi  -  прообраза  всё  большую  роль  играет  детерминированная  компонента,  и  каждый  особый  АТi–образ  реализуется  за  меньший  период,  чем  предыдущий  особый  АТi-1–образ.  Уменьшение  интервала  времени  образования  последующих  особых  АТ-образов  хорошо  видно,  например,  при  сравнении  периодов  существования  общественно-экономических  формаций:  первобытной,  рабовладельческой,  феодальной,  капиталистической.  По  большому  счёту,  усиление  детерминированной  компоненты,  обусловлено сутью эволюционного процесса: любая  система, в конечном  счёте,  «обязана»  погибнуть.  А  это  «гарантировано»  только  тогда,  когда  вероятность  данного  события  будет  стремиться  к  единице.  Гибель  структуры,  т.е.  переход  с  предпоследнего  особого  АТn-1–образа  в  конечный  особый  АТn–прообраз,  по-существу,  является  детерминированным  процессом.  Образуется  хаос  или  новая  структура.  50    Вновь  происходит  перебор  вариантов,  инициированных  стохастическими  процессами,  пока  не  образуется  комбинация,  способствующая  формированию особого АТ1-прообраза новой структуры.  Из  принципа  случайно  –  детерминированного  обусловленности  эволюционного процесса следуют два подпринципа:  анизотропной реакции системы;  мутации.  Подпринцип анизотропной реакции системы.  Чем  ближе  система  в  своей  содержательной  части  к  состоянию,  прописанному  в  одном  из  особых  АТi-прообразов,  тем  сильней  притяжение  этого  АТi  и  тем  более  избирательна реакция системы на события в ней. Даже на слабые события,  способствующие  её  переходу  в  состояние,  прописанное  АТi–прообразом,  система  реагирует  с  повышенной  чувствительностью.  «Эффект  бабочки»  усиливается  при  in.  Это  связано  с  усилением  детерминированной  компоненты  в  эволюционном  процессе.  Когда  процессы  в  системе:  случайные  и/или  управленческие  от  homo  –  совпадают  с  направлением,  обусловленным  детерминированным  процессом,  то  система  резонирует  с  ними.  При  i=n-1  достаточно  незначительного  события  /”взмаха  крыла  бабочки-катастрофки”/  и  наступает  режим  с  обострением,  когерентность  II-рода: техногенная катастрофа /Чернобыль/ или происходит социальный  взрыв  /Падение  Берлинской  стены/.  И  наоборот,  система  становится  всё  менее  чувствительной  к  событиям  противоположной  –  по  отношению  к  вектору,  обусловленному  детерминированным  процессом  –  направленности.  Более  того,  система  инвертирует  события  противоположной  направленности  /хотели как лучше/  для  попадания  в  состояние, прописанное АТi–прообразом /получилось, как всегда/. Можно  сформулировать:  “Предстоящее  состояние  системы  определяет  характер  реакции системы на происходящие в ней процессы ” [4-8].  Подпринцип мутации.  Заданность  эволюционного  процесса,   отражённая  в  Принципах  эволюции,  присутствует  всегда,  В  силу  этого,  ‘эволюция  отберёт’  только  ту  комбинацию  случайных  событий,  которая  позволит системе перейти в первый или смежный особый АТi-прообраз.  С другой стороны, детерминированность процесса никогда не может  быть  абсолютной,  100%.  Даже  при  переходе  с    особого  АТn-1-образа  в  особый  АТn-прообраз,  остаётся  вероятность  случайных,  спонтанных  событий.  В  биологических  системах  последствия,  результат  действия  стохастических  событий  получил  название ‘Мутация’.  Обобщим  понятие  ‘Мутация’ на другие виды систем: экономическая, социальная.  Мутация — стохастические изменения свойств существующих объектов и/или стохастические появление новых объектов в системе .

В терминах АТ определение будет звучать: 

51    Мутация — стохастические изменения свойств АТ-образов и/или стохастические появление новых АТ-образов, минуя стадию создания АТпрообразов .

Механизм Мутации в эволюционном процессе необходим для: 

приспособления  существующих  объектов  к  изменившимся  условиям;  создания новых объектов зарождающейся структуры.  Для  приспособления  объектов  системы  к  изменяющимся  условиям  существует  два  механизма.  Первый  –  это  распределение  признаков  объектов  по  нормальному  закону.  Второй  –  это  механизм  мутации.  В  режиме  непрерывного  изменения  состояния  системы,  мутация  носит  малоактивный  характер.  В  моменты  дискретных  переходов  –  когерентности  I-рода  –  количество  мутаций  возрастает.  Среда:  биологическая,  социальная,  экономическая  –  является  фильтром,  чувствительно  реагируя  на  те  мутационные  объекты,  которые  позволяют  системе приспособиться к изменяющимся внешним воздействиям.   При  наступлении  режима  с  обострением  –  когерентности  II-рода  –   количество мутаций возрастает в порядки раз. Зарождающаяся  структура  из  множества  мутационных  объектов  –  в  силу    анизотропной  реакций  системы  –  сверхчувствительно  реагирует  на  те,  которые  позволяют  структуре начать новый цикл самоорганизации (рис.1).  Мутация по форме – «расточительный» механизм эволюции, образно  говоря:  «стрельба  на  авось»;  но  в  содержательной  части  мутация  –  «жизненно» необходимый механизм эволюционного процесса.  Принцип положительной – отрицательной обратной связи (ОС). В  живой  природе,  в  социально-экономических  отношениях  ОС  –  имеет  смысловое  воплощение.  Механизм  ОС  принципиально  важен  в  работе  любой  саморегулирующейся  системе.  Поэтому  смысл  и  роль  ОС  анализируются  как  в  ‘Кибернетике’,  так  и  в  ‘Системном  анализе’.  Мы  сделаем акцент на роль ОС в ЖЦС с позиций Синергетики.  С  позиции  Системного  анализа  взаимодействие  системы  с  подсистемой можно представить в виде структуры с ОС (рис.6). Процессы  в  системе  оказывают  существенное  влияние  на  процессы  в  подсистемах.  Процессы в подсистеме в меньшей степени влияют на функционирование  системы.  Степень  влияния  процессов  в  подсистеме  увеличивается  при  нестабильном  состоянии  системы.  Оперативность  взаимоотношения  системы  с  подсистемой  определяется  временем  отклика .  С  наших  позиций,    состоит  из  двух  компонент    =  1  +  2.  Компонента  1  определяется временем реакции Подсистемы; компонента 2 определяется  временем  реакции  Системы  (рис.6),  т.е.  временем  включения  объекта/субъекта  в  ЖЦС.  Например:  для  особи:  1  –  время  пребывания  в  52    утробе, 2 – время полового созревания; для капиталовложений: 1 – время  реорганизации фирмы, 2 – время, за которое проведённая реорганизация  скажется  в  увеличении  прибыли;  для  молодого  специалиста:  1-  время  обучения в ВУЗе, 2 – время становления его, как специалиста.    Рис.6. Схема с ОС, детализированная по    1 – время реакции Подсистемы; 2 – время реакции Системы  В  ЖЦС  (рис.1)  ОС  выступает  в  роли  механизма  самоорганизации,  самостабилизации  и  самодезорганизации  системы.  Самоорганизация  и  самодезорганизация системы осуществляется за счёт  положительной ОС;  соответственно конструктивной ОС и деструктивной ОС.  При  положительной  конструктивной  ОС  система  «взрослеет»  вместе  с  подсистемами.  Система  и  подсистемы  позитивно,  в  фазе,  «подстёгивают»  друг  друга.  В  ЖЦС  на  рис.1  это  соответствует  фазе  самоорганизации. В момент возникновения структуры  =  и в процессе  её самоорганизации  уменьшается до мин . По мере включения ресурсов  подсистем, система подходит к своему оптимальному состоянию.  Динамическая  стабилизация  системы  в  оптимальном  состоянии  поддерживается  за  счёт  отрицательной  ОС.  На  рис.1  этому  процессу  соответствует  фаза  самостабилизации.  Если  одна  из  подсистем,  под  действием  внутренних  процессов  и/или  внешнего  воздействия,  в  момент  времени  ti  отклонится  от  стационарного  состояния,  то  система  с  подсистемами «помогают заблудшей подсистемке» вернуться в status-quo.  В фазе самостабилизации  значения  варьируется в пределах мин.  Наступает  момент,  когда  происходит  смена  с  отрицательной  ОС  на  положительную ОС. Но в отличии от конструктивной положительной ОС  в  фазе  самоорганизации,  положительная  ОС  является  деструктивной.  Система  «стареет»  вместе  с  подсистемами  и  функционирует  всё  менее  эффективно;  т.е.  система  и  подсистемы  негативно  «подстёгивают»  друг  друга. В ЖЦС на рис.1 это соответствует фазе дезорганизации. В процессе  дезорганизации      увеличивается  от  мин.  до    = .  Наступает  режим  с  обострением.  Система  гибнет.  Образуется  хаос  или  новая  структура.  Вновь начинает действовать положительная конструктивная ОС,  53    Примечание: Эволюция ПРИРОДЫ – беспристрастна! Использование  пар антонимов, вида ‘конструктивный-деконструктивный’ и т.п., отражает  эмоциональную оценку человека.  Принцип непрерывного – дискретного изменения состояния системы.  Этому  принципу  соответствует  закон  диалектики:  «Закон  перехода  количества  в  качество».  В  процессе  ЖЦС  в  ней  сочетаются  непрерывное  и  дискретное  изменение  её  состояния  (рис.1).  В  начале  развития  системы  (0  t  t1)  –  пока  происходит  формирование  АТпрообразов  и  появление  АТ-образов  –  процессы  в  ней  развиваются  непрерывно.  В  момент  времени  t    t1  одна  или  несколько  подструктур  системы  переходят  в  состояние  особых  АТ.  Наступает  режим  когерентности I-рода. система дискретно, т.е. за время ttкр, переходит  из одного состояние в другое.  В  новом  состоянии    (t1tt2)  системы  создаются  условия  для  формирования  особых  АТ-прообразов  следующих  фрактальных  подструктур.  В  момент  времени  t    t2  следующая  группа  подструктур  системы  переходят  в  состояния  особых  АТ.  Опять  наступает  режим  когерентности  I-рода.  Система  дискретно  переходит  в  следующее  состояние. Так как количество подструктур в Системе – конечно, то после  дискретного изменения состояния в момент времени t  ti-1 (рис.1) система  переходит  в  стабильное  состояние.  Стабильность  носит  динамический  характер и поддерживается – некоторое время – за счёт отрицательных ОС  системы и подструктур.  После  фазы  самостабилизации  в  ЖЦС  начинается  фаза  самодезорганизации  (рис.1).  Порядок  дезорганизации  подструктур  описывается  правилом  LIFO  –  Last  Input  First  Output.  Последняя  при  tti-1,  группа  подструктур,  обеспечивавшая  «выход»  системы  в  фазу  самоорганизации,  первой при tti+1,  выходя из оптимального состояния, запускает самодезорганизацию  системы.    В  последующие  моменты  времени  t    ti+1,  tti+2, ..  ttn-1,  система  –  при  сохранении  сущности  –  дискретно  меняет  своё  состояние  (рис.1).  В  момент  времени  t  =  tn  =  tкр  –  наступает  режим  с  обострением, система прекращает своё существование.  Условия, которым должна удовлетворять модель эволюционного процесса.  Необходимость  учитывать  в  эволюционном  процессе  взаимовлияние  настоящего  и  будущего  требует  создание  нового  математического  /или  на  другом  языке  описаний/  аппарата.  Математические  модели,  применяемые  в  синергетике,  базируются  на  использовании систем дифференциальных уравнений и/или рекуррентных  соотношениях [10]. Общим для обоих подходов является то, что решения,  описывающие  динамику  системы  во  времени,  определяются  начальными  условиями. В результате решения таких систем уравнений выходят или на  54    бесконечность,  или  на  стационарное  решение.  Но  эволюция  ПРИРОДЫ  заключается в непрерывной смене одних устойчивых состояний другими.  Получается,  что  с  помощью  применяемого  математического  аппарата  невозможно промоделировать процесс эволюции.  В  умах  как  «чистых»  математиков,  так  и  «прикладников»  исследователей  въелось  аксиома,  что  динамика  системы  определяется  начальными  условиями.  В  своё  время,  такой  же  «очевидной»  аксиомой  являлось  утверждение:  «параллельные  прямые  не  пересекаются».  В  процессе  развития  естествознания  выяснилось,  что  евклидового  пространство  является    частным  случаем  пространств  Лобачевского  и  Римана.  В  них    бесспорная  для  своего  времени  аксиома  о  «непересекающихся  параллельных  прямых»  является  неправомерной.  Точно  так  же  зависимость  динамики  системы  только  от  начальных  условий  является  первым  этапом  познания  и  описания  процессов  в  окружающем  мире.  Как  было  показано  выше,  чем  ближе  система  к  возможному  устойчивому  состоянию,  тем  сильней  оно  /предстоящее  состояние/  влияет  на  характер  процессов  в  системе.  На  основании  развиваемого  подхода,  сформулируем  условия,  которым  должны  будут  удовлетворять  –  математические  и/или  на  других  языках  описаний  –  модель эволюционного процесса::  учитывать  влияние  будущих  потенциальных  состояний  системы  на  характер процессов в настоящем;  учитывать  анизотропный  характер  реакции  системы  к  вероятностным  событиям  и/или  управленческим  решениям  при  приближении к потенциальному(ым) состоянию(ям).  учитывать непрерывное и дискретное изменение будущих потенциальных состояний системы в зависимости от процессов в настоящем.  Представленный  понятийный  аппарат  применим  для  интерпретации  механизма ‘Интуиции’  и трактовки категории ‘Время’.    Интуиция и научное познание. Интуиция  –  понятие  неоднозначное.  Например,  под  ‘логичной  интуицией’,  понимают  способность  человека  –  типа  Шерлока  Холмса  –  выделить  из  информационного  потока  необходимые  данные  и  даже  при  их  малом  количестве,  прийти  к  правильному  выводу.  В  данной  работе  речь  идёт  о  ‘«вне  логичной»  интуиции’:  “Интуиция  –  уникальная  способность  homo  sapiens,  вне  логических  построений  совершить  прорыв  в  Незнаемое”.  Такой интуиции соответствует понятие озарение, insight.  Мышление  –  продукт  ПРИРОДЫ.  Поэтому,  если  даже  его  механизм  остаётся  terra  incognita,  процесс  мышления  можно  анализировать  с  позиций  синергетики.  Так  многие  физические  задачи  можно  решить  с  55    позиций  законов  сохранения,  не  вдаваясь  в  пошаговый  анализ  взаимодействия сил внутри системы.  Описанные  выше:  АТ-прообраз  и  особый  АТ-прообраз;  постулат  «независимости  алгоритма  взаимодействия  аттракторов  от  системы,  которую  они  представляют»;  подпринципы  обобщённой  мутации  и  анизотропной  реакции  системы  —  позволяют  под  новым  ракурсом  взглянуть на механизм ‘интуиции’ [6-8].  Не  homo  sapiens  совершает  открытие,  а  созревающее,  созревшее,  перезревшее    Открытие,  т.е.  формирующийся,  сформировавшийся,  «тоскующий»  в  сформированном  состоянии  особый  АТ-прообраз,  как  невеста  на  выданье,  ждёт  того  несчастного/счастливого  homo  sapiens,  который  своей интуицией  «узреет»  его.  Точнее  эти  два условия:  наличие  АТ-прообраза,  соответствующего  потенциальному  Открытию;  существование Homo sapiens, нацеленного на осуществление Открытия –  являются комплементарными, т.е. взаимодополняемыми.  Мыслительный  процесс  homo  обусловлен  работой  нейронных  структур  (НС)  головного  мозга.  Вероятность  интуитивного  озарения  определяется  соотношением  между  степенью  «зрелости»  особого  АТпрообраза и  спецификой  НС  homo  sapiens. Чем  менее  «зрелым»  является  формирующейся  АТ-прообраз,  тем  более  чувствительной,  должна  быть  НС  homo  sapiens.  Чувствительность  любой  системы  к  внешнему  воздействию  напрямую  зависит  от  степени  её  нестабильности.  Можно  предположить, что к генетической нестабильности НС у гениев/ талантов,  добавляется  повышенный  мутационный  фон,  усиливающийся  в  моменты  когерентных  процессов  I-рода.  Одним  из  последствий  мутаций  НС  является  возникновение  в  процессе  мышления  спонтанных  образов  в  голове  homo  sapiens.  Один  из  спонтанных  образов  может  оказаться  соответствующим  Открытию.  В  виду  нацеленности  конкретного  Homo  sapiens на совершения Открытия, в силу «анизотропной реакции системы»  у Homo sapiens происходит озарение, то, что мы называем ‘интуицией’. 

Итак, если: 

формируется АТ-прообраз конкретного Открытия;  существует homo sapiens, думающий над Открытием;  вследствие мутаций НС, в голове человека, спонтанно возник Образ,  соответствующий Открытию,  то  в  силу  анизотропной  реакции  системы,  мышление  гения/таланта  чутко  отреагирует  именно  на  этот  Образ.  Homo  sapiens  пронзает  интуитивное  озарение,  insight.  “Знание  в  себе”  становится  “Знанием  для  учёного, а затем – человечества”.  Homo  sapiens,  совершившего  интуитивный  прорыв  в  Незнаемое,  можно отнести к одному из перекрывающихся множеств: гений/талант. В  56    качестве нечёткого критерия классификации выберем период времени, на  которое  совершённое  Открытие  обгоняет  понимание  специалистами  его  /Открытия/ масштаба. За лаг времени примем Т25 лет, соответствующий  периоду смены поколений.  Открытие,  совершённое  Гением,  находит  признание  у  специалистов  через  несколько  поколений.  Как  правило,  гении  –  люди  с  повышенной  лабильностью  психики.  Гениальность  –  тяжкий  дар,  он  же  крест,  для  её  носителя.  История  познания  являет  нам  примеры  поразительных  открытий,  преемственных  и  в  то  же  время,  задавших  потомкам  качественно  новый  уровень  научно-технического  свершений.  Великий  Д.  Максвелл  в  работах,  опубликованных  с  1855г.  по  1869г.  теоретически  обосновал  существование  электромагнитного  поля  и  записал  уравнения,  описывающие  процессы  в  этом  поле.  Существование  материи  в  форме  поля было фундаментом его теории и прорывом в естествознании. Только  потомки  оценили  масштаб  гениальности  Д.  Максвелла.  М.  Планк  писал:  «В учении об электричестве его Гений предстаёт перед нами в своём полном величии. Ему удалось выманить у природы в результате одного лишь чистого мышления такие тайны, которые лишь спустя целое поколение и лишь частично удалось показать в остроумных и трудоёмких опытах».  Если  гений  не  проявил  себя,  то  процесс  формирования  особого  АТпрообраза  продолжается,  что  сказывается  в  увеличении  силы  его  «притяжения». И для интуитивного озарения от таланта уже не требуется  повышенной  неустойчивости  и  избыточного  количества  мутаций  НС.  Открытие,  совершённое  талантом,  находит  признание  у  современников.  Судьба  таланта  складывается,  по  крайне  мере  внешне,  счастливо.  В  качестве примера можно привести судьбу мудрого А. Эйнштейна.  Талантливый  Г.  Мендель  вдали  от  мирской  суеты,  в  результате  многолетней,  скрупулёзной  работы  сформулировал  и  опубликовал  в  1865г.  законы  генетики.  Из-за  скудности  и  разобщённости  информационных  процессов  тех  времён,  его  работа  пылилась  в  безызвестности 35 лет. Уже сформировались АТ-прообразы последующих  открытий,  которые  прозябали  «знанием  в  себе»,  ожидая,  когда  законы  генетики,  станут  известными  не  только  Менделю,  но  и  научной  общественности.  Если  бы  аттракторы  были  живыми  существами,  представляю,  сколько  неласковых  слов  они  высказали  бы  в  адрес  homo,  мнящего  себя  sapiens.  Эмоциональные  посылы  от  аттракторов  активизировали  процесс  познания  и  в  течение  года  в  четырёх  разных  странах,  независимо  друг  от  друга,  учёные  заново  открыли  законы  Менделя.  57    Модель  АТ-прообразов  позволяет  объяснять  преемственность  и  временню  неравномерность  процесса  познания.  Преемственность  следует  из  принципа  гистерезиса:  открытие  базируется  на  имеющемся  научно-техническом потенциале и, в свою очередь, служит ступенью для  последующих открытий. Времення неравномерность процесса познания,  является  следствием  дискретности  формирования  АТ-прообразов.  Интервал  времени  между  открытиями  определяется:  временем  формирования  соответствующего  АТ-прообраза;  существованием  homo  sapiens,  думающего  над  открытием;  уровнем  научно-технического  потенциала и востребованностью общества в развитии этого потенциала.  Время. Непостижимая,  загадочная  категория.  Разнообразные  трактовки  этой  категории:  в  мифах,  в  художественных  произведениях,  в  научных работах – представлены в [11].  С нашей точки зрения: Время – это имманентное свойство системы, выступающее алгоритмом её жизненного цикла .

Имманентное  свойство,  потому  что  время  рождается  и  погибает  со  своей  системой.  Система  рождается  с  предельным  значением  времени  жизненного  цикла,  обозначим  его  –  tкр  пред.  Реально  ЖЦС  (рис.1)  может  завершиться  раньше  при  t  =  tкр    tкр  пред.  Во-первых,  при  изменении  состояния системы:  I. величина  tкр  может  уменьшиться  в  силу  случайных  –  внешних  по  отношению к данной системе – событий;  II. в живой природе вариация tкр обусловлена случайными событиями в  самой системе;  III. с  появлением  homo  на  изменения  tкр  существенно  влияют  управленческие  решения.  Грамотные  решения  не  уменьшают  или  увеличивают tкр. Неграмотные решения уменьшают значение tкр вплоть до  текущего  момента  времени,  что  завершается  катастрофой;  например,  взрыв на Чернобыльской АЭС.  Во-вторых,  величина  tкр  может  измениться  за  счёт  процессов  в  системе,  происходящих  в  дискретные  моменты  времени  ti  (рис.1).  Речь  идёт  о  моментах  времени  ti,  при  которых  происходят  когерентные  процессы I-рода /кризисы/.  

Обратной связью /бумерангом/, изменение величины tкр может: 

поменять количество и значения ti;  изменить чувствительность системы на кризисы, которые наступают  в моменты времени ti ЖЦС.  Ход  времени  определяет  характер  процессов  в  системе  и,  в  свою  очередь,  варьируется  этими  процессами.  Процессы  в  настоящем  влияют  на величину tкр, т.е. на состояние системы в будущем; изменение tкр может  изменить степень нелинейности и, соответственно, характер процессов  в  58    системе  в  настоящем.  Таким  образом,  время  не  является  жёстким  алгоритмом динамики системы. В зависимости от характеров процессов в  системе, степени воздействия надсистемы на систему, продолжительность 

ЖЦС может варьироваться. Из вышесказанного следует: 

собственное время системы tсоб по своей сущности – нелинейно;  в силу с принципа непрерывного – дискретного изменения состояния  ЖЦС, можно выделить две составляющие нелинейности времени, которые  определим, как непрерывная и дискретная;  непрерывная  и  дискретная  составляющие  влияют  друг  на  друга,  образуя, в общем случае,  сложную нелинейную функцию времени.  Собственное  время  системы  tсоб  существует  только  в  период  ЖЦС.  Вне  этого  периода  tсоб    0.  Наиболее  простой  нелинейной  функцией,  удовлетворяющей этим условиям, является квадратичная функция (2).   соб ( )= 1 (2) кр

За время t можно взять время внешней системы, которая: 

имеет  длительность  жизненного  цикла,  на  несколько  порядков  больше длительности жизненного цикла исследуемой системы;  находится в фазе самостабилизации.  В  этом  случае,  на  период  существования  анализируемой  системы,  внешнее время t можно считать линейным.  Перейдём в (2) к безразмерным величинам, поделив левую и правую  часть  на  tкр.  Реально  значение  tкр ,  т.е.  величина  нормировки,  в  процессе  ЖЦС может меняться. Но пока будем считать tкр = const.  соб ( ) = (1 ) ; где = ; = ; 0 1; (3)  кр кр Рассмотрим  восприятие  внешнего  линейного  времени  с  позиции  анализируемой системы. Для этого определим проекции равных отрезков  внешнего  времени    на  касательную  к  q(pi);  угол  между  которыми обозначим (pi). С учётом (3), имеем  = cos ( ) = = (4) 1 + (1 2 ) В  фазе  самоорганизации  (рис.1),  которой  соответствует  возрастание  времени  p  от  0  до  0,5,  величина  cos(p)  увеличивается  от  0,7  до  1,0;  т.е.  согласно  (4)  q    p.  Поэтому  в  юные  годы,  кажется,  что  с  каждым  последующим лагом – будто то неделя, месяц, год – времени всё больше.  В фазе самостабилизации – в нашей моделе, точке стабилизации – которой  соответствует значение p = 0,5, cos(0,5)=1; согласно (4) q = p. В фазе  самодезорганизации, которой соответствует возрастание времени p от 0,5  до  1,0;  величина  cos(p)  уменьшается  от  1,0  до  0,7.  Пожилые  люди  59    чувствуют,  что  с  каждыми  последующим  лагом,  они  объективно  имеют   всё меньше времени по сравнению с астрономическим временем.  Вид функции q(p) усложняется, если рассматривать в ЖЦС процессы,  влияющие  на  величину  tкр.  К  таким  процессам  можно  отнести  экономический кризис, техногенную катастрофу, уменьшающие значение  tкр. В случае профессиональных действий, величина tкр увеличивается, т.е.  опять меняется условие нормировки. Открытым остаётся вопрос о степени  нелинейности  хода  времени  в  дискретные  моменты,  соответствующие  когерентным  процессам  I-рода  в  системе.  Судя  по  воспоминаниям  лётчиков-испытателей,  побывавших  в  запредельной  критической  ситуации,  время  замедляется.  Лётчик  успевают  сделать  операции  для  своего  спасения  за  такой  малый  промежуток  времени  /зафиксировано  показаниями  самописцев/,  за  которое  это  невозможно  воспроизвести  в  «нормальных» условиях.  Категория  ‘Время’  одна  из  фундаментальных  категорий  ПРИРОДЫ.  Поэтому  автор  в  [5-7]  рассматривает  фрактальный  принцип  «дивергенции-конвергенции  Времени»,  как  механизм,  приведший  к  появлению Сознания, Мысли. Носителем Сознания на нашей планете был  выбран  homo.  На  другой  планете  это  м.б.  мыслящая  субстанция,  как  в  ‘Солярис’: в романе С. Лема и в фильме А. Тарковского.    СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ  Князева Е.Н., Курдюмов С.П.  Основания  синергетики.  1 .

Синергетическое мировидение. М., 2005.  Шварцман М.М. Принципы синергетики и их приложение к анализу  2 .

социально-экономических  отношений.  V  Курдюмовские  чтения  «Синергетика  в  естественных  науках»:  материалы  Международной  междисциплинарной НК (ММНК). Тверь: 2009. – Ч.1 С. 256-259  Шварцман М.М. Особенности  кризисов  –  синергетический  подход.  3 .

VI  Курдюмовские  чтения  «Синергетика  в  естественных  науках»: 

материалы ММНК. Тверь: 2010. С. 307-311  Шварцман М.М. Взаимовлияние  настоящего  и  будущего.  VII  4 .

Курдюмовские  чтения  «Синергетика  в  естественных  науках»:  материалы  ММНК. Тверь: 2011. С. 371-375  Шварцман М.М. Модель  механизма  эволюции  и  движущий  её  5 .

принцип.  VIII  Курдюмовские  чтения  «Синергетика  в  естественных  науках»: материалы ММНК, Тверь — 2012. С. 192-196.  Шварцман М.М. Предмет Синергетики.  IX  Курдюмовские  чтения  6 .

«Синергетика  в  общественных  и  естественных  науках»:  материалы  ММНК, Тверь — 2013. С. 141-145.  60    Шварцман М.М. Погружаясь  в  синергетику.  Сборник  научных  7 .

трудов. Выпуск 16. В 2 ч. Ч.2 – Новороссийск: Государственный морской  университет им. адмирала Ф.Ф.Ушакова, 2011. – С.97-103  Шварцман М.М.  В  пространстве  синергетики.  Известия  ВУЗов  8 .

Северо-Кавказкий регион, сер. Естественные науки. Специальный выпуск  «Теоретические  и  прикладные  проблемы  математики,  экономики,  образования», 2011.  С. 80-84.  Гумилёв Л.Н. Этногенез и биосфера Земли. М., 2008.  9 .

10. Малинецкий Г.Г. Математические основы синергетики. М., 2007 .

11. Князева Е.Н., Курдюмов С.П.. Синергетика: Нелинейность времени  и ландшафты коэволюции. М., 2007 .

 

О ПРОГНОЗИРОВАНИИ ФИНАНСОВЫХ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ

М.Е. Мазуров Московский Государственный Университет Экономики, Статистики Информатики Россия, Москва, Нежинская,7 E-mail: mazurov37@mail.ru Финансовые  временные  ряды  (ФВР)  являются  нестационарными  случайными  рядами.  Они  не  являются  шумами  типов:  белый,  розовый  и  др.  Финансовые      временные  ряды  не  являются  хаотическими  детерминированными.  Но  они    не  являются  и  чисто  хаотическими.  Их  можно  назвать  квазидетерминированными  хаотическими  рядами.  Они  могут    содержать  аттракторы  или  некоторые    самоподобные  структуры,  то есть иметь квазифрактальный характер. Существование аттракторов и  фрактальные  свойства  ФВР  отмечалось  в  литературе  [1].  Кроме  того  финансовые      временные  ряды  отдельных  агентов  (участников  рынка)  могут иметь индивидуальные различия.   Известно  большое количество методов прогнозирования временных  рядов.  Единой  классификации  методов  прогнозирования  не  существует,  можно  выделить  основные  методы  для  прогнозирования  финансовых  временных  рядов:  1)  Экспертные  методы  прогнозирования;  2)  Методы  логического  моделирования;  3)  Экономико-математические  методы;  4)  Статистические  методы;  5)  Экспериментальные  методы;  6)  Фактографические методы.   Экспертные  методы  прогнозирования.   Самый  распространенный  метод из группы экспертных методов – метод Дельфи.   Методы  логического  моделирования.   Они  основаны  на  поиске  и  выявлении закономерностей рынка в долгосрочной перспективе.  61    Экономико  –  математическое  моделирование.   Методы  из  этой  группы  базируются  на  создании  моделей  ФВР.  При  прогнозировании  ФВР    используют  методы:  статистические,  динамические,  линейные,  нелинейные,  оптимизационные.  Значимыми  являются    оптимизационные  модели,  они  представляют  собой  систему  уравнений,  куда  входят  различные ограничения, а также критерии оптимальности.   Прогнозирование  финансовых  временных  рядов  с  помощью  трендовых  моделей  основано  на  разложении  временного  ряда  на  3  компонента: тренд; волна; остаточная шумовая компонента.  Статистические  методы  прогнозирования  применительно  для  финансовых  временных  рядов  основаны  на  построении  различных  индексов,  расчете  дисперсии,  вариации,  ковариации,  интерполяции,  экстраполяции.  Фондовые  индексы  (такие  как  индекс  Доу-Джонса,  РТС)  являются самыми популярными обобщающими показателями динамики и  текущего состояния рынка.   Экспериментальные  методы  прогнозирования  заключаются в   имитации на ЭВМ различных состояний системы ФВР  Фактографический метод основан на анализе публикуемых сведений  об объекте в средствах массовой информации.   Нейросетевые  методы  для  прогнозирования  ФВР. Нейронные  сети  можно  отнести  к  методам  технического  анализа,  так  как  они  тоже  пытаются  выявить  закономерности  в  развитие  ряда,  обучаясь  на  его  исторических данных.  Необходимо, понимать, что успеха при прогнозировании ФВР может  добиться  участник  торгов,  который  лучше  подготовлен,  больше  знает  методов прогнозирования, умеет  успешно применять  их на практике.  Алгоритмическое прогнозирование финансовых временных рядов .

Алгоритмическое  прогнозирование  ФВР  является  техническим  методом  прогнозирования,  под  которым  понимаем  прогнозирование  по  реальному  финансовому      временному  ряду.  Алгоритмическое  прогнозирование  финансовых  временных  рядов  проходит    в  четыре  стадии: 1) запись -  физический или поведенческий образец запоминается  системой; 2)  выделение  -  уникальная информация выносится из образца  и  составляется  алгоритмический  образец;  3)    сравнение    -  сохраненный  образец  сравнивается  с  представленным;  4)  совпадение/несовпадение  -  система  решает,  совпадают  ли  алгоритмические  образцы,  и  выносит  решение  согласно  имеющемуся  алгоритму  идентификации.  Блок-схема  алгоритмической идентификации  и прогнозирования показана ниже.  62      Для  образования    классов  при    алгоритмическом  прогнозировании  ФВР  используется  следующая  методика.  Специфически  повторяющиеся  участки финансовых   временных рядов   будем называть паттернами или  векторами. Эти повторяющиеся участки являются участками самоподобия  и  траекториями,  порождающими  в  фазовом  пространстве  аттракторы   ФВР. Можно рассматривать финансовые   временные ряды как случайный  временной ряд и использовать для его анализа теорему Такенса [1].  Для  экспериментального  исследования  финансовых      временных  рядов  следует  первоначально  найти  тренд  ФВР  V (t )   и  далее  осциллятор  ФВР, равный  U (tk ) U (tk ) V (tk ),  где  tk k t ;  (k 1,..., n); t  - шаг ФВР по времени. Тренд ФВР может быть  рассчитан  по  любому  методу,  например  по  методу  сглаживания.  Далее  следует выбрать участок  (t0, t0 T )  ФВР и реализовать его движение по оси  времени.  Участок  ФВР,  содержащий m  точек  в  интервале    (t0, t0 T ) выбирается на конце финансового    временного ряда, то есть  находится в  интервале  (t0 T )    T =tn,  где  координата  tn -  максимальное  значение  времени.  Далее  разбиваем  данный  ФВР  на  участки  (n, nt T ).  Производим образование массивов точек финансового   временного ряда.  U k ( n t, n t T ) .  Таким  образом  создаются  алгоритмические  образы  отрезков финансового   временного ряда  U (n t, n t m) .  Сравниваем  попарно  полученные  образы  с  последним  отрезком  временного  ряда,  содержащим m  точек  в  интервале    (t0, t0 T ).  Для  сравнения используем функционал  m    (k 1,...m).  (U (k t ) U (k t l t )) k 1 Находим алгоритмический образ отрезка ФВР среди всех созданных,  близкий  участку  ФВР,  содержащему m  точек  в  интервале    (t0, t0 T )   на  конце  ФВР.  По  этому  известному  алгоритмическому  образу  находим  точки  ФВР,  следующие  за  этим  алгоритмическим  образом.  Эти  точки  63    будем  считать  прогнозными  для  точек  в  интервале    (t0, t0 T )   на  конце  финансового    временного ряда.  Дадим  геометрическую  иллюстрацию  образования  алгоритмических  образов,  используемых  для  сравнения  с  последним  отрезком  временного  ряда  и  прогнозирования.  Каждому  интервалу  (k t, k t T )   соответствует  свой отрезок ряда из всего финансового   временного ряда. Для большей  геометрической иллюстрации все эти  частичные временные ряды можно  расположить на оси времени с общим началом, как показано ниже.     Результаты  прогнозирования  ФВР  -    курса  доллара  в  январе-марте  2015 г. иллюстрируются  приведенным  ниже ФВР.    Был  проведен    вычислительный  эксперимент  по  построению  алгоритмических  образов,  используемых  для  сравнения  с  последним  отрезком  ФВР  и  прогнозирования.  Четыре  алгоритмических  образа,  построенные  по  предыдущему  ФВР  с  интервалом  в  три  единицы  по  времени, приведены ниже.  64        Предлагаемый алгоритмический метод прогнозирования ФВР прошел   предварительное испытание для прогнозирования курсов доллара и евро, а  также  курсов  акций  Газпрома  и  Норильского  никеля  и  показал  свою  эффективность.    СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 

1. Мазуров  М.  Е.  Идентификация  математических  моделей  нелинейных  динамических систем // М.: -  Ижевск. РХД. 2008. 284 с. 

2. Мазуров  М.Е.  О  прогнозировании  финансовых  временных  рядов  с  помощью  метода  самоорганизованной  критичности  //  «Экономика,  статистика и информатика».  Вестник УМО. №3. 2014 С. 153-157.   

САМОПОДОБИЕ МГНОВЕННОГО СЕРДЕЧНОГО РИТМА И ЕГО

СКАТТЕРОГРАММЫ ПО ДАННЫМ ХОЛТЕРОВСКОГО

МОНИТОРИРОВАНИЯ

Кудинов А.Н.1, Цветков В.П.1, Иванов А.П.2 Тверской государственный университет, 2 Тверской областной кардиологический диспансер, г. Тверь E-mail: tsvet@tversu.ru   На повестке дня сейчас остро стоит вопрос о необходимости создания  и  развития  новых  математических  методов  и  подходов  для  анализа  больших  массивов  данных,  полученных  в  результате  холтеровского  мониторирования.  Методом  электрофизиологической  инструментальной  диагностики,  позволяющим  получить  большой  массив  RR-интервалов  с  точностью    1  мс  является  холтеровское  мониторирование  (синоним  суточное  мониторирование  ЭКГ).  Предложен  американским  биофизиком  Норманом  Холтером.  Исследование  представляет  собой  непрерывную  регистрацию  электрокардиограммы  в  течение  24  часов  и  более  (48,  72  часа, и даже до 7 суток).  65    Электрокардиография  представляет  собой  метод  графической  регистрации  разности  потенциалов  электрического  поля  сердца,  которое  возникает  при  его  работе.  Регистрация  осуществляется  при  помощи  специального  аппарата,  который  называется  электрокардиографом,  а  получаемая кривая называется электрокардиограммой (ЭКГ) .

получаемая кривая называется электрокардиограммой (ЭКГ).  Особенности  функционирования  сердечно  -  сосудистой  системы  на  основе изучения  сердечного ритма  привлекают  внимание исследователей  чного ритма  уже  более  50  лет.  Характеристики  ритма  сердца  при  его  математической  обработке  оказались  весьма  значимы  в  диагностических  и  прогностических целях. Первые данные, полученные в институте медико  прогностических целях. Первые данные, полученные в институте медико -  биологических  проблем  Р.М.  Баевским  [1],  предложившим  проводить  роблем  кардиоинтервалографию  -  изучение  длительностей  последовательных  кардиоциклов  (RR-интервалов  на  ЭКГ),  позволили  дать  характерные  интервалов  варианты  нормы  и  патологии.  В  последующем  метод  исследования  сердечного  ритма  получил  свое  развитие  в  разработанной  методике  олучил  анализа  вариабельности  сердечного  ритма,  для  чего  чаще  применяются  временной  и  спектральный  математический  анализы  последовательных  RR-интервалов.Однако результаты всех этих методов оказываются подчас  интервалов.Однако результаты всех этих методов оказываются подчас  весьма  противоречивыми  и  их  прогностическое  значение  становится  отиворечивыми  сомнительным.  Нельзя  исключить,  что  ритм  сердечной  деятельности  несет  в  себе  целый  ряд  нераскрытых  механизмов,  что  может  быть  предпосылкой  к  его  дальнейшему  изучению  и  этот  аспект,  на  грани  многих наук, является достаточно актуальным .

, является достаточно актуальным.  Одним  из  методов  функциональной  диагностики  сердца  является  наблюдение  за  динамикой  RR интервалов.  Наглядно  RR RR-интервалов.  RR-интервалы  изображены на Рис.1. 

Рис.1. Зубцы и интервалы нормальной ЭКГ Рис.1. Зубцы и интервалы нормальной ЭКГ 

66    Пусть i - номер текущего RR-интервала i = 1, 2, …n. Число n является  числом сердечных сокращений за время наблюдения T. Значение МСР на  i-ом  интервале  согласно  [2]  равно  yi = 60/TRRi.  Пусть  пику  R-зубца  соответствует  момент  времени  ti.  Тогда  TRRi. = ti+1 - ti.  Промежутки  времени ti. приводятся в секундах, а мгновенный ритм  yi  в минутах 1. На  всем промежутке времени ti. t  ti+1. кривая сердечного ритма y(t) дается  формулой:    t ti y t = yi yi 1 yi   ti 1 ti   (1)  Из  опыта  кардиологов  известно,  что  для  функциональной  диагностики  сердечного  ритма  вполне  достаточно  наблюдение  его  в  течение 60-90 секунд. Примерно на трех таких временных интервалах мы  будем анализировать поведение МСР одного и того же пациента. Первый  интервал оказался длительностью 71 сек. График МСР на этом интервале  представлен на Рис.2.  y мин t сек   Рис.2. Пример кривой МСР y(t).  В  данном  докладе  мы  дадим  строгое  обоснование  фрактальности  (самоподобия) опытных кривых МСР. В нем будут приведены конкретные  временные интервалы Tk и вычислено значение фрактальной размерности  Dk на них. Если кривая строго фрактальна, то зависимость её длины Lk от  масштаба    имеет  строго  степенной  характер  Lk = L0 1-Dk.  В  дважды  логарифмических координатах эта зависимость строго линейна. Реальные  графики следуют ей только приближенно. Если уклонение опытных точек  от  средней  прямой  будет  не  более  10-15%,  то  обычно  такую  кривую  вполне  можно  считать  достаточно  близкой  к  фрактальной  (самоподобной).  67    Для  вычисления  фрактальной  размерности    на  каждом  из  выделенных  нами  промежутков  будем  использовать  методику,  основанную  на  зависимости  безразмерных  длин  L  мультифрактальных  кривых от безразмерного временного масштаба :  ( ) =  ,          (2)  где = ( = 1).  Для  этого  обезразмерим  и t разделив  их  на  мин и  сек  соответственно.  Нами  использовались  для  расчетов  пять  значений  =1,2,3,4,5  для  которых  вычислялись  L(1),  L(2), L(3), L(4), L(5)    с  помощью  программы  [2].  В  дважды  логарифмических  координатах  зависимость L() представлена на Рис.3.  lnL 3,5 3,4 3,3 3,2 3,1

–  –  –

Рис.3.    Из (2) следует, что для фрактальных кривых:  = (1 ) + ln          (9)  Степень уклонения точек на Рис.3 от прямой и будет характеризовать  близость МСР к фракталу. Для первого участка она составляет примерно  1%.   Аппроксимируем  полученное  множество  точек  Рис.3  отрезком  прямой.  Достоверность  данной  аппроксимации  характеризуется  величиной  R  =  0,9947.  Угловой  коэффициент  k этого  отрезка  позволяет  найти  = 1.   Одним  из  способов  анализа  вариабельности  сердечного  ритма  (ВСР)  является  оценка  показателей  скаттерограммы,  построенной  из  последовательности RR-интервалов [3,4].  Сущность  этого  метода  заключается  в  графическом  отображении  последовательных пар кардиоинтервалов (предыдущего и последующего)  в  двухмерной  координатной  плоскости.  График  и  область  точек,  68    полученных  таким  образом  называется  скаттерограммой.  С  помощью  данного метода можно анализировать большой объем данных.  В  отличие  от  [2]  мы  предлагаем  анализировать  ВСР  с  помощью  скаттерограммы  МСР.  Нами  в  работах  [3,4]  уже  исследовались  фрактальные свойства скаттерограмм МСР.  Проведем  анализ  результатов  мониторирования  ЭКГ  двух  пациентов  Тверского  областного  кардиологического  диспансера  с  ранее  установленным диагнозом ишемической болезни сердца. В первом случае  имелась  выраженная  желудочковая  экстрасистолия  (274  в  час  при  норме  менее  6  в  час)  и  2  эпизода  фибрилляции  предсердий.  При  этом  ишемия  миокарда  отсутствовала.  Анализ  ВСР  выявил  ее  сохранность  со  сбалансированным  соотношением  высоко-  и  низкочастотного  компонентов.  Напротив,  второй  случай  характеризовался  отсутствием  нарушений  сердечного  ритма,  но  здесь  имела  место  выраженная  ишемия  миокарда (64 мин за сутки наблюдения). Необходимо подчеркнуть, что ее  суточная  продолжительность  более  60  мин  считается  важным  неблагоприятным  прогностическим  маркером  развития  сердечно  -  сосудистых  событий,  в  том  числе  и  инфаркта  миокарда.  Полученные  результаты  первого  и  второго  пациентов  представлены  на  Рис.4  и  Рис.5,  соответственно.  На  осях  Рис.4  и  Рис.5  yi  и  yi+1 имеют  размерность  мин 1.  Количество элементов в исследуемых массивах порядка 65 тысяч.     Рис.4.  Скаттерограмма  МСР  1-го  пациента    Рис.5.    Скаттерограмма  МСР 2-го пациента  Возникает  вопрос  о  свойствах  скаттерограмм,  представленных  на  Рис.4 и Рис.5.  Отметим,  что  фракталы  находят  все  большее  и  большее  использование  при  обработке  и  анализе  медицинских  данных,  например,  рентгеновских  снимков  [5].  В  ней  показано,  как  на  примере  обработки  медицинских  рентгеновских  изображений  использованы  подходы  фрактальной фильтрации с целью увеличения контрасности изображений,  выделения характерных областей; представлены практические результаты  обработки конкретных медицинских рентгеновских изображений.  69    Одними  из  важнейших  свойств,  которым  могут  обладать  данные  множества  –  свойство  симметрии  и  самоподобия  или  же  фрактальности.  Самоподобие  –  это  свойства  масштабной  инвариантности  при  котором  части  данного  множества  подобны  целому.  Это  свойство  самоподобия  положено  в  основу  определения  фракталов  и  часто  используется  в  качестве  определяющих  их  свойства.  Основным  свойством  фрактального  множества  является  значение  его  фрактальной  размерности  D,  которое,  как  правило,  является  дробным  и  характеризует  степень  сложности  структуры  данного  множества.  Фрактал  можно  представить  как  объединение  некоторого  числа  N  непересекающихся  подмножеств,  полученных  масштабирования  оригинала  с  коэффициентом  r.  Тогда  фрактальная размерность его равна: D = lnN/ln(1/r).  Нами  проведены  вычисления  зависимости  lnN  от  ln   на  основе  комплекса  программ  [3]  для  обработки  массивов  данных  скаттерограмм  МСР,  приведенных на Рис.4 и Рис.5. Результаты представлены на Рис.6 и  Рис.7.      Рис.6.  Зависимость  lnN  от  ln  для  1-го  случая            Рис.7  Зависимость  lnN от ln для 2-го случая  В случае точного фрактала зависимость lnN от ln имеет вид прямой,  угловой  коэффициент  k которого  связан  с  фрактальной  размерностью  соотношением  =.  Из  Рис.6  и  Рис.7  видно,  что  зависимость  lnN  от  ln является  приближенно  линейной.  В  связи  с  этим  возникает  вопрос  о  точности  линейной  аппроксимации,  а,  следовательно,  насколько  близки  скаттерограммы к точным фрактальным множествам.   Вычисление  значения  R2  позволяет  оценить  достоверность  аппроксимации  множества  точек  Рис.6  и  Рис.7  прямой  линией.  Для  множества  точек  на  Рис.6  R2 = 0,9981  и  Рис.7  R2 = 0,9980.  Данные  значения  R2  характеризуют  очень  высокую  степень  самоподобия  скаттерограмм  МСР.  Данное  свойство  скаттерограм  позволяет  надеяться  на возможность использования в практической кардиологии.  Угловой  коэффициент  прямой  на  Рис.6. k  оказался  равным  -1,298.  Тогда  значение  фрактальной  размерности  множества  точек  70    скаттерограммы МСР на Рис.4   равно 1,298. Данный факт указывает на  достаточно высокую степень хаотичности точек этой скаттерограммы.  Угловой  коэффициент  прямой  на  Рис7. k  оказался  равным  -1,  094.  Тогда  значение  фрактальной  размерности  множества  точек  скаттерограммы  МСР  на  Рис.5    равно  1,094.  Это  указывает  на  более  низкую степень хаотичности точек данной скаттерограммы.  Используя  нормировочную  функцию  ( ),  получаем  значения  фрактальной  размерности  для  первой  и  второй  скаттерограмм  МСР,  соответственно,  = 1,326  и  = 1,113.  Предлагаемый  нами  метод  вычисления  фрактальной  размерности  скаттерограмм  МСР  с  использованием  нормировочной  функции,  полученной  с  помощью  фрактальных  решеток  с  переменной  размерностью,  позволяет  существенно  увеличить  точность  ее  измерения,  что  очень  важно  при  анализе  и  возможном  использовании  результатов  анализа в кардиологической практике.  В  настоящее  время  большое  значение  при  обследовании  больных  придается  поиску  ранних  признаков,  указывающих  на  риск  сердечно  -  сосудистых  катастроф.  Одним  из  методов  такого  прогнозирования  является  анализ  ВСР,  проводимый  в  том  числе  и  при  холтеровском  мониторировании  ЭКГ.  Показателем  неблагополучия  в  данном  случае  признается  снижение  общей  мощности  волн  спектра.  С  другой  стороны,  при  мониторировании  ЭКГ  регистрируются  как  аритмические,  так  и  ишемические  события,  которые  так  же  используются  в  риск  -  стратификации у кардиологических больных.  В  настоящем  исследовании  при  анализе  2  случаев  мы  не  видели  снижения  общей  мощности  волн  спектра.  Однако  в  1-м  наблюдении  имелась  выраженная  желудочковая  аритмия,  на  фоне  которой  возможно  развитие внезапной сердечной смерти. Напротив, 2-е наблюдение связано  с  существенным  атеросклерозом  сосудов  сердца  и  их  сужением,  что  в  итоге с большой долей вероятности может привести к развитию инфаркта  миокарда и так же способствовать риску сердечной смерти.  Вероятно,  различие  полученных  скатерограмм  отражает  различные  механизмы  патологического  процесса  в  сердце,  что  требует  дальнейшего  более детального изучения.  Показанное  нами  с  высокой  точностью  свойство  самоподобия  скаттерограммы  МСР  позволяет  рассматривать  её  как  фрактальное  множество  и,  соответственно,  применять  к  его  изучению  методы  фрактального  анализа.  Несмотря  на  то,  что  в  данной  работе  было  приведено  два  случая,  нами  вышеуказанное  свойство  подтверждено  на  исследовании нескольких десятках скаттерограмм. 

–  –  –

72    1.  Баевский  Р.М.    Прогнозирование  состояний  на  грани  нормы  и  патологии.  // М., Медицина 1979. 205 с.  2.  А.Н.Кудинов,  Д.Ю.Лебедев,  В.П.Цветков,  И.В.Цветков.   Математическая  модель  мультифрактальной  динамики  и  анализ  сердечных  ритмов.  //    Математическое  моделирование.  2014.  Т.  26.  №10.  С. 127-136.  3. Лебедев Д.Ю., Иванов А.П, Рыжиков В.Н., Цветков В.П.  Фрактальные  свойства  скаттерограммы  мгновенного  сердечного  ритма.  //  Тезисы  докладов  международной  молодежной  конференции  «Современные  проблемы прикладной математики и информатики». (Дубна, 25-29 августа  2014 г). – Дубна: ОИЯИ, 2014. С. 89-92.  4. Кудинов А.Н., Лебедев Д.Ю., Иванов А.П, Рыжиков В.Н., Цветков В.П,  Цветков  И.В.  Самоподобие  скаттерограммы  мгновенного  мердечного  ритма  //  Вестник  Тверского  Государственного  Университета.  Серия:  Прикладная математика, №3. 2014  5.  Герман  В.А.,  Потапов  А.А.  Обработка  медицинских  рентгеновских  изображений  фрактальными  методами  //  Нелинейный  мир.  2011.  №5.  С.  275 - 279   

СИНЕРГЕТИКА И ПРОБЛЕМЫ ОБРАЗОВАНИЯ

В.Г. Буданов  д.филос. н., ведущий научный сотрудник Сектора междисциплинарных проблем научно-технического развития в Институте философии РАН, г .

Москва  

ХАОС В НАРОЧАНСКИХ ОЗЁРАХ

А.Б. Медвинский1, Н.П. Радчикова2 Институт теоретической и экспериментальной биофизики РАН, Пущино, Россия Белорусский государственный педагогический университет им. М. Танка, Минск, Белоруссия E-mail: medvinsky@iteb.ru   Одним из главных направлений исследований, развиваемых в области  теоретической  экологии,  является  изучение  роли  нелинейности  в  процессах,  определяющих  те  или  иные  режимы  изменения  во  времени  численности  популяций.  Однако  эта  роль  до  сих  пор  остаётся  непрояснённой.  Причина  такого  состояния  дел  заключается  в  том,  что  –  существенно  нелинейная  –  хаотическая  динамика  чрезвычайно  редко  обнаруживает  себя  в  ходе  полевых  наблюдений.  Попытки  обнаружить  хаос  в  динамике  природных,  а  не  модельных,  популяций  привели  73    исследователей  к  выводу  о  том,  что  подавляющее  большинство  популяций  обитает  на  границе  между  хаотической  и  регулярной  динамикой, т.е. на краю хаоса (см., например, Turchin, 2003).   В данной работе мы демонстрируем, что хаос может рассматриваться  как  собственный  динамический  режим  функционирования  популяций;  хаотические  режимы  при  этом  могут  возникать  вдали  от  края  хаоса.  Действительно, проведенная нами математическая обработка результатов  полевых  наблюдений  над  нерегулярными  колебаниями  численности  фитопланктона  в  Нарочанских  озёрах  (Белоруссия)  позволила  выявить  хаос  с  горизонтом  предсказуемости,  равным  ~  2,5  месяцам  и  с  соответствующим доминантным показателем Ляпунова, примерно равным  0,4, т.е. лежащим вне той узкой полосы значений этого показателя: от -0,1  до +0,1, – которая характерна для функционирования популяций на краю  хаоса (Turchin, 2003).   Кроме  того,  результаты  проведенного  нами  анализа  данных  полевых  наблюдений  показывают,  что  численные  значения  энтропии  Реньи  второго  порядка,  которые  характерны  для  колебаний  численности  фитопланктона,  существенно  превышают  численные  значения  соответствующих  доминантных  показателей  Ляпунова.  Это  означает,  что  динамика  фитопланктона  в  Нарочанских  озёрах  характеризуется  по  меньшей  мере  двумя  степенями  свободы,  а,  следовательно,  для  описания  нерегулярных изменений численности фитопланктона требуется четырёх-  или  более  размерное  фазовое  пространство.  Таким  образом,  межвидовые  взаимодействия,  охватывающие,  по  крайней  мере,  четыре  трофических  уровня (например, фитопланктон – зоопланктон – мирная рыба – хищная  рыба),  могут  вносить  существенный  вклад  в  возникновение  хаотических  режимов вдали от границы хаоса.  Авторы  благодарны  сотрудникам  Белорусского  государственного  университета:  Б.В. Адамовичу,  Т.В. Жуковой,  Е.В. Лукьяновой,  Т.М. Михеевой,  –  предоставивших  результаты  своих  многолетних  наблюдений  над  колебаниями  численности  планктона  в  Нарочанских  озёрах.    СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ  Turchin  P.  (2003).  Complex  Population  Dynamics:  A  Theoretical/Empirical Synthesis. Princeton University, Princeton.              74   

НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ И ХАОС

  С.В. Сидоров   Московская государственная академия водного транспорта, Москва, Россия E-mail: sidorovsv@mail.ru В  работе  рассматривается  взаимосвязь  нелинейных  бегущих,  в  том  числе  уединенных  волн  в  диссипативных  системах  с  динамическим  хаосом.  Появление  хаотических  режимов  в  системах,  моделирующих  нелинейные  волны,  отмечалось  уже  неоднократно  (см.,  например,  [1]),  однако  из-за  отсутствия  понимания  механизма  образования  динамического  хаоса  в  нелинейных  системах  вопрос  о  взаимосвязи  этих  явлений долгое время оставался открытым.  Систематическое  изучение  математических  моделей,  имеющих  решения в форме бегущей волны в активных средах, началось с 30-х годов  прошлого столетия и связано с работами наших соотечественников [2, 3].  В  указанных  работах  впервые  были  получены  решения  уравнения  типа  реакция-диффузия с квадратичной в [2] и кубической в [3] нелинейностью  по  одной  переменной.  Возбудимая  динамика  таких  моделей  обусловлена  особым расположением изоклин системы дифференциальных уравнений в  фазовом  пространстве,  что  позволяет  получать  решения  в  виде  бегущих  волн переключения или в виде бегущих импульсов.  В  настоящее  время  в  качестве  базовой  математической  модели  возбудимой среды принята система уравнений в частных производных    + (, ), =        (1)  = (, ),   где D – коэффициент диффузии,    –  малый  параметр,  (, )  и  (, ) – нелинейные в общем случае полиномиальные функции среды.  Широко  распространенный  способ  исследования  системы  вида  (1)  состоит  в  переходе  от  уравнений  в  частных  производных  к  системе  обыкновенных  дифференциальных  уравнений  (ОДУ),  к  так  называемой  автомодельной задаче. В предположении, что решение системы (1) имеет  вид бегущей волны    (, )= ( ) (, ) = ( ),      (2)  можно перейти от двух переменных  x  и  t  к одной переменной  x = x 

–  ct.  В  этом  случае  уравнения  в  частных  производных  преобразуются  в  систему ОДУ относительно независимой переменной x  75      + (, ) = 0, + x x        (2) (, ) = 0 .

+ x При  этом  пространственно  однородные  состояния  системы  (1)  переходят  в  особые  точки  в  системе  (2),  уединенные  бегущие  волны  отображаются  в  гомоклинические  петли  сепаратрис  особых  точек,  а  решения  в  виде  бегущих  волн  –  в  периодические  решения  системы  (2).  Как  правило,  периодические  решения  в  нелинейной  диссипативной  системе  представлены  предельным  циклами,  с  которыми  неразрывно  связано образование хаотических аттракторов. Заметим, что в нелинейной  системе,  имеющей  размерность  фазового  пространства  более  трех,  могут  иметь  место  квазипериодические  решения,  представленные  инвариантными торами.  Согласно  установленному  единому  механизму  образования  динамического  хаоса  в  нелинейной  диссипативной  системе  [4]  началом  является  каскад  бифуркаций  удвоения  периода  предельных  циклов,  который  завершается  простейшим  сингулярным  (хаотическим)  аттрактором  –  аттрактором  Фейгенбаума.  Более  сложную  структуру  аттрактора  создает  субгармонический  каскад  бифуркаций  рождения  устойчивых  циклов,  кратность  периода  которых  определяется  порядком  Шарковского.  Дальнейшее  усложнение  хаотических  аттракторов  идет  через  гомоклинический  каскад  бифуркаций  рождения  устойчивых  предельных  циклов,  сходящихся  к  гомоклическому  контуру  –  петле  сепаратрисы особой точки.  Отметим,  что  в  динамических  нелинейных  системах,  решениями  которых  в  фазовом  пространстве  являются  двумерные  инвариантные  торы, сценарий перехода к хаосу может включать бифуркации этих торов,  представленных топологическим произведением двух предельных циклов.  В  этом  случае  механизм  образования  хаотических  аттракторов  осуществляется  через  те  же,  указанные  выше  каскады  бифуркаций,  связанные,  по  крайней  мере,  с  одним  из  предельных  циклов,  входящих  топологическое произведение тора [5].  При  переходе  к  переменной  x в  системе  (2)  появляется  дополнительный,  неизвестный  заранее  параметр    c  –  скорость  волны.  Решение  в  виде  уединенной  волны  может  иметь  место  только  при  выполнении в системе (2) следующих условий:        и        при  x   , где (,  )  однородное стационарное состояние системы (2).  Наличие  такого  решения  означает  существование  петли  сепаратрисы  особой  точки  (,  ),  что  возможно  лишь  при  определенном  значении  параметра  c  =  c0  в  системе  (2),  т.е.  скорость  уединенного  импульса  76    находится  из  решения  нелинейной  задачи  на  собственное  значение.  Решение подобной задачи было получено нами в [6].  Заметим,  что  бифуркационным  параметром  в  системе  (2)  может  служить величина скорости  c  распространения бегущей волны. Поэтому  различным  значениям  этого  параметра  соответствуют  различные  периодические  решения  системы  (2)  и,  естественно,  разный  вид  бегущей  волны.  В  частности,  при  определенных  значениях  скорости  c  =  c*  этих  волн  решениям  системы  (2)  отвечают  хаотические  аттракторы  –  такие  состояния  системы  (2),  при  которых  в  узкой  области  фазового  пространства  сосредоточено  бесконечно  большое  число  предельных  циклов  различного  периода.  В  этом  случае  под  влиянием  флуктуаций  траектория  системы  (2)  перескакивает  с  одного  цикла  на  другой,  не  выходя  за  пределы  аттрактора.  В  результате  при  значениях  скорости  c  равных  или  близких  c*  форма  бегущей  волны  не  остается  постоянной,  а  флуктуирует  случайным  образом,  оставаясь  близкой  к  форме  волны,  соответствующей исходному предельному циклу.  Несколько  более  сложным  выглядит  механизм  образования  бегущих  волн  в  осциллирующей  среде,  представленной  либо  сетью  связанных  между собой колебательных элементов, либо распределенной средой, где  отдельные  физически  малые  элементы  обладают  автоколебательными  свойствами. Очевидно, что в таких средах при x    решение (,  ) не  является однородным стационарным состоянием.  Весьма  распространенной  моделью  при  описании  осциллирующей  активной  среды  является  нестационарное  обобщенное  уравнение  Гинзбурга-Ландау  [7],  которое  в  одномерном  случае,  соответствующем  плоской волне, имеет вид    (, )= (, )+ (, )| (, )|,    (3)    где  (, ) = (, ) + (, ) – комплекснозначная функция, a = a1 +  ia2,  d =  d1  +  id2,  b =  b1  +  ib2  -  комплексные  коэффициенты.  В  частности,  обобщением  уравнения  (3)  с  учетом  переноса  является  модель  открытых  течений в каналах [8].  При  использовании  автоволнового  приближения  уравнения  вида  (3)  сводятся  к  системе  четырех  ОДУ  первого  порядка.  Нами  показано,  что  в  этом  случае  предельный  цикл  в  системе  ОДУ  отвечает  однородному  по  пространству  и  периодическому  по  времени  решению  уравнения  (3)  и  характеризует  автоколебательные  свойства  осциллирующей  среды.  Появлению бегущих волн соответствует решение, которое появляется при  потере  устойчивости  этого  предельного  цикла  и  рождению  двумерного  инвариантного  тора,  представленного  топологическим  произведением  77    исходного  (внутреннего)  цикла  и  вторичного  (внешнего)  цикла,  образовавшегося  в  результате  бифуркации  Андронова.  При  дальнейшем  изменении  бифуркационного  параметра,  например,  скорости    c   бегущей  волны,  имеют  место  указанные  выше  каскады  бифуркаций  вторичного  цикла.  Эти  бифуркации  последовательно  приводят  сначала  к  появлению  хаотического  аттрактора  Фейгенбаума  на  двумерном  инвариантном  торе,  затем  к  субгармоническому  хаотическому  аттрактору  и,  наконец,  к  гомоклиническому  каскаду  бифуркаций  рождения  циклов,  сходящихся  к  петле  сепаратрисы  на  исходном  внутреннем  цикле  тора.  Последнее  решение  отвечает  уединенной  волне  в  осциллирующей  среде.  А  все  бесконечное  множество  решений  в  виде  инвариантных  торов,  представленных топологическим произведением исходного (внутреннего)  предельного  цикла  на  внешние  (вторичные)  циклы  различного  периода  с  кратностью согласно порядку Шарковского, дает бесконечное множество  решений в виде бегущих волн в осциллирующей среде.  Таким  образом,  динамический  хаос  в  нелинейных  системах,  моделирующих  бегущие  волны  в  активной  среде,  является  не  каким-то  исключительным,  уникальным  событием,  а  скорее  типичным  явлением,  отражающим  синергетику  образования  бегущих  волн  в  нелинейной  активной среде.    СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 

1. Инфельлд Э., Роуландс Дж. Нелинейные волны, солитоны и хаос. –  пер. с англ. Под ред. Е.А, Кузнецова – 2-е изд. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. 

– 400 с. 

2. Колмогоров  А.Н.,  Петровский  И.Г.,  Пискунов  Н.С.  Исследование  уравнения диффузии, соединенной с возрастанием количества вещества, и  его  применение  к  одной  биологической  проблеме  //  Бюл.  МГУ.  Сек.  А.  1937. Т. 1. Вып. 6. С. 1-26. 

3. Зельдович  Я.Б.,  Франк-Каменецкий  Д.А.  Теория  теплового  распространения  пламени  //  Ж.  физ.  химии.  1938.  Т.  12.  Вып.  1.  С.  100Magnitskii  N.  A.,  Sidorov  S.V.  New  Methods  for  Chaotic  Dynamics.  –  Singapore: World Scientific, 2006, 363 p. 

5. Сидоров  С.В.  О  механизме  перехода  к  диффузионному  хаосу.  //  Первая  международная  конференция  "Системный  анализ  и  информационные  технологии"  САИТ-2005  (12-16  сентября  2005  г., 

Переславль-Залесский,  Россия):  Труды  конференции.  В  2  т.  Т.  1.  –  М.: 

КомКнига, 2005. С. 124 - 129. 

6. Магницкий  Н.А.,  Сидоров  С.В.  О  нахождении  гомоклинических  и  гетероклинических  контуров  особых  точек  нелинейных  систем  78    обыкновенных  дифференциальных  уравнений.  //  Дифференциальные  уравнения, 2003, т. 39, № 11, с. 1511-1520. 

7. Скотт  Э.  Нелинейная  наука:  рождение  и  развитие  когерентных  структур. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007. – 560 с. 

8. Deissler R.J. Turbulent bursts, spots and slugs in a generalized GinzburgLandau equation. // Phys. Lett. A. – 1987. – V.120, \No 7. – P. 334-340.   

ЕВРАЗИЙСКОЕ ЭКОНОМИЧЕСКОЕ СООБЩЕСТВО КАК

СОВОКУПНОСТЬ СЛОЖНЫХ СУБЪЕКТ-ОБЪЕКТНЫХ СИСТЕМ

(К ПРОБЛЕМЕ ИЗМЕРЕНИЯ И УПРАВЛЕНИЯ СЛОЖНОСТЬЮ)

В.Э. Войцехович Тверской государственный университет, Тверь, Россия E-mail: p000327@tversu.ru

Работа подготовлена при поддержке РГНФ. Проект № 14-23-01013 .

«Философско-методологические основания и специфика социогуманитарного проектирования инновационных инфраструктур на Евразийском пространстве» .

Аннотация Существуют различные уровни сложности субъект-объектных систем. Уровни сложности определяются уровнем «разума» системы, что математически можно выразить как мощность множества .

Каждый уровень сложности требует специфических методов управления .

Евразийское  экономическое  сообщество  (ЕАЭС)  –  сверхсложная  система,  совокупность  сложных  система,  включающая  в  себя  множество  субъектов  (и  их  групп),  объектов,  подсистем,  элементов,  сетей,  сред,  действующих и функционирующих на определённом фоне.   Возможно  ли  эффективное  управление  столь  сложной  системой?  Всегда  ли  классическая  схема  управления  S    O  даст  необходимый  результат?  Могут  ли  проявиться  значимые  отрицательные  последствия  при  управлении  по  классической  схеме?  Возможна  ли  классификация  систем по уровню сложности? Какие методы необходимы для управления  (ведения) сложными системами?   Эти  и  подобные  вопросы  возникают  при  создании  всё  более  крупномасштабных,  «больших»  систем,  характерных  для  современной  эпохи  -  эпохи  формирования  планетарных  объединений  в  политике,  экономике, экологии, технике, технологии, науке, идеологии.   Для ответов на поставленные вопросы необходимо дать определения  1)  системы,  сети,  среды,  фона,  2)  простой  и  сложной  систем,  границы  понимания системы, 3) ввести уровни сложности систем и т.п.   79    Определения.  Система  –  единство  элементов  и  их  отношений  (структуры). Сеть – совокупность линий связи между элементами, линий,  расположенных в пространстве. Среда – континуум, область непрерывной  субстанции,  в  которую  погружены  система,  вещь,  предмет,  сеть.  Именно  среды  характерны  для  сложных  субъект-объектных  систем  [1].  Фон  –  область  сознания-бытия,  в  которой  находится,  рассматривается  предмет  исследования.    Простая и сложная системы. В современной культуре простая вещь 

– значит понятная человеку, обладающая малым количеством элементов с  устойчивыми  связями,  легко  управляемая  вещь.  Сложное  ассоциируется  со    «сложенное»,  «со-ложное»,  лежащее  (на  поверхности,  потому  кажущееся,  обманное,  ложное),  непонятое  (недоступное  для  понимания  данного  субъекта).  Поэтому  сложная  вещь  –  значит  непонятная  вещь,  обладающая  большим  количеством  элементов  с  быстро  меняющимися  связями, управляемая с трудом вещь [2].    Граница  между  простыми  и  сложными  системами  неопределённа,  поэтому  в  целях  более  точного  определения  границ,  введём  условные  определения. Под системой будем понимать кортеж (набор) {S, M, O}, где  S  –  субъект  управления,  М  –  методы  управления  (способы),  О  –  объект.  Назовём  простой системой  такую,  в  которой  1)  субъект  S  способен  построить изоморфную модель объекта O в собственном внутреннем мире  (сознании), а главное 2) методы воздействия S на О достигают цели в 50%  (и  более)  случаев  (цель  достигается  с  вероятностью    и  более).  Соответственно  сложной системой  назовём  такую,  в  которой  1)  сложность  S  недостаточна  для  построения  изоморфной  модели  О  (возникает  не  более  чем  гомоморфная  модель),  а  главное  2)  цель  управления достигается с вероятностью менее  [3].   Граница  между  простой  и  сложной  системами  необходима  для  введения  отличия  между  эффективным  и  неэффективным  управлением.  Управление  –  целенаправленная  деятельность,  корректирующая  поведение  управляемого  объекта  посредством  системы  обратных  связей.  Эффективность  управления  определяется  качеством  этих  связей.  В  чём  проблема  познания  и  управления  сложной  системой?  Она  состоит  в  том,  что  сложность  возникает  тогда,  когда  у  субъекта  недостаточны  способности  и  знания,  а  потому  он  не  способен  эффективно  управлять  объектом.  Если  же  субъект  S  в  процессе  познания  О  развился,  открыл  новые методы познания, тогда первоначально сложный О становится для  S простым. Сложное превращается в простое.  Пример  из  практики.  Проблемы  функционирования  и  управления  крупномасштабной  системой  (например,  отраслью  промышленности)  сводятся  тому,  чтобы  отрасль  выполняла  внешние  функции.  Внутренние  80    вопросы  отрасли  менее  важны.  Главное  -  выполнение  функций  отрасли  как  элемента  в  стабильном  государстве.  В  таких  условиях  внутренние  перестройки  допустимы  и  даже  желательны,  если  они  улучшают  функционирование отрасли, т.е. выполнение внешних функций [4].  Отсюда возникает возможность такого управления О, при котором О  внутренне  перестраивается  и  частично  изменяет  внутреннюю  структуру.  Перестройка  О  увеличивает  хаос  внутри  системы.  Этим  хаотическим  процессом  и  необходимо  управлять  (точнее  направлять,  вести).  Это  и  называют  «управлением  через  хаос»  [5].  Поэтому  процесс  управления  сложной  системой,  уровень  сложности  которой  сравним  со  сложностью  субъекта  управления,  -  это  процесс  ведения  систем  (куда  входит  и  «мягкое  управление»,  и  «управление  через  хаос»).  Субъект  время  от  времени  вводит  импульсы  информации,  которые  «подправляют»  функционирование  системы  и  возможные  отклонения  от  выполнения  необходимых функций.   Между простой и сложной системами находится целый класс систем  с промежуточной сложностью.  В  целом  же  сложность  систем  C  (от  complexity)  можно  классифицировать  по  критерию  мощности  («количеству»  состояний  системы в субъект-объектном пространстве).  Каковы  уровни  сложности  систем?  Самая  простая  -  это  конечная  система  без  субъекта.  За  нею  идут    системы  с  субъектом  (и  полисубъектные  системы).  Как  только  появляется  человек,  тотчас  в  системе возникает бесконечное «количество» состояний, когда, мощность  множества состояний превышает мощность натурального ряда.   Простой  автомат  (тривиальная  машина  без  субъекта)  работает  по  однозначной  схеме  F(xt  )  =  yt .    Он  существует  в  ограниченной  области  пространства-времени  R3T1.  Поскольку  воздействия  S  дискретны,  число  состояний и сложность (обозначим её С) конечны: C ~ n .  Следующие  уровни  сложности  определяются  наличием  субъектов  в  системе.  По  мере  усложнения  системы,  она  постепенно  превращается  в  сеть,  переходящую  в  среду.  Среда  в  данном  случае  есть  непрерывная  субстанция,  наполненная  вкраплениями  отдельных  субъектов.  Именно  они,  точнее  наиболее  развитые  из  субъектов,  входящих  в  объект  О,  и  задают меру сложности объекта в целом.   Какова  степень  сложности  субъекта?  Она  определяется  уровнем  «разумности»  субъекта  (человека  или  машины  с  искусственным  интеллектом  («разумом»),  подобным  интеллекту  человека).    Уровни  же  разумности  определяются  способностью  решать  задачи,  что  зависят  от  творческих  способностей  (интуиции)  и  интеллекта  (логики).  Метафорически: Разум = интуиция + логика.   81    Одним из надёжных способов измерения разума является способность  Одним из надёжных способов измерения разума является способность  понимания  мощности  того  или  иного  математического  объекта  как  множества:  натурального  ряда,  множества  непрерывных  функций,  множества  всех  возможных  функций  (непрерывных  и  дискретных  (разрывных)) и т.д.   Почему  мощность  множества  может  быть  критерием  измерения  сложности?  –  Потому  что  1)  большинство  людей  воспринимает  мир  как  набор  конечных  объектов  («растущее  конечное»,  или  потенциальная  бесконечность),  т.е.  их  актуальная  сложность  конечна  C ~  n  ;  2)  малая  C  часть людей способна понимать актуальную бесконечность (натуральный  часть людей способна понимать актуальную бесконечность (натуральный  ряд  как  целое),  т.е.  их  сложность  C  ~   (алеф-нуль,  или  алеф нуль,  алеф-0);  большинство  не  способно  к  этому  (уровень  разума  остаётся  на  уровне  конечного  n),  3)  совершенно  незначительная  часть  людей  способна  к  ),  интеллектуальному  пониманию  следующего  по  порядку  кардинального  числа, которое обозначается   , т.е. их сложность C ~   ,  ,  и т.д.  Таким  образом,  сложность  управляемой  системы,  включающей  человека или группы людей, сводится к уровню разума наиболее развитых  руппы людей, сводится к уровню разума наиболее развитых  из них, а последняя к мощности множеств, понимаемых человеком:  из них, а последняя к мощности множеств, понимаемых человеком: n,   ,    ….  СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 

1. Лепский  В.Е.  Философия  управления  и  развития  в  контексте  научной  рациональности  (субъектно ориентированный  подход)  //  (субъектно-ориентированный Философия управления : проблемы и стратегии. М., 2010. С. 134  Философия управления : проблемы и стратегии. М., 2010. С. 134 – 166. 

2. Войцехович В.Э. Проблема сложности в постнеклассической науке //  Теория  и  практика  общественного  развития  2012.  №  4  Философские  науки. С. 17-19. 

3. Войцехович  В.Э.  Принципы ведения  сложных  саморазвивающихся  Принципы  систем  на  основе  управляемого  хаоса //  «Управление  развитием  хаоса  крупномасштабных систем (MLSD’2014)»: Сборник научных трудов / под  общ.  ред.  С.Н.Васильева,  А.Д.Цвиркуна;  Ин т  проблем  управления  им.  Ин-т  В.А.Трапезникова Рос. акад .

В.А.Трапезникова Рос. акад. наук. – М.: ИПУ РАН, 2014. С С. 414-421. 

4. Реут  Д.В.  Крупномасштабные  системы:  методология,  управление,  контроллинг. М., 2013. -   182 с.  

5. Mann  S.R.  The  Reaction  to  Chaos  //  Complexity,  Global  Politics,  and  National  Security.  Edited  by  David  S.  Alberts  and  Thomas  J.  Czerwinski.  Thomas  National Defense University Washington, D.C. 1998. P National Defense University Washington, D.C. 1998. P. 62 – 68. 68.            82   

СЕКЦИЯ 1. СИНЕРГЕТИКА В МАТЕМАТИКЕ И

МАТЕМАТИЧЕСКОМ МОДЕЛИРОВАНИИ

 

О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ ДИНАМИКИ

РАЗВИВАЮЩИХСЯ СИСТЕМ

  Ю.М. Апонин, Е.А. Апонина Институт математических проблем биологии РАН, Пущино, Россия E-mail: yma@impb.psn.ru  

1. Введение.  Существеннейшим  свойством  окружающего  нас  мира  является  то,  что  он  «соткан»  из  относительно  обособленных  подсистем,  которые  с  течением  времени  изменяются  и  представляют  собой  динамические  системы.  В  последней  трети  20-го  века  в  истории  математического  моделирования  динамических  систем  произошли  значительные  перемены.  В  связи  с  интенсивным  развитием  вычислительной  техники  и  соответствующего  математического  обеспечения  оказалось  возможным  решение  трудных  задач  при  помощи  ЭВМ,  в  том  числе  и  задач  моделирования  широкого  класса  сложных  развивающихся систем [1]. Вместе с тем всё более очевидной становится  потребность в разработке сравнительно простых моделей развивающихся  систем  на  основе  теории  обыкновенных  дифференциальных  уравнений  (ОДУ).  Аналитический  аппарат  качественной  теории  ОДУ,  теории  устойчивости и бифуркаций позволяет строить базовые модели динамики  развивающихся  систем,  поддающиеся  глубокому  аналитическому  исследованию  с  последующим  применением  ЭВМ  для  контрольных  и  доказательных вычислений. 

2. Дифференциальные уравнения динамики развивающихся систем.  Отличительная  особенность  развивающейся  динамической  системы состоит в существовании структуры (иерархии) на совокупности  переменных,  определяющих  её  состояние.  В  простейшем  случае  эта  структура  сводится  к  разбиению  совокупности  переменных  на  две  группы:  переменные  структуры  (структурные  переменные)  и  макропеременные.  Структурные  переменные  x1,..., xn   характеризуют  структуру  системы,  состояние  её  развития  и  состояние  окружающей  её  среды.  Макропеременные  X1,..., X m   представляют  собой  интегральные  показатели  состояния  роста  системы.  Обычно  выполняется  неравенство  m n.      Далее мы рассмотрим обобщённую модель развивающейся системы с  единственной  макропеременной  X.  Система  ОДУ  модели  имеет  следующий вид  83    x F ( x, X )                        ( x, X ) U,   (1)                        X X W ( x, X ) x  где  –    вектор-столбец  структурных  переменных:  n x col ( x1,..., xn ) R,            U  открытое  множество  в   R n R,     U R n R.   (2)  Здесь R – множество вещественных чисел,  R { R 0}. Векторфункция                                     F ( x, X ) col ( F1 ( x, X ),..., Fn ( x, X ))   (3)                        и  скалярная  функция  W ( x, X ) предполагаются  непрерывными  в  открытом множестве U :                            F ( x, X ) C 0 (U, R n ), W ( x, X ) C 0 (U, R ).  (4)                Скалярную  функцию  W ( x, X ) будем  называть  удельной  скоростью  роста  системы  (точнее  макропеременной  X ).  В  динамической  теории  биологических  популяций  эту  функцию  называют  приспособленностью  популяции с общей численностью  X, см. [2].   3. Каноническая форма дифференциальных уравнений развивающихся систем.  Далее  нам  понадобится  отображение  в  себя  полупространства  R n R     пространства  R n R       : R n R R n R,  определённое формулой                          ( x, X ) ( A x / X, X )  при всех  ( x, X ) R n R  ,  (5)                        где  A – вещественная  ( n n) - матрица, причём                                               det A 0.  (6)                        Предложение. Отображение (5) представляет собой аналитический диффеоморфизм на себя полупространства  R n R.  Обратное отображение 1 : R n R R n R   устроено так                      1 (, X ) ( A1 X, X )  при всех (, X ) R n R.  (7)                        Кроме того, если выполнены условия (2) и                                                    V (U ),  (8)  то   U 1 (V ) и истинны следующие утверждения:              V открытое  множество  в R n R,       V R n R.   (9)  Введём  каноническую  форму  дифференциальных  уравнений  развивающихся систем (1):   f (, X ) (, X )             (, X ) V (U )   (10)  X X (, X ) .

Здесь   понимается как вектор-столбец:  col (1,..., n ) R n,               f (, X ) A F ( A1 X, X ) / X       при  всех (, X ) V,   (11)                                                              W 1 : V R.  (12)  84    Нетрудно  видеть,  что  система  (10)  получается  из  исходной  системы  (1) заменой переменной  x col ( x1,..., xn ) на переменную  col (1,..., n ) :                            ( x, X ) A x / X      при всех     ( x, X ) U.  (13) 

4. Дифференциальные уравнения динамической теории биологических популяций. Системы ОДУ вида (1) широко используются  при  математическом  моделировании  динамики  структуры  и  численности  биологических популяций [2].  Предполагается, что популяция состоит из  нескольких непересекающихся групп, каждая из которых включает в себя  особей,  одинаковых  с  точки  зрения  тех  признаков,  по  которым   производится разбиение на группы. При этом переменная  xa  системы  (1)  интерпретируется  как  численность  особей  в  группе  a   (a 1, n ),  а  в  качестве макропеременной  X  выбирается общая численность популяции                                         X x1... xn.  (14)  Тогда  правая  часть  системы  (1)  должна  удовлетворять  следующему  условию:             X W ( x, X ) F1 ( x, X )... Fn ( x, X )    при всех    ( x, X ) U.(15)  Кроме  того,  в  динамической  теории  биологических  популяций  [2]  переход  от  системы  (1)  к  канонической  форме  (10)  осуществляется  заменой переменных (13) с единичной матрицей  A:                                                     A E,  (16)  где  E  – единичная  ( n n ) - матрица. Тогда условие (15) даёт            (, X ) f1 (, X )... f n (, X )     при всех      (, X ) V, (17)  где  f1,..., f n   – компоненты вектор-функции  f col ( f1,..., f n ).  При  сделанных  предположениях  система  (10)  рассматривается  как  основная  система  дифференциальных  уравнений  математической  теории  динамики  биологических  популяций,  представленная  в  частотной  форме  (см.  [2],  стр.  75).  Функции  f1,..., f n   называются  функциями  переходов,  а  функция    –  приспособленностью популяции (см. [2], стр. 410).   Первое  уравнение  системы  (10)  описывает  динамику  структуры  популяции,  а  второе  уравнение  –  динамику  её  роста.  Зависимость  функций  переходов  f1,..., f n   от  X отражает  влияние  общей  численности  популяции  на  динамику  её  структуры.  Зависимость  приспособленности  популяции   от частот  1,..., n означает, что структура популяции влияет  на динамику её численности (см. [2], стр. 75).  

5. Условия независимости функций переходов и удельной скорости роста развивающейся системы от макропеременной X.  Рассмотрим  вновь  обобщённую  модель  (1)  развивающейся  системы  и  её  каноническую  форму  (10),  не  требуя  обязательного  выполнения  допущений  динамической  теории  популяций  (15)  и  (16).  Однако,  следуя  85    терминологии  этой  теории,  функцию  f (, X )   будем  называть  векторфункцией  переходов,  но  функцию  (, X )   назовём  удельной  скоростью  роста развивающейся системы.   Для  приложений  интерес  представляет  вопрос  об  отделимости  уравнений  динамики  структуры  развивающейся  системы  (т.е.  уравнения  для    в  системе  (10))  от  уравнения  динамики  её  роста  (2-ое  уравнение  системы  (10)).  Такая  отделимость  возникает,  например,  если  функции  переходов f1,..., f n   и  удельная  скорость  роста    не  зависят  от  макропеременной  X.  Соответствующие  частные  случаи  системы  (10)  встречаются  во  многих  приложениях:  в  теории  сбалансированного  роста  развивающихся  систем,  в  популяционной  генетике,  в  теории  эволюции  биологических макромолекул, в теории игр и др.  Вопрос о независимости вектор-функции переходов  f от переменной  X решает следующая простая   Теорема 1. Пусть выполнены условия (2), (4), (6), диффеоморфизм   полупространства  R n R  на себя определён согласно (5) и  V (U ). При этих условиях вектор-функция переходов  (11)  не зависит от  макропеременной  X тогда и только тогда, когда истинно следующее утверждение:

( x, X ) U F ( x, X ) F ( x, X )                                  (18)         при  всех    ( x, X ) U, R .

 Аналогичный вопрос о независимости от X удельной скорости роста   разрешается следующей теоремой.  Теорема 2. При условиях теоремы 1 функция , см. (12), не зависит  от X  тогда и только тогда, когда истинно следующее утверждение:

(x, X ) U W ( x, X ) W ( x, X )                               (19)      при  любых ( x, X ) U, R .

Замечание.  Пусть  функции  F ( x, X ), W ( x, X ) дифференцируемы  в  открытом множестве  U. Тогда, применяя теорему Эйлера об однородных  функциях,  из  (18),  (19)  для  любой  точки  ( x, X ) U     получаем  соответственно                              F ( x, X ) ( X X x1 x1... xn xn ) F ( x, X ),   (20)                                ( X X x1 x1... xn xn )W ( x, X ) 0.  (21)          Тождества (20) и (21) представляют собой необходимые условия  независимости  от  X функций  переходов  f1,..., f n   и  удельной  скорости  роста   в канонической форме (10).      СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ  86    Глушков  В.М.,  Иванов  В.В.,  Яненко В.М.  Моделирование  1 .

развивающихся  систем.  М.:  Наука,  Главная  редакция  физ.  –  мат.  литературы, 1983.  Гимельфарб А.А., Гинзбург Л.Р. Полуэктов Р.А., Пых Ю.А., Ратнер  2 .

В.А. Динамическая теория биологических популяций. М.: Наука, Главная  редакция физ. – мат. литературы, 1974.   

ПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ РЕЗОНАНС С ОСОБЫМИ ТОЧКАМИ

Н.Н. Бутенина Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского, Нижний Новгород, Россия E-mail:n.n.butenina@mail.ru  Рассмотрим  систему  дифференциальных  неавтономных  уравнений  вида:  x y                             (1)  y (a1 a2 cos(t )) x Посмотрим  на  эту  систему  как  на  конкретного  представителя  управляемой  динамической  системы  (УДС)  [2-3],  где  управляющая  функция  u (t )     принимает  значения  на  том  же  промежутке,  что  и  cos(t )    (то есть  u (t ) [1,1] ):  x y                    (2)  y (a1 a2u (t )) x Исследование  УДС  начинается,  как  известно  [2,3],  с  рассмотрения  автономной системы      x y y (a1 a2 ) x                             (3)  с параметром  , [1,1].  Рассмотрим системы              x y x y        (4)                       (5)        ,  y (a1 a2 ) x y (a1 a2 ) x полученные из (3), при  1  и  при  1.    Особенность  этих  систем  заключается  в  том,  что,  согласно  теории  УДС  второго  порядка  [2],  в  любой  точке  фазовой  плоскости( x, y)   вектор  [ x, y]     системы  (3)  (если  в  данной  точке  он  определен)  при  любых  (1, 1) лежит между векторами систем (4) и (5), которые ограничивают  вращение  векторного  поля  системы  (3)  при  изменении  параметра  ,  87    [1, 1]. Следовательно, данные системы также ограничивают вращение  векторного поля УДС (2) при изменении значений функции  u (t ) [m, n], где   m 1, n 1.  Системы  (4)  и  (5)  будем  называть  граничными  m    и  n   системами (то есть системами, в которых параметр   принимает одно из  граничных значений заданного отрезка [m, n], для УДС (2) соответственно.  Задача  построения  фазового  портрета  УДС  второго  порядка  является  задачей  построения  областей  управляемости,  достижимости  и  полной  управляемости  для  каждого  особого  интервала  рассматриваемой  УДС,  а  также  исследования  изменений  указанных  областей    при  изменениях  границ  особых  интервалов.  Границы  областей  управляемости,  достижимости  и  полной  управляемости  могут  состоять  только  из  особых  траекторий  m  и  n систем (или дуг этих траекторий), особых точек (не  любых видов[2])  m  и  n систем, а также особых траекторий  - систем,  являющихся  продолжением  сшитых  кривых  одностороннего  пересечения  в полуплоскостях  F   и  F [2].   Ниже  приводятся  результаты    численных  экспериментов  (Рис.1-3)  расчета характера поведения фазовых траекторий системы (1).   Рассмотрим  сшитые  траектории  систем  (1)  и  (2).  Сшивание  производится  на  контактной  кривой  F a xy 0.  Контактная  кривая  представляет  собой  две  пересекающиеся  прямые  x 0     и  y 0,  и  делит  плоскость  на  четыре  квадранта:  в  первом  и  третьем  F 0,  во  втором  и  четвертом  F 0.   Рис.2  демонстрирует  смену  направления  (“отскок”)  при  попадании  изображающей точки в особую точку неавтономной системы, лежащую на  оси Ox.   Одной  из  особых  точек  системы  (1)  всегда  является  изолированная  точка (0,0), а также точки:    y 0                  (6)  tk 1 (arccos(a1 / a2 ) 2 k ) Изображающая  точка  в  сечении  фазового  пространства  будет  через  равные  промежутки    времени    проходить  через  точки  ( x, y,t*)   плоскости  x, y такие, что  y(t*) 0,  а  x, y    некоторые действительные числа.   Исследуем  поведение  траекторий  системы  (1)  в  окрестности  особой  точки  неавтономной  динамической  системы.  Из  рис.2  видно,  что  дуга  ( x0, y0,t0 ) траектории,  выходящая  из  начальной  точки  =(1,0,0),заканчивается  в  особой точке неавтономной системы.   Рассмотрим  фазовую  траекторию,  выходящую  из  точки ( x0, y0,t0 ) (0,413319711259283;6,23336442385713;6,50838), (случай, когда  88                           Рис.1                                       Рис.2  равенство  cos(t ) a / a (т.е. y 0 )  выполняется  в  момент  времени, когда изображающая точка попадает на осьOx. В этом случае в  указанной  точке  не  определен  вектор  [ x, y],  и  такая  точка  принадлежит  смежным с ней траекториям системы).   Пусть  M 0 ( x, y,t )   -  особая  точка  неавтономной  системы.  Тогда 

M 0  недостижима за конечное время и соединяет две смежные траектории: 

t1 t t0     одна  траектория,  а  при  t0 t t2 -  другая.  Само  по  себе  при  явление  отскока,  изображенное  на  рис.3,  является  следствием  того,  что  при  переходе  изображающей  точки  траектории  через  особую  точку  системы,  меняется  знак  одной  из  компонент  вектора  скорости  [ x, y].  Для  системы (1) при переходе через особую точку происходит смена знака  y    (так  как  (a a cos(t ))     меняет  знак).  Из  рис.3  видно,  что  множество  точек  N     оси  y=0  в  данном  случае  есть  множество  особых  точек  исследуемой  неавтономной  системы  семейства  (6).  Изображающая  точка  исследуемой системы с ростом  t  удаляется от начальной точки (1, 0); при  этом  длина  отрезка  между  двумя  угловыми  точками  графика  траектории  (точками  отскока)  постоянно  увеличивается.  Нарастание  размахов  колебаний  и  удаление  изображающей  точки  от  начальной  точки  вызвано  тем, что каждая новая дуга траектории, выходящая из сколь угодно малой  окрестности  особой  точки  неавтономной  системы,  выходит  из  нее  под  противоположным направлением относительно “входящей” траектории.    89                                                   Рис.3  Следует также отметить высокую скорость роста размахов колебаний.  Единицами  измерения  осей  X     и  Y     на  рис.3    становятся  не  1,  а  1012    (автоматический расчет программы).  СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ  1. Горяченко В.Д. Элементы теории колебаний. Красноярск.1995.  375с.  2.  Бутенина  Н.Н.  Управляемость  динамических  систем  /Н.Н.  Бутенина,  З.Г.  Павлючонок,  В.П.  Савельев//Учебное  пособие.  Издательство  Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. 1997.75с.  3.  БутенинаН.Н.  Применение  методов  качественной  теории  управляемых  динамических  систем  к  исследованию  неавтономных  дифференциальных  уравнений  /  Н.Н  Бутенина,  В.С.  Метрикин  //  Нелинейная динамика. – 2010. Т.6,    №1. С. 143-150.   

ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ПОЗИЦИЙ

СЛОЖНОСТИ И ВОЗМОЖНОСТИ ВЫЧИСЛЕНИЙ

А.А. Гладких, Г.Г. Малинецкий Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН E-mail: andrei.gladkikh@phystech.edu   В  работе  рассматривается  система  дифференциальных  уравнений,  которая  может  производить  сортировку  чисел,  поданных  в  качестве  начальных  условий  на  вход.  Часть  переменных  инициализируется  числами,  которые  нужно  подвергнуть  сортировке.  Числа  изменяются  с  ростом времени t.  Основным изучаемым объектом является система дифференциальных  уравнений, определяемая следующим матричным уравнением.   H'=[H,[H,N]]     (1.1)  N  и  H  предполагаются  симметричными,  а  N  —  диагональной  и  составленной из констант.    Для определенного класса матриц N и H рассматриваемое уравнение  задает  систему,  известную  под  названием  (непериодической)  цепочки  Тоды  [1].  Цепочка  Тоды  интегрируема  по  Лиувиллю,  и  n  независимых  90    интегралов  могут  быть  непосредственно  получены,  с  помощью  матрицы 

H: 

Fk=tr(Hk)/k  Экспериментальная  часть  работы  посвящена  исследованию  границ  применимости  численных  методов.  Исследуется  вопрос  о  допустимой  грубости схем, обеспечивающих верное решения задачи сортировки. При  рассмотрении интегрируемого случая проверяется сохранение интегралов  движения при помощи различных численных схем. Характерная динамика  представлена на рис. 1, 2.  Рис.  1.  Характерная  динамика  уравнения  (1.1).  Результат  вычислительного эксперимента.  Мнение о том, что уравнение (1.1) представляет интерес только лишь  потому,  что  является  удобной  формой  записи  для  цепочки  Тоды,  несостоятельно,  поскольку  многие  интересующие  нас  свойства  оказывается  возможным  доказать  для  системы  более  общего  вида  [2].  В  действительности  же  (для  некоторых  свойств)  вид  системы  можно  обобщить  настолько,  что  получится  выйти  за  рамки  заявленного  типа  (1.1).  В  работе  приведено  доказательство  диагонализующего  свойства  потока   H'=[F(H),[F(H),N]],  на  параметры  которого  наложен  ряд  условий,  проведён  подробный  анализ  этих  условий,  имеющий  целью  установить,  насколько  каждое  условие  может  быть  ослаблено.  Предпринята  попытка  распространить  метод  на  другие  вычислительные  задачи.  Проведен  вычислительный  эксперимент.  

–  –  –

Если  p a 0  и  p  неотрицательна, то  F 0.   Следует  отметить,  что  функции,  допускающие  корректное  представление  функций  распределения  в  виде  (1)  могут  принимать  отрицательные  значения.  Непосредственное  вычисление  показывает,  что  функциям  2 a 3a 3 x 1 x 1   p x     (2)  2 3 a 4 a 1,1, в определении (1) соответствует функция распределения  0, x 1;

x 1 3 x 1 F x, 1 x 1;   1, x 1 .

Здесь  A   –  характеристическая  (индикаторная)  функция  соответствующего множества. Легко убедиться, что при   a 1 функция (2)  принимает  отрицательные  значения  в  окрестности  точки  x 1.  Таким  образом,  неотрицательность  функции  плотности  не  является  ни  необходимым,  ни  достаточным  условием  для  корректного  представления  94    функции  распределения  в  форме  (1).  Это  объясняется  тем,  что  знак  дробной производной от  F  (которая совпадает с  p ) не связан однозначно  с характером монотонности самой функции.  Более  того,  одна  и  та  же  кусочно-непрерывная  функция  распределения  может  быть  корректно  представлена  двумя  разными  функциями, которые отличны друг от друга на множестве ненулевой меры  (пример  этого  эффекта  с  аналитическим  решением  приведен  [13]).  Такая  неоднозначность связана с тем, что дробная производная постоянной при  a  не равна нулю [1].   Таким  образом,  представление  функций  распределения  случайных  величин  с  помощью  односторонних  дробных  интегралов  Римана  –  Лиувилля  возможно,  однако  такой  подход  существенно  меняет  свойства  этой конструкции. Особенно важно, что неотрицательность функции  p  –  своеобразного  аналога  плотности  –  не  является  достаточным  условием  монотонности.    СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 

1. Самко С. Г., Килбас А. А., Маричев О. И. Интегралы и производные  дробного  порядка  и  некоторые  их  приложения.  Минск:  Наука  и  техника,  1987. 688 с. 

2. Miller  K.  S.,  Ross  B.  An  introduction  to  the  fractional  calculus  and  fractional differential equations. New York etc.: John Wiley & Sons, 1993. 366  p. 

3. Gorenflo  R.,  Mainardi  F.  Fractional  calculus:  Integral  and  differential  equations  of  fractional  order  //  Fractals  and  fractional  calculus  in  continuum  mechanics / Ed. by A. Carpinteri, F. Mainardi. Wien and New York: Springer,  1997. P. 223–276. 

4. Васильев  В.В.,  Симак  Л.А.  Дробное  исчисление  и  аппроксимационные  методы  в  моделировании  динамических  систем.  Киев: НАН Украины, 2008. 256 с. 

5. Shlesinger  M.F.,  Zaslavsky  G.M.,  Klafter  J.  Strange  kinetics  //  Nature.  1993. Vol. 363, no. 6424. P. 13–37. 

6. Hilfer  R.  Fractional  diffusion  based  on  Riemann — Liouville  fractional  derivatives // The Journal of Physical Chemistry B. 2000. Vol. 104, no. 16. P.  3914–3917. 

7. Mainardi  F.,  Luchko  Y.,  Pagnini  G.  The  fundamental  solution  of  the  space-time  fractional  diffusion  equation  //  Fractional  Calculus  and  Applied  Analysis. 2001. Vol. 4, no. 2. P. 153–192. 

8. Metzler R., Klafter J. The random walk’s guide to anomalous diffusion: a  fractional dynamics approach // Physics reports. 2000. Vol. 339, no. 1. P. 1–77. 

9. Jumarie  G.  Fractional  Euler’s  integral  of  first  and  second  kinds.  95    Application  to  fractional  Hermit’s  polynomials  and  to  probability  density  of  fractional  order  //  Journal  of  Applied  Mathematics  &  Informatics.  2010.  Vol.  28, no. 1–2. P. 257–273. 

10. Jumarie G. Probability calculus of fractional order and fractional Taylor’s  series application to Fokker — Planck equation and information of non-random  functions // Chaos, Solitons & Fractals. 2009. Vol. 40, no. 3. P. 1428–1448. 

11. Tarasov  V.E.  Fractional  Fokker — Planck  equation  for  fractal  media  //  Chaos. 2005. Vol. 15, no. 2. P. 023102. 

12. Tenreiro  Machado  J.A.  Fractional  coin  and  fractional  derivatives  //  Abstract and Applied Analysis. 2013. Vol. 2013. 

13. Зенюк  Д.А.,  Орлов  Ю.Н.  О  применении  дробного  исчисления  Римана  –  Лиувиллядля  опсиания  распределения  вероятностей  //  Препринты ИПМ им. М.В. Келдыша. 2014. № 18. 21 с.   

КЛАСС МЕТРИЧЕСКИХ АЛГЕБР, ЛОРЕНЦ И ПУАНКАРЕ

ИНВАРИАНТНОСТЬ ОПЕРАЦИЙ .

  А.В. Коганов Научно-исследовательский институт системных исследований РАН (НИИСИ РАН), Россия, 117218, Москва, Нахимовский пр., 36, корп. 1;

koganow@niisi.msk.ru   В  этой  работе  рассматривается  вопрос  о  построении  алгебр  с  носителем на векторном пространстве, операции которых коммутируют с  преобразованиями  Лоренца  и  Пуанкаре  на  этом  пространстве.  Это  означает  в  общем  виде  F ( Lx1,, Lxm ) LF ( x 1,, xm ),  где  F   –  операция,  L   –  преобразование,  x 1,, xm  – операнды. Рассматриваются обычные операции  умножения  на  число  и  сложения  векторов,  и  специально  определенная  операция  умножения.  Особое  внимание  уделено  алгебрам,  где  операции  суммы  и  произведения  векторов  связаны  дистрибутивным  законом.  Интерес к этой тематике вызван появившимися в публикациях попытками  моделирования  пространства-времени  в  физике  с  помощью  гиперкомплексных  чисел,  алгебра  которых  не  удовлетворяет  условию  инвариантности  относительно  преобразований  Лоренца.  Поэтому  в  этих  теориях  в  каждой  системе  отсчета  приходится  вводить  свою  гиперкомплексную  алгебру.  Решение  указанной  задачи  устраняет  этот  недостаток. В доказательствах теорем использован аппарат из [1][2].  Будет  построена  дистрибутивная  алгебра  размерности  n 1   с  единицей,  которая  инвариантна  относительно  всех  линейных  преобразований,  сохраняющих  заданный  метрический  тензор  самого  общего  вида  на  подпространстве  размерности  n.  Для  каждого  метрического  тензора  алгебра  своя  (своя  таблица  умножения).  96    Метрический  тензор  общего  вида  —  это  произвольная  матрица  размерности  n n  вида  g gi, j, где  gi, j.  Определение 1.  Метрическая  алгебра  (или  М-алгебра,  метрические  числа,  М-числа)  имеет  образующие:  a 0, a1,, a n.  Для  удобства  обозначим  a 0 1.  Общий  вид  элемента  носителя  алгебры  x x0 a0 x1a1 xn an x0 x1a1 xn an x0 Px.  Закон  умножения  образующих:  1x x1 x,  где  x 1; a1 ;; a n ;  aia j gi, j a0 gi, j,  i, j 1, n.  Распространение  операций  на  всю  алгебру.  ( x0 x1a1 xna n ) ( y0 y1a1 yna n ) ( x0 y0 x1 y1a1 xn yna n )   ( x0a 0 xna n )( y0a 0 yna n ) ( xi y j )(a ia j ). Следствия.  i, j 0,, n

–  –  –

Линейный  оператор  V   на  линейном  пространстве  М-чисел  назовем  метрическим изоморфизмом (М-изоморфизмом), если  a 0  и  a1,, a n  его  инвариантные  подпространства  и  по  оси  a 0   он  осуществляет  тождественное  преобразование,  а  в  подпространстве  a1,, a n   сохраняет  скалярное произведение любых двух векторов:  (Px, Py ) (VPx,VPy ).    Теорема 1. Законы умножения и сложения М-чисел инвариантны относительно действия любого метрического изоморфизма.   Частный  случай,  метрика  Минковского  в  пространстве  1 n1   с  метрическим  тензором  g diag (1, 1,, 1).Соответствующая  М-алгебра  инвариантна  относительно  канонического  действия  группы  Лоренца  на  подпространстве  a1,, a n.  Роль  оси  времени  играет  ось  a1,  модель  физического  пространства  a 2,, a n.  Ось  a 0   отображает  скалярные  произведения и не имеет аналога в пространстве-времени. Она аналогична  оси  действительных  чисел  в  кватернионах.  В  частности,  такая  М-алгебра  инвариантна  относительно  эвклидовых  поворотов  в  подпространстве  a 2,, a n.  Но  для  случая  n 4   эта  алгебра  не  обладает  такими  хорошими  свойствами умножения, как кватернионы.   М-алгебра  имеет  коммутативное  умножение  тогда  и  только  тогда,  когда метрический тензор симметричен. Ассоциативности в метрическом  умножении  нет  при  любом  ненулевом  метрическом  тензоре:  a1a 2 a 3 g1,2a 3 ;   a1 a 2a 3 g 2,3a1.  Имеются  делители  нуля:  если  М-числа  ортогональны в метрике, то их произведение обнуляется ( Px Py 0 ).  

–  –  –

Определение 3.  Назовем  метрический  тензор  gi, j   модульным  (или  модульной  метрикой),  если  все  его  компоненты  либо  1,  либо  0:  gi, j 1; 0;1.  Теорема 3.  Метрические алгебры с модульной метрикой, и только они в классе М-алгебр, являются модулями над конечной мультипликативной алгеброй образующих.  (Остальные  М-алгебры  имеют  бесконечную  алгебру  образующих  по  умножению.)  Важные  частные  случаи  —  метрические тензоры Минковского и Эвклида.  Для  М-алгебры  с  комплексными  коэффициентами  (М-твисторы)  комплексная  метрика  gi, j   модульная,  если  все  её  компоненты  принадлежат  конечной  подгруппе  G   на  единичном  круге  или  являются  нулем, и тогда теорема 3 сохраняется.  Теорема 4. Любой автоморфизм произвольного дистрибутивного модуля над мультипликативной алгеброй в произвольном поле коммутирует с преобразованием сдвига и с дилатацией в линейном пространстве этого модуля.  (Автоморфизмы  алгебры  коммутируют  с  аффинными  операциями  над  алгеброй,  хотя  сами  операции  алгебры  не  всегда  с  ними  коммутируют;  например,  сложение  не  коммутирует  с  ненулевым сдвигом.)  Определение 4.  Алгебра,  построенная  на  линейном  пространстве  с  помощью  дополнительно  введенных  операций,  называется  Пуанкаре  инвариантной  (ПИ-алгебра),  если  ее  операции  коммутируют  с  преобразованиями  Лоренца,  а  также  с  аффинными  сдвигами  и  дилатациями.   Теорема 5. Алгебра с дистрибутивным умножением не инвариантна относительно аффинных преобразований по обеим или любой одной из операций сложения и/или умножения .

Определение 5.    Класс  конических алгебр.  Носителем  конической  алгебры  является  действительное  пространство  размерности  n 1   с  образующими  e0,, en.  Элемент  алгебры  обозначим  как  вектор 

–  –  –

99    1. A. V. Koganov. Processes and Automorphisms on Inductor Spaces.  Russian  Journal  Mathematic  Physics,  vol  4,  nom  3,  1996,  Jon  Wiley  and  Sons,  Ins.,  s  315-339.  2.  A. V. Koganov.  Faithful  Representations  of  Groups  by  Automorphisms  of  Topologies.  Russian  Journal  of  Mathematical  Physics,  vol.  15,  No  1,  2008,  s.  66-76   

ДИНАМИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГРАФОВ И АЛГОРИТМЫ

САМООРГАНИЗАЦИИ В ГРУППАХ МОБИЛЬНЫХ РОБОТОВ

А.А. Кочкаров1,2,3, Л.И. Сенникова4 ОАО «РТИ», Москва, Россия Финансовый университет при Правительстве РФ, Москва, Россия Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, Москва, Россия Северо-Кавказский социальный институт, Ставрополь, Россия E-mail: akochkar@gmail.com   Понятие  динамических  сетей  (Dynamic  networks)  широко  используется  при  изучении  сложных  структурно-изменяющихся  сетей  различной  природы  и  происхождения.  К  динамическим  сетям  относят  и  социальные  сети,  и  сети  связи  и  коллективного  взаимодействия,  и  структуры  фондовых  рынков,  и  структуры  взаимных  обязательств  межбанковской  системы.  Несмотря  на  накопленный  эмпирический  материал по изучению динамических сетей, пока нет оснований говорить  об  окончательно  сложившейся  теории  динамических  сетей  (Dynamic  network analysis) или сетевой науки (Network science). Для формирования  такой  отрасли  прикладной  науки  необходима  теоретическая  основа.  Ее  ядром  может  стать  зарождающаяся  динамическая  теория  графов,  основным  объектом  которой  является  динамический  граф  –  модель  динамической сети.  Динамический  граф ,  как  модель  динамической  сети,  представляет  собой  последовательность  «классических»  графов  Gl,  не  имеющих  параллельных  ребер  и  петель,  переход  между  которыми  описывается  (Gl ) Gl 1   различными  теоретико-графовыми  операциями  (удаление/ добавление  ребра  [1],  удаление/ добавление  вершины  [1],  замена  вершины  затравкой  [2],  приоритетное  присоединение  вершин  и  ребер [3] и т.д.). Индекс  l  соответсвует своеобразному «топологическому  времени», в последующие моменты которого меняется структура графа.   Операции  удаления/ добавления  ребра,  удаления/ добавления  вершины  будем  назвать  простыми  или  базовыми.  Любую  другую  операцию,  которую  можно  описать  чередованием  простых  операций,  100    будем  называть сложной.  В  общем  случае  динамический  граф  представляет  собой  последовательность  конечных  невзвешенных  (не  всегда  связных)  графов    G1, G2,...,Gl,...,GL,...,  в  которой  переход  к  последующему  графу  Gl 1   осуществляется  применение  операции  (Gl ) Gl 1.  Операция,  осуществляющая  переход,  может  быть  как  простой, так и сложной. Для построения траектории динамического графа  могут быть использовано несколько (конечное множество) чередующихся  операций  t.  Также  в  операции  может  быть  определен  механизм  выбора  элементов  графа  (ребра,  вершины,  подграфы),  над  которыми  совершается  заданная  операция.  Последовательность  графов  Gl (Vl, El ),  l 1,2,..., L...,  составляющая  динамический  граф,  будем  называть  траекторией динамического графа .  Следующие  ниже  очевидные  утверждения  призваны  продемонстрировать применение введенных понятий.  Утверждение 1.  Траектория  динамического  графа    является  бесконечной, если  (Vl ) Vl,  l 1,2,..., L....  Утверждение 2.  На  множестве  всех  полных  n -вершинных  простых  цепей  Pn,  n 2,  существует  динамический  граф    с  бесконечной  траекторией  P2, P3,..., Pl,..., PL,...,  у  которого  операция  ( Pl ) Pl 1,  l 2,3,..., L...,  определяется  как  добавление  одной  вершины,  смежной  с  одной из висячих вершин графа  Pl.  Утверждение 3.  На  множестве  всех  полных  n -вершинных  простых  циклов  Сn,  n 3,  существует  динамический  граф    с  бесконечной  траекторией  С3, С4,...,Сl,...,СL,...,  у  которого  операция  (Сl ) Сl 1,  l 3,4,..., L...,  определяется  как  удаление  одного  ребра,  и  последующим  добавлением  одной  вершины,  смежной  с  обеими  висячими  вершинами  графа  Pl.  Утверждение 4.  На  множестве  всех  полных  n -вершинных  графов  Kn   существует  динамический  граф    с  бесконечной  траекторией  K1, K2,..., Kl,..., K L,...,  у  которого  операция  ( Kl ) Kl 1,  l 1,2,..., L...,  определяется как добавление одной вершины и инцидентных с ней  (l 1) го ребра.  Утверждение 5.  Если  операции  перехода  (Gl ) Gl 1   динамического  графа  не  использует  простую  операцию  добавления  вершины,  то  динамический граф конечен.  Если в классической теории графов ключевой экстремальной задачей  является  поиск  подграфа  (или  остова)  с  заданными  характеристиками  (например, поиск дерева минимального веса), то для динамической теории  101    графов  основная  задача  –  установление  связи  между  решениями  экстремальной  задачи  на  различных  «классических»  («стационарных»)  графах,  составляющих  динамических  граф.  Если  решения  на  различных  графах  сопоставимы  по  заданным  критериям,  то  можно  говорить  о  свойстве наследственности в классе динамических графов, объединенных  общими  правилами  перехода  в  образующих  их  последовательностях  графах.  Логичным  продолжением  этой  задачи  становится  задача  установление формализованной связи между свойством наследственности  и  операциями  перехода  в  траектории,  образующими  динамический  граф.  В  случае  установления  такой  связи  можно  говорить  о  программируемой  самоорганизации  [4],  т.е.  получении  гарантированных  наследственных  структурных свойств и характеристик динамических графов.  Напомним,  что  эксцентриситетом  [1]  произвольной  фиксированной  вершины  графа  называется  максимальное  из  расстояний  до  всех  остальных  вершин  графа.  Наибольший  из  эксцентриситетов  графа  равен  диаметру  графа  (по  определению).  Все  вершины  графа,  эксцентриситеты  которых равны диаметру графа, называются периферийными [1].  Лемма 1. Для динамического графа , операция перехода  (Gl ) Gl 1,  l 1,2,..., L...,  которого  в  траектории  определена  как  присоединение  единственной  вершины  к  любой  непериферийной  [1]  вершине  графа  Gl,  диаметр  d (Gl ) d (G1 )   [10]  остается  неизменным,  если  в  G1   есть  хотя  бы  одна непериферийная вершина.  Следствие 1.1.  Для  динамического  дерева ,  операция  перехода  ( Dl ) Dl 1,  l 1,2,..., L...,  которого  в  траектории  определена  как  присоединение  единственной  вершины  к  любой  невисячей  [1]  вершине  дерева  Dl, диаметр  d ( Dl ) d ( D1 )  остается неизменным.  Примечание 1.1. Граф  G1  в траектории динамического графа   может  быть  таковым,  что  все  его  вершины  будут  периферийными.  Примером  такого  графа  является  полный  граф,  в  котором  каждая  вершина  соединяется с каждой. В такой ситуации применение операции из леммы 1  невозможно.  Теорема 1.  Для  динамического  графа ,  операция  перехода  (Gl ) Gl 1,  l 1,2,..., L...,  которого  в  траектории  определена  как  присоединение  новой  вершины  к  любому  количеству  непериферийных  вершин графа  Gl, диаметр  d (Gl ) d (G1 )  не увеличивается, если в  G1  есть  хотя бы она непериферийная вершина.  Идеология и методы динамической теории графов особенно полезны  при  конструировании  командно-информационного  взаимодействия  подвижных  абонентов  в  сетевых  системах  [4].  Сетевые  системы  следует  понимать как технические системы, в основе функционирования которых  102    лежат  сети.  В  этом  смысле  сетевые  системы  –  в  большей  степени  инженерное понятие, чем строгое математическое.  История  развития  беспроводных  сетей  показывает,  что  область  применения  этого  класса  телекоммуникационных  технологий  расширяется.  В  настоящее  беспроводные  сети  превосходят  проводные  аналоги  в  безопасности,  стоимости,  устойчивости,  функциональности,  комфортности  применения.  Тем  не  менее,  спектр  задач,  связанный  с  новыми  приложениями  беспроводных  технологий  и  беспроводных  сетей,  устойчиво  расширяется.  Здесь  следует  очертить  две  основных  области  приложения  беспроводных  сетей  –  телекоммуникации  и  мониторинг.  В  «больших» системах беспроводные сети могут выполнять одновременно и  функции передачи информации, и функции мониторинга.   Особый  интерес  представляют  сети  с  подвижными  абонентами  (датчиками, сенсорами). Обеспечение качественной связи в таких сетях –  чрезвычайно актуальная задача. Решение этой задачи повысит связность и  скорость передачи информации между мобильными абонентами, сократит  затраты на наземный сегмент сети за счет маршрутизации и ретрансляции  между  подвижными  узлами.  Трудоемкость  этой  задачи  растет  с  увеличение  количества  абонентов  сети.  При  этом  очевиден  тот  факт,  что  наибольшей  эффективности  работы  систем  можно  добиться  при  помощи  скоординированных действий абонентов сети. В последнее десятилетие в  трудах  зарубежных  и  отечественных  теоретиков  все  чаще  можно  встретить  разработки  в  областях,  связанных  с  совершенно  новой  концепцией  организации  действий  стай  и  команд.  Вместе  с  тем  подавляющая  часть  существующих  алгоритмов  сетевого  взаимодействия  имеют  очень  ограниченную  область  приложения,  по  сути,  представляя  собой конкретные инженерные решения.  Зарождающаяся  динамическая  теория  графов  может  стать  теоретической  базой  для  конструирования  алгоритмов  командноинформационного  взаимодействия  подвижных  абонентов  в  сетевых  системах. Топология сети подвижных абонентов (роботов) не может быть  строго  фиксированной.  Более  того,  топология  вынуждена  претерпевать  изменения  в  силу  различных  обстоятельств,  например,  увеличения  количества  абонентов  в  сети.  Поскольку  передача  информации  в  сети  зависит  от  длины  цепочки  абонентов,  то  разумно  при  увеличении  числа  абонентов  в  сети  не  допускать  увеличения  его  диаметра  при  присоединении  каждого  нового  абонента.  Это  можно  сделать,  следуя  алгоритму,  сконструированному  в  самом  тривиальном  случае  согласно  требованиям леммы 1 и теоремы 1.  Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант № 13-01-00617).    СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ  103   

1. Емеличев  В.А.,  Мельников  О.И.,  Сарванов  В.И.,  Тышкевич  Р.И.  Лекции по теории графов.  М.: УРСС, 2009. – 392 с. 

2. Кочкаров А.А. Структурная  динамика:  свойства  и  количественные  характеристики предфрактальных графов. – М.: Вега-Инфо, 2012. – 120 с. 

3. Подлазов А.В.,  Щетинина Д.П.  Модель  роста  социальной  сети //  Препринты ИПМ им. М.В.Келдыша. 2013. № 95. – 16 с. 

4. Малинецкий Г.Г. Математические  основы  синергетики.  Хаос,  структуры, вычислительный эксперимент. – М. : Эдиториал УРСС, 2012. 

5. Кочкаров А.А. Моделирование  структурно-динамических  процессов  в  сетецентрических  системах  мониторинга //  Антенны.  –  2013.  –  № 1.  –  С. 164-168.   

ИНТЕРВАЛЬНОЕ ВЗВЕШИВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКОГО ГРАФА

Р.А. Кочкаров Финансовый университет при Правительстве РФ, Москва, Россия Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, Москва, Россия E-mail: rasul_kochkarov@mail.ru Интервальный анализ Основная  идея  интервального  анализа  состоит  в  замене  арифметических  операций  и  вещественных  функций  над  вещественными  числами  интервальными  операциями  и  функциями,  преобразующими  интервалы,  содержащие  эти  числа.  Положительной  стороной  интервального  анализа  является  возможность  полного  учета  погрешностей,  начиная  с  неточных  данных  математической  модели  и  кончая ошибками округления на ЭВМ. При точно определенных входных  данных задачи получаемые интервалы содержат точное решение исходной  задачи, и интервальный метод служит для учета ошибок аппроксимации и  округлений.  Интервальный  анализ  представляет  собой  относительно  молодое  и  интенсивно  развивающееся  направление  математики.  К  настоящему  времени  разработаны  приемы  интервальных  вычислений,  пакеты  прикладных  программ  и  алгоритмических  макроязыков,  реализующих  элементы  интервального  анализа  на  машинном  уровне  для  различных  типов  ЭВМ.  Вместе  с  тем  для  сколько-нибудь  сложных  задач  полное  применение  интервального  анализа  часто  дает  неудовлетворительные  результаты  из-за  чрезмерных  длин  получаемых  интервалов.  Дело  во  внутренней установке – пессимистическом подходе, который заключается  в прослеживании на каждой элементарной операции всевозможных, в том  числе  наихудших,  сочетаний  погрешностей.  При  обычном  ходе  104    вычислений  ошибки  могут  усредняться,  компенсироваться  и  накапливаться  далеко  не  худшим  образом.  В  конечном  итоге  пессимистические  оценки  точности  на  порядок  хуже,  чем  она  есть  на  самом деле [1, 2].  Вместе  с  тем  статистические  и  другие  регулярные  подходы  к  моделированию  погрешностей  дают  в  целом  неплохое  качественное  представление  о  поведении  ошибки,  но  не  влекут  гарантированных  оценок  для  конкретных  приближенных  решений.  Для  построения  итерационных процессов используется принцип сжимающих отображений  или более общий подход, основанный на теореме Шаудера о неподвижной  точке. Итерационный метод для уточнения границ интервального решения  с построением специальной матрицы перехода изложен в работе Д.М. Гея  [3].  Первая  монография  в  русскоязычной  литературе,  посвященная  интервальному анализу, была опубликована Ю.И. Шокиным в 1981 г. [3].  Затем в 1982 г. издано учебное пособие Т.И. Назаренко, Л.B. Марченко [4]  по  интервальным  методам,  а  в  1986 г.  –  монография  С.А.  Калмыкова,  Ю.И.  Шокина,  З.Х.  Юлдашева  [2].  В  2013  г.  вышла  монография  С.П.  Шарого  по  конечномерному  интервальному  анализу  [5].  В  этих  публикациях  имеется  обширная  и  подробная  библиография  по  интервальному анализу.  Интервальный анализ и его специфичные методы имеют наивысшую  ценность в задачах, где неопределенности и неоднозначности возникают с  самого начала и являются неотъемлемой частью постановки задачи. Хотя  это  не  исключает  возможность  применения  интервального  анализа  в  задачах, формулируемых без привлечения понятия интервала.  В  последние  десятилетия  интервальный  анализ  получил  распространение  в  качестве  основы  для  так  называемых  доказательных  (достоверных,  надежных)  вычислений  на  ЭВМ,  вычислений  с  гарантированной  точностью  и  т.п.,  несмотря  на  то,  что  в  этих  приложениях  интервальные  методы  являются  всего  лишь  вспомогательным средством для решения задач, неинтервальных по своей  природе.  Интервальный анализ и возникшая практически одновременно с ним  теория  нечетких  множеств  явились  ответом  на  вызов  бурно  развивающейся практики, которая требовала развития аппарата для учета  неопределенностей нестатистической (или, в общем случае, неизвестной)  природы. При этом интервальный анализ оказался способным исследовать  содержательные  модели,  которые  основываются  на  наиболее  скудных  априорных  допущениях  о  характере  неопределенности,  когда  105    относительно  рассматриваемых  величин  ничего  не  известно,  кроме  их  свойства принимать значения из некоторых ограниченных множеств.  Напротив, в тех работах, где интервальный анализ служит средством  для  исследования  ограниченных  неопределенностей,  опираться  на  малость  возмущений  уже  нельзя,  размеры  «входных»  интервалов  потенциально  могут  быть  сколь  угодно  велики,  но  зато  часто  предполагается,  что  все  арифметические  операции  как  с  точечными  (неинтервальными)  величинами,  так  и  с  интервалами  выполняются  абсолютно  точно.  Именно  эта  модель  вычислений  рассматривается,  в  настоящей работе.  Поскольку  исторически  интервальный  анализ  возник  из  необходимости учета ошибок вычислений и задач чувствительности, то на  первоначальном  этапе  своего  развития  множество  решений  задачи  с  интервальными  данными  понималось  как  множество  всевозможных  решений  точечных  задач  с  параметрами,  которые  могут  принимать  значения  из  заданных  интервалов.  Но  по  мере  развития  интервальных  методов  и  расширения  сферы  их  приложений  обнаружилось,  что  это  простейшее  понимание  множества  решений  не  отражает  существо  ряда  практически  важных  интервальных  задач.  Таковой,  является,  например,  задача о допусках, возникшая в эконометрике и несколько позже в теории  автоматического  управления  для  объектов  с  интервальными  неопределенностями  в  данных.  Решение  задачи  о  допусках  приводит  к  необходимости  рассмотрения  так  называемого  допускового  множества  решений  интервальных  систем  уравнений.  Эти  множества  решений  естественным  образом  возникают  в  ситуациях,  когда  различные  интервальные  параметры  задачи  подвержены  влиянию  конфликтующих  факторов. 

Проблемы  интервального  анализа  можно  разделить  на  три  группы: 

исследование  самого  множества  интервальных  чисел  как  некоторой  математической  структуры,  применение  интервальных  методов  к  различным  задачам  прикладной  математики  (в  частности,  в  последнее  время  наметились  пути  использования  интервальных  методов  в  задачах  управления  и  экономики)  и  программирование  интервальных  методов.  В  настоящей  работе  используются  интервальные  методы  из  второй  группы  проблем, частично третьей.  Динамический и предфрактальный графы Динамический граф ,  как  модель  динамической  сети,  представляет  собой  последовательность  «классических»  графов  Gl,  не  имеющих  параллельных  ребер  и  петель,  переход  между  которыми  описывается  (Gl ) Gl 1   различными  теоретико-графовыми  операциями 

–  –  –

Задача  состоит  в  том,  чтобы  во  множестве  X выделить  элемент  x 0,  который  является  экстремальным  относительно  векторной  целевой  функции  F   (1.1),  или  по-другому  в  x 0   векторная  целевая  функция  F   принимает оптимальные значения по критериям  Fi (x)  для всех  i 1, M.    СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ  107    1.  Добронец  Б.С.,  Шайдуров  В.В.  Двусторонние  численные  методы.  –   Новосибирск: Наука, 1990.  2.  Калмыков  С.А.,  Шокин  Ю.И.,  Юлдашев  З.Х.  Методы  интервального  анализа. – Новосибирск: Наука, 1986.  3. Шокин Ю.И. Интервальный анализ. – Новосибирск: Наука, 1981.  4.  Назаренко  Т.И.,  Марченко  Л.В.  Введение  в  интервальные  методы  вычислительной  математики.  –  Иркутск:  Издательство  Иркутского  университета, 1982.  5.  Шарый  С.П.  Конечномерный  интервальный  анализ.  –  Новосибирск.:  Институт вычислительных технологий СО РАН, 2013.  6.  Кочкаров  А.А.  Структурная  динамика:  свойства  и  количественные  характеристики предфрактальных графов. – М.: Вега-Инфо, 2012.  7.  Кочкаров  А.А.  Моделирование  структурно-динамических  процессов  в  сетецентрических  системах  мониторинга  //  Антенны.  –  2013.  –  №  1.  –  С. 164-168.  8.  Kochkarov  A.M.,  Perepelitsa  V.A.,  Sergienko  I.V.  Recognition  of  fractal  graphs. Cybernetics and Systems Analysis, T. 35, № 4, 1999, pp. 572-585.  9.  Салпагаров  С.И.,  Кочкаров  А.М.  Распознавание  предфрактального  графа с полной двудольной затравкой. Депонированная рукопись  № 2322В2003. 31.12.2003.  10.  Кочкаров  А.А.,  Салпагаров  М.Б.,  Кочкаров  Р.А.  Моделирование  разрушения  сложных  систем  с  ациклической  структурой  //  Управление  большими системами: сборник трудов. – 2007. – № 17. – С. 103-120.   

КАЛИБРОВОЧНЫЕ УСЛОВИЯ СИСТЕМЫ СФЕРИЧЕСКИ

СИММЕТРИЧНЫХ УРАВНЕНИЙ ЭЙНШТЕЙНА-МАКСВЕЛЛАКЛЕЙНА-ГОРДОНА

С.Р. Усманов Тверской государственный университет, Тверь, Россия E-mail: Usmanov_sergei@bk.ru   Модели  сферически  симметричного  самогравитирующего  комплексного скалярного поля активно изучаются с 60-х годов двадцатого  века.  Данные  модели  интерпретируются  как  гипотетический  астрономический  объект,  называемый  бозонной  звездой  [1].  В  данном  сообщении  рассматривается  калибровочная  симметрия  полной  системы  уравнений  Эйнштейна-Максвелла-Клейна-Гордона  для  выделения  минимальной  независимой  системы  уравнений,  что  является  отправной  точкой  для  аналитического  и  численного  исследования  сферическисимметричных бозонных звезд. 

–  –  –

111      В  дальнейшем,  выполнив  редукцию,  основанную  на  введении  характеристической  функции  (6)  f dC, dC C(1) C( 0)   помогает  свести  к системе из пяти уравнений с семью неизвестными функциями A, B, C,, ,  f   и .  Для  того,  чтобы  получить  конкретное  решение  нужно  наложить два калибровочных условия, например на метрические функции  и на электромагнитный потенциал .    СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 

1. Schunck  F.E.  and  Mielke  E.W.  General  relativistic  boson  stars.  Class.  Quant.Grav. 2003, 20, pp. 301–356, arXiv: astro-ph/0801.0307 

2. Bilic  N.,  Tupper  G.B.,  Violer  R.D.  Unification  of  dark  matter  and  dark  energy: the inhomogeneous Chaplygin gas// Phys. Lett. 2002, B535. P. 17-23. 

3. Pugliese D, Quevedo H., Jorge A. Rueda J.A. and Ruffini R. On charged  boson stars. Phys. Rev. D 2013, 88, 024053, 22pp. arXiv: astro-ph/1305.4241  Tsirulev A. N. Gravitational fields with Yang-Mills curvature// Proc. 15th  4 .

Int. Conf. «High Energy Physics and Quantum Field Theory», Moscow, 2001,  p. 382-384. 

5. Jetzer  P.  and  van  der  Bij  J.J.  Charged  boson  stars.  Phys.  Lett.  B  1989,  227, pp. 341–346. 

6. Усманов  С.Р.  Математическое  моделирование  статических  конфигураций  гравитирующего  комплексного  скалярного  поля  / 

Синергетика  в  естественных  науках:  Седьмые  Курдюмовские  чтения: 

Материалы  международной  междисциплинарной  научной  конференции  /  Тверь: ТвГУ, 2011. с. 94-98.   

НЕСТАЦИОНАРНАЯ МОДЕЛЬ СФЕРИЧЕСКИСИММЕТРИЧНОГО ТОПОЛОГИЧЕСКОГО ГЕОНА

Е.А. Салогуб, Г.Н. Столярова, Ю.В. Чемарина Тверской государственный университет, Тверь, Россия tchemarina@mail.ru   Построение  и  исследование  нестационарных  моделей  астрофизических  объектов  и  объектов  микромира    на  основе  самогравитирующего  скалярного  поля  приобретает  в  наши  дни  все  большую  популярность.  Одним  из  актуальных  направлений  в  этих  исследованиях  является  использование    скалярного  поля  для  описания  частицеподобных  конфигураций  с  нетривиальной  топологией  пространства-времени,  в  том  числе  сферически-симметричных  топологических геонов [2,3,4,7]. Стоит отметить, что почти все известные  на  сегодняшний  день  модели  топологических  геонов  являются 

–  –  –

    СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ  115   

1. Малинкина  А.Н.,  Чемарина  Ю.В.  Фантомное  скалярное  поле.  Кротовые норы и чёрные дыры // Применение функционального анализа в  теории приближений. 2012. № 33. С. 75-81. 

2. Никонов В.В., Цирулев Ю.В., Чемарина Ю.В. Спектральная краевая  задача  для  гравитирующего  скалярного  поля  в  пространстве-времени  с  топологией R x R # RP^3 // Вестник ТвГУ. Сер. "Прикладная математика".  2006. №3. С. 106-113. 

3. Соловьев  Д.А.,  Цирулев  А.Н.,  Чемарина  Ю.В.  Математические  модели  гравитирующих  конфигураций  с  фантомным  скалярным  полем  //  Вестник ТвГУ. Сер. "Прикладная математика". 2011. №23. С. 7-18. 

4. Цирулев  А.Н.,  Чемарина  Ю.В.  Сферически-симметричные  топологические  геоны  //  Вестник  ТвГУ.  Сер.  "Прикладная  математика".  2007. №6. С. 61-70. 

5. Чемарина  Ю.В.  Нестационарные  конфигурации  гравитирующего  скалярного  поля  //  Восьмые  Курдюмовские  чтения  "Синергетика  в  естественных  науках":  материалы  Международной  междисциплинарной  научной конференции с элементами научной школы для молодежи. Тверь,  2012. С. 79-82. 

6. Bronnikov  K.A.,  Shikin  G.N. Spherically  symmetric  scalar  vacuum:  nogo theorems, black holes and solitons // Grav. Cosmol. 2002. V.8. P. 107-116. 

7. Solovyev  D.A.,  Tsirulev  A.N.  General  properties  and  exact  models  of  static  self-gravitating  scalar  field  configurations  //  Class.  Quant.  Grav.  2012.  V.29. 055013.   

ПРОСТРАНСТВЕННО РАСПРЕДЕЛЕННЫЙ СТОХАСТИЧЕСКИЙ

БРЮССЕЛЯТОР

С.Е. Курушина1,2, Е.А. Шаповалова1 Самарский государственный аэрокосмический университет им. ак. С.П .

Королева (национальный исследовательский университет), Самара, Россия E-mail: kurushina72@gmail.com E-mail: geyn@inbox.ru Самарский государственный университет путей сообщения, Самара, Россия Для  модели  автокаталитической  химической  реакции  (брюсселятор  [1]) с пространственно коррелированным мультипликативным шумом   x1 2 A x1 x2 ( B 1 x1 (r, t )) x1 D1 2 x1,   t x2 x12 x2 ( B x 2 (r, t )) x1 D2 2 x2,   t

–  –  –

  Рис. 3.  Изменение среднего (сплошная линия) и наиболее вероятного (пунктирная  линия) значений x1 и x2 при «перекачке». Представлены два «периода».    СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 

1. Prigogine,  I.  Symmetry  breaking  instabilities  in  dissipative  systems  [Text]/ I. Prigogine, R. Lefever// J. Chem. Phys. 48. –1968.-P. 1696-1697. 

2. Kurushina,  S.E.  Weiss  mean-field  approximation  for  multicomponent  stochastic spatially extended systems [Text]/ S.E. Kurushina, V.V. Maximov,  

3. Samarskii,  A.A..  [Text]/  A.A.  Samarskii//  USSR  Computational  Mathematics and Mathematical Physics. 2. –1963.-P. 23. Yu.M.  Romanovskii  // Phys. Rev. E 90. – 2014.-P. 022135.      119   

ХАОТИЧЕСКИЕ РЕЖИМЫ В ТРЕХМОДОВОЙ

АППРОКСИМАЦИИ УРАВНЕНИЯ КУРАМОТО – ЦУЗУКИ

Д.С. Фаллер Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН, Москва, Россия e-mail: dfaller@keldysh.ru   В  настоящей  работе  была  рассмотрена  вторая  краевая  задача  для  уравнения Курамото – Цузуки:  Wt W 1 ic1 Wx 1 ic2 W W,  Wx 0, t Wx L, t 0,  W x, 0 W0 x,  0 x L,  0 t   Эта  задача  давно  и  подробно  изучалась  многими  авторами.  Она  естественно  возникает  во  множестве  различных  задач  физики,  химии,  биологии  (см.,  например,  [1]).  Асимптотический  анализ  показывает,  что  это  уравнение  описывает  широкий  класс  систем  типа  реакция  —  диффузия  в  окрестности  (в  пространстве  параметров)  точки  бифуркации  рождения  предельного  цикла.  Замечательной  особенностью  этой  базовой  модели  является  то,  что  она  описывает  непериодические,  хаотические  режимы,  получившие  название  «диффузионный  хаос»  или  «химическая  турбулентность» [2].  Качественное  описание  хаотических  режимов,  возникающих  в  этой  системе,  можно  получить  с  помощью  перехода  к  системе  обыкновенных  дифференциальных  уравнений  для  зависящих  от  времени  амплитуд  в  схеме Галеркина. В [3] было показано, что двухмодовая система (когда в  приближенном  решении  Галеркина  удержаны  первые  два  слагаемых)  обладает  целым  семейством  хаотических  аттракторов,  выяснен  сценарий  возникновения динамического хаоса при изменении параметров системы,  наличие  бистабильности  и  кризисов  аттракторов.  Целью  представляемой  работы является исследование тех же вопросов для трехмодовой системы.  Постановка  такой  задачи  диктуется  несколькими  причинами.  Реализация  подобной  программы  для  исследования  конвективной  неустойчивости  (приводящего,  в  частности,  к  известным  уравнениям  Лоренца,  см.,  например,  [4])  показала,  что  сами  типы  аттракторов  критическим образом зависят от числа учитываемых галеркинских мод. В  частности,  было  показано,  что  при  увеличении  числа  гармоник,  хаос  исчезает.  Поэтому  важно  выяснить,  что  в  нашем  случае  изменится  при  увеличении числа гармоник.  До настоящего времени во многом очевидными являются аттракторы,  бифуркации  и  качественные  эффекты,  связанные  с  динамическими  системами на плоскости (фазовое пространство двумерно). Благодаря ряду  исследованных  примеров  у  нас  есть  ряд  интуитивных  представлений  о  120    хаотических  аттракторах  динамических  систем  в  трехмерном  фазовом  пространстве.  Вместе  с  тем  интересно  изучить  примеры  аттракторов  в  многомерном фазовом пространстве, тем более, что их можно сравнивать  с  «качественно  близким»  хаотическим  аттрактором  в  трехмерном  пространстве,  порождаемым  двухмодовой  системой.  Наконец,  как  и  в  большинстве  вычислительных  экспериментов,  в  маломодовой  хаотической  динамике  представляет  интерес  поиск  новых  качественных  эффектов,  типов  самоорганизации  и  динамического  хаоса.  Этот  круг  вопросов мы и будем рассматривать.  Численный  анализ  одномерных  отображений  Пуанкаре  и  спектров  показателей  Ляпунова  позволили  установить  ряд  характерных  особенностей  системы.  Качественное  поведение  решений  двух-  и  трехмодовой  систем  оказались  схожими  (типы  аттракторов,  сценарии  перехода  к  хаосу,  бистабильность,  зависимость  ляпуновских  показателей  от  параметров  системы).  Наиболее  чувствительным  к  изменению  числа  мод  в  галеркинской  системе  оказалось  положение  поверхностей  в  пространстве  параметров  (трехмерном),  на  которых  происходят  бифуркации.  С  этой  точки  зрения,  наличие  третьей  моды  является  существенным, хотя ее амплитуда на порядок меньше, чем у первых двух.  В  системе  существует  два  различных  «типа  хаоса».  Первый  можно  назвать  «грубым»,  –  его  прообразом  является  отображение  xn 1 xn mod1, 1,  в  котором  в  малой  окрестности  (в  пространстве  параметров)  хаотического  аттрактора  также  имеет  место  хаос  (неустойчивость  по  Ляпунову  траекторий  на  аттракторе),  а  инвариантная  мера,  характеризующая  хаотические  аттракторы,  непрерывно  зависит  от  параметров  системы.  Прообразом  второго  типа  хаоса  является  хаотический  режим,  наблюдаемый  в  логистическом  отображении  xn 1 xn 1 xn.  В  этом  случае  сколь  угодно  близко  к  значению  параметра  c, при котором имеет место хаос, существуют значения параметра  o, при  которых  аттрактором  является  цикл.  Расчеты  показывают,  что  в  нашем  случае при разных значениях параметров могут иметь место хаотические  аттракторы и того, и другого типа.  Исследование  ляпуновских  показателей  трехмодовой  системы  показало,  что  в  рассматриваемой  области  параметров  хаотические  аттракторы  характеризуются  одним  положительным  ляпуновским  показателем,  хотя  в  6-мерном  фазовом  пространстве  трехмодовой  системы могли бы быть хаотические аттракторы с двумя положительными  ляпуновскими  показателями,  которые  связаны  с  более  сложной  хаотической  динамикой  —  гиперхаосом.  Вместе  с  тем  расчеты  показали  необычный  эффект  —  наличие  кратных  отрицательных  ляпуновских  121    показателей.  Возможно,  это  связано  с  наличием  комплексных  решений  в  системе в вариациях.  Отметим  также,  что  намеченная  здесь  стратегия  исследования  динамических  режимов,  возникающих  в  системе  обыкновенных  дифференциальных  уравнений,  может  лечь  в  основу  общей  методологии  выявления  параметров  порядка  произвольных  эволюционных  уравнений,  т.е.  тех  параметров,  которые  фактически  определяют  поведение  всех  остальных  компонентов  диффузионной  системы.  Построение  такой  методологии  могло  бы  открыть  широкие  перспективы  в  исследовании,  проектировании  и  управлении  сложными  системами  с  диффузионным  хаосом.  Работа  выполнена  при  поддержке  РФФИ  (проекты  №  13-01-00617  и  № 14-01-00773).    СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 

1. Ахромеева  Т.С.,  Курдюмов  С.П.,  Малинецкий  Г.Г.,  Самарский  А.А .

Структуры и хаос в нелинейных средах. – М.: Физматлит, 2007. – 488 с.  Kuramoto  Y.  Diffusion-induced  chaos  in  reaction  systems.  Suppl. Prog .

2 .

Theor. Phys, 1978, no. 64, pp. 346-367. 

3. Малинецкий  Г.Г.,  Фаллер  Д.С.  Сценарии  перехода  к  хаосу  в  двухмодовой  системе  для  моделей  «реакция-диффузия»  //  Препринты  ИПМ им. М.В.Келдыша. – 2013. – № 67. – 36 с. 

4. Странные аттракторы / Ред. Я.Г. Синай, Л.П. Шильников. – М.: Мир,  1981. – 256 с.      СЕКЦИЯ 2. СИНЕРГЕТИКА В ФИЗИКЕ .

 

СЛОИСТАЯ ПЛАЗМЕННАЯ АНТЕННА

О.Б. Дементьева Московский государственный университет технологий и управления, Москва, Россия E-mail: obd_2004@rambler.ru Во всем мире возрастает интерес к плазменным антеннам. Однако  неполнота  теории  пока  не  позволяет  оптимизировать  их  конструкции.  Исследуем электромагнитные свойства ограниченной холодной плазмы  СВЧ  разряда  на  пороге  второго  ленгмюровского  резонанса  Le    20  (субрезонанс).  В  [1]  показано,  что  самоорганизация  в  этом  режиме  приводит к устойчивой пространственно-полевой структуре.   Рассмотрим цилиндрический объем плазмы, созданной СВЧ полем  накачки  в  диэлектрическом  баллоне  с  проницаемостью  оболочки  d.  122    Плотность  электронов  максимальна  в  центре и  спадает  до  нуля  на  центре  границе  с  диэлектриком.  При  этом  к  нулевому  значению  ne  подходит  плавно,  образуя  тонкий  приграничный  слой  с  малой  равновесной  плотностью  (вакуумная  щель).  На  радиальном  профиле  ne(r)  найдется  интервал,  где  плазма  резонансна  для  данной частоты  внешнего  поля.  данной  Этот интервал находится на нелинейном участке профиля электронной  плотности,  который  назовем  областью  трансформации,  или  волновым  слоем.  Таким  образом,  плазма  представляет  собой  систему  концентрических слоев с различными значениями  рис.1).  концентрических слоев с различными значениями   (рис.1) .

 

–  –  –

126   

4. Messiaen  A.M.,  Vandenplas  P.E.    Rayonnement  fortement  accru  prsent par une antenne enrobe d’une gaine dielectrique et d’une couche  de plasma. Canadian Journal of Physics, Vol. 45, № 10, p. 3367 - 3380.   

ЗАВИСИМОСТЬ ЦЕНТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ САМОГО

БЫСТРОГО ПУЛЬСАРА PSR J1748-2446AD С ПОЛИТРОПНЫМ

УРАВНЕНИЕМ СОСТОЯНИЯ ОТ ИНДЕКСА ПОЛИТРОПЫ

  В.В. Журавлев, С.А. Михеев, В.П. Цветков Тверской государственный университет, Тверь, Россия E-mail: sergjan800@rambler.ru   Наблюдаемые  периоды  вращения  пульсаров  колеблются  в  диапазоне  от рекордно низкого 1.39595482(6)  мс. у PSR J1748-2446ad [1] до порядка  10 секунд [2].  Минимально возможные периоды вращения пульсаров определяются  значениями  их  центральной  плотности  c   (массы  m)  и  уравнениями  состояния составляющего их вещества.  В  нашей  работе  мы  использовали  наиболее  простое  уравнение  состояния в виде политропы индекса n [3,4].  Наблюдения  за  минимально  возможными  периодами  вращения  пульсаров  Tmin   и  их  вычисления  с  использованием  различных  уравнений  состояния  позволяют  получить  уникальную  информацию  об  этих  уравнениях.  Обычно  считают,  что  минимально  возможному  периоду  данных  конфигураций  соответствует  момент  равенства  нулю  ускорения  свободного  падения  на  экваторе  [5].  Это  экстремальное  состояние  соответствует  нулевому  значению  давления  в  данной  области  или  состоянию  невесомости  в  ней,  когда  сила  тяжести  уравновешивается  центробежной  силой.  Самым  простым  способом  оценки  минимального  периода  вращения  Tmin   является  представление  вращающегося  пульсара  сферически симметричным с радиусом  r. Приравнивая силу тяготения на  единицу  массы  на  его  поверхности  Gm/r 2   ( G   -  гравитационная  постоянная) и величину центробежной силы  (2 / T min ) 2 r 2, мы получаем  оценку:    R 3 (r/R)3/2 (r/R)3/2 = 2 Tmin d,           (1)  = 0.116 GM (m/M )1/2 (m/M )1/2 M – масса солнца, R – радиус Солнца.    127    Существенным  недостатком  формулы  (1)  является  зависимость  Tmin   от  двух  параметров:  r   и  m.  Если  масса  определяется  экспериментально,  то  радиус  должен  быть  вычислен  в  рамках  какой-либо  модели.  При  получении  не  учитывается  конкретное  распределение  плотности  вращающегося пульсара, которое существенно отличается от однородного  и сферически симметричного в случае быстрого вращения.  Оценка  по  формуле  (1)  при  характерных  значениях  параметров  пульсара  m M,  r 10 км дает значение  Tmin 0.546  мс. Сравнивая это  значения с минимальным периодом наблюдаемого пульсара 1.39595482(6)  мы видим, что оно примерно в 2.5 раза меньше.  Расчеты проводились с максимальной погрешностью порядка  10 3  на  основе разработанного и реализованного авторами комплекса символьночисленных  программ  в  системе  символьной  математики  MAPLE  с  систематическим использованием полиномов наилучшего приближения в  L2  по степеням координат конфигурации пульсаров [6,7].  Результаты  наших  расчетов  зависимости  Tmin (сек)  в  зависимости  от  индекса политропы n и  c / 0  ( 0 6.129 1015  г/см3) даны на Рис. 1.      Рис. 1.    Жирной  чертой  на  Рис.1  дано  сечение,  соответствующее  случаю  когда значение периода вращения пульсара PSR J1748-2446ad совпадает с  T Tmin 1.39595482 (6)   мс.  Этой  кривой  соответствует  график  зависимости  c min   от  n,  представленный  на  Рис.  2.  Так  как  T Tmin,  то  c c min.  128      Рис. 2.    Рис.  2  показывает  быстрый  рост  центральной  плотности  c min   от  3.99 1014   г/см3  до  6.91 1014   г/см3  при  росте  показателя  политропы  от 1  до  1.3. C дальнейшим ростом индекса n, значение центральной плотности  c   асимптотически приближается к значению  7.99 1014  г/см3.  СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 

1. Jason  W.  T.  Hessels,  Scott  M.  Ransom,  Ingrid  H.  Stairs,  Paulo  C.  C.  Freire,  Victoria  M.  Kaspi,  Fernando  Camilo.  A  Radio  Pulsar  Spinning  at  716  Hz // arXiv:astro-ph/0601337v1, 2006. 

2. Taylor  J.H.,  Manchester  R.N.,  and  Lyne  A.G.  Catalog  of  558  pulsars  //  The  Astrophysical  Journal  Supplements  Series.  1993  October.  v.  88,  №2,  p.  529-568. 

3. Jeans J.H. Problems of Cosmogony and Stellar Dynamics // Adams Prize  Essay for 1917. Cambridge, University Press, 1919, 293 pp. 

4. James  R.A.  The  structure  and  stability  of  rotating  gas  masses  //  The  Astrophysical Journal. 1964. v. 140. p. 552-582. 

5. Alexander  Scholz  and  Jochen  Eislffel.  Rotation  and  variability  of  very  low  mass  stars  and  brown  dwarfs  near    Ori   //  Astronomy  &  Astrophysics  manuscript no.1932, 2008. 

6. Беспалько  Е.В.  и  др.  Гравитирующая  быстровращающаяся  сверхплотная конфигурация с реалистическими уравнениями состояния //  Мат. моделирование. 2006. т. 118, №3. с. 103-119. 

7. Mikheev S.A., Tsvetkov V.P. Critical points and points of the bifurcaton  of  the  rotating  magnetized  newtonian  polytropes  with  a  1 n 1.6   index  //  Physics of Particles and Nuclei Letters. 2013. V. 10, № 3, pp. 234-242.      129   

ОБРАЗОВАНИЕ САМОПОДДЕРЖИВАЮЩИХСЯ СТРУКТУР В

ТЕПЛОВЫДЕЛЯЮЩИХ ПЛАЗМЕННЫХ СРЕДАХ

1,2 Д.И. Завершинский, 1,2Н.Е. Молевич Самарский государственный аэрокосмический университет им .

С.П.Королева (национальный исследовательский университет), Самара, Россия Самарский филиал Учреждения Российской академии наук Физического института им. П.Н. Лебедева РАН, Самара, Россия E-mail: dimanzav@mail.ru   В  данной  работе  исследуется  вопрос  о  возможности  возникновения  самоподдерживающихся структур в плазменных средах, находящихся под  действием  внешнего  магнитного  поля,  в  которых  протекают  неадиабатические  процессы  нагрева  и  охлаждения  среды,  зависящие  от  температуры  и  плотности.  Наглядными  примерами  подобных  неадиабатических процессов являются охлаждение оптически тонких сред  за  счет  излучения  и  нагрев  за  счет  диссипации  диамагнитных  токов.  Наличие  процессов  такого  типа  меняет  дисперсионные  свойства  волн  в  среде  и  кроме  того  может  приводить  к  появлению  так  называемых  тепловых  неустойчивостей  [1].  Тепловые  неустойчивости  могут  существенным  образом  оказывать  влияние  на  динамику  волн  в  среде.  В  частности,  в  газовых  средах  [2]  изоэнтропический  тип  тепловой  неустойчивости  может  приводить  к  образованию  серии  самоподдерживающихся структур.   Исследование динамики волн в плазменных тепловыделяющих средах  мы  проводили  с  помощью  полной  системы  магнитогидродинамических  уравнений  модифицированной  с  учетом  неадиабатических  процессов.  Эволюция  волн  изучалась  для  одномерного  случая  в  декартовой  системе  координат.  В  ходе  исследования,  в  линейном  приближении  были  получены  дисперсионные  уравнения,  описывающие  альфвеновские  волны,  быстрые    и  медленные  магнитоакустические  волны  и  тепловые  волны.  Было  показано,  что  неадиабатические  процессы  в  линейном  приближении  оказывают  влияние  только  на  магнитоакустические  и  тепловые моды.   Учет  лишь  диссипативных  процессов  определяемых  теплопроводностью  среды,  не  позволяет  описывать  устойчивые  структуры,  которые  могут  быть  реализованы  в  среде.  По  этой  причине  с  помощью  теории  возмущений  нами  было  получено  нелинейное  эволюционное  уравнение  с  точностью  до  величин  второго  порядка  малости. Данное уравнение было исследовано аналитически и определены  все типы и параметры структур, которые могут существовать в подобных  130    средах.  Наиболее  интересным  является  решение  в  виде  самоподдерживающегося  ударноволнового  импульса.  Данное  решение  может существовать только в среде в случае отрицательно дисперсии или  что  то  же  самое  в  случае  изоэнтропической  тепловой  неустойчивости.  Решение  является  независимым  от  начальных  условий,  единственным  ограничением  является  критическое  значение  начального  возмущения,  после которого реализуется другой тип решения, а именно ударная волна  с  понижением  плотности  за  фронтом.  Кроме  того,  данное  решение  обладает свойством восстановления формы после взаимодействия.  Указанные  выше  свойства  импульса,  так  же  как  и  генерация  последовательности  импульсов  были  продемонстрированы  с  помощью  численного  решения  полной  системы  магнитогидродинамических  уравнений  по  неявной  полностью  консервативной  численной  схеме.  Реализация  других  типов  решения  так  же  была  численно  промоделирована.  Работа  частично  поддержана  Минобрнауки  РФ  в  рамках  в  рамках  Программы повышения конкурентоспособности СГАУ на 2013-2020 гг. и  Государственного  задания  вузам  и  научным  организациям  в  сфере  научной деятельности, проекты № 608,  ГР 114091840046, грантом РФФИ   14-02-97030  р_поволжье_а,  и  стипендией  Президента  РФ  для  молодых  ученых  и  аспирантов,  осуществляющих  перспективные  научные  исследования и разработки по приоритетным направлениям модернизации  российской экономики 2013-2015 год    СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 

1. Field,  G.B.  Thermal  instability  [Текст]  /  G.B.Field  //  Astrophysical  journal. 1965. - V. 142, P. 531-567. 



Pages:   || 2 |



Похожие работы:

«РОСЖЕЛДОР Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования "Ростовский государственный университет путей сообщения" (ФГБОУ ВО РГУПС) ПРОГРАММА 75-й СТУДЕНЧЕСКОЙ НАУЧНО-ПРАКТИЧЕСКОЙ КОНФЕРЕНЦИИ (факультет "Информационные технологии управления") Апрель 2016 г. Секция: "А...»

«Володуцкая Ирина Ивановна Разработка тематической концепции и композиционно-графической модели издания для подростков ВЫПУСКНАЯ КВАЛИФИКАЦИОННАЯ РАБОТА по направлению "Журналистика" (творческий проект) Научный руководитель – старший преподаватель Е. В. Малиновская Кафедра медиадизайна и информационных...»

«ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ПРОГРАММА Моделист-конструктор (наименование программы) Возраст обучающихся: 8-10 лет Время реализации: 1 год. г. Сургут Паспорт дополнительной общеобразовательной программы Название программы Моделист-конструктор Направленность...»

«АКТ приемки образца установочной серии элегазовых колонковых выключателей LTB 145 D1/B 06-07.10.98 на производственной площадке АББ Электроинжиниринг в г. Чебоксары и 08-09.12.98 в помещении АББ Электроинжиниринг в г. Москве Комиссия в составе Предсе...»

«Гравировально-фрезерный станок CNC2638AL-S/CNC3658AL-S Руководство по эксплуатации СОДЕРЖАНИЕ: 1. Общие сведения 1 2. Комплект поставки 1 3 . Эксплуатация 1 4. Технические характеристики 2 5. Безопасность пр...»

«Министерство науки и высшего образования Российской Федерации ФГБОУ ВО "Уфимский государственный авиационный технический университет" ФГБОУ ВО "Поволжский государственный университет телекоммуникаций и информатики" ФГБОУ ВО "Казанский национальный и...»

«08.02.10 Строительство железных дорог, путь и путевое хозяйство РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ПРАКТИКИ Цели и задачи учебной практики: формирование у обучающихся общих и профессиональных компетенций, приобретение опыта практической работы по специальности.Общие и профе...»

«OOO Арт гараж Батумское шоссе, 111/А 354207 Сочи Телефон: +7-862-255-38911 Телефакс: +7-862-255-38911 Email: info@porsche-sochi.ru Интернет: www.porsche-sochi.ru Уважаемый(ая) Благодарим Вас за проявленный интерес к марке Porsche и рады предоставить информацию по заинтересовавшему Вас автомобил...»

«ГОСТ 26221-84 МЕЖГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТАНДАРТ РАСТРЫ ОТСЕИВАЮЩИЕ ЛИНЕЙНЫЕ МЕДИЦИНСКИХ РЕНТГЕНОВСКИХ АППАРАТОВ ОБЩИЕ ТЕХНИЧЕСКИЕ УСЛОВИЯ Издание официальное ВЗ 7 ИНК ИЗДАТЕЛЬСТВО СТАНДАРТОВ Москва вологодское кружево У...»

«Вестник Томского государственного университета. 2017. № 414. С. 77–86. DOI: 10.17223/15617793/414/12 УДК 94:621.311.1(571.6) А.В. Маклюков У ИСТОКОВ ГИДРОЭНЕРГЕТИКИ ДАЛЬНЕГО ВОСТОКА: ИЗ ИСТОРИИ Г...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ    ОАО "РусГидро"    Федеральное государственное автономное образовательное учреждение  высшего профессионального образования  "Сибирский федеральный университет" (СФУ)    Саяно­Шушенский филиал СФУ    Ассоциация инженерного образования России     ...»

«Автомобили. прицепы и полуприцепы ТОМ НАСТЫ шарфы женские АВТОМОБИЛЕСТРОЕНИЕ АВТОМОБИЛИ, ПРИЦЕПЫ И ПОЛУПРИЦЕПЫ СБОРНИК ГОСУДАРСТВЕННЫХ И ОТРАСЛЕВЫХ СТАНДАРТОВ И ОТРАСЛЕВЫХ НОРМАЛЕЙ ТОМ I Часть 1 Издание официальное ИЗДАТЕЛЬСТВО СТАНДАРТОВ Москва 1974 У...»

«1 1. ВВЕДЕНИЕ 2. НАЗНАЧЕНИЕ КОТЛА 3. УСТРОЙСТВО И ФУНКЦИОНИРОВАНИЕ КОТЛА 4. ТЕХНИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ 4.1. ТОПЛИВО 5. ПРАВИЛА МОНТАЖА КОТЛОВ 5.1. ТРЕБОВАНИЯ К КОТЕЛЬНОМУ ПОМЕЩЕНИЮ 5.2. УСТАНОВКА КОТЛА 5.3. ПОДКЛЮЧЕНИЯ КОТЛА К ДЫМОХОДУ 5...»

«ОАО ГМС Насосы Россия 303851, г. Ливны Орловской обл. ул. Мира, 231 АЯ 45 ЭЛЕКТРОНАСОС ОДНОВИНТОВОЙ 1В 1,6/5-2/2Б-13 Руководство по эксплуатации Н41.496.00.000М РЭ СОДЕРЖАНИЕ Лист Введение 3 1 Описание и работа электронасоса 4 1.1 Назначение изделия 4 1.2 Технические характеристики 5 1.3 Состав изделия 7 1.4 Устройство и принцип работы 8 1.5 М...»

«ИЗВЕЩЕНИЕ О ПРОВЕДЕНИИ ЗАПРОСА КОТИРОВОК на оказание услуг по техническому обслуживанию и ремонту автомобилей №1 "31" декабря 2009 г.1. Муниципальный заказчик:1.1 . Наименование: Муниципальное учреждение "Управление административными здани...»

«42 1562 ПЛОТНОМЕРЫ-СПИРТОМЕРЫ ПЛОТ-3С-М-Ц Руководство по эксплуатации АУТП.414122.008 РЭ 2014 г. АУТП.414122.008 РЭ Содержание 1 ОПИСАНИЕ И РАБОТА 1.1 Назначение спиртомера 1.2 Технические характеристики 1.3 Состав спиртомера...»

«МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Юго-Западный государственный университет" (ЮЗГУ) ПЕРСПЕКТИВЫ РАЗВИТИЯ...»

«ПРОТОКОЛ ОТКРЫТОГО АУКЦИОНА В ЭЛЕКТРОННОЙ ФОРМЕ № 755аэм-445 600000, г. Владимир, ул. Большая Московская, д. 68 Место проведения аукциона: 13 октября 2009 г. в 9:00 по московскому времени Дата и время начал...»

«ПАТРОНЫ МАГНИТНЫЕ ТЕХНИЧЕСКИЕ УСЛОВИЯ ГОСТ 24568—81 ГОСТ ПАТРОНЫ МАГНИТНЫЕ 24568-81* Технические условия Magnetic chucks. Взамен Technical conditions ГОСТ 16933—71 ГОСТ 16934—71 О К П 3 9 6116 Постановлением Государственного комитета С С С Р по стандартам от 29 января 1981 г. № 329 срок введе...»

«ОПИСАНИЕ ТИПА ДЛЯ ГОСУДАРСТВЕННОГО РЕЕСТРА СРЕДСТВ ИЗМЕРЕНИЙ подлежит публикации СОГЛАСОВАНО в открытой печати Руководитель ГЦИ СИ Ген ер а^ш ^^ ф ектх Комплексы устройств Внесен в Государственный телемеханики для радиосбора реестр средств измерений данных "МИРТ...»

«Секция 5 УДК 502.3:504.5:662.6/.7 МЫШЬЯК В СНЕГОВОМ ПОКРОВЕ В ЗОНЕ ВЛИЯНИЯ ТОМСКОЙ ГРЭС-2 Н.П. Самохина, Е.А . Филимоненко, А.В. Таловская Национальный исследовательский Томский политехнический университет, г. То...»

«1 Протокол № ЗКЭФ-АХО-36 Заседания Единой комиссии Заказчика (АО "КСК") г. Москва 23 марта 2017 г. Заказчик: Акционерное общество "Курорты Северного Кавказа" 1. (далее АО "КСК", ИНН 2632100740).На заседании Единой комиссии присутствовали: 2. Исаев С...»

«ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ РОССИЙСКИЙ ФОНД ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ ФОНД СОДЕЙСТВИЯ РАЗВИТИЮ МАЛЫХ ФОРМ ПРЕДПРИЯТИЙ В НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКОЙ СФЕРЕ ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ОАО НИИ ФИЗИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ ООО НПФ "КРУГ" ООО "ТРЕИ ГмбХ" ОАО НПП...»

«Участники заседания президиума Совета при Президенте Российской Федерации по стратегическому развитию и приоритетным проектам с участием глав субъектов Российской Федерации по вопросу "О взаимодействии с субъектами Российской Федер...»

«Порше Центр Краснодар • 350015 • Краснодар • Новокузнечная, 34/1 ООО "Премиум Кар"Получатель: PC Krasnodar (Premium Car) Новокузнечная, 34/1 350015 Краснодар 350015 Краснодар Телефон: +7-861-255-30-30 Ул Новокузнечная 34/1 Телефакс: +7-861-253-88-08 Email: info@porsche-krasnodar.ru Интернет: www.pors...»




 
2019 www.mash.dobrota.biz - «Бесплатная электронная библиотека - онлайн публикации»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.