WWW.MASH.DOBROTA.BIZ
БЕСПЛАТНАЯ  ИНТЕРНЕТ  БИБЛИОТЕКА - онлайн публикации
 


Pages:   || 2 |

«SDCP’2014 Abstracts of International Conference dedicated to the 90th Anniversary of Academician N. N. Krasovskii Ekaterinburg, Russia September 15–20, 2014 Ekaterinburg РОССИЙСКАЯ ...»

-- [ Страница 1 ] --

Systems Dynamics

and Control Processes

SDCP’2014

Abstracts of International Conference dedicated

to the 90th Anniversary of Academician N. N. Krasovskii

Ekaterinburg, Russia

September 15–20, 2014

Ekaterinburg

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК

УРАЛЬСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ

ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ ИМ. Н. Н. КРАСОВСКОГО

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

УРАЛЬСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИМЕНИ ПЕРВОГО ПРЕЗИДЕНТА РОССИИ Б. Н. ЕЛЬЦИНА

Динамика систем и процессы управления Тезисы докладов Международной конференции, посвященной 90-летию со дня рождения академика Н. Н. Красовского Екатеринбург, Россия 15–20 сентября 2014 г .

Екатеринбург ИММ УрО РАН · УРФУ УДК 517.9 + 519.63 ББК 22.161.6, 22.161.8, 22.19 Конференция проводится в рамках программы Президиума РАН Динамические системы и теория управления, при финансовой поддержке УрФУ (программа повышения конкурентноспособности и программа развития), Российского фонда фундаментальных исследований (проект 14-01-20115 Г) и ФАНО Редакционная коллегия В. С. Пацко (отв. редактор) М. И. Гусев, А. Г. Иванов, М. И. Логинов, Н. Ю. Лукоянов, В. И. Максимов, Н. Н. Субботина, А. М. Тарасьев, В. Н. Ушаков, А. Г. Ченцов, Г. С. Шелементьев Динамика систем и процессы управления: Тез. докл .

Междунар. конференции, посвященной 90-летию со дня рождения акад. Н.Н. Красовского. Екатеринбург, Россия, 15–20 сентября 2014 г. Екатеринбург: ИММ УрО РАН, УрФУ. 2014. 268 с .

В сборнике анонсируются результаты исследований по теории устойчивости, математической теории управления и оценивания, теории обобщённых решений уравнений Гамильтона – Якоби. Представлены следующие научные направления: устойчивость и стабилизация, управление и оценивание для динамических систем в условиях неопределенности, дифференциальные игры, управление распределенными системами и обратные задачи динамики, обобщенные решения уравнений Гамильтона – Якоби, численные методы теории управления и приложения .

УДК 517.9 + 519.63 ББК 22.161.6, 22.161.8, 22.19 c ИММ УрО РАН, 2014 ISBN 978-5-8295-0285-0 c УРФУ, 2014 Содержание Авербух Ю. В .

Неантагонистические игры и стратегии управления с поводырем......................... 27 Агеев А. Л., Антонова Т. В., Курликовский Д. В .

Локализация линий разрыва функции двух переменных 29 Азамов А. А .

Метод DN -слежения в качественной теории динамических систем........................ 31 Ананьев Б. И .

Об оценивании обратных разностных уравнений со статистически неопределёнными возмущениями.... 32 Ананьевский И. М .

Управление механическими системами с дефицитом управляющих воздействий в окрестности положения равновесия......................... 34 Андреев А. С., Перегудова О. А., Кудашова Е. А .

О стабилизации движений механических систем управлениями различного типа.............. 35 Банников А. С .

К линейным нестационарным дифференциальным играм группового преследования............. 37 Башкирцева И. А .

Среднеквадратичный анализ стохастических циклов дискретных систем с параметрическими шумами... 38 Башкирцева И. А., Екатеринчук Е. Д., Рязанова Т. В .





Сравнительный анализ стохастического воздействия на модель Гудвина..................... 40 Бедин Д. А., Иванов А. Г., Федотов А. А .

Определение систематических ошибок радиолокаторов по их совместным измерениям............ 42 Благодатских А. И .

Групповое преследование при наличии защитников убегающего......................... 44 Близорукова М. С .

О реконструкции входных воздействий в системе с последействием в управлении................ 46 Васильев С. Н., Дружинин А. Э .

О модельных аналогиях и многорежимных системах. 47 Воронов В. А .

Модифицированный метод последовательной линеаризации в задаче управления избыточной системой силовых гироскопов.................... 49 Воротников В. И., Мартышенко Ю. Г .

Переориентация асимметричного твердого тела посредством двигателей-маховиков при игровой модели помех............................. 50 Гасников А. В., Двуреченский П. Е .

Методы оптимизации для задач с неточным оракулом в гильбертовом пространстве............... 52 Гомоюнов М. И., Лукоянов Н. Ю .

Численное решение задач управления на минимаксмаксимин позиционного функционала.......... 54 Горнов А. Ю., Зароднюк Т. С .

Вычислительные технологии поиска глобального экстремума в задаче оптимального управления со свободным правым концом............... 55 Гороховик В. В., Трофимович М. А .

Банаховы пространства положительно однородных функций в негладком анализе и оптимизации..... 57 Гребенщиков Б. Г., Ложников А. Б .

Алгоритм стабилизации одной системы нейтрального типа............................. 59 Гусев М. И .

Аппроксимации множеств достижимости нелинейных управляемых систем с фазовыми ограничениями... 61 Данилин А. Р .

Асимптотика решения сингулярно возмущенной задачи оптимального управления с интегральными ограничениями и критерием качества......... 63 Данилов Л. И .

Многозначные рекуррентные отображения и их сечения 64 Двуреченский П. Е., Иванов Г. Е .

Операторы Минковского и их применение в дифференциальных играх..................... 66 Дмитрук Н. М .

Оптимальное управление многосвязными объектами с возмущениями...................... 68 Долгий Ю. Ф .

Оптимальная стабилизация систем дифференциальных уравнений с последействием нейтрального типа. 70 Думшева Т. Д., Кандоба И. Н., Козьмин И. Н., Костоусов В. Б., Костоусова Е. К., Ложников А. Б., Починский В. И .

Исследование оптимальных межорбитальных переходов разгонного блока.................... 72 Дыхта В. А .

Бипозиционные лагранжианы и двойственность в невыпуклых задачах оптимального управления... 74 Дыхта В. А., Самсонюк О. Н .

Неравенства Гамильтона – Якоби и условия оптимальности для импульсных управляемых систем...... 76 Егоров А. И., Знаменская Л. Н .

Управление с минимальной энергией в краевых задачах для уравнения параболического типа........ 78 Еграшкина Ж. Е., Седова Н. О .

Нечеткие системы Такаги – Сугено в исследовании устойчивости нелинейных дифференциальных систем 80 Екатеринчук Е. Д., Ряшко Л. Б .

Анализ стохастической модели Ферхюльста с запаздыванием.......................... 82 Жаринов А. Н., Кумков С. С .

Сходимость алгоритмов построения границ множеств достижимости в задачах управления на плоскости.. 83 Жуковский В. И .

Равновесие по Бержу при неопределенности...... 85 Жуковский Е. С., Поносов А. В .

К теории функционально-дифференциальных уравнений.............................. 87 Зайцев В. А .

Достаточные условия стабилизации дискретных стационарных аффинных управляемых систем...... 89 Зеликин М. И., Осипов Ю. С .

Многомерные вариационные задачи........... 91 Зимовец А. А., Матвийчук А. Р .

Об эффективных сеточных методах построения интегральных воронок динамических систем........ 92 Ильин Е. Д., Ширяев В. И .

О гарантированном оценивании некоторых видов возмущений в линейной динамической системе...... 94 Калинин А. И., Лавринович Л. И .

Асимптотически субоптимальный синтез в сингулярно возмущенной линейно-квадратичной задаче оптимального управления...................... 96 Калитин Б. С .

Развитие идеи Барбашина – Красовского в прямом методе Ляпунова...................... 98 Казаков А. Л., Лемперт А. А .

О волновом подходе к решению задач оптимизации логистической инфраструктуры............. 100 Каюмов Р. И .

О дифференциальных включениях, содержащих малый параметр при производной.............. 102 Кириллова Ф. М., Дмитрук Н. М., Габасов Р .

Синтез оптимальных систем и оптимальное управление в реальном времени.................. 104 Киселёв Ю. Н., Аввакумов С. Н., Орлов М. В .

Задача распределения ресурсов в двухсекторной экономической модели с производственной функцией CES.............................. 106 Клейменов А. Ф .

Равновесные решения в неантагонистической позиционной дифференциальной игре в классах чистых стратегий.......................... 108 Колпакова Е. А .

Обобщенные решения системы уравнений Гамильтона – Якоби.......................... 109 Корнев Д. В .

О численном решении дифференциальных игр на минимакс позиционного функционала в классах смешанных стратегий................... 111 Короткий А. И., Стародубцева Ю. В .

Восстановление граничных управлений по граничным наблюдениям в системах реакции-конвекции-диффузии 113 Костоусова Е. К .

О полиэдральном синтезе управлений в многошаговых системах в условиях неопределенности и фазовых ограничений......................... 115 Красовский А. Н., Бочаров Г. А., Ким А. В., Глушенкова В. В., Сафронов М. А .

Управление и стабилизация математических моделей ВИЧ динамики (процессов)................ 118 Красовский Н. А., Тарасьев А. М .

Алгоритмы построения равновесных траекторий в динамических биматричных играх............. 119 Кругликов С. В .

Априорное моделирование пространственного движения объектов с ограниченной маневренностью..... 121 Кудрявцев К. Н., Стабулит И. С .

Об одной задаче дискретного управления рекламой.. 123 Кукушкина Е. В .

Канонические аппроксимации в задаче стабилизации автономных функционально-разностных уравнений.. 125 Кумков С. С., Пацко В. С .

Максимальные стабильные мосты в задачах преследования с двумя догоняющими и одним убегающим... 127 Куржанский А. Б .

Теория трубок траекторий в задачах группового управления......................... 129

–  –  –

Подивилова Е. О., Ширяев В. И .

Аппроксимация информационных множеств в задаче минимаксной фильтрации с использованием систем линейных неравенств.................... 148 Половинкин Е. С .

Необходимые условия оптимальности в задачах с дифференциальными включениями.............. 150 Попова С. Н., Банщикова И. Н .

О глобальной приводимости дискретных почти периодических систем...................... 152 Потапов М. М., Дряженков А. А .

Задачи граничного управления для волнового уравнения с терминальными условиями, порождающими целевой функционал и ограничение........... 153 Родин А. С .

О структуре сингулярного множества минимаксного решения уравнения Гамильтона – Якоби – Беллмана.. 155 Родина Л. И .

Инвариантные множества управляемой системы со случайными коэффициентами.............. 157 Розенберг В. Л .

Реконструкция параметров линейного стохастического уравнения в условиях дефицита информации..... 159 Ряшко Л. Б .

Метод функций стохастической чувствительности в анализе индуцированных шумами явлений для нелинейных динамических систем............ 161 Саматов Б. Т .

Дифференциальные игры с линейными ограничениями по управлению..................... 162 Серков Д. А .

О неулучшаемости стратегий с полной памятью в задачах оптимизации гарантированного результата... 165 Сесекин А. Н .

Вырожденная линейно-квадратичная задача для системы с линейным запаздыванием............ 167 Слепухина Е. С., Ряшко Л. Б .

Анализ стохастической возбудимости в модели нейрона Хиндмарш – Розе.................... 169 Соколов В. Ф .

Адаптивная стабилизация минимально-фазового объекта с липшицевой неопределенностью и ограниченным внешним возмущением................ 170 Солодушкин С. И., Сагоян А. А .

Численное исследование управляемого гиперболического уравнения первого порядка с запаздыванием и сдвигом по координатам................. 172 Старицын М. В., Сорокин С. П .

Вариационное условие оптимальности с позиционными управлениями для линейной по состоянию задачи импульсного управления.................. 174 Стрекаловский А. С .

Теория и методы решения невыпуклых задач оптимального управления.................... 175 Стружанов В. В., Бурмашева Н. В .

Метод простой итерации и устойчивость положений равновесия нелинейных градиентных механических систем............................ 177 Субботина Н. Н., Токманцев Т. Б .

Исследование устойчивости решения обратных задач динамики управляемых систем по отношению к возмущениям входных данных............. 178 Сумин В. И., Чернов А. В .

Вольтерровы функционально-операторные уравнения в теории оптимизации распределенных систем..... 180 Сумин М. И .

Устойчивый секвенциальный принцип максимума Понтрягина в оптимальном управлении распределенными системами...................... 182 Сурков П. Г .

Об одной некорректной задаче прогнозирования для линейной автономной системы с запаздыванием.... 185 Тарасьев А. М., Усова А. А .

Модель развития ресурсозависимой экономики.... 187 Тимофеева Г. А., Тимофеев Н. А .

Формализация задачи управления марковской цепью в условиях неполной информации............ 189 Толстоногов А. А .

Компактность в пространстве многозначных отображений с замкнутыми неограниченными значениями и ее приложения....................... 191 Тхай В. Н .

Условия устойчивости связанной линейной системы.. 192 Тхай В. Н., Барабанов И. Н .

Стабилизация колебаний в модели, содержащей связанные подсистемы..................... 194 Успенский А. А., Ушаков А. В .

Моделирование решений дифференциальных игр в одном классе невыпуклых множеств с гладкой границей 195 Ухоботов В. И., Изместьев И. В .

Однотипные дифференциальные игры с терминальным множеством в форме кольца............ 197 Ушаков В. Н., Брыкалов С. А., Паршиков Г. В .

Наборы дифференциальных включений и унификация наборов............................ 199 Филиппова Т. Ф .

Оценки множеств достижимости нелинейной динамической системы с неопределенностью.......... 201 Финогенко И. А .

Предельные дифференциальные включения и устойчивость неавтономных систем.............. 203 Хлопин Д. В .

Теоремы тауберова типа для конфликтно-управляемых систем......................... 204 Ченцов А. Г .

Расширения абстрактных задач о достижимости... 206 Чернов А. В .

О тотальном сохранении разрешимости управляемой задачи Дирихле для эллиптического уравнения.... 208 Чикрий А. А .

О достаточных условиях разрешимости игровых задач сближения.......................... 210 Шагалова Л. Г .

О применении метода характеристик для построения обобщенного решения уравнения Гамильтона – Якоби с фазовыми ограничениями................ 211 Шананин А. А .

Обратные задачи в моделях распределения ресурсов. 213 Шевченко И. И .

Формирование гарантирующих стратегий уклонения с памятью в играх одного убегающего и нескольких преследователей...................... 215 Шевченко Р. И .

Численное исследование устойчивости обобщенного течения Колмогорова................... 217 Шелудько А. С., Ширяев В. И .

Применение гарантированного подхода при параметрической идентификации модели динамической системы с хаотическими решениями........... 218 Шориков А. Ф .

Задача двухуровневого минимаксного программного управления процессом сближения для дискретной динамической системы................... 220 Щеглова А. А .

Об исследовании качественных свойств нелинейных дифференциально-алгебраических уравнений..... 222 Allgwer F .

o Industry 4.0: Challenges and opportunities for optimization-based control................. 224 Aseev S. M., Veliov V. M .

Maximum principle for innite-horizon optimal control problems under weak regularity assumptions....... 226 Botkin N. D., Turova V. L .

Application of Krasovskii’s unication method to simulation of acoustic waves in anisotropic media.... 228 Bravyi E. I .

On conditions for solvability of the periodic problem for the second order functional dierential equations under uncertainty.......................... 230 Chernousko F .

Locomotion control and optimization for multibody systems 232 Davydov A.A., Nassar A.F .

Stationary state of exploited population with hierarchical intraspecic competition.................. 233 Dontchev A. L .

Some inverse function theorems.............. 235 Finkelstein E. A., Gornov A. Yu .

Algorithm library in the software package OPTCON-MD for reachable set approximation of a nonlinear system.. 235 Gornov A. Yu., Anikin A. S., Andrianov A. N .

Some diculties in numerical solution of optimization problems with billions of variables............. 237 Huseyin N., Huseyin A., Guseinov Kh. G .

On properties of trajectories set of control system described by an ane integral equation.......... 239 Kalyakin L .

Stability of autoresonance under persistent perturbation by white noise........................ 240 Krasinskiy A. Ya., Krasinskaya E. M .

On method for investigation of some class stabilization problems with incomplete state information........ 241 Krasovskii A. A., Khabarov N. V., Reuter W. H., Obersteiner M .

An optimization model linking electricity prices, CO2 prices, and REDD+ options............. 243 Krej P., Timoshin S. A .

c Coupled ODEs control system with unbounded hysteresis region............................. 245 Krener A. J .

Al’brecht’s method for optimal stabilzation and its extensions.......................... 247

–  –  –

Contents

Averboukh Yu .

Non-zero sum dierential games and control with guide strategies........................... 27 Ageev A. L., Antonova T. V., Kurlikovskii D. V .

Localization of lines of discontinuity for function of two variables........................... 29 Azamov A. A .

DN -tracking method in a quality theory of dynamic systems............................ 31 Ananyev B. I .

On estimation of inverse dierence equations with statistically uncertain disturbances............. 32 Ananyevskiy I. M .

Control of underactuated mechanical systems near equilibrium position..................... 34 Andreev A. S., Peregudova O. A., Kudashova Е. А .

On stabilization of mechanical system motions by use of various types of controls................... 35 Bannikov A. S .

On linear non-stationary dierential games of group pursuit 37 Bashkirtseva I. A .

Mean-square analysis of stochastic cycles for discrete systems with parametric noises............... 38 Bashkirtseva I. A., Ekaterinchuk E. D., Ryazanova T. V .

Comparative analysis of stochastic eect on the Goodwin model............................. 40 Bedin D. A., Ivanov A. G., Fedotov A. A .

Identication of systematic errors of radars on the basis of their joint measurements................. 42 Blagodatskikh A. I .

Group pursuit under presence of defenders of the evader 44 Blizorukova M. S .

On reconstruction of input actions in a system with delay in control........................... 46 Vasilyev S. N., Druzhinin A. E .

On model analogies and multi regime systems...... 47 Voronov V. A .

The modied method of sequential linearization for control problem of redundant moment gyros....... 49 Vorotnikov V. I., Martyshenko Yu. G .

Reorientation of an asymmetric rigid body by means of the engine-ywheels under the game model of noises... 50 Gasnikov A. V., Dvurechensky P. E .

Optimization methods for problems with inexact oracle in Hilbert space....................... 52 Gomoyunov M. I., Lukoyanov N. Yu .

Numerical solution of control problems for the maxminminmax of a positional functional............. 54 Gornov A. Yu., Zarodnyuk T. S .

Computing technologies for global extremum search in an optimal control problem with a free right end..... 55 Gorokhovik V. V., Tramovich M. A .

Banach spaces of positively homogeneous functions in nonsmooth analysis and optimization........... 57 Grebenschikov B. G., Lozhnikov A. B .

A stabilization algorithm for a system of neutral type.. 59 Gusev M. I .

Approximation of reachable sets of nonlinear control systems with state constraints............... 61 Danilin A. R .

Asymptotics of the solution of a singularly perturbed optimal control problem with integral constraints and the given criterion of quality................ 63 Danilov L. I .

Multivalued recurrent mappings and their selectors... 64 Dvurechensky P. E., Ivanov G. E .

Minkowski operators and their application to dierential games............................. 66 Dmitruk N. M .

Optimal control of interacting systems with disturbances 68 Dolgii Yu. F .

Optimal stabilization of systems of dierential equations with aftereect of neutral type............... 70 Dumsheva T. D., Kandoba I. N., Koz’min I. V., Kostousov V. B., Kostousova E. K., Lozhnikov A. B., Pochinskii V. I .

Optimal orbit transfers of a carrier rocket......... 72 Dykhta V. A .

Bipositional Lagrangians and duality in nonconvex optimal control problems.................. 74 Dykhta V. A., Samsonyuk O. N .

Hamilton – Jacobi inequalities and optimality conditions for impulse control systems................. 76 Egorov A. I., Znamenskaya L. N .

Control with minimal energy for boundary problems with parabolic equation...................... 78 Egrashkina J. E., Sedova N. O .

Fuzzy T-S systems in stability analysis for nonlinear dierential systems..................... 80 Ekaterinchuk E. D., Ryashko L. B .

Analysis of Verhulst stochastic model with delay..... 82 Zharinov A. N., Kumkov S. S .

Convergence of algorithms for constructing boundaries of reachability sets in control problems in the plane..... 83 Zhukovskiy V. I .

Berge equilibrium under uncertainty............ 85 Zhukovskiy E. S., Ponosov A. V .

On the theory of functional-dierential equations..... 87 Zaitsev V. A .

Sucient conditions for stabilization of discrete-time stationary ane control systems with time-invariant coecients.......................... 89 Zelikin M. I., Osipov Yu. S .

Multi-dimensional variation problems........... 91 Zimovets A. A., Matviychuk A. R .

On eective grid methods for integral funnels construction in dynamic systems..................... 92 Ilin E. D., Shiryaev V. I .

On guaranteed estimation of some kinds of disturbances in linear dynamic system.................. 94 Kalinin A. I., Lavrinovich L. I .

Asymptotically suboptimal feedback synthesis in singularly perturbed linear-quadratic optimal control problem............................ 96 Kalitin B. S .

Development of the by Barbashin – Krasovskii idea in the Lyapunov direct method.................. 98 Kazakov A. L., Lempert A. A .

On a wave approach to solving optimization problems of logistic infrastructure.................... 100 Kayumov R. I .

On singularly perturbed dierential inclusions...... 102 Kirillova F. M., Dmitruk N. M., Gabasov R .

Synthesis of optimal systems and optimal control in real time.............................. 104 Kiselev Yu. N., Avvakumov S. N., Orlov M. V .

Optimal resource distribution problem in a two-sector economic model with production function of CES type. 106 Kleimenov A. F .

Equilibrium solutions of non-antagonistic positional dierential game in classes of pure strategies....... 108 Kolpakova E. A .

Generalized solutions of Hamilton – Jacobi equations system 109 Kornev D. V .

On numerical solving of dierential games on minimax of a positional functional in classes of mixed strategies... 111 Korotkii A. I., Starodubtseva Yu. V .

Reconstruction of boundary controls from boundary observations in the reaction-convection-diusion systems 113 Kostousova E. K .

On polyhedral control synthesis for discrete-time systems under uncertainties and state constraints......... 115 Krasovskii A. N., Bocharov G. A., Kim A. V., Glushenkova V. V., Safronov M. A .

Control and stabilization of mathematic HIV models (processes).......................... 118 Krasovskiy N. A., Tarasyev A. M .

Algorithms for construction of equilibrium trajectories in dynamic bimatrix games.................. 119 Kruglikov S. V .

A priori simulation of spacial motion for a group of objects with restricted maneuverability............... 121 Kudryavtcev K. N., Stabulit I. S .

On a problem of advertising discrete control....... 123 Kukushkina E. V .

Canonical approximation in problem of stabilization for autonomous functional-dierential equations....... 125 Kumkov S. S., Patsko V. S .

Maximal stable bridges in pursuit problems with two pursuers and one evader................... 127 Kurzhanski A. B .

Theory of trajectory tubes in problems of group control. 129 Lebedev P. D., Kazakov A. L .

The best approximations of sets by the nite sets of circles 129 Lukoyanov N. Yu., Plaksin A. R .

Finite-dimensional modelling guides for conict-control systems of neutral type................... 131 Lutmanov S. V .

About one method of construction of compromise sets of strategies in dierential games of several persons..... 133 Maksimov V. I .

On tracking trajectories of dynamical systems by the extremal control methods.................. 134 Nikolskii M. S .

On study of a controlled model by Solow......... 135 Pavlenko V. N .

Non-uniqueness theorems for periodic parabolic problems with discontinuous non-linearities............. 137 Panasenko E. A., Tonkov E. L .

Extension of E.A. Barbashin and N.N. Krasovskii theorem onto controllable systems on smooth manifolds...... 139 Petrov N. N., Vinogradova M. N., Solovyeva N. A .

On some non-stationary problems of group pursuit.... 141 Petrosyan L. A .

Two-stage cooperation in coalitional dierential games.. 143 Pimenov V. G .

Numerical method for modelling controlled advection equation with delay..................... 145 Pogodaev N. I .

On one control problem for scalar quasilinear equations. 147 Podivilova E. O., Shiryaev V. I .

Information set approximation in minimax ltration problem using linear inequalities systems......... 148 Polovinkin E. S .

Necessary conditions for optimality in problems with dierential inclusions.................... 150 Popova S. N., Banshchikova I. N .

On global reducibility of discrete almost periodic systems 152 Potapov M. M., Dryazhenkov A. A .

Boundary control problems for wave equation with terminal conditions generating the cost function and constraint........................... 153 Rodin A. S .

On structure of a singular set of the minimax solution for the Hamilton – Jacobi – Bellman equation......... 155 Rodina L. I .

Invariant sets of control system with random coecients 157 Rozenberg V. L .

Parameters reconstruction of a linear stochastic equation under conditions of information shortage......... 159 Ryashko L. B .

Stochastic sensitivity functions technique for analysis of noise-induced phenomena in nonlinear dynamic systems. 161 Samatov B. T .

Dierential games with linear constraints on controls.. 162 Serkov D. A .

On non-improvability of full–memory strategies in problems of the guaranteed result optimization...... 165 Sesekin A. N .

Degenerate linear-quadratic problem for system with linear delay.......................... 167 Slepukhina E. S., Ryashko L. B .

Analysis of stochastic excitability in Hindmarsh – Rose neuron model......................... 169 Sokolov V. F .

Adaptive stabilization of minimum-phase plant under Lipschitz uncertainty and bounded outer disturbance.. 170 Solodushkin S. I., Sagoyan A. A .

Numerical investigation of a controlled rst order hyperbolic equation with time delay and retardation in state variable......................... 172 Staritsyn M. V., Sorokin S. P .

Variational optimality condition with positional controls for a state-linear problem of impulse control....... 174 Strekalovsky A. S .

Theory and methods for solving nonconvex optimal control problems....................... 175 Struzhanov V. V., Burmasheva N. V .

Method of a simple iteration and stability of equilibria of mechanical nonlinear gradient systems........... 177 Subbotina N. N., Tokmantsev T. B .

Studies on solutions stability of inverse problems of dynamics for controlled systems w.r.t. perturbations of input data.......................... 178 Sumin V. I., Chernov A. V .

Volterra functional-operator equations in the optimal control theory of distributed systems........... 180 Sumin M. I .

Stable sequential Pontryagin maximum principle in optimal control of distributed systems........... 182

–  –  –

Chernov A. V .

On total preservation of solvability of controlled Diriclet problem for elliptic equation................ 208 Chikrii A. A .

On sucient conditions for solvability of game-approach problems........................... 210 Shagalova L. G .

On application of the characteristics method to construction generalized solution of the Hamilton – Jacobi equation with phase-state constraints....... 211 Shananin A. A .

Inverse problem in model of resources distribution.... 213 Shevchenko I.I .

Construction of guaranteed avoidance strategies with memory for one evader-several pursuers games...... 215 Shevchenko R. I .

Numeric research of stability of the generalized Kolmogorov ow....................... 217 Sheludko A. S., Shiryaev V. I .

Parameter identication for chaotic dynamic systems:

a guaranteed approach................... 218 Shorikov A. F .

Two-level minimax program control problem of approach process for discrete-time dynamic system......... 220 Shcheglova A. A .

On investigation of qualitative properties of nonlinear dierential-algebraic equations............... 222 Allgwer F .

o Industry 4.0: Challenges and opportunities for optimization-based control................. 224 Aseev S. M., Veliov V. M .

Maximum principle for innite-horizon optimal control problems under weak regularity assumptions....... 226 Botkin N. D., Turova V. L .

Application of Krasovskii’s unication method to simulation of acoustic waves in anisotropic media.... 228 Bravyi E. I .

On conditions for solvability of the periodic problem for the second order functional dierential equations under uncertainty.......................... 230 Chernousko F .

Locomotion control and optimization for multibody systems 232 Davydov A.A., Nassar A.F .

Stationary state of exploited population with hierarchical intraspecic competition.................. 233 Dontchev A. L .

Some inverse function theorems.............. 235 Finkelstein E. A., Gornov A. Yu .

Algorithm library in the software package OPTCON-MD for reachable set approximation of a nonlinear system.. 235 Gornov A. Yu., Anikin A. S., Andrianov A. N .

Some diculties in numerical solution of optimization problems with billions of variables............. 237 Huseyin N., Huseyin A., Guseinov Kh. G .

On properties of trajectories set of control system described by an ane integral equation.......... 239 Kalyakin L .

Stability of autoresonance under persistent perturbation by white noise........................ 240 Krasinskiy A. Ya., Krasinskaya E. M .

On method for investigation of some class stabilization problems with incomplete state information........ 241 Krasovskii A. A., Khabarov N. V., Reuter W. H., Obersteiner M .

An optimization model linking electricity prices, CO2 prices, and REDD+ options............. 243 Krej P., Timoshin S. A .

c Coupled ODEs control system with unbounded hysteresis region............................. 245 Krener A. J .

Al’brecht’s method for optimal stabilzation and its extensions.......................... 247

–  –  –

Доклад посвящен исследованию равновесия по Нэшу в случае, когда игроки используют стратегии управления с поводырем. Целью работы является построение универсального равновесия по Нэшу, т. е. набора стратегий, обеспечивающих равновесие независимо от начальной позиции. Стратегии с поводырем были предложены Н.Н. Красовским и А.И. Субботиным и обобщают понятие позиционных стратегий. Неформально различие между позиционными стратегиями и стратегиями управления с поводырем можно описать следующим образом: если игрок использует позиционную стратегию, ему необходимы лишь измерительные инструменты: игрок, применяющий стратегию управления с поводырем, нуждается и в измерительных инструментах, и в компьютере для построения модели движения системы .

Рассматриваются дифференциальные игры многих лиц с динамикой, описываемой уравнением

xi = fi (t, x1,..., xn, ui ), t [0, T ], xi Rd, ui Pi, i = 1, n. (1)

Каждый игрок стремится к максимизации выигрыша i (x1 (T ),..., xn (T )). В дальнейшем будем использовать обозначение x = (x1,..., xn ). Если ui программное управление игрока i, (t, x ) начальная позиция, то обозначим через x(·, t, x, u1,..., un ) соответствующее движение .

Пусть игроки используют стратегию управления с поводырем .

В этом случае стратегия игрока i представляет собой тройку Ui = 1 Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН, Необходимость локализовать (т. е. определить положение) линии разрыва функции двух переменных f (x, y) возникает в различных приложениях, например, при обработке изображений. Поэтому актуальной задачей является построение и исследование методов локализации на устойчивость к возмущениям входных данных, чему посвящен этот доклад. Для прикладных задач в разных постановках предложено большое количество алгоритмов (см., например, [1, 2]), позволяющих локализовать линии разрыва, но прикладные алгоритмы часто не сопровождаются строгим теоретическим исследованием на устойчивость к шуму .

Рассмотрим функцию двух переменных f (x, y), имеющую линии разрыва i, i = 1, 2,..., l; вне линий разрыва функция f (x, y) гладкая. В полосе D = {(x, y) : x +, |y y| } кривые i заданы функциями x = i (y). Предполагается, что точная функция f неизвестна, а известны возмущенная функция f и уровень погрешности такие, что f f L2. Исследуется задача локализации по функции f и уровню погрешности точек xi, i = 1, 2,..., l, пересечения линий разрыва i с прямой y = y .

1 Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН, В работах [3,4] данная задача рассматривается при разных функциональных условиях на функцию f (x, y). Предполагается, что условия на функцию f (x, y) заданы в полосе D, т. е. локально. В работах [3, 4] предложены локальные регулярные методы, которые определяют количество особенностей l и находят приближения x, i = i 1, 2,..., l, для точек xi, i = 1, 2,..., l, c оценками точности аппроксимации |xi x | C .

i Также рассмотрена задача локализации линий разрыва функции f (x, y), являющейся решением интегрального уравнения первого рода + + <

–  –  –

[1] Малла С. Вэйвлеты в обработке сигналов. М.: Мир, 2005 .

[2] Введение в контурный анализ и его приложения к обработке изображений и сигналов / Ред. Я. А. Фурман М.: Физматлит, 2002 .

[3] Агеев А.Л., Антонова Т. В. Аппроксимация линий разрыва зашумленной функции двух переменных // Сиб. журнал индустр .

математики. 2012. Т. XV, № 1(49). С. 3–13 .

[4] Антонова Т.В. Метод локализации линии разрыва приближенно заданной функции двух переменных // Сиб. журн. вычисл .

математики / РАН Сиб. отд-ние. Новосибирск, 2012. Т. 15, № 4 .

C. 345–357 .

–  –  –

Качественная теория (называемая также геометрической теорией) динамических систем остается одной из бурно развивающихся областей современной математики. Подвергнута глубокой разработке (см. [1]) теория динамических систем на плоскости (вообще на двумерных многообразиях), чему способствует наличие теоремы Жордана (по крайней мере, локально). Несмотря на это, даже для плоского случая многие вопросы (включая 16-проблему Гильберта) остаются открытыми. В случае многомерных систем задачи существенно усложняются. Например, присутствие хаотической траектории в системе Лоренца до сих пор строго не доказано .

Основываясь на идее, высказанной в монографии [1] (VI.14.4), предложен метод, названный дискретно-численным слежением (кратко DN -слежения), который при определенных условиях (и удачном стечении обстоятельств, связанных с данной системой), оказывается вполне эффективным инструментом доказательства наличия: а) замкнутых траекторий (независимо от порядка системы);

б) бифуркаций гомоклинической петли седла (на плоскости) и петли седла-антиседла (в пространстве); в) бифуркации удвоения периода;

г) бифуркации гетероклинических траекторий; д) инвариантных торов .

Метод основан на построении отображения Пуанкаре, используя слежение за реальной траекторией посредством дискретной траектории по схеме Рунге – Кутта и численной (компьютерной) траекторией. Попутно показывается, что без должного обоснования неправоИнститут математики Национального университета Узбекистана им. М. Улугбека, Ташкент мерно сделать какие-либо заключения об исходной системе, опираясь только на компьютерные вычисления .

[1] Андронов А.А., Леонтович Е.А., Гордон И.И., Майер А.Г. Качественная теория динамических систем второго порядка. М.:

Наука. 1966. 568 с .

–  –  –

путём разбиения = {0 t1 · · · tT = b} отрезка интегрирования [0, b]. ОДСУ, впервые рассмотренные при обосновании стохастического принципа максимума, широко используются в моделях механики, финансовой математики и экономики. Разностные уравнения (1) имеют, кроме того, и самостоятельное значение. Пусть задано фильтрованное вероятностное пространство (, F, {Ft }, P ) с F = FT, где Ft1 Ft, t 1 : T. Символом Lp (Ft ) обозначим множество n всех n-мерных и Ft -измеримых случайных функций, интегрируемых в степени p. Введём множество Mp = {z Lp (Ft ) | E(z|Ft1 ) = 0}, t n t 1 : T, состоящее из n-мерных мартингальных разностей, где E математическое ожидание .

1 Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН, [1] Ananyev B.I. State Estimation for Linear Stochastic Dierential Equations with Uncertain Disturbances via BSDE approach // AIP, Conference Proceedings. 2012. Vol. 1487. P. 143–150 .

[2] Кощеев А.С., Куржанский А.Б. Адаптивное оценивание эволюции многошаговых систем в условиях неопределённости // Изв .

АН СССР. Техн. кибернетика. 1983. № 2. С. 72–93 .

Управление механическими системами с дефицитом управляющих воздействий в окрестности положения равновесия И. М. Ананьевский1

e-mail:

Развивается подход к построению управления для нелинейных механических систем, у которых число степеней свободы превосходит размерность вектора обобщенных управляющих сил. Основное внимание уделяется маятниковым системам. В частности, рассматриваются такие системы, как многозвенный перевернутый маятник, управляемый моментом, приложенным в первом шарнире; совокупность двузвенных маятников, управляемых одним моментом, и ряд других. Задача состоит в построении ограниченного по модулю управления в форме обратной связи, приводящего систему из 1 Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН, Москва окрестности произвольного положения равновесия в это положение равновесия за конечное время .

В основе предлагаемого решения данной задачи лежит метод синтеза управления для линеаризованной системы, полученный с использованием техники линейных матричных неравенств [1]. Необходимым условием его применимости является полная управляемость линеаризованной системы. В докладе устанавливаются условия полной управляемости линейных моделей рассматриваемых систем .

Эффективность предложенного подхода проиллюстрирована с помощью численного моделирования динамики ряда маятниковых систем .

Работа выполнена при поддержке РФФИ, проекты № 14-01-00356а и № 14-01а, и в рамках гранта поддержки ведущих научных школ № НШ-2710.2014.1 .

[1] Ананьевский И.М., Анохин Н.В., Овсеевич А.И. Синтез ограниченного управления линейными динамическими системами с помощью общей функции Ляпунова // Доклады академии наук

.

2010. T. 434, № 3. C. 319–323 .

–  –  –

вектор обобщенных неуправляемых сил, U Rn вектор управления .

Задача решается на основе принципа сравнения с построением соответствующих векторных функций и функционалов Ляпунова посредством непрерывных и релейных управлений, дискретных ПИи ПИД-регуляторов. При этом учитываются нелинейность системы, действие неуправляемых сил, запаздывание в цепи обратной связи, условия робастности управления по отношению к инерционным параметрам системы и программного движения .

Пусть X = {(q (0) (t), q (0) (t)) : [t0, +) R2n } заданное множество программных движений, ограниченных областью

–  –  –

где A(0) (t) = A(q (0) (t)), C (0) (t) = C(q (0) (t)), Q(0) (t) = Q(t, q (0) (t), q (0) (t)) .

Введем возмущение x = q q (0) (t) и управляющее воздействие U (1) = U U (0) (t). Тогда уравнения возмущенного движения могут быть записаны в виде

–  –  –

Заметив, что Q(1) (t, 0) 0, Q(2) (t, x, 0) 0, допустим, что в соответствии с наложенными связями и действующими силами имеют место следующие представления силы Q(1) через нелинейность p(t, x) и силы Q(2) с выделенной линейной по x частью:

–  –  –

где B Rnn есть матрица коэффициентов усиления в структуре обратной связи .

В качестве конкретных задач решаются задачи об управлении манипуляторами и колесными мобильными роботами .

Работа выполнена при поддержке РФФИ, проект № 12-01-33082мол_а_вед и Минобрнауки России в рамках базовой части (код проекта 2097) .

К линейным нестационарным дифференциальным играм группового преследования А. С. Банников1

e-mail:

Рассматривается линейная нестационарная задача преследования несколькими объектами одного убегающего при равных динамических возможностях всех участников .

Предполагается, что убегающий в процессе игры не покидает пределы некоторого заданного выпуклого многогранного множества с непустой внутренностью; терминальные множества выпуклые компакты; множество, ограничивающее управление игроков строго выпуклый компакт с гладкой границей .

1 Удмуртский государственный университет, Ижевск В терминах начальных условий и параметров процесса получены достаточные условия окончания игры в паре контрстратегии преследователей позиционые стратегии убегающего. Показано, что если преследование может быть завершено за конечное время в классе контрстратегий, то при информированности преследователей только о позиции игры, оно может быть закончено за то же самое время в сколь угодно малой окрестности терминального множества .

Также рассмотрена задача уклонения, для которой приведены достаточные условия разрешимости .

Работа выполнена при поддержке РФФИ, проекты № 12-01-00195, 14-01

–  –  –

Предполагается, что соответствующая (1) детерминированная система (gi = 0) имеет экспоненциально устойчивый k-цикл. Точки множества = {1,..., xk } связаны равенствами x

–  –  –

[1] Bashkirtseva I. Analysis of limit cycles response on parametrical noise in one-dimensional discrete-time systems // Fluctuation and Noise Letters. 2013. Vol. 12, №. 3, 1350009 (12 pages) .

–  –  –

В работе рассматривается стохастичекая интерпретация экономической модели Гудвина модель нелинейного акселераторамультипликатора [1]. В детерминированной модели исследована динамика решений, результаты проиллюстрированы в сводной бифуркационной диаграмме. В зоне устойчивых равновесий обнаружено жесткое рождение полуустойчивого цикла, который распадается на устойчивый и неустойчивый. Неустойчивый цикл является сепаратрисой, ограничивающей бассейны притяжения цикла и равновесий .

Исследованы устойчивость и размеры аттракторов в зависимости от одного из параметров системы .

Анализ стохастической модели опирается на технику функции стохастической чувствительности. Под воздействием шума стохастическая траектория образует пучок вокруг детерминированного аттрактора. В работе представлены результаты исследования влияния двух видов шумов (аддитивного и параметрического), описаны 1 Уральский федеральный университет имени первого Президента России

Б.Н. Ельцина, Екатеринбург

отличия в их воздействии на динамику модели. Для исследования чувствительности к аддитивным возмущениям на равновесия аналитически получена матрица стохастической чувствительности, собственные векторы которой задают главные направления отклонений, а собственные значения величину этих отклонений. В случае цикла матрица стохастической чувствительности является матричной функцией от времени вдоль цикла, поэтому чувствительность считается численно. При увеличении интенсивности возмущений дисперсия отклонений случайных состояний от аттрактора увеличивается и, начиная с некоторого значения, наблюдаются индуцированные шумом переходы. В зоне сосуществования устойчивых равновесий и устойчивого цикла с помощью метода доверительных областей получены критические значения интенсивностей, начиная с которых происходят переходы между бассейнами притяжений аттракторов .

При изучении влияния параметрических возмущений также найдены матрицы стохастической чувствительности для аттракторов и исследована зависимость их компонент от параметра системы. Аналогично случаю аддитивного шума получены критические значения интенсивностей, при которых начинаются переходы между бассейнами притяжения аттракторов. Анализ показывает, что влияние параметрического шума качественно не отличается от воздействия аддитивного шума. Однако в случае параметрического шума, внесенного в один из трех параметров, в системе индуцируется хаос .

[1] Goodwin R.M. The Nonlinear Accelerator and the Persistence of Business Cycles // Econometrica, Vol. 19, No. 1 (Jan., 1951), 1–17 .

[2] Башкирцева И.А., Екатеринчук Е.Д., Рязанова Т.В., Сысолятина А.А. Математическое моделирование стохастических равновесий и бизнес-циклов модели Гудвина // Компьютерные исследования и моделирование, 2013, № 1, Т. 5. С. 107–118 .

Определение систематических ошибок радиолокаторов по их совместным измерениям Д. А. Бедин1, А. Г. Иванов1,2, А. А. Федотов1

e-mail:

Рассматривается задача нахождения систематических ошибок нескольких радиолокаторов (РЛС) по их совместным измерениям положения воздушных судов (ВС). Предполагается, что известна информация от большого количества ВС в течение достаточно долгого (сутки) промежутка времени. Каждая РЛС независимо друг от друга со своим тактом по времени измеряет наклонную дальность до ВС и азимут. Измерения производятся с погрешностью: выделяют случайную и систематическую составляющую. Систематическая ошибка РЛС приводит к пространственному смещению наблюдаемого трека ВС .

Задача определения и последующей коррекции систематических ошибок для практических приложений стала актуальной достаточно давно. По данной теме существует большое количество зарубежных работ [1, 2]. Среди российских работ отметим [3]. Практически во всех работах в качестве методов определения систематических ошибок используются методы параметрического оценивания с некоторой заданной, достаточно простой моделью наблюдения, в которую включено влияние систематических ошибок .

Авторами разработаны три алгоритма определения систематических ошибок (их общее описание дано в [4]). Все эти алгоритмы используют избыточность информации, поступающей от разных РЛС при наблюдении за одним и тем же движением ВС, и работают в режиме апостериорной обработки, используя данные по многим ВС .

Первый алгоритм основан на потраекторной обработке: для каждой траектории определяются систематические ошибки на основе заданной модели, которая может быть достаточно сложной. Затем производится статитстическая обработка результатов. Алгоритм корректно учитывает нелинейный характер наблюдений при помощи РЛС, а также технические и физические ограничения на параИнститут математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН, Екатеринбург 2 Уральский федеральный университет имени первого Президента России

Б.Н. Ельцина, Екатеринбург

метры задачи. Алгоритм базируется на процедуре многомерой конечномерной минимизации .

Второй алгоритм основан на идее локальной аппроксимации. Показано, что задача локальной аппроксимации значений векторного поля систематических ошибок является некорректной. Предложен способ регуляризации, выделяющий наиболее плавно изменяющееся в пространстве решение. Наиболее полно алгоритм описан в [5] .

Третий алгоритм предназначен для использования в условиях сильного искажения времени, приписываемого измерению.

Он основан на обработке треков от разных РЛС как геометрических фигур:

выделяются одинаковые фигуры, относящиеся к наблюдению одного и того же ВС, и анализируется их пространственное смещение .

В настоящее время все алгоритмы имеют рабочую реализацию и опробованы на реальных данных траекторного наблюдения .

Работа выполнена при поддержке интеграционного проекта УрО и СО РАН, проект № 12-С-1-1017 .

[1] Renes J.J., Kraan P. v.d., Eymann C. Flightpath Reconstruction and Systematic Radar Error Estimation from Multi-Radar RangeAzimuth Measurements // 24th IEEE Conf. on Decision and Control, 1985. V. 24, part 1. P. 1282–1285 .

[2] Garcia Herrero J., Portas J.A.B., Casar Corredera J.R. On-line multi-sensor registration for data fusion on airport surface // IEEE Tr. on Aer. and Electr. Sys. 2007. V. 43, no. 1. P. 356–370 .

[3] Кирсанов А.П. Оценивание систематических ошибок измерений подвижной РЛС при одновременном определении координат воздушных объектов двумя РЛС // Радиотехника. 2011 .

№ 8. С. 105–110 .

[4] Бедин Д.А., Беляков А.В., Ганебный С.А., Иванов А.Г., Строков К.В., Федотов А.А. Совместная обработка данных от нескольких РЛС для выявления систематических ошибок по азимуту и дальности // Радиолокация, навигация, связь (RLNC*2013): Сб. докл. XIX межд. науч.-тех. конф. Воронеж:

САКВОЕЕ, 2013. Т. 3. С. 1567–1578 .

[5] Бедин Д.А. Оценивание векторного поля систематических ошибок нескольких РЛС по результатам траекторных наблюдений // Вестн. ЮУрГУ. Сер. Матем. моделир. и прогр. 2014. Т. 7, № 1. С. 5–15 .

–  –  –

В пространстве Rk (k 2) рассматривается дифференциальная игра n + r + 1 лиц: n преследователей P1,..., Pn, убегающего E и r защитников (убегающего) D1,..., Dr с законами движения

–  –  –

где xi, y, zj Rk, V строго выпуклый компакт в Rk с гладкой границей и непустой внутренностью, I(q) = {1,..., q} для всех q 1, шар в Rk с центром в точке a радиуса b. Начальные S(a, b) позиции Xi0 преследователей Pi и Y 0 убегающего E фиксированы и Xi0 = Y 0 для всех i I(n). Каждый защитник Dj, j I(r), выбирает свою начальную позицию Zj S(Y 0, L) до начала движения конфликтно управляемой системы, причем L 0 такая фиксированная постоянная, что Xi0 S(Y 0, L) для всех i I(n) .

/ Управления из класса измеримых по Лебегу функций на [t0, ) со значениями в множестве V будем называть допустимыми. Квазистратегией преследователя Pi называем отображение

–  –  –

При совпадении геометрических координат d 1 защитников Dj и p 1 преследователей Pi погибают min{d, p} защитников и столько же преследователей. Пусть T (Pi ), i I(n), и T (Dj ), j I(r), моменты гибели преследователя Pi и защитника Dj соответственно .

Если участник не погибает, то полагаем момент гибели равным .

Для каждого q = 1,..., n введём множество (q) = {i1,..., iq } : i1 · · · iq, i1,..., iq I(n) .

1 Удмуртский государственный университет, Ижевск Определение. В игре возможна одновременная m-кратная поесли существуют такие момент T0 = T0 (Xi0, Y 0 ) и имка (m квазистратегии Ui преследователей Pi, что для любых допустимого управления v(t) убегающего E и квазистратегий Wj защитников Dj найдутся множество (m) и момент [t0, T0 ], для которых выполнены условия

x ( ) = y( ), T (P ), x (s) = y(s) для всех s [t0, ), .

Неформально правила игры можно трактовать, например, так:

имеются три центра управления (I управляет убегающим, II преследователями, III защитниками), общая цель I и III центров уклонение убегающего от одновременной поимки, цель II центра противоположна; кроме того, в ходе игры у каждого защитника активируется механизм самоликвидации при встрече с инородным объектом (убегающим или преследователем), при этом преследователь ликвидируется (в случае нескольких преследователей первый из них защищает остальных), а убегающему ущерб не причиняется .

Теорема. В игре возможна одновременная m-кратная поимка тогда и только тогда, когда Y 0 Int co{Xq, q K} для всех множеств K (n m r + 1) .

[1] Григоренко Н.Л. Математические методы управления несколькими динамическими процессами. М.: Изд-во МГУ, 1990 .

[2] Чикрий А.А. Конфликтно управляемые процессы. Киев: Наук .

думка, 1992 .

[3] Петров Н.Н. Многократная поимка в примере Понтрягина с фазовыми ограничениями // ПММ. 1997. Т. 61. Вып. 5. С. 747–754 .

[4] Благодатских А.И., Петров Н.Н. Конфликтное взаимодействие групп управляемых объектов. Ижевск: Изд-во Удмурт. ун-т, 2009 .

[5] Благодатских А.И. Одновременная многократная поимка в задаче простого преследования // ПММ. 2009. Т. 73. Вып. 1 .

С. 54–59 .

[6] Благодатских А.И. Одновременная многократная поимка в конфликтно управляемом процессе // ПММ. 2013. Т. 77. Вып. 3 .

С. 433–440 .

О реконструкции входных воздействий в системе с последействием в управлении М. С. Близорукова1

e-mail:

Задачи нахождения соответствующих характеристик изучаемого объекта по доступной, но неточной информации, поступающей в процессе специально организованных наблюдений, часто называют задачами реконструкции. Один из методов решения подобного типа задач, основанный на принципах позиционного управления и методах решения некорректных задач, сводит задачу реконструкции к задаче управления вспомогательной динамической системой, называемой моделью. Управление в модели адаптируется к результатам текущих наблюдений таким образом, что его реализация во времени попадает под условия какого-либо принципа регуляризации; последнее обеспечивает устойчивость алгоритма. При этом регуляризация рассматриваемой задачи осуществляется локально на этапе выбора позиционного управления в системе-модели. В настоящем сообщении этот метод применен к исследованию задачи реконструкции в нелинейной системе с запаздыванием в управлении .

Рассматривается управляемая система вида

x(t) = f1 (t, ut (s), xt (s)) + f2 (t, xt (s))u(t),

ut0 (s) = u0 (s) C([ u, 0]; Rn1 ), xt0 (s) = x0 (s) C([ x, 0]; Rn2 ), где t время из некоторого фиксированного отрезка T = [t0, ] (t0 +); x(t) = (x1 (t),..., xn2 (t)) фазовое состояние системы; u(t) = (u1 (t),..., un1 (t)) вектор управления; символы xt (s) и ut (s) означают функции xt (s) = x(t + s) при s [ x, 0], ut (s) = u(t + s) при s [ u, 0]. Задача состоит в построении алгоритма, который позволяет синхронно с развитием процесса функционирования системы по результатам неточных измерений состояний x(i ) (в достаточно частые моменты i ) восстанавливать неизвестный вход .

Работа выполнена при поддержке РФФИ, проект 12-01-00175-а .

1 Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН, При преобразованиях математических моделей возникают вопросы о модельных аналогиях, понимаемых в докладе как переносимость исследуемого свойства хотя бы в одном направлении. В докладе рассматривается общий случай, когда для связи моделей используются отношения связи на множествах допустимых значений модельных переменных. Если в случае функциональности этих отношений все функции связи направлены в одну сторону и переносимость свойства имеет место в том же (соотв. обратном) направлении, то говорим о прямом (соответственно, обратном) сохранении свойства .

В динамике систем, в проблематике эквивалентности моделей относительно изучаемого свойства (прямого и одновременно обратного сохранения), требуется априорное условие траекторного гомоморфизма, а дополнительным условием часто является условие гомеоморфизма (L. Cesari, 1959, J. Thomas, 1964, А.В. Кавинов, А.П. Крищенко, 2007). Другого типа априорное условие задействуется для обратного сохранения динамических свойств при функциях связи в форме векторных функций Ляпунова (ВФЛ) и состоит в мажорировании ВФЛ вдоль решений изучаемой модели соответствующими решениями второй модели. При этом тоже требуются дополнительные условия (в случае устойчивости положительная определенность ВФЛ и др .

). Их получение для довольно широкого класса динамических свойств систем, охватываемых концепцией систем процессов, алгоритмизировано в методе сравнения (В.М. Матросов, 1974). Этому предшествовала теорема Е.А. Барбашина и Н.Н. Красовского (1952) об асимптотической устойчивости (со знакопостоянной производной функции Ляпунова). Ввиду нераспространимости её на неавтономный случай, В.М. Матросов и ввел вторую вспомогательную функцию для выбрасывания траекторий из плохих множеств .

В докладе впервые рассматривается задача регулярного получеИнститут проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, Москва 2 Санкт-Петербургский государственный университет ния условий переносимости свойств моделей в терминах отношений связи без априорных условий. Соответствующая задача как задача абдуктивного вывода сводится к решению логических уравнений, но известные итерационные и другие методы их решения (А.И. Таутс, 1964; J. McCarthy, 2003; G. Mints & N. Hoshi, 2007) здесь неприменимы ввиду специфики задачи о модельных аналогиях. Предлагаемые в докладе алгоритмы решают эту задачу, во-первых, для разных математических моделей, что демонстрируется не только на примерах динамических и алгебраических систем (в частности, многоосновных алгебр, к которым сводимы и некоторые задачи динамики и управления), а во-вторых, без существенных ограничений на класс свойств, переносимость которых изучается. Они позволяют получать условия переносимости в общей форме, а в качестве следствий разные варианты этих условий, в частности, с координатными и другими модельными связями по состоянию, времени, управлению и возмущению .

Рассматриваются примеры применения разработанных алгоритмов в нелинейном анализе динамических систем, в том числе в анализе динамических свойств, сложных по своим определениям и характерных, например, для инспекционных миссий информационных роботов. В частности, демонстрируется получение условий устойчивости на конечном интервале, диссипативности и управляемости с дополнительными требованиями удовлетворения фазовым ограничениям и другим критериям качества управления, когда возможны контролируемые или неконтролируемые смены режимов, вплоть до переключений модели объекта управления. Некоторые из этих условий использованы в управлении группировками движущихся объектов (формаций), в том числе автономных подводных аппаратов (С.Н. Васильев, Р.И. Козлов, С.А. Ульянов, 2014) .

Разработанные алгоритмы применены для исследования динамики гибридных систем, а в сочетании с методами дедуктивного вывода и для автоматизации планирования переключения режимов в случае, когда дискретная часть модели задана набором логических правил с некоторым механизмом поиска выводов .

–  –  –

Эффективные методы вычисления допустимых управлений для системы силовых гироскопов (СГ) имеют большое значение при разработке систем ориентации космических аппаратов (КА). В последние годы СГ с управляемой скоростью вращения ротора применяются на малых КА, где они, дополнительно к основным функциям, играют роль электромеханического аккумулятора. Относительно недавно появились проекты космических манипуляторов, в которых каждое звено несет СГ и управляется за счет перераспределения кинетического момента [1] .

В докладе рассматривается двухэтапный алгоритм расчета программных управлений для системы силовых гироскопов, основанный на методе последовательной линеаризации [2] с некоторыми изменениями [3]. Начальное приближение строится либо с использованием обратной связи, либо путем приближенного решения обратной задачи динамики .

Пусть управляемое вращение КА вокруг центра масс описывается нелинейной системой обыкновенных дифференциальных уравнений x = f (x, u) .

(1) Задано время перехода T, ограничения cj uj (t) cj, граничные условия x(0) = x0, x(t) PT, причем множество PT описывается системой линейных неравенств. Требуется найти допустимое управление, на котором норма

–  –  –

имеет локальный минимум .

Следует отметить, что при построении алгоритма существенную роль играет специфика конкретных задач. В частности, может быть 1 Институт динамики систем и теории управления СО РАН, Иркутск использовано семейство систем различной размерности, правые части которых аппроксимируют правую часть системы (1), и размерность аппроксимирующей системы на текущем шаге метода последовательной линеаризации может выбираться в зависимости от достигнутой точности. Кроме того, в рассматриваемых приложениях вспомогательная задача линейного программирования достаточно тривиальна .

Приведены результаты, полученные при решении ряда практических задач: управление переориентацией нежесткого КА с дискретизацией управляющих сигналов; управление манипулятором КА;

управление электромеханическим аккумулятором КА .

[1] Brown D. Control Moment Gyros as Space-Robotics Actuators .

AIAA 2008–7271 // AIAA Guidance, Navigation and Control Conference and Exhibit. 18 – 21 August 2008, Honolulu, Hawaii .

[2] Федоренко Р.П. Приближенное решение задач оптимального управления. М.: Наука, 1978 .

[3] Воронов В.А., Дружинин Э.И. Прецизионное программное наведение нежесткого орбитального телескопа // Изв. РАН. ТиСУ .

2010. № 3. С. 121–134 .

Переориентация асимметричного твердого тела посредством двигателей-маховиков при игровой модели помех В. И. Воротников1, Ю. Г. Мартышенко1

e-mail:

Решается задача трехосной переориентации асимметричного твердого тела (космического аппарата) посредством управляющих моментов внутренних сил, создаваемых двигателями-маховиками .

На управляющие моменты накладываются заданные геометрические ограничения. В процессе переориентации учитываются внешние неконтролируемые помехи, статистическое описание которых отсутствует .

1 Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б.Н. Ельцина, Екатеринбург Рассматриваемый процесс управления моделируется нелинейной конфликтно-управляемой системой обыкновенных дифференциальных уравнений, включающей уравнения движения основного тела (динамические уравнения Эйлера и кинематические уравнения в переменных Родрига – Гамильтона), а также уравнения вращения маховиков. Для этой системы ставится соответствующая игровая задача управления по части переменных (по переменным, определяющим состояние основного тела): задача гарантированного перевода системы из одного состояния равновесия в другое за конечное время при любых допустимых реализациях помех. Реализации управляющих моментов и помех считаются измеримыми функциями, решения изучаемой системы понимаются в смысле А.Ф. Филиппова .

Управляющие моменты формируются по принципу обратной связи как нелинейные функции (разрывные) фазовых переменных рассматриваемой конфликтно-управляемой системы.

Выбор таких функций определяется следующими обстоятельствами:

1) решение исходной нелинейной игровой задачи переориентации можно свести к решению линейных игровых антагонистических задач с нефиксированным временем окончания (для вспомогательных линейных конфликтно-управляемых систем второго порядка, определяющих динамику переменных Родрига – Гамильтона);

2) при отсутствии помех управляющие моменты являются субоптимальными по быстродействию;

3) переориентация достигается одним пространственным разворотом без дополнительных ограничений на характер результирующего движения .

Указана оценка допустимых уровней неконтролируемых помех в зависимости от заданных ограничений на управляющие моменты .

Данная оценка является достаточным условием, при котором обеспечивается гарантированное решение рассматриваемой задачи переориентации за конечное время посредством предложенной конструкции управляющих моментов, и улучшает ранее полученный результат авторов [1] .

Дается итерационный алгоритм нахождения гарантированного времени переориентации .

–  –  –

Известно [1], что для оптимизации в бесконечномерных пространствах можно использовать градиентный метод. В последние десятилетия были разработаны новые эффективные методы конечномерной выпуклой оптимизации, например, быстрый градиентный метод и различные его модификации (с неточным оракулом, со стохастическим оракулом). В конечномерной выпуклой оптимизации оказывается, что при высокой размерности задачи и невысоких требованиях к точности решения эффективными оказываются методы первого порядка, в оценки скорости сходимости которых обычно явно не входит размерность пространства. Все это приводит к идее применения методов конечномерной выпуклой оптимизации первого порядка для решения выпуклых задач в бесконечномерных пространствах (см., например, [2]). Во многих методах первого порядка в конечномерной оптимизации в пространстве E на каждой итерации необходимо решать задачу вида (градиентное отображение)

min { g, x + d(x) + h(x)}, xQE

где Q выпуклое множество, g элемент сопряженного пространства, g, x значение линейного функционала g в точке x, d(x) сильно выпуклая относительно выбранной нормы функция, h(x) выпуклая функция простой структуры,, неотрицательные числа. В конечномерной оптимизации можно ожидать, что такая задача решается в явном виде. Конструкция легко переносится на случай, когда E гильбертово пространство. При этом для решения указанной вспомогательной задачи можно применять вспомогательный метод, например, связанный с дискретизацией. При решении вспомогательной задачи неизбежно появление ошибки, которая будет влиять на оценку скорости сходимости метода оптимизации в целом .

1 Московский физико-технический институт (государственный университет), Долгопрудный 2 Институт проблем передачи информации им. А.А. Харкевича РАН, Москва В этой связи полезным оказывается понятие стохастического неточного оракула, рассмотренное, например, в [3]. Приведем его здесь для случая гильбертова пространства H. Пусть f (x) : H R выпуклый функционал на множестве Q H, · норма в H, скалярное произведение. Будем говорить, что f (x) наделена (, L)-оракулом, если для любого x Q найдутся такие f,L (x) и g,L (x), что L 2 0 f (y) f,L (x) g,L (x), y x xy +, y Q .

Стохастичность заключается в том, что вместо значения оракула (f,L (x), g,L (x)) мы можем вычислить только его стохастическую аппроксимацию (F,L (x, ), G,L (x, )), матожидание которой по случайной величине равно значению оракула в точке x, а дисперсия G(x, ) равна 2. В докладе планируется обсудить перенос стохастического промежуточного градиентного метода для конечномерных задач выпуклой оптимизации со стохастическим неточным оракулом на случай выпуклых задач в гильбертовом пространстве. Это позволит получить метод оптимизации в гильбертовых пространствах со скоростью сходимости O LR + R + k p1, где R расстояние от kp k точки старта до решения, k номер итерации, параметр p [1, 2] .

Авторы выражают огромную благодарность Ю.Е. Нестерову за плодотворные обсуждения .

Работа была частично поддержана лабораторией структурных методов анализа данных в предсказательном моделировании МФТИ (грант правительства РФ № 11.G34.31.0073), РФФИ (проект №14-01-00722 А), грантом Президента РФ № МК-5285.2013.9 [1] Васильев Ф.П. Методы оптимизации. М.: МЦНМО, 2011 .

[2] Dvurechensky P., Nesterov Yu., Spokoiny V. Primal-dual methods for solving innite-dimensional games // JOTA, 2014 (accepted) .

[3] Devolder O. Stochastic First Order Methods in Smooth Convex Optimization, CORE Discussion Paper 2011/70, 2011 .

Численное решение задач управления на минимакс-максимин позиционного функционала М. И. Гомоюнов1, Н. Ю. Лукоянов1

e-mail:

Исследуется задача об управлении по принципу обратной связи движением линейной динамической системы в условиях помех .

Качество процесса управления оценивается позиционным функционалом в виде нормы совокупности отклонений движения в заданные моменты времени от заданных целей. В рамках теоретико-игрового подхода [1, 2] задача вкладывается в позиционную дифференциальную игру на минимакс-максимин этого функционала. Для вычисления цены игры и построения минимаксного и максиминного законов управления рассматривается процедура попятного построения выпуклых сверху оболочек вспомогательных функций [1, 3]. Обсуждается устойчивость получаемых разрешающих конструкций к вычислительным и информационным погрешностям и численный метод их реализации, базирующийся на пиксельной аппроксимации областей определения овыпукляемых функций и приближенном построении выпуклой сверху оболочки функции как нижней огибающей конечного набора опорных гиперплоскостей к ее подграфику .

Работа выполнена в рамках программы Президиума РАН Динамические системы и теория управления, при финансовой поддержке УрО РАН (проект № 12-П-1-1002), а также при поддержке РФФИ (проект № 12-01-00290-а) .

[1] Красовский Н.Н. Управление динамической системой. М.: Наука, 1985 .

[2] Krasovskii A.N., Krasovskii N.N. Control under Lack of Information. Berlin etc.: Birkhuser, 1995 .

a [3] Лукоянов Н.Ю. К вопросу вычисления цены дифференциальной игры для позиционного функционала // ПММ. 1998. Т. 62, вып. 2. С. 188–198 .

1 Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН, Задача оптимального управления нелинейной системой с терминальным функционалом и свободным правым концом траектории (далее ЗОУСК) является одной из основных задач теории управления. При реализации алгоритмов численного решения задач более сложных классов с терминальными и фазовыми ограничениями, на быстродействие, с интегральными функционалами и других ЗОУСК выступает во многих случаях в качестве вспомогательной задачи, решение которой требуется производить многократно на итерациях методов. Можно утверждать, что эта задача является входными воротами на пути исследования большого круга задач актуальных классов .

Большинство результатов, известных из теоретических исследований, направлено на поиск локального экстремума в ЗОУСК. Однако как логика развития теории управления, так и требования практических приложений диктуют необходимость решения многоэкстремальных задач динамической оптимизации .

В работе рассматривается несколько семейств алгоритмов решения невыпуклых ЗОУСК. Одним из самых надежных и информативных алгоритмов авторы считают метод мультистарта (многократный спуск со случайно сгенерированных начальных управлений), позволяющий, помимо нахождения глобального оптимума, строить также аппроксимацию множества достижимости системы и оценивать области притяжения различных экстремумов [1]. Алгоритмы, основанные на нелокальном принципе максимума, демонстрируют высокую эффективность в задачах небольшой размерности. Методы криволинейного поиска, базирующиеся на квадратичных и кубических вариациях управления, во многих случаях способны достаточно быстро достигать глобально оптимального решения [2]. Методы туннельного типа, основанные на идее перехода от одного локального экстремума к другому, также могут быть отнесены к разряду конкурентоспособных [3].

Для ЗОУСК с релейными управляющими воздействиями 1 Институт динамики систем и теории управления СО РАН, Иркутск предложены специализированные алгоритмы, основанные на конечномерном поиске в пространстве точек переключения управлений:

алгоритмы случайных покрытий [4], алгоритмы генетического поиска, алгоритмы, основанные на операторе Шепарда [5] и другие .

Для исследования свойств предложенных алгоритмов разработана и регулярно пополняется коллекция тестовых ЗОУСК, включающая к настоящему времени более 100 модельных примеров. С применением реализованных алгоритмов решен ряд прикладных задач из областей квантовой физики, химической кинетики, робототехники, медицинской экологии, электроэнергетики и других. Приводятся результаты вычислительных экспериментов .

Работа выполнена при частичной поддержке РФФИ, проект № 12-01-00193, и интеграционного проекта СО РАН № 81 .

[1] Zarodnyuk T.S., Gornov A.Yu. Computing technique based on multistart method for obtaining global extremum in optimal control problems // J. Glob. Optim. 2014. (In print) .

[2] Зароднюк Т.С. Алгоритм численного решения многоэкстремальных задач оптимального управления с параллелепипедными ограничениями // Вычислительные технологии. 2013. Т. 18, № 2 .

С. 46–54 .

[3] Gornov A.Yu., Zarodnyuk T.S. Tunneling algorithm for solving nonconvex optimal control problems // Optimization, Simulation, and Control, Springer Optimization and Its Applications. 2013 .

Vol. 76. P. 289–299 .

[4] Горнов А.Ю., Зароднюк Т.С. Метод случайных покрытий для задачи оптимального управления // Вычислительные технологии. 2012. Т. 17, № 2. С. 31–42 .

[5] Veyalko I.A., Gornov A.Yu. The global extremum searching algorithm for bangbang optimal control problem based on the Shepard operator // Studia Informatica Universalis. 2011. № 3 .

P. 91–104 .

Банаховы пространства положительно однородных функций в негладком анализе и оптимизации В. В. Гороховик1, М. А. Трофимович2

e-mail:

Основные результаты, представленные в данном сообщении, касаются положительно однородных функций, определенных на конечномерном векторном пространстве Rn. Интерес к положительно однородным функциям обусловлен в значительной мере потребностями анализа негладких функций, т. е. функций, которые не являются дифференцируемыми в классическом смысле .

Наибольшее применение в негладком анализе и оптимизации находят такие подпространства пространства положительно однородных функций P(Rn ), как подпространство непрерывных положительно однородных функций PC (Rn ), подпространство липшицевых положительно однородных функций PL (Rn ), подпространство разностно-сублинейных функций PDC (Rn ), подпространство кусочно-линейных функций PL(Rn ), связанные между собой следующей цепочкой включений

–  –  –

которые показывают, что пространство (PL (Rn ), · L ) вложено в пространство (PC (Rn ), · C ), а пространство (PL (Rn ), · L ) вложено как в пространство (PL (Rn ), · L ), так и в пространство (PC (Rn ), · C ) .

Во второй части сообщения представлены результаты исследований исчерпывающих семейств верхних выпуклых аппроксимаций (прямых верхних экзостеров) и исчерпывающих семейств нижних вогнутых аппроксимаций (прямых нижних экзостеров) положительно однородных функций. Установлены [1] характеристические свойства прямых верхних экзостеров и прямых нижних экзостеров, которые позволяют определить принадлежность соответствующих им положительно однородных функций пространству липшицевых положительно однородных функций, а также пространствам разностносублинейных и кусочно-линейных функций Представлен [2] метод преобразования (конвертирования) верхнего (нижнего) прямого экзостера непрерывной положительно однородной функции в нижний (верхний) прямой экзостер этой же функции. В основу метода положена процедура представления непрерывной положительно однородной функции в виде поточечной верхней (нижней) грани возрастающего (убывающего) однопараметрического семейства липшицевых положительно однородных функций .

В заключительной части сообщения обсуждаются некоторые приложения приведенных выше результатов к различным задачам оптимизации, в частности, к задачам векторной оптимизации с негладким показателем качества и нетранзитивным отношением предпочтения .

[1] Гороховик В.В., Старовойтова М.А. Характеристические свойства прямых экзостеров различных классов положительно однородных функций // Труды Института математики (НАН Беларуси). 2011. Т. 19, № 2. С. 12–25 .

[2] Гороховик В.В., Трофимович М.А. Метод конвертирования прямых экзостеров непрерывных положительно однородных функций // Доклады НАН Беларуси. 2013. Т. 57, № 5. С. 28–36 .

–  –  –

+R2 dx(µ2 t)/dt + Du(t), t t0 0, µi = const (i = 1, 2), 0 µ1 µ2 1, x() = () : [µ1 t0, t0 ]. (1) Здесь A, Bi, Ri (i = 1, 2) постоянные матрицы размерности m m, D постоянная матрица размерности m r, r m, u(t) r-мерная вектор-функция управляющего воздействия, x(t) определена на интервале [µ1 t0, t0 ] начальной вектор-функцией () с ограниченной вариацией. Полагаем, что собственные числа матрицы A имеют отрицательную вещественную часть, матрицы Rj имеют обратные. Далее, считаем, что при u(t) 0 нулевое решение системы (1) неустойчиво, или устойчиво, но не асимптотически. Наряду с этим полагаем, что неустойчивы (или устойчивы, но не асимптотически) решения {n, zn }T следующих разностных систем:

y

–  –  –

В случае асимптотической устойчивости системы без нейтральных членов стабилизируем нейтральную часть данной системы, для этого стабилизируем системы c одним запаздыванием

–  –  –

При 0 0.5 из этого неравенства методами, аналогичными приведенным Н.Н. Красовским в [2, c. 184], доказывается, что решение системы (7) экспоненциально устойчиво .

Полагая теперь в системе (1) управление u(t) = µ1 DP1 x(µ1 t) + + µ2 DP2 x(µ2 t) (x = dx/dt), получаем, что нейтральная часть системы (1) асимптотически устойчива при 0 µ1 µ2 1 .

Для иллюстрации эффективности метода стабилизации авторами была составлена программа для численного решения систем нейтрального типа и проведены вычислительные эксперименты .

Работа выполнена при поддержке РФФИ, проекты 13-01-00089 и 14-01-00065 .

–  –  –

В работе предлагается метод приближенного построения областей достижимости нелинейной управляемой cистемы x(t0 ) = x0, (1) x = f (x, u(t)), t0 t t1, x Rn, u(t) U Rr с фазовыми ограничениями, заданными в виде x(t) S, где множество S непустое компактное множество, представимое в виде S = {x Rn : g(x) непрерывно 0}, g(x) дифференцируемая функция. Рассматриваемый метод можно считать аналогом метода внутренних штрафных функций. Он основан на замене исходной системы с фазовыми ограничениями вспомогательной системой без ограничений посредством сужения множества скоростей исходной системы вблизи границы фазовых ограничений .

Правая часть вспомогательной системы зависит от скалярного параметра штрафа k 0 и определяется следующим образом:

x = f (x, u(t)), u(t) Uk (x) = {u U : g (x)f (x, u) kg(x)} .

Отметим, что способ снятия фазовых ограничений при построении множеств достижимости и траекторных трубок для дифференциального включения был предложен в [1]. В указанной работе множества достижимости дифференциального включения предлагалось аппроксимировать сверху множествами достижимости семейства дифференциальных включений без фазовых ограничений, зависящих от матричного параметра штрафа. При выполнении некоторых условий показано, что пересечение пучков траекторий семейства по матричному параметру дает пучок траекторий исходного дифференциального включения, удовлетворяющих фазовым ограничениям. В докладе рассматриваются способы построения аппроксимирующих систем со скалярным параметром штрафа, доказана сходимость аппроксимирующих множеств достижимости в хаусдорфовой метрике .

1 Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН, Екатеринбург Управляемая система рассматривается при стандартных предположениях о правой части: f (x, u) непрерывна и липшицева по x, U компакт, f (x, U ) выпукло. Ключевую роль при обосновании сходимости областей достижимости играет следующее условие: для всех граничных точек x S имеет место неравенство

min g(x) f (x, u) 0. uU

Это условие обеспечивают слабую инвариантность множества S и, следовательно, непустоту множеств достижимости для любого начального состояния из S .

При указанных условиях: 1) многозначные отображения Fk (x) = f (x, Uk (x)) являются липшицевыми на S при достаточно большой величине k; 2) имеет место сходимость аппроксимирующих областей Gk () в хаусдорфовой метрике к областям достижимости G() исходной системы при стремлении параметра штрафа к бесконечности; 3) справедливы включения Gk1 () Gk2 () G() при k1 k2 ;

4) справедливы оценки скорости сходимости вида h(Gk (), G()) M/k для хаусдорфова расстояния h. Доказательство приведенных результатов опирается на теоремы об аппроксимации траекторий в системах с фазовыми ограничениями (NFT theorems) [2, 3]. Результаты обобщаются на случай систем с фазовыми ограничениями, заданными системами неравенств [4] .

Работа выполнена при поддержке РФФИ, проект № 12-01-00261-а .

[1] Куржанский А.Б., Филиппова Т.Ф. Об описании пучка выживающих траекторий управляемой системы // Дифференц. уравнения. 1987. Т. 23, № 8. С. 1303–1315 .

[2] Frankowska H., Vinter R.B. Existence of Neighboring Feasible Trajectories: Applications to Dynamic Programming for StateConstrained Optimal Control Problems // JOTA. 2000. V. 104, no. 1. P. 21–40 .

[3] Stern R.J. Characterization of the State Constrained Minimal Time Function // SIAM J. Control and Optimization. 2004. V. 43, no. 2 .

P. 697–707 .

[4] Гусев М.И. Внутренние аппроксимации множеств достижимости управляемых систем с фазовыми ограничениями // Тр. Инта математики и механики УрО РАН. 2013. Т. 19, № 4. С. 73–88 .

–  –  –

[1] Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г, Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов М.:

Физматгиз, 1961 .

[2] Красовский Н.Н. Теория управления движением. М.: Наука, 1968 .

[3] Лионс Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями в частных производных. М.: Мир, 1972 .

1 Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН, Екатеринбург Многозначные рекуррентные отображения и их сечения Л. И. Данилов1

e-mail:

Пусть (U, ) полное метрическое пространство, (C(R, U ), dU ) метрическое пространство непрерывных функций f : R U с метрикой Бебутова dU. На пространстве (C(R, U ), dU ) определяется динамическая система сдвигов: f (·) f (· + t), t R. Через CR(R, U ) обозначим подмножество пространства C(R, U ), состоящее из рекуррентных функций (для них движение t f (· + t) рекуррентно), Rp (R, U ), p множество (сильно измеримых) функций 1, f : R U, для которых преобразование Бохнера t f (·|[0,1] + t) принадлежит CR(R, Lp ([0, 1], U )) (Stepanov-like recurrent functions), .

R(R, U ) = R1 (R, (U, )), где (U, ) метрическое пространство U с метрикой (x, y) = min {1, (x, y)}, x, y U .

Для функции f CR(R, U ) обозначим C (f ; ) = { R :

dU (f (·), f (· + )) }, 0. Аналогично определяются множества p (f ; ) и (f ; ) для преобразования Бохнера функций f из Rp (R, U ) и R(R, U ) соответственно (с заменой метрики dU на метрики dLp ([0,1],U) и dL1 ([0,1],(U, )) ). Для многозначных отображений (0, +) j () R, j = 1, 2, используется обозначение 1 (·) 2 (·), если для любого 0 существует 0 такое, что 1 () 2 () .

Пусть (clb U, dist) метрическое пространство непустых замкнутых ограниченных подмножеств пространства U с метрикой Хаусдорфа dist, comp U совокупность компактных множеств из clb U .

Многозначные отображения t F (t) clb U рассматриваются как функции со значениями в метрическом пространстве (clb U, dist) .

Теорема 1. Пусть (U, ) полное метрическое пространство, F R(R, clb U ), f R(R, U ) и при всех 0 множества (F ; ) (f ; ) R относительно плотны .

Тогда для любой неубывающей функции [0, +) () [0, +), для которой (0) = 0 и () 0 при 0, найдется функция g R(R, U ) такая, что (1) g(t) F (t) при п.в. t R, (2) (f (t), g(t)) (f (t), F (t)) + ((f (t), F (t))) при п.в. t R, 1 Физико-технический институт УрО РАН, Ижевск (3) (g; ·) (F ; ·) (f ; ·) .

Более того, если F Rp (R, clb U ) для некоторого p 1, то g Rp (R, U ) (и p (g; ·) (g; ·)) .

Существование функций g R(R, U ), удовлетворяющих условиям (1) и (2) из теоремы 1 (но без выполнения условия (3)), было доказано в [1] .

Для измеримых (по Лебегу) множеств T R обозначим (T ) = sup mes [t, t + 1] T, tR где mes мера Лебега на R. Далее предполагается, что вещественное банахово пространство. Следующая U = (B, · ) теорема является обобщением теоремы Лузина для многозначных рекуррентных отображений .

Теорема 2. Пусть B вещественное банахово пространство, F R(R, comp B) .

Тогда для любых чисел j (0, 1], j N, для которых j+1 j и j 0 при j +, существуют множества Tj R и семейства рекуррентных функций Fj CR(R, B), j N, такие, что (1) Tj R1 (R, R), 1 (Tj ; ·) (F ; ·), Tj+1 Tj и (Tj ) j, при этом, если отображение F (·) не является п.в. постоянным, то можно считать, что Tj открытые множества, (2) Fj компактные множества в пространстве ограниченных непрерывных функций f : R B с sup-нормой, (3) C (f ; ·) (F ; ·) (из (2) и (3) следует, что функции f Fj .

R t Fj (t) = {f (t)} B принадлежат пространству f Fj CR(R, comp B) и C (Fj ; ·) (F ; ·)), (4) F (t) = Fj (t) при всех t R\Tj, (5) f (·|R\Tj ) : f Fj+1 = f (·|R\Tj ) : f Fj .

Работа выполнена при поддержке РФФИ, проект № 12-01-00195 .

[1] Данилов Л.И. Рекуррентные и почти рекуррентные многозначные отображения и их сечения // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2011 .

№ 2. C. 19–51 .

Операторы Минковского и их применение в дифференциальных играх П. Е. Двуреченский1, Г. Е. Иванов2

e-mail:

В работе введены понятия операторов Минковского, обобщающие понятия суммы и разности Минковского на случай, когда одно из множеств-слагаемых суммы (разности) зависит от элемента другого слагаемого .

Определение 1. Пусть E линейное пространство. Суммой и разностью Минковского множеств X E и Y E называются соответственно множества X +Y = x + y x X, y Y, X Y = xE x+Y X .

Определение 2. Операторами Минковского многозначного отображения G : E 2E называются операторы AG : 2E 2E и BG :

2E 2E, заданные формулами

–  –  –

для любого множества S E .

Известно, что сумма Минковского и алгоритмы ее вычисления широко применяются во многих разделах прикладной математики, таких как вычислительная геометрия (см. www.cgal.org), системы числового программного управления (numerical control), планирование движения роботов (motion planning), теория оптимального управления (optimal control theory) и др. В данной работе рассматривается применение операторов Минковского в нелинейных дифференциальных играх .

В работе предложены алгоритмы вычисления значений операторов Минковского AG S и BG S при выполнении следующих предположений: пространство E двумерно; S простой (вообще говоря, невыпуклый) многоугольник; G(x) выпуклый многоугольник .

1 Институт проблем передачи информации им. А.А. Харкевича РАН, Москва 2 Московский физико-технический институт (государственный университет), Долгопрудный Предложенные алгоритмы представляют собой развитие известного алгоритма вычисления суммы Минковского двух невыпуклых многоугольников, основанного на построении конволюты [1]. Для предложенных алгоритмов получены оценки погрешности .

Алгоритмы вычисления значений операторов Минковского использованы для построения эпсилон-оптимальных стратегий управления в нелинейной дифференциальной игре с невыпуклым целевым множеством на плоскости. Рассмотрены как игры с фиксированным моментом окончания, так и игры быстродействия. Получены детальные оценки погрешностей предложенных алгоритмов вычисления стратегий. Проведены численные расчеты для нескольких задач, в том числе для известного примера шофер-убийца. В работе [3] предложен алгоритм, оценка погрешности которого имеет вид c1 + c2 h/ + c3, где c1, c2, c3 константы зависящие только от задачи, параметр дискретизации по времени, h параметр дискретизации по пространству фазовой переменной, параметр дискретизации по пространствам управлений. В отличие от него предложенный в данной работе алгоритм имеет оценку погрешности вида c1 + c2 h + c3, что позволяет для получения лучшей точности уменьшать параметр h со скоростью, пропорциональной, а не 2 .

Работа выполнена при поддержке РФФИ, проект № 13-01-00295 А .

[1] Guibas L.J., Ramshaw L., Stol J.. A kinetic framework for computational geometry // Proc. of the 24th Annual IEEE Symposium on Foundations of Computer Science (FOCS’83) .

Tucson, Arizona. 1983, pp. 100–111 .

[2] Двуреченский П.Е., Иванов Г.Е. Алгоритм вычисления операторов Минковского и их применение в дифференциальных играх // ЖВМиМФ. 2014. Т. 54, № 2, С. 224–255 .

[3] Иванов Г.Е. Алгоритм построения оптимальной стратегии управления в нелинейной дифференциальной игре с липшицевой финитной платой // Дифференц. уравнения, Т. 48, № 4,

2012. C. 551–564 .

–  –  –

Здесь xi = xi (t) Rni состояние i-ой подсистемы в момент времени t; ui = ui (t) Ui Rri значение ограниченного управления; wi = wi (t) Wi Rpi неизвестное кусочно-непрерывное возмущение; Ui и Wi заданные выпуклые компакты; Ai, Bi, Mi, Aij, j Ii = I \ i заданные матрицы соответствующих размерностей. Для управления используются дискретные управляющие воздействия с периодом квантования h: ui (t) ui (s), t [s, s + h[, s Th = {t0, t0 + h,..., tf h}, h = (tf t0 )/N, N N .

В моменты s Tc Th tf заданы связи на состояния подсистем:

–  –  –

(s, t) = (k (s, t), k I) = H(s)eA(st) ; xd ( | h) состояние i системы в момент при x( h) = x ( h), u(·) = ud (·| h), w(·) = 0; i (s| ) диагональные матрицы весовых коэффициентов, iI i (s| ) = E .

В докладе доказывается, что при условии начальной (в момент = t0 ) разрешимости централизованной задачи оптимального управления, децентрализованная программа ud (·| ) = (ud (·| ), k I), в каждый момент времени Th \ t0 k является допустимой (с гарантией удовлетворяет групповым ограничениям (2)) и субоптимальной в задаче централизованного управления взаимосвязной системой (1). При определенном выборе весовых коэффициентов i (s| ) гарантировано, в отличие от [1], существование решений всех локальных задач Pi ( ), i I, Th \ t0, и невозрастание критерия качества J d ( ) = iI Ji ( ), Th .

Работа выполнена при поддержке БРФФИ (грант Ф14МС-005) .

[1] Габасов Р., Дмитрук Н.М., Кириллова Ф.М. Оптимальное децентрализованное управление динамическими системами в условиях неопределенности // ЖВМиМФ. 2011. Т. 51. № 7 .

С. 1209–1227 .

–  –  –

Здесь xt () = x(t + ), [r, 0], x : [r, +) Rn ; D : C Rn устойчивый оператор, D = (0) r dµ(s)(s), C; u Rm управление; матричнозначные функции, µ имеют ограниченные вариации на [r, 0], (0) = 0, µ(0) = µ(0) = 0, B постоянная матрица, r 0, C = C([r, 0], Rn ) .

Требуется найти управление, формируемое по принципу обратной связи, которое обеспечивает устойчивую работу системы (1) и минимизирует заданный критерий качества переходных процессов +

x (t)Cx x(t) + u (t)Cu u(t) dt, J=

где Cx и Cu положительно определенные матрицы .

Для решения задачи оптимальной стабилизации линейной системы дифференциальных уравнений с последействием запаздывающего типа Н.Н. Красовский разработал аппроксимационные методы и 1 Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б.Н. Ельцина, Екатеринбург 2 Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН, Екатеринбург метод квадратичных функционалов [1, 2]. Их модификации применялись при решении задач оптимальной стабилизации линейных систем дифференциальных уравнений с последействием нейтрального типа [3, 4]. Процедуры решения задач оптимальной стабилизации используют предложенное Н.Н. Красовским описание дифференциальных уравнений с последействием в функциональном пространстве состояний. Переход от систем дифференциальных уравнений с последействием запаздывающего типа к системам уравнений нейтрального типа усложняет представления квадратичных функционалов в принципе динамического програмирования Беллмана .

В настоящей работе рассматривается постановка задачи оптимальной стабилизации линейной системы с последействием нейтрального типа в гильбертовом пространстве H = L2 ([r, 0), Rn ) Rn со скалярным произведением x, y = y (0)x(0) + r y ()x()d, x, y H. Использование гильбертового пространства упрощает описание квадратичного функционала и позволяет выписать систему определяющих уравнений для нахождения его коэффициентов и коэффициентов оптимального стабилизирующего уравнения. Предложен метод преобразования сложной системы определяющих уравнений к краевой задаче для функционально-дифференциального уравнения, что является модификацией метода преобразования, предложенного ранее автором при решении задачи оптимальной стабилизации линейной системы дифференциальных уравнений с последействием запаздывающего типа [5] .

Работа выполнена в рамках программы Президиума РАН Динамические системы и теория управления, при финансовой поддержке УрО РАН (12-П-1а также при поддержке РФФИ (13-01-00094-а) .

[1] Красовский Н.Н. Об аналитическом конструировании оптимального регулятора в системе с запаздываниями времени // ПMM .

1962. Т. 26, вып. 1. С. 39–51 .

[2] Красовский Н.Н. Об аппроксимации одной задачи аналитического конструирования регуляторов в системе с запаздыванием // ПMM. 1964. Т. 28, вып. 4. С. 716–724 .

[3] Pandol L. Stabilization of neutral functional dierential equations // JOTA. 1976. V. 20, № 2. P. 191–204 .

[4] Андреева Е.А., Колмановский В.Б., Шайхет Л.Е. Управление системами с последействием. М.: Наука, 1992 .

[5] Долгий Ю.Ф. К стабилизации линейных автономных систем дифференциальных уравнений с распределенным запаздыванием // АиТ. 2007. № 10. С. 92–105 .

<

–  –  –

Рассматривается задача построения оптимального управления разгонным блоком для новой перспективной двухступенчатой модификации ракеты-носителя Союз-2 носителя легкого класса, предназначенного для вывода полезной нагрузки на низкие околоземные орбиты. Носитель может оснащаться дополнительной третьей ступенью разгонным блоком (РБ), который используется для вывода расположенной на нем полезной нагрузки на более высокие орбиты .

Конструктивные особенности РБ диктуют ряд требований к допустимому управлению и траектории его движения. Эти требования приводят к возникновению в задаче ограничений на управление и текущее фазовое состояние. Задача заключается в построении допустимого управления РБ, обеспечивающего перевод им с одной орбиты (опорной) на другую более высокую (целевую) орбиту полезной нагрузки максимальной массы. При этом считается, что опорная и целевая орбиты являются эллиптическими, непересекающимися и компланарными. Исходная постановка характеризуется сложной нелинейной динамикой .

Движение РБ (как твердого тела) описывается системой

–  –  –

Екатеринбург 2 Научно-производственное объединение автоматики имени академика Н.А. Семихатова, Екатеринбург где x, v R3 координаты и скорости центра масс РБ; R3 угловая скорость; E R33 матрица поворота; m масса РБ .

Управлениями служат U(t) R2 и u(t) R9, где Ui, i = 1, 2, Umax ;

углы поворота сопла маршевого двигателя (МД), |Ui (t)| i uk (t) {0, 1} функции типа включено/ выключено, определяющие интервалы работы двигателей малой тяги (k=1,..., 8) и МД (k=9) .

Считаются заданными t0 (момент выхода РН на опорную орбиту), начальные условия и значения параметров целевой орбиты. Требуется максимизировать m(tf ). При этом момент tf не фиксирован, а на движение РБ накладывается ряд дополнительных условий .

В работе исследуются двухимпульсные схемы выведения РБ для упрощенных моделей [1] и для моделей с непрерывной тягой, где допускается двукратное включение МД. Разработаны алгоритмы построения оптимального орбитального перехода центра масс РБ с помощью импульсной тяги в условиях центрального и нормального гравитационных полей. Результаты численного моделирования показывают, что существует множество пар точек на этих орбитах, доставляющих оптимизируемому критерию значения близкие к оптимальному. Для случая непрерывной тяги опробован метод решения задачи управления центром масс РБ с помощью нелинейного программирования. Для полной модели реализованы алгоритмы построения допустимого управления, основанные на исследовании чувствительности параметров орбиты по отношению к специальным вариациям управления. Намечена схема решения, подобная предложенной в [2], с использованием вспомогательной задачи, где управляющими параметрами служат U(·) и моменты включения/выключения двигателей, а минимизируемый функционал содержит слагаемые, отвечающие за суммарную длительность работы двигателей, значения параметров целевой орбиты и другие ограничения. На основе известных и полученных новых результатов предложен способ построения содержательного первого приближения к решению исходной задачи .

Работа выполнена при поддержке программ фундаментальных исследований УрО РАН (проекты № 12-П-1-1022, № 13-1-012-НПО, № 12-П-1-1023) и интеграционного проекта УрО и СО РАН (№ 12-С-1-1017) .

[1] Prado A.F.B.A., Broucke R.A. The minimum delta-V Lambert’s problem // SBA Controle and Automacao. 1996, Vol. 7, № 2 .

P. 84–90 .

[2] Думшева Т.Д., Костоусов В.Б., Костоусова Е.К., Починский В.И. О задачах выведения полезной нагрузки в заданную точку орбиты // АиТ. 2012. № 4. С. 18–31 .

–  –  –

Решение любой задачи оптимального управления необходимо искать среди экстремалей принципа максимума, если оптимальный процесс существует, или среди квазиэкстремалей, если предположение о существовании не выполнено. Поэтому естественно возникает идея рассмотрения задачи оптимизации непосредственно на множестве её экстремалей (квазиэкстремалей в общем случае). Она в определенной степени связана с решением задачи методом характеристик для уравнения Гамильтона – Якоби – Беллмана, но более реализуема, если не ставить вопрос о поиске оптимального синтеза .

Для частичной реализации описанного замысла применительно к задаче x = f (t, x, u), x(t0 ) = x0, u(t) U, t T = [t0, t1 ], (1) J[x, u] = l(x(t1 )) min (2) предлагается рассматривать модифицированный лагранжиан KS [], который зависит от выбора вспомогательной бипозиционной функции S(t, x, ) и троек функций = (x(·), (·), u(·)), удовлетворяющих на отрезке T исходной и сопряженной системам. Для липшицевых функций S с непрерывными производными по x, модифицированный бипозиционный лагранжиан определяется равенством

–  –  –

где S означает полную производную в силу канонической системы для пары (x, ). Конструкция (3) включает в себя в качестве частных случаев стандартный лагранжиан (S = (t) · x, (·) фиксирована) и функцию Кротова (S = (t, x)) .

Множество D допустимых пар функций (x(·), u(·)) в задаче (1), (2) естественным образом вкладывается в множество введенных троек функций, и при этом J[x, u] = KS [] для любой функции S .

Поэтому решение задачи (1), (2) можно искать среди оптимальных процессов следующей задачи сравнения

KS [] inf, (4)

при подходящем выборе функции S. Единственное не включенное явно ограничением в задачу (4) условие экстремальности максимум (или минимум) функции Понтрягина H по управлению u U содержится в необходимых условиях оптимальности задачи сравнения с разрешающей функцией S .

Поскольку универсального способа задания такой функции не существует, целесообразно конкретизировать метод бипозиционных лагранжианов для частных классов задач. В докладе эта конкретизация детально рассмотрена для двух классов невыпуклых задач линейной по фазовой переменной (например, в билинейной управляемой системе) и линейно-квадратичной (с компактным множеством U ). Примечательно, что в каждом из этих классов: 1) задача сравнения допускает декомпозицию с переходом к нестандартно двойственной, эквивалентной задаче на траекториях сопряженной системы или её модификации; 2) применение к ней позиционного принципа минимума [1] дает необходимое условие оптимальности, существенно усиливающее принцип максимума. Это условие естественным образом комбинируется с независимым позиционным принципом минимума в исходной задаче (линейной или квадратичной), причем оба критерия основаны на генерировании позиционных управлений спуска по функционалу через специальные суперрешения уравнений Гамильтона – Якоби. Данная комбинация конструктивна и приводит к итерационному алгоритму численного решения указанных невыпуклых задач оптимального управления .

Работа выполнена при частичной финансовой поддержке РФФИ, проект № 14-01-00699, и Совета по грантам Президента Российской федерации для государственной поддержки ведущих научных школ, проект № НШ-5007.2014.9 .

[1] Dykhta V.A. Weakly Monotone Solutions of the Hamilton–Jacobi Inequality and Optimality Conditions with Positional Controls // Automation and Remote Control. 2014. V. 75, № 5. P. 829 844 .

–  –  –

Рассматривается нелинейная импульсная управляемая система вида dx(t) f t, x(t) dt + G t, x(t) (µ), (1) (µ) W(T, K). (2) Здесь T = [a, b] фиксированный промежуток времени, K Rm выпуклый замкнутый конус, f : T Rn Rn, G : T Rn Rnm заданные многозначные отображения, x(·) вектор-функция ограниченной вариации. Множество импульсных управлений W(T, K) состоит из элементов µ, (µ), где µ K-значная ограниченная борелевская мера на T, а через (µ) обозначен набор {ds, s (·)}sS, компонентами которого являются действительные числа ds и измеримые функции s (·), s S, удовлетворяющие условиям (а) S не более чем счетное множество из T,

–  –  –

(в) ds .

sS 1 Институт динамики систем и теории управления СО РАН, Иркутск Здесь K1 := {v K | ||v|| = 1}, ||v|| := m |vj |, co A выпуклая j=1 оболочка множества A. Понятие решения системы (1), (2) является модификацией понятия обобщенного решения, рассматриваемого в [1], и примыкает к определению V -решения из работ [2,3], данному при K = Rm .

В докладе обсуждаются неравенства типа Гамильтона – Якоби, решения которых обладают свойствами сильной или слабой монотонности относительно управляемой системы (1), (2) и трактуются как функции типа Ляпунова [4]. Для задачи оптимального импульсного управления в системе (1), (2) представлены необходимые и достаточные условия оптимальности, включающие множества функций типа Ляпунова, в том числе составных. Эти результаты продолжают исследования, начатые в работах [5, 6]. Представленные результаты иллюстрируются на ряде примеров .

Работа выполнена при поддержке РФФИ, проект № 14-01-00699 .

[1] Миллер Б.М., Рубинович Е.Я. Оптимизация динамических систем с импульсными управлениями. М.: Наука, 2005 .

[2] Завалищин С.Т., Сесекин А.Н. Импульсные процессы: модели и приложения. М.: Наука, 1991 .

[3] Сесекин А.Н. Динамические системы с нелинейной импульсной структурой // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН .

2000. Т. 6. C. 497–510 .

[4] Самсонюк О.Н. Функции типа Ляпунова для нелинейных импульсных управляемых систем // Известия ИГУ. Математика .

2014. Т. 7. С. 104–123 .

[5] Самсонюк О.Н. Составные функции типа Ляпунова в задачах управления импульсными динамическими системами // Тр .

Ин-та математики и механики УрО РАН. 2010. Т. 16, № 5 .

С. 170–178 .

[6] Dykhta V., Samsonyuk O. Some applications of Hamilton – Jacobi inequalities for classical and impulsive optimal control problems // European Journal of Control. 2011. Vol. 17, pp. 55–69 .

–  –  –

Здесь aij, c, (c(x) 0), g, h и v заданные функции, а f и r управления, причем f, r L2 [0, T ], n единичная внешняя нормаль к границе области D .

Обобщенным решением краевой задачи (1)–(3) называется такая функция u = u(t, x) из L2 (QT ), имеющая обобщенные производные u L2 (QT ), i = 1,..., n, что xi

1) функция удовлетворяет тождеству

–  –  –

n en (tT ), где = {1,..., n...} решение уравнения n=1 M = z с правой частью z = {1,..., n,...} .

Аналогичные результаты получены в случае, когда управлением в краевой задаче является f (t), а r(t) 0. Проанализированы способы приближенного решения задач .

–  –  –

В общем случае устойчивость или неустойчивость нулевого решения для локальных подсистем не гарантирует аналогичного свойства для всей системы. В связи с этим возникает задача получения условий устойчивости для нулевого решения нечеткой системы (2) .

1 Ульяновский государственный университет Наиболее известным и используемым методом решения этой задачи является построение квадратичных функций Ляпунова с определенными свойствами. Помимо классических функций Ляпунова, можно применять также функции с ослабленными свойствами. Например, справедливо следующее утверждение .

Теорема. Предположим, что существует положительно определенная матрица P такая, что AT P +P Ai Ci, где Ci положиi тельно полуопределенная матрица для всех i {1,..., r}, кроме тоr z го, x = 0 выполняется условие µi (z)Ai x = 0, для некоторого x i=1 k {1,..., r} из условий Ck Am x = 0, m = 0, 1,..., l, µj (z)Cj x = 0, k r µi (z)Ck Al Ai x = 0 следует Ck Al+1 x = 0 для всех j = 1,..., r, k k i=1 l = 0, 1,..., n 2 и пара (Ck, Ak ) наблюдаема. Тогда нулевое решение системы (2) асимптотически устойчиво .

В получаемых таким методом результатах проверка условий устойчивости сводится к решению систем линейных алгебраических уравнений и линейных матричных неравенств вычислительным процедурам, реализуемым широко распространенными программными средствами .

Рассмотрен класс нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, представимых в виде (2) для таких систем исследование устойчивости нулевого решения сводится к упомянутым вычислительным процедурам. Если же точное представление построить не удается, но правая часть исходной системы дифференцируема в некоторой области, содержащей начало координат, то можно построить аппроксимацию вида (2). В этом случае исследование свойств устойчивости исходной нелинейной системы сводится к анализу системы (1) с возмущением. Условия устойчивости при этом зависят от вида и свойств возмущения, которые, в свою очередь, определяются способом аппроксимации .

[1] Tanaka K., Wang H.O. Fuzzy control systems design and analysis: A linear matrix inequality approach. A Wiley-Interscience publication, 2001 .

–  –  –

Работа посвящена исследованию модели Ферхюльста с запаздыанием в присутствии внешних случайных возмущений. Исходная модель учитывает ограниченность ресурсов (пищевых, территориальных) и, как следствие, внутривидовую конкуренцию .

В любой реальной биологической системе всегда присутствуют случайные факторы, которые могут оказать существенное влияние на ее поведение, поэтому необходимо исследовать модель под воздействием случайных возмущений .

Исследована динамика фазовых портретов детерминированной модели в зависимости от параметра. На бифуркацинной диаграмме явно выделяются три области регулярной динамики: зона равновесий, зона замкнутых инвариантных кривых, зона дискретного 7-цикла и зона, содержащая хаотические режимы. Устойчивость аттракторов данной модели иллюстрирует показатель Ляпунова. Построена зависимость числа вращения в зоне замкнутых инвариантых кривых от параметра, объясняющая появление дискретного 7-цикла .

Под влиянием шума стохастическая траектория покидает детерминированный аттрактор и образует вокруг него облако случайных состояний. Анализ влияния распределения случайных возмущений опирается на теорию функции стохастической чувствительности [1] .

Детально исследована стохастическая чувствительность аттракторов модели и конфигурация эллипсов рассеивания в зоне равновесий и дискретных циклов. Также в модели исследованы индуцированные шумом переходы в зоне дискретных циклов с помощью метода гистограмм .

[1] Башкирцева И.А., Ряшко Л.Б., Цветков И.Н. Стохастическая чувствительность равновесий и циклов дискретных нелинейных динамических систем // Электронный журнал Дифференциальные уравнения и процессы управления, 2009, № 4 .

1 Уральский федеральный университет имени первого Президента России

Рассматривается задача управления и соответствующее дифференциальное включение на плоскости:

x = f (t, x, u), x F (t, x) = co f (t, x, P ), (1) t [t0, T ], x R2, u P, x(t0 ) M .

Для таких задач весьма важным объектом является набор множеств достижимости G(t) : t [t0, T ]. Интерес представляет развитие численных методов их построения .

Фольклорной является идея геометрического алгоритма, основанного на пересчёте границы множества. Начальное множество M подменяется многоугольным множеством, граница которого состоит из одной или нескольких замкнутых простых ломаных (то есть, замкнутых ломаных с конечным числом вершин без самопересечений) .

Выпуклый компакт P также подменяется выпуклым многоугольником. Для каждой точки границы определена внешняя нормаль (или конус нормалей, если точка вершина ломаной). Из всех точек границы на небольшом промежутке времени выпускаются движения, экстремальные на векторах внешних нормалей. Концы таких движений, выпущенных из каждого простого куска границы, собираются в некоторую кривую, после обработки которой получаем новую ломаную, приближающую соответствующую часть границы множества достижимости в следующий момент времени .

Авторам неизвестны работы, связанные с обоснованием сходимости этого алгоритма в общем случае. Вариант задачи, когда вектограммы скоростей являются отрезками, рассматривается в работе [1] .

В докладе приводятся результаты обоснования сходимости фольклорного алгоритма. В процессе обоснования вводятся теоретические схемы с дискретизацией по времени (схема Эйлера), с дискретизацией по пространству (с полигонализацией начального мноИнститут математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН, Екатеринбург жества и многозначного отображения правой части включения полигональная схема) и с устранением возможных неодносвязностей полигональной схемы (схема с закрашиванием ). В предположении односвязности множеств достижимости системы (1) обосновывается сходимость множеств, порождаемых теоретическими схемами, к множествам достижимости задачи (1) при измельчении параметров дискретизации .

Доказывается, что при выполнении определённых условий для построения множеств в схеме с закрашиванием на каждом шаге по времени достаточно рассматривать только точки границы текущего множества. Предлагается теоретическая схема построения границы текущего множества на основе точек границы предыдущего множества. Доказывается сходимость этой схемы. Оценивается погрешность фольклорного алгоритма построения границы относительно этой теоретической схемы; обосновывается сходимость фольклорного алгоритма .

Работа выполнена при поддержке интеграционного проекта УрО и СО РАН, проект № 12-С-1-1017 .

[1] Двуреченский П.Е., Иванов Г.Е. Алгоритмы вычисления операторов Минковского и их применение в дифференциальных играх // ЖВМиМФ. 2014. Т. 54. № 2. С. 224–255 .

–  –  –

[1] Colman A.M., Krner T.W., Musy T. and Tazdeit T. Mutual o support in games: Some properties of Berge equilibria // Journal of Mathematical Psychology. Article in Press. 2011. doi: 10. 1016/ j. jmp. 2011.02.001. pp. 1–10 .

[2] Zhukovskiy V.I., Salukvadze M.E., Vaisman K.S. The Berge equilibrium. Preprint. Tbilisi: Institute of control systems, 1994 .

[3] Жуковский В.И. Введение в дифференциальные игры при неопределенности: Равновесие по Бержу – Вайсману. М.: URSS, КРАСАНД, 2010 .

К теории функционально-дифференциальных уравнений Е. С. Жуковский1, А. В. Поносов2

e-mail:

Многие нелинейные дифференциальные уравнения, в том числе: обыкновенные, с сосредоточенным и распределенным отклонением аргумента, предполагающие непрерывные решения и решения, подвергающиеся импульсным воздействиям, некоторые важные виды стохастических дифференциальных уравнений, а также разностные уравнения могут быть записаны в виде обобщенного функционально-дифференциального уравнения, которое рассматривается в докладе .

Пусть на минимальной -алгебре L подмножеств отрезка [0, T ], включающей измеримые по Борелю множества, задана конечная

-аддитивная полная мера µ. Обозначаем L = L([0, T ], Rn, µ) пространство интегрируемых относительно меры µ функций y : [0, T ] Rn с нормой y L = [0,T ] |y(s)| µ(ds); AC = AC([0, T ], Rn, µ) пространство абсолютно непрерывных относительно меры µ на [0, T ] функций, т. е. x AC тогда и только тогда, когда y L Rn t [0, T ] x(t) = + y(s)µ(ds), (1) [0,t] и дополненных значением, которое будем обозначать x(0). Каждая функция x AC непрерывна справа и имеет левосторонние пределы в любой точке t [0, T ], величина скачка x(t) x(t 0) = y(t)µ{t} .

Соотношение (1) каждому x AC ставит в соответствие пару (, y) Rn L. Это соответствие взаимно однозначно, отображение x есть функционал x(0), отображение x y будем обозначать символом µ. Используя (1), определим норму в AC формулой x AC = |x(0)|Rn + µ x L. Пространства AC и Rn L теперь изометрические. В частном случае, когда µ = mes мера Лебега, mes x = x обычная производная от функции x, тогда x(0) = x(0) и рассматриваемое пространство стандартное, пространство абсолютно непрерывных функций AC([0, T ], Rn, mes) .

1 Тамбовский государственный университет имени Г.Р. Державина University of Life Sciences, Norway 2 Norwegian As, Исзучается функционально-дифференциальное уравнение

–  –  –

где F : AC L заданное (нелинейное) отображение .

Формализация различных дифференциальных уравнений в виде функционально-дифференциального уравнения (2) в пространстве AC([0, T ], Rn, mes) абсолютно непрерывных относительно меры Лебега функций предложена Н.В. Азбелевым, в работах математиков его школы разработана теория таких уравнений (см. [1]) .

В связи с исследованием стохастических дифференциальных уравнений и импульсных систем в работе [2] предложено использовать произвольную определенную на L меру µ, получены условия разрешимости уравнения (2) в случае, когда F аффинный вольтерров оператор .

При исследовании нелинейного уравнения (2) считаем, что оператор F является вольтерровым, т. е. при любом t [0, T ] таком, что µ([0, t]) 0, из равенства аргументов x(s) = x(s) на [0, t) следует равенство образов (F x)(s) = (F x)(s) на отрезке [0, t]. Формулируются утверждения о разрешимости и однозначной разрешимости задачи Коши, о непрерывной зависимости решений от начальных условий и параметров уравнения. Доказательства основаны на результатах [3] об обобщенных вольтерровых операторах .

Работа выполнена при поддержке РФФИ, проект № 14-01-00877, и РНФ .

[1] Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений. М.:

Наука, 1991 .

[2] Litsyn E., Ponosov A. Equations with the unknown functions under the dierential. 1: Existence and uniqueness results // Dynamics of continuous discrete and impulsive systems. V. 6. Iss. 4. P. 615–638 .

[3] Жуковский Е.С. Нелинейное уравнение Вольтерра в банаховом функциональном пространстве // Известия вузов. Математика .

2005. № 10. С. 17–28 .

–  –  –

Теорема 2. Пусть f (x) является слабым сжатием в некоторой окрестности S Rn нуля и для любого x S \ {0} выполнено условие (2) для некоторого 1 .

Тогда нулевое решение (замкнутой) системы (1) локально асимптотически стабилизируемо. Если S = Rn, то нулевое решение глобально асимптотически стабилизируемо .

Рассмотрим систему (1) с линейной невозмущенной частью

–  –  –

Тогда нулевое решение системы (3) глобально асимптотически стабилизируемо .

Из следствия 1 вытекает следствие о глобальной асимптотической стабилизации билинейной стационарной системы

–  –  –

где B(x) = [B1 x,..., Bm x], Bi Rnn, i = 1,..., m, D Rnm .

Замечание 1. Во всех утверждения стабилизирующее управление имеет вид, указанный в [1]. Доказательства основаны на применении теоремы Барбашина – Красовского для дискретных автономных систем .

Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект № 12-01-00195) и Минобрнауки России в рамках базовой части .

[1] Byrnes C.I., Lin W., Ghosh B.K. Stabilization of discrete-time nonlinear systems by smooth state feedback // System & Control Letters. 1993. Vol. 21, Issue 3. P. 255–263 .

–  –  –

Найдено нетривиальное обобщение теоремы Якоби [1] об огибающей однопараметрического семейства кривых, которые являются оптимальными решениями классической задачи оптимального управления. В работе речь идет о том, как правильно разгибать многомерное многообразие, вложенное в риманово пространство, на множество касающихся его оболочек. Оказывается, что имеется много различных естественных способов такого разгибания. Каждый из них определяется своим конкретным полем геодезических на многообразии. Начиная с линий уровня поля, эти геодезические продолжаются геодезическими объемлющего многообразия. В результате получается аналог понятия эволюты и эвольвенты, где вместо длины дуги огибающей возникают сохраняющиеся в процессе огибания интегральные инварианты соответствующей гамильтоновой системы .

Эта конструкция дает, в частности, множество различных полей решения задачи об обходе препятствия .

Эйлеровыми эластиками [2] называются кривые, которые минимизируют интеграл от квадрата кривизны кривой. Для этой задачи найдено явное аналитическое решение уравнения Риккати, коэффициентами которого служат эллиптические функции. Полученное решение дало возможность доказать новое достаточное условие оптимальности для эйлеровых эластик. Многомерным обобщением эйлеровых эластик служит задача об упругих оболочках. Ранее основное внимание уделялось оболочкам, которые минимизируют интеграл от квадрата средней кривизны. Помимо вопросов, связанных с теорией упругости, такие оболочки естественно изучать с точки зрения теории минимальных многообразий, которые определяются тем, что их средняя кривизна равна нулю. Этой задаче и ее многомерным обобщениям на гармонические поверхности посвящено огромное количество работ (Р. Брайан, К. Уленбек, Ф. Гриффитс и др.). Широкую известность получила гипотеза Виллмора о торических минимальных оболочках. Несмотря на усилия крупнейших математиков, она оставалась недоказанной около 50 лет и была доказана только совсем недавно, в 2012 году, молодыми Бразильскими математиками 1 Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова Маркесом и Неве, за что им была присуждена премия Рамануджана. Однако оболочки, минимизирующие интеграл от квадрата Гауссовой кривизны, оставались неисследованными. Они важны с точки зрения теории упругости, когда модуль упругости на растяжение существенно больше, чем модуль упругости на изгиб. В докладе получено точное решение задачи минимизации интеграла от квадрата Гауссовой кривизны в классе оболочек, являющихся поверхностями вращения .

[1] Osipov Ju.S., Zelikin M.I. Multidimensional Generalization of Jacobi’s Envelope Theorem // RJMP. Vol. 19, no 1, (2012), pp. 101–106 .

[2] Osipov Ju.S., Zelikin M.I. Higher-Order Elastics and Elastic Hulls // RJMP. Vol. 19, no 2, (2012), pp. 234–243 .

–  –  –

где P компакт в Rp. На систему накладываются стандартные условия существования, единственности и продолжимости решений на весь промежуток времени [t0, ]. Работа является продолжением исследований [1–4] .

Для системы (1) рассматривается ряд численных методов приближенного построения интегральных воронок, использующих класcический подход, при котором интегральная воронка аппроксимируется набором приближенно вычисленных множеств достижимости X(ti, t0, X0 ) управляемой системы (1) в моменты времени ti, i = 0, N, некоторого разбиения = {t0, t1,..., tN = }, (см., например, [2]) .

1 Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН,

Екатеринбург

Построение множеств достижимости осуществляется поэтапно с использованием рекуррентного соотношения X(ti+1, t0, X0 ) =

X(ti+1, ti, X(ti, t0, X0 )) (см. [3]). На каждом этапе выполняется следующая последовательность шагов:

1) построение для каждой точки x Xi множества X(ti+1, ti, x), где Xi и X(ti+1, ti, x) аппроксимации множеств X(ti, t0, X0 ) и X(ti+1, ti, x) соответственно конечным набором точек;

2) объединение всех полученных множеств X(ti+1, ti, x), x Xi в множество Xi+1 = X(ti+1, ti, x);

xXi

3) прореживание множества Xi+1 ;

4) сохранение множества Xi+1 на диск .

При таком подходе особо остро стоит проблема эффективности вычислений: без стадии прореживания количество обсчитываемых точек при переходе от этапа к этапу нарастает лавинообразно, но даже с прореживанием объем вычислений получается очень большим. В результате, процесс расчета интегральных воронок во многих случаях требует как значительного количества времени, так и значительного объема памяти ЭВМ. Это вынуждает искать подходы, позволяющие сократить время счета интегральных воронок, при этом умеренно используя память ЭВМ .

В работе рассматриваются два подхода, направленных на сокращение времени счета. Первый подход основан на уменьшении объема вычислений за счет сокращения числа рассматриваемых точек (см. [4]) и позволяет в большинстве случаев до некоторой степени сократить и время вычислений, и объем потребляемой памяти. Второй подход состоит в использовании возможностей современных многопроцессорных ЭВМ и их многоядерных процессоров для распараллеливания вычислений .

Работа выполнена при поддержке программы Президиума РАН Динамические системы и теория управления, программы УрО РАН (12-П-1-1002) и РФФИ (гранты 14-01-00486_а и 13-01-96055) .

[1] Красовский Н.Н. Управление динамической системой. М.: Наука, 1985 .

[2] Матвийчук А.Р., Ушаков В.Н. О построении разрешающих управлений в задачах управления с фазовыми ограничениями // Изв. РАН. Сер. Теория и системы управления. 2006. № 1 .

С. 5–20 .

[3] Ушаков В.Н., Хрипунов А.П. О приближенном построении интегральных воронок дифференциальных включений // ЖВМиМФ. 1994. Т. 34, № 7. С. 965–977 .

[4] Зимовец А.А. Метод приграничного слоя для приближенного построения множеств достижимости управляемых систем // Вестник ЮУрГУ. Серия Математика. Механика. Физика .

2013. Т. 5, № 1. С. 18–25 .

О гарантированном оценивании некоторых видов возмущений в линейной динамической системе Е. Д. Ильин1, В. И. Ширяев1

e-mail:

Оценка внешних воздействий является важной задачей при построении динамических систем [3]. С помощью этой информации можно обнаружить разладку системы, а также улучшить адаптивные способности алгоритма идентификации системы [1].

Большой интерес представляет оценка внешних воздействий в задаче оценивания и управления в гарантированной постановке:

xk+1 = Axk + Гwk, yk+1 = Gxk+1 + Hvk+1, k = 0, 1,...N 1, (1)

где xk Rn, yk+1 Rm векторы состояния системы и измерений n m; wk и vk векторы возмущений и ошибок измерений соответственно; A, Г, G, H известные матрицы. Относительно вектора начального состояния x0 и векторов wk и vk известно лишь, что они могут принимать любое значение из заданных выпуклых множеств:

–  –  –

тельский университет), Челябинск Задача оценивания решается путем построения на каждом шаге информационного множества X k+1, которое гарантированно содержит в себе истинное значение xk+1 [2], [4]:

–  –  –

X[yk+1 ] = {x Rn |Gxk+1 +Hv = yk+1, v V }, Xk+1/k = AX k +ГW, где Xk+1/k множество прогнозов; X[yk+1 ] множество, совместимое с измерениями yk+1. Все операции производятся над множествами: линейное преобразование, пересечение множеств, сумма множеств понимается в смысле Минковского .

Априорные оценки множеств X0, W, V могут оказаться сильно завышенными для конкретной реализации процесса, например,

wk = w + k, (4)

где w неизвестная константа, а k ; при этом множество значительно меньше множества W. В этом случае уточнение множества W в зависимости от реальной ситуации позволит повысить точность оценивания вплоть до получения точных гарантированных оценок .

При решении этой задачи вместо ограничений (2) используем их аппроксимацию сверху линейными неравенствами с учетом (4):

–  –  –

Здесь c вектор, задающий направление поиска границы множества W. Для улучшения оценки следует составить систему (5) за несколько шагов k = k1,..., k2 .

Предложен вычислительно простой способ оценивания постоянной составляющей вектора возмущений wk с помощью решения задач линейного программирования. Установлено, что оценка получается состоятельной, если для конкретно заданной реализации происходит взаимное уточнение множества прогнозов Xk+1/k и множества X[yk+1 ], совместного с измерениями .

[1] Бассвиль М., Вилски А., Банвенист А. Обнаружение изменения свойств сигналов и динамических систем. М.: Мир, 1989 .

[2] Кац И.Я., Куржанский А.Б. Минимаксная многошаговая фильтрация в статистически неопределённых ситуациях // АиТ .

1978. № 11. С. 79–87 .

[3] Осипов Ю.С., Кряжимский А.В., Максимов В.И. Некоторые алгоритмы динамического восстановления входов // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2011. Т. 17, № 1. С. 129–161 .

[4] Ширяев В.И., Ильин Е.Д., Подивилова Е.О. Оценивание состояния динамической системы в условиях неопределенности // Мехатроника и робототехника. 2011. С. 101–110 .

Асимптотически субоптимальный синтез в сингулярно возмущенной линейно-квадратичной задаче оптимального управления А. И. Калинин1, Л. И. Лавринович1

e-mail:

Системы обыкновенных дифференциальных уравнений, содержащие малые параметры при части производных, принято называть сингулярно возмущенными. Задачи оптимизации таких систем в различных постановках исследовались многими авторами. Интерес к ним вызван эффективностью асимптотических методов их решения, при применении которых исходные задачи оптимального управления распадаются на задачи меньшей размерности. Кроме того, асимптотический подход позволяет избежать интегрирования сингулярно возмущенных систем, которые являются жесткими .

Доклад посвящен построению асимптотических приближений (в виде программы и обратной связи) к решению следующей задачи оптимального управления линейной системой с достаточно гладкими коэффициентами:

–  –  –

малый положительный параметр, t, t Здесь µ заданные моменты времени (t t ), y n-вектор медленных переменных, z m-вектор быстрых переменных, u r-вектор управления, M (t), неотрицательно определенные симметрические матрицы, N (t) а P (t) положительно определенная симметрическая матрица для всех t [t, t ]. Предполагается, что матрица A4 (t), t [t, t ], устойчивая, т. е. действительные части всех ее собственных значений отрицательны. Суть предлагаемого асимптотического метода решения рассмотренной задачи состоит в построении асимптотики начальных значений сопряженных переменных (множителей Лагранжа) в виде разложений по целым степеням малого параметра. Старшие коэффициенты этих разложений могут быть найдены в результате решения двух невозмущенных задач оптимального управления с n и m фазовыми переменными соответственно. Первой из них является вырожденная задача

–  –  –

где u0 (t), t [t, t ], оптимальное управление в вырожденной задаче. Предполагается, что динамические системы в задачах (1), (2) являются управляемыми [1]. Такое предположение гарантирует существование решений этих задач .

[1] Красовский Н.Н. Теория управления движением. М.: Наука, 1968 .

–  –  –

В докладе представляется обзор результатов, выполненных в Белоруссии за последние 35 лет, по второму методу Ляпунова [1] с использованием знакопостоянных вспомогательных функций. Подчеркивается преемственность формирования достаточных условий устойчивости, отмеченных в работах Е.А. Барбашина и Н.Н. Красовского [1–3] .

Как известно, метод функций Ляпунова базируется на простых геометрических соображениях:

A) для непрерывной определенно положительной функции V (x) (в общем случае положительная функция относительно компактного инвариантного множества M фазового пространства X, так что V (x) = 0 x M ) при всех достаточно малых c 0 множество {x X : V (x) c} задает компактную окрестность Kc для M ;

B) при выполнении условия монотонности функции V вдоль движений t x(x0, t0, t) динамической системы (т. е. производная по времени V (x) знакопостоянная) окрестности Kc положительно инвариантны. Свойства A) и B) составляют основу достаточного условия устойчивости M в методе функций Ляпунова;

C) если изменение функции V вдоль движений строго монотонно и начальное состояние x0 принадлежит границе Kc, то x(x0, t0, t) int Kc, t t0. Свойства A) и C) определяют достаточное условие асимптотической устойчивости M .

В работах [2–4] ослаблено требование C) к производной V (x) .

Здесь в теоремах об асимптотической устойчивости (локальной и глобальной), а также в теореме о неустойчивости Н.Н. Красовского [3] производная допускается знакопостоянной, а не знакоопределенной с множеством нуля, не содержащем нетривиальных положительных полутраекторий. Соответствующие результаты были представлены в [3] для автономных и периодических по времени систем дифференциальных уравнений, а также для уравнений с отклоняющимся по времени аргументом .

1 Белорусский государственный университет, Минск Дальнейшее развитие второго метода по аналогии с идеей Барбашина – Красовского относительно V (x) связано с ослаблением требования A), т. е. с использованием не знакоопределенных (V (x) 0, x = M ), а знакопостоянных функций Ляпунова (V (x) 0) [5]. В этой работе доказаны теоремы об асимптотической устойчивости и устойчивости в целом для систем автономных дифференциальных уравнений. Позднее были приведены различные варианты теорем о неасимптотической устойчивости и неустойчивости .

К настоящему времени теория прямого метода с использованием знакопостоянных функций разработана для широкого класса динамических процессов (динамические и полудинамические системы, системы автономных, почти периодических и неавтономных дифференциальных уравнений, дискретные системы (автономные и неавтономные), системы Пфаффа, системы дифференциально-функциональных включений). Большая часть этих результатов приведена в монографиях [6–9]. Кроме того, использование знакопостоянных функций Ляпунова для систем неавтономных функционально-дифференциальных уравнений запаздывающего и нейтрального типов с конечным и бесконечным запаздыванием представлены в монографиях [10, 11] .

Совокупность работ [2–11] подчеркивает общие закономерности развития идей метода функций Ляпунова по следующей схеме: знакоопределенные функции знакоопределенные функции со знакопостоянной производной по времени знакопостоянные функции .

Формулировки соответствующих утверждений прямого метода Ляпунова в каждом из трех подходов естественным образом обобщаются в том же направлении .

[1] Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения. М.– Л.:

Гостехиздат, 1950 .

[2] Барбашин Е.А., Красовский Н.Н. Об устойчивости движения в целом // Доклады АН СССР. 1952. Т. 86. № 3. С. 453–456 .

[3] Красовский Н.Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: ГИФМЛ, 1959 .

[4] Барбашин Е.А. Введение в теорию устойчивости. М.: Наука, 1967 .

[5] Булгаков Н.Г., Калитин Б.С. Обобщение теорем второго метода Ляпунова. 1. Теория // Изв. АН БССР. Сер. физ.-мат. наук, 1978. № 3. С. 32–36 .

[6] Булгаков Н.Г. Знакопостоянные функции в теории устойчивости. Минск: Изд. Университетское, 1984 .

[7] Калитин Б.С. Устойчивость дифференциальных уравнений (Метод знакопостоянных функций Ляпунова). Saarbrcken: LAP u Lambert Academic Publishing, 2012 .

[8] Калитин Б.С. Устойчивость динамических систем (Метод знакопостоянных функций Ляпунова). Saarbrcken: LAP Lambert u Academic Publishing, 2012 .

[9] Калитин Б.С. Устойчивость неавтономных дифференциальных уравнений. Минск: БГУ, 2013 .

[10] Андреев А.С. Устойчивость неавтономных функциональнодифференциальных уравнений. Ульяновск: УлГУ, 2005 .

[11] Павликов С.В. Метод функционалов Ляпунова в задачах устойчивости и стабилизации. Набережные челны: Институт управления, 2010 .

О волновом подходе к решению задач оптимизации логистической инфраструктуры А. Л. Казаков1, А. А. Лемперт1

e-mail:

В докладе рассматриваются две классические задачи инфраструктурной логистики: задача об оптимальном размещении обслуживающих центров на некоторой территории с определением их областей притяжения (логистических зон обслуживания) и тесно связанная с ней задача об оптимальной организации коммуникаций .

При этом потребители могут быть как распределены непрерывно по рассматриваемой территории, так и сосредоточены в некоторых наперед заданных точках. Для указанных задач построен ряд математических моделей в виде задач вариационного исчисления [1,2] .

Приведем одну из них .

Пусть в ограниченной области D R2 заданы точки Ak (xk, yk ), k = 1, m, и кусочно-непрерывная функция f (x, y) 0, определяИнститут динамики систем и теории управления СО РАН, Иркутск ющая, например, стоимость прокладки коммуникаций в точке (x, y) .

Необходимо определить кратчайшее (минимальной стоимости) дерево, связывающее точки Ak :

–  –  –

Здесь i,k Gi,k непрерывная кривая, связывающая точки Ai и Ak, I K = {1,..., m}, Gi,k множество всевозможных кривых, соединяющих точки Ai и Ak .

Предложенный авторами численный метод решения данной задачи основан на комбинированном применении оптикогеометрического подхода (который базируется на аналогии между распространением света в оптически неоднородной среде и минимизацией интегрального функционала [3,4]) и алгоритма Дейкстры [5] .

Представлены результаты вычислительных экспериментов по решению модельных и прикладных задач .

Работа выполнена при частичной поддержке Совета по грантам Президента Российской федерации для государственной поддержки ведущих научных школ, проект № НШ-5007.2014.9 и РФФИ, проекты №№ 14-07-00222, 13-06-00653 .

[1] Казаков А.Л., Лемперт А.А., Бухаров Д.С. К вопросу о сегментации логистических зон для обслуживания непрерывно распределенных потребителей // АиТ. 2013. № 6. С. 87–100 .

[2] Журавская М.А., Казаков А.Л., Лемперт А.А., Бухаров Д.С .

О методе решения задачи оптимальной прокладки высокоскоростных железнодорожных магистралей с учетом региональных особенностей // Транспорт: наука, техника, управление. 2012 .

№ 2. С. 41–44 .

[3] Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. М.:

Мир, 1965 .

[4] Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. Т. 3: Излучение. Волны. Кванты. М.: Эдиториал УРСС, 2004 .

[5] Dijkstra E.W. A note on two problems in connexion with graphs // Numerische Mathematik. 1959. V. 1. P. 269–271 .

О дифференциальных включениях, содержащих малый параметр при производной Р. И. Каюмов1

e-mail:

Исследуются сингулярно возмущенные дифференциальные включения с малым параметром при производных. Приведены условия, при которых классическая теорема Тихонова [1] для дифференциальных уравнений распространяется на дифференциальные включения .

Рассмотрим дифференциальное включение µx F (x, t) .

(1) Здесь x Rn, F (x, t) : Rn R (Rn ) многозначное отображение, (Rn ) метрическое пространство всех непустых выпуклых компактных подмножеств пространства Rn с хаусдорфовой метрикой h. Начальное условие x(0, µ) = x0 X 0, где X 0 компакт в Rn .

Пусть выполнены следующие условия .

1. Многозначное отображение F (x, t) непрерывно в некоторой открытой области G пространства переменных (x, t) и удовлетворяет условию продолжимости решений

–  –  –

Б.Н. Ельцина, Екатеринбург в которой t рассматривается как параметр .

3. Множество (t) является асимптотически устойчивым [2] для уравнения (2) равномерно относительно t D .

Рассмотрим присоединенную систему (2) при t = 0

–  –  –

Условия выполнения сформулированных предположений и близкие результаты обсуждались в [3] .

[1] Тихонов А.Н. Системы дифференциальных уравнений, содержащих малые параметры при производных // Матем. сб. 1952 .

Т. 31, № 3. C. 575–586 .

[2] Филиппов А.Ф. Устойчивость для дифференциальных уравнений с разрывными и многозначными правыми частями // Дифференц. уравнения. 1979. Т. 15, № 6. С. 1018–1027 .

[3] Каюмов Р.И. Дифференциальные включения, содержащие малый параметр при производной // Деп. в ВИНИТИ 21 августа 1990, № 4713–В90 .

Синтез оптимальных систем и оптимальное управление в реальном времени Ф. М. Кириллова1, Н. М. Дмитрук2, Р. Габасов2

e-mail:

В докладе рассматривается проблема оптимального управления линейными системами. Под управлением понимается процесс, в котором в каждый текущий момент времени формируются целенаправленные (управляющие) воздействия на объект управления по принятой математической модели и информации о поведении объекта, поступившей от измерительных устройств к текущему моменту .

Задачи управления рассматриваются в классе дискретных управляющих воздействий, что существенно для предлагаемого подхода к проблеме синтеза оптимальных систем .

Сначала рассматривается простейшая классическая задача оптимального управления c x(t ) max, x = A(t)x + b(t)u, x(t ) = x0, (1) g Hx(t ) g, |u(t)| L, t T = [t, t ], Пусть в каждый момент Th = {t, t + h,..., t h} (h = (t t )/N, N N) известно состояние x ( ) объекта. Задача (1) погружается в семейство c x(t ) max, x = A(t)x + b(t)u, x( ) = z, (2) g Hx(t ) g, |u(t)| L, t T ( ) = [, t ], зависящее от Th и z Rn. Пусть u0 (t|, z), t T ( ), оптимальная программа задачи (2) для позиции (, z); X множество состояний z, для которых существуют программные решения задачи (2) .

Функция u0 (, z) = u0 ( |, z), z X, Th, называется оптимальной (дискретной) обратной связью (позиционным решением задачи (1)) .

Процесс управления объектом с помощью позиционного решения начинается в момент t с подачи на вход объекта управляющего воздействия u (t) = u0 (t, x0 ), t t. В произвольный момент Th 1 Институт математики НАН Беларуси, Минск 2 Белорусский государственный университет, Минск становится известным состояние x ( ) и до поступления следующего измерения на вход объекта подается u (t) = u0 (, x ( )), t [, +h[ .

В результате получается последовательность управляющих воздействий u (t) = u0 (, x ( )), t [, + h[, Th, (3) которая называется реализацией оптимальной обратной связи в рассматриваемом процессе управления .

Поведение объекта управления, замкнутого оптимальной обратной связью u0 (, z), z X, Th, описывается нелинейным уравнением x = A(t)x + B(t)u0 (t, x) + w(t), x(t ) = x0, где w(t), t T, реализующееся возмущение. Под траекторией замкнутой системы понимается решение линейного уравнения

x = A(t)x + B(t)u(t) + w(t), x(t ) = x0, u(t) u0 (t, x(t)), t T.

Классическим методом построения оптимальных обратных связей является динамическое программирование, при использовании которого основная работа выполняется до начала процесса и состоит в табулировании функций (n+1) переменной. В процессе управления никакие вычисления не проводятся. В предлагаемом методе управления основная работа проводится в процессе управления и состоит в коррекции текущих оптимальных программ. Этим самым удается избежать проклятия размерности. Для коррекции программ разработан специальный двойственный метод .

Далее в докладе рассматриваются задачи управления линейными системами в условиях неопределенности, которая имеется в математических моделях и измерительных устройствах. Для решения новых задач оптимального управления расширяется класс позиционных решений. Основное внимание уделяется размыкаемым обратным (прямым и комбинированным) связям и приводятся результаты по управлению с помощью замыкаемых и замкнутых связей .

–  –  –

Схема решения задачи содержит следующие этапы: вычисление возможных особых режимов, составление краевой задачи принципа максимума, нахождение экстремальной тройки, обоснование оптимальности экстремального решения на основе специального интегрального представления приращения функционала [1–3]. Отмеченная схема применялась ранее при изучении аналогичных задач с производственной функцией Кобба – Дугласа [2,3]. В данном случае при построении экстремального решения привлекается специальная функция y = LambertW(x) (yey = x). Для начальных состояний, не лежащих на особом луче Lsng = {x1 = x2 0}, оптимальный режим содержит три участка: начальный движение к Lsng, особый движение вдоль Lsng, финальный движение с управлением u = 0 .

Аналогичные результаты могут быть получены для задачи оптимального управления (1), (3) .

Работа выполнена при поддержке РФФИ, проект № 12-01-00175 .

[1] Киселёв Ю.Н. Достаточные условия оптимальности в терминах конструкций принципа максимума Понтрягина // Математические модели в экономике и биологии: Материалы научного семинара. Планерное Моск. обл. М: МАКС Пресс, 2003. C. 57–67 .

[2] Киселёв Ю.Н., Орлов М.В. Оптимальная программа распределения ресурсов в двухсекторной экономической модели с производственной функцией Кобба – Дугласа // Дифф. уравнения .

2010. Т. 46, № 12. C. 1749–1765 .

[3] Киселёв Ю.Н., Орлов М.В. Оптимальная программа распределения ресурсов в двухсекторной экономической модели с производственной функцией Кобба – Дугласа при различных коэффициентах амортизации // Дифф. уравнения. 2012. Т. 47, № 11 .

C. 1603–1611 .

Равновесные решения в неантагонистической позиционной дифференциальной игре в классах чистых стратегий А. Ф. Клейменов1

e-mail:

В докладе рассматривается неантагонистическая позиционная дифференциальная игра (НПДИ) двух лиц с нелинейной динамикой, для которой не выполняется условие седловой точки в маленькой игре [1, 2]. Для такой игры известно (см., например, [3]), что в зависимости от того, какого типа принимаются предположения об информированности игроков о текущих значениях управления партнера, равновесные решения в НПДИ могут быть описаны в следующих трех основных случаях: {чистая стратегия первого игрока – контрстратегия второго игрока}, {смешанная стратегия первого игрока – смешанная стратегия второго игрока}, {контрстратегия первого игрока – чистая стратегия второго игрока}. При этом структура равновесных решений предусматривает гипотетическое наказание предполагаемого уклониста в классе тех действий, которые доступны его партнеру .

Изучается вопрос, каким образом трансформируются вычисленные в упомянутых трех основных случаях множества равновесных решений, если оба игрока действуют в классах чистых позиционных стратегий .

Результаты исследования иллюстрируются на следующем примере. Динамика игры двух лиц описывается системой дифференциальных уравнений

–  –  –

Здесь x = (x1, x2 ) фазовый вектор системы, u = (u1, u2 ) управление первого игрока, v = (v1, v2 ) управление второго игрока. ЦеИнститут математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН, Екатеринбург ли первого и второго игроков заключаются в максимизации терминальных показателей I1 и I2 соответственно, где

–  –  –

векторы l(1) и l(2) заданы .

В игре (1)–(3) построено множество равновесных решений в классах чистых стратегий игроков. Приводятся результаты для следующих числовых значений параметров: 0 = 1, 0 =, =, l(1) = (1, 1), l(2) = (1, 1) .

Работа выполнена в рамках программы Президиума РАН Динамические системы и теория управления, при финансовой поддержке УрО РАН (12-П-1-1002), а также при поддержке РФФИ (грант 12-01-00290) .

[1] Красовский Н.Н., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974 .

[2] Красовский Н.Н. Управление динамической системой. М.: Наука, 1985 .

[3] Клейменов А.Ф. Неантагонистические позиционные дифференциальные игры. Екатеринбург: Наука, 1993 .

–  –  –

с краевым условием (T, x) = T (x), (T, x) = T (x). (2) 1 Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН, Екатеринбург Здесь x R, t [0, T ]. Предполагаем, что функции f (·), g(·) дифференцируемы и обладают подлинейным ростом. Функция g(·) не убывает, функции T (·), T (·) липшицевы .

Определение 1. Обобщенным решением системы уравнений (1), (2) называется многозначное отображение (, ) : [0, T ]R R2R, где функция (·, ·) является минимаксным/вязкостным решением первого уравнения системы (1) с краевым условием (T, x) = T (x), а функция (·, ·) является М-решением второго уравнения системы (1) с краевым условием (T, x) = T (x) .

Напомним (в нужных нам обозначениях) предложенное А.И. Субботиным [1] понятие многозначного М-решения для уравнения Гамильтона – Якоби с разрывным гамильтонианом .

Определение 2. М-решением задачи

–  –  –

т. е. для любых (t0, x0, z0 ) (0, T ) R R и p R существует (t0, T ) и траектория (x(·), z(·)) : [t0, ] R R этого дифференциального включения с начальным условием (x(t0 ), z(t0 )) = (x0, z0 ), удовлетворяющая условию (t, x(t), z(t)) W при всех t [t0, ] .

При сделанных предположениях существует единственное минимаксное/вязкостное решение (·, ·) первого уравнения системы (1), (2). Из работы [2] следует, что функция (·, ·) является липшицевой и супердифференцируемой, т. е. почти всюду существует x (·, ·). Из работы [3] следует, что решение (·, ·) недифференцируемо на множестве точек (t, x), которые лежат на линиях Ранкина – Гюгонио и число этих линий не более, чем счетно. Подставим разрывную функцию x (·, ·) во второе уравнение системы (1) .

Из оговоренных в рассматриваемой задаче предположений и результатов работы [1] следует, что М-решение в задаче (3) существует .

Таким образом, справедлива Теорема. Обобщенное решение задачи (1), (2) существует .

Предложен алгоритм построения обобщенного решения задачи (1),(2), использующий характеристики каждого из уравнений системы (1) .

Рассмотренная задача имеет содержательный смысл в теории иерархических дифференциальных игр, где система уравнений (1),(2) описывает оптимальные результаты двух игроков: лидера и ведомого. Используя понятие обобщенного решения задачи (1),(2), можно построить оптимальные стратегии игроков .

Работа выполнена при поддержке РФФИ (№ 14-01-00168) и проектов УрО РАН 12-П-1-1002, 12-П-1-1012 .

[1] Лахтин А.С., Субботин А.И. Минимаксные и вязкостные решения разрывных уравнений с частными производными первого порядка // Доклады академии наук. 1998. Т. 359, № 4 .

С. 452–455 .

[2] Субботина Н.Н., Колпакова Е.А., Токманцев Т.Б., Шагалова Л.Г. Метод характеристик для уравнения Гамильтона – Якоби – Беллмана. Екатеринбург: РИО УрО РАН, 2013 .

[3] Олейник О.А. О задаче Коши для нелинейных уравнений в классе разрывных функций // Доклады академии наук. 1954 .

Т. 95, № 3. С. 451–454 .

О численном решении дифференциальных игр на минимакс позиционного функционала в классах смешанных стратегий Д. В. Корнев1

e-mail:

В рамках теоретико-игрового подхода [1–6] рассматривается антагонистическая дифференциальная игра, в которой динамическая система, подверженная управляющим воздействиям первого и второго игроков, описывается обыкновенными дифференциальными 1 Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН,

Екатеринбург

уравнениями линейными по фазовому вектору. Воздействия игроков стеснены геометрическими ограничениями. Показатель качества процесса управления задан в виде позиционного [3] функционала и оценивает норму совокупности отклонений траектории движения в наперед заданные моменты времени от заданных целевых точек .

Первый игрок нацелен минимизировать этот показатель, второй максимизировать .

В случае, когда выполнено условие седловой точки в маленькой игре [2], исследуемая игра имеет цену и седловую точку в классах чистых позиционных стратегий управления игроков [3]. Для нахождения функции цены игры в [5, 6] предложена процедура, базирующаяся на попятном построении выпуклых сверху оболочек вспомогательных функций из метода стохастического программного синтеза [2]. В [7] на основе этой процедуры и правила экстремального сдвига [2, 3] разработан численный метод решения данной игры .

Настоящий доклад посвящен случаю, когда условие седловой точки в маленькой игре может быть не выполнено. Тогда в рассматриваемой дифференциальной игре цена и седловая точка существуют в классах стратегии–контрстратегии [2], а также в классах смешанных стратегий [3,4]. Применимость методов из [5–7] для решения игры в классах стратегии–контрстратегии обоснована в [8]. Здесь показывается, что после введения вспомогательной системы-поводыря, методы из [5–7] также применимы и для решения игры в классах смешанных стратегий. При построении оптимальных стратегий правило экстремального сдвига обеспечивает необходимые гарантии качества управления поводырем, близость движений исходной системы и поводыря достигается при помощи конструкций из [9]. Обсуждается программная реализация развиваемого численного метода, приводятся результаты моделирования .

Работа выполнена в рамках программы Президиума РАН Динамические системы и теория управления, при финансовой поддержке УрО РАН (12-П-1-1002), а также при поддержке гранта РФФИ 14-01-31319-мол_а .

[1] Красовский Н.Н., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974 .

[2] Красовский Н.Н. Управление динамической системой. Задача о минимуме гарантированного результата. М.: Наука, 1985 .

[3] Krasovskii A.N., Krasovskii N.N. Control under Lack of Information. Berlin etc.: Birkhuser, 1995 .

a [4] Красовский А.Н. Построение смешанных стратегий на основе стохастических программ // ПММ. 1987. Т. 51. Вып. 2 .

С. 186–192 .

[5] Лукоянов Н.Ю. Одна дифференциальная игра с нетерминальной платой // Изв. РАН. Теория и системы управления. 1997 .

№ 1. С. 85–90 .

[6] Лукоянов Н.Ю. К вопросу вычисления цены дифференциальной игры для позиционного функционала // ПММ. 1998. Т. 62 .

Вып. 2. С. 188–198 .

[7] Корнев Д.В. О численном решении позиционных дифференциальных игр с нетерминальной платой // АиТ. 2012. № 11 .

С. 60–75 .

[8] Гомоюнов М.И., Корнев Д.В. К вопросу вычисления цены дифференциальной игры в классе контрстратегий // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2013. Т. 19. № 1. С. 59–68 .

[9] Красовский А.А., Красовский А.Н. Нелинейная позиционная дифференциальная игра в классе смешанных стратегий / Математическая теория управления и дифференциальные уравнения: сб. статей к 90-летию со дня рождения академика Евгения Фроловича Мищенко, Тр. МИАН. 2012. T. 277. С. 144–151 .

–  –  –

Рассматривается управляемая система, состояние которой характеризуется функцией T = T (x), x Rm, m = 2, 3, удовлетворяющей краевой задаче [1–3]

–  –  –

где T = T [ w ] решение краевой задачи (1), (2), соответствующее управлению w W, то решение рассматриваемой задачи наблюдения сводится к нахождению решения операторного уравнения

–  –  –

Указаны условия на параметры краевой задачи (1), (2), при которых для любых u L2 (1 ), w L2 (2 ), f L2 () задача имеет единственное слабое решение T L2 (), непрерывно зависящее от граничных данных и правой части уравнения (1). Исследована гладкость этого решения в зависимости от гладкости исходных данных .

Установлено, что рассматриваемая задача реконструкции является некорректной (неустойчивой по граничным данным) или, другими словами, операторное уравнение (3) некорректно на соответствующей паре пространств .

Авторами разработаны регуляризирующие методы и алгоритмы решения задачи реконструкции, из которых отметим вариационный метод, метод квазиобращения, модификации известных методов Ньютона – Канторовича, Ландвебера, Левенберга – Марквардта [4,5] .

Приводятся результаты численного моделирования решения задачи реконструкции с граничными режимами различной степени гладкости .

Работа выполнена в рамках программы фундаментальных исследований Президиума РАН Фундаментальные проблемы нелинейной динамики в математических и физических науках при поддержке УрО РАН (проект 12-П-1-1009) и поддержана РФФИ (проект 14-01-00155) .

[1] Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Вычислительная теплопередача. М.: УРСС, 2003 .

[2] Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики .

М.: Наука, 1973 .

[3] Короткий А.И. Оптимальное граничное управление в модели реакции-конвекции-диффузии. Вест. Тамбовского ун-та. Естественные и технические науки. 2013. Т. 18, вып. 5. С. 2558–2560 .

[4] Васин В.В., Еремин И.И. Операторы и итерационные процессы фейеровского типа. Теория и приложения. М.; Ижевск: НИЦ Регулярная и хаотическая динамика, 2006 .

[5] Кабанихин С.И. Обратные и некорректные задачи. Новосибирск: Сибирское научное издательство, 2009 .

–  –  –

Рассматриваются задачи терминального целевого управления по принципу обратной связи для линейных и билинейных многошаговых систем в условиях неопределенности и фазовых ограничений .

1 Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН, Екатеринбург Известны подходы к решению задач такого рода, в том числе методы для дифференциальных систем, основанные на построении трубок разрешимости [1, 2]. Поскольку практическое нахождение трубок решимости может быть затруднительно, предложены различные численные методы их построения. В частности, в рамках линейных систем были развиты методы решения, основанные на использовании областей некоторой фиксированной формы, таких как эллипсоиды и параллелепипеды (см. например, [2–5] и для многошаговых систем [6, 7]). Основное преимущество подобных методов состоит в том, что они позволяют получать решения относительно простыми средствами .

Работа посвящена развитию методов синтеза управлений в многошаговых системах с использованием полиэдральных (параллелотопозначных) трубок разрешимости. Для систем с линейной / билинейной структурой рассмотрены два типа задач синтеза управлений: когда управления входят аддитивно и когда они входят в матрицу системы. Исследованы случаи как без неопределенностей, так и с таковыми, включая аддитивные неопределенности с параллелотопозначными ограничениями и неопределенности интервального типа в матрице системы. Для каждого из вышеупомянутых случаев найдены нелинейные рекуррентные соотношения, описывающие полиэдральные трубки разрешимости. В случае без неопределенностей в матрице указанные соотношения задаются явными формулами. В противном случае, при некоторых предположениях (которые естественным образом выполняются, например, для многошаговых систем, полученных из дифференциальных систем с помощью аппроксимаций Эйлера) решения могут быть найдены с использованием последовательных приближений. Рассмотрены также аналогичные, но более сложные, системы при наличии ограничений на состояние. Фазовые ограничения описываются в терминах пересечений гиперполос. Найдены соответствующие рекуррентные соотношения для полиэдральных трубок разрешимости. Предложены стратегии управления, которые (в отличие от рассмотренных в [7]) могут быть вычислены по явным формулам на основе этих трубок. Представлены результаты численного моделирования .

Работа выполнена при поддержке программы фундаментальных исследований УрО РАН (проект № 12-П-1-1019), РФФИ (проект № 12-01-00043) и гранта Президента РФ по поддержке ведущих научных школ (проект НШ-2692.2014.1) .

[1] Красовский Н.Н., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974 .

[2] Kurzhanski A.B., Vlyi I. Ellipsoidal calculus for estimation and a control. Boston: Birkhuser, 1997 .

a [3] Куржанский А.Б., Мельников Н.Б. О задаче синтеза управлений: альтернированный интеграл Понтрягина и уравнение Гамильтона – Якоби // Мат. сборник. 2000. Т. 191, № 6. С. 849–881 .

[4] Дарьин А.Н., Куржанский А.Б. Параллельный алгоритм вычисления инвариантных множеств линейных систем большой размерности при неопределенных возмущениях // ЖВМиМФ .

2013. Т. 53, № 1. С. 47–57 .

[5] Kostousova E.K. Control synthesis via parallelotopes: optimization and parallel computations // Optimiz. Methods & Software. 2001 .

Vol. 14, no. 4. P. 267–310 .

[6] Важенцев А.Ю. О внутренних эллипсоидальных аппроксимациях для задач синтеза управления при ограниченных координатах // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2000. № 3 .

С. 70–77 .

[7] Костоусова Е.К. О полиэдральных оценках в задачах синтеза стратегий управления в линейных многошаговых системах // Алгоритмы и программные средства параллельных вычислений. Екатеринбург: УрО РАН, 2006. Вып. 9. С. 84–105 .

Управление и стабилизация математических моделей ВИЧ динамики (процессов) А. Н. Красовский1, Г. А. Бочаров2, А. В. Ким3, В. В. Глушенкова3, М. А. Сафронов3

e-mail:

В докладе обсуждаются вопросы управления математическими моделями, описывающими ВИЧ динамику. Обсуждаются общие вопросы постановки задач управления ВИЧ динамикой и подходы, основанные на методах, разработанных в рамках свердловской математической школы по теории управления: программные управления и позиционные стратегии управления, основанные на методах теории позиционных дифференциальных игр. Соответствующие алгоритмы управления проиллюстрированы на задачах управления и стабилизации HIV Callaway – Perelson model .

Работа выполнена при поддержке РФФИ (проекты № 14-01-00065, 14-01программы президиума РАН Фундаментальные науки медицине и Урало-сибирского междисциплинарного проекта .

[1] Красовский Н.Н., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974 .

[2] Krasovskii A.N., Krasovskii N.N. Control under lack of information .

Boston: Burkhauser, 1994 .

[3] Ким А.В., Красовский А.Н. Математическое и компьютерное моделирование систем с последействием // Екатеринбург .

УГТУ-УПИ, 2011 .

[4] Красовский А.Н., Ладейщиков А.Н. Некоторые задачи игрового управления. Екатеринбург: УрГСХА, 2012 .

[5] Glushenkova V.V., Kim A.V. Mathematical and computer modeling of a mathematical immune model / Proceedings of the Russia-Korea workshop on advanced computer and information technologies .

2012 .

1 Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б.Н. Ельцина, Екатеринбург 2 Институт вычислительной математики РАН, Москва 3 Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН, Екатеринбург [6] Косова А.А., Ким А.В., Ким П.С., Ан Р.Н., Глушенкова В.В., Новоселов А.В. Математическое и компьютерное моделирование некоторых биомедицинских процессов. Москва-Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика, 2013 .

[7] Ким А.В., Кормышев В.М., Сафронов М.А. Моделирование и стабилизация распространения ВИЧ в организме человека // Аграрный вестник Урала, № 11(117). 2013. С. 9–12 .

Алгоритмы построения равновесных траекторий в динамических биматричных играх Н. А. Красовский1, А. М. Тарасьев2

e-mail:

В рамках теории дифференциальных игр [1] рассматривается модель эволюционной игры с ненулевой суммой между двумя группами участников. Используются некоторые идеи и подходы неантагонистических дифференциальных игр [2]. Исследуются конструкции и методы анализа эволюционных игр, предложенные в работе [3]. Внимание сконцентрировано на построении динамического равновесия по Нэшу с гарантирующими стратегиями игроков, которые максимизируют соответствующие функции выигрыша. Строятся разрешающие траектории, обеспечивающие результат лучший по сравнению с классическими моделями, например, моделями с репликаторной динамикой .

Динамика игрового взаимодействия соответствует дифференциальным играм [1–3] и эволюционным игровым моделям. Предполагается, что случайные взаимодействия между участниками представлены управляемым динамическим процессом, при котором соответствующие вероятности формируют фазовый вектор. Роль управляющих параметров играют информационные сигналы для участников. Такая динамика может быть интерпретирована как обобщение известных уравнений Колмогорова с управляющими параметрами .

1 Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б.Н. Ельцина, Екатеринбург 2 Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН, Екатеринбург Выигрыши участников в каждом раунде специфицируются матрицей выигрышей. Рассматриваются различные типы средних значений выигрышей групп: терминальные для фиксированного времени и мультитерминальные для предела на бесконечном интервале времени .

Для построения равновесного решения предлагается подход, основанный на концепции гарантии и обеспечивающий лучшие результаты нежели классические решения эволюционных игр. Новые решения генерируются в рамках теории позиционных дифференциальных игр и вовлекают гарантирующие обратные связи во вспомогательных играх с нулевой суммой [1,2]. Игры с нулевой суммой рассматриваются в рамках теории минимаксных решений уравнений Гамильтона – Якоби [4, 5]. Проводятся аналитические построенния для функции цены и проверяются необходимые и достаточные условия, которые формулируются в терминах сопряженных производных [5] .

Качественное поведение равновесных решений, порожденных гарантирующим синтезом, существенно отличается от траекторий эволюционных игр, представленных в классических моделях. Новые равновесные решения не являются гладкими и имеют переключения по характеристикам уравнений Гамильтона – Якоби. В отличие от классических траекторий они расположены в пересечении областей, для которых величины выигрышей игроков лучше соответствующих величин выигрышей, рассчитанных для статического равновесия по Нэшу .

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 14-01-00486а), проектов УрО РАН (12-П-1-1002, 12-С-1-1017), Международного института прикладного системного анализа (IIASA) .

[1] Красовский Н.Н., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974 .

[2] Клейменов А.Ф. Неантагонистические позиционные дифференциальные игры. Екатеринбург, Наука, 1993 .

[3] Кряжимский А.В., Осипов Ю.С. О дифференциальноэволюционных играх // Тр. Мат. ин-та РАН. 1995. Т. 211 .

С. 257–287 .

[4] Субботин А.И. Минимаксные неравенства и уравнения Гамильтона – Якоби. М.: Наука. 1991 .

[5] Субботин А.И., Тарасьев А.М. Сопряженные производные функции цены дифференциальной игры // Докл. АН СССР .

1985. Т. 283, 3. С. 559–564 .

–  –  –

Рассматриваются алгоритмы решения априорных задач прокладки маршрута группы объектов на основе структурных свойств (дуальности, разделения) задач управления и оценивания в гарантированной постановке [1]. Исследуемые задачи мотивированы проблемами навигации, прокладки маршрута, регулирования [2] и смежными математическими задачами планирования движения группы объектов .

Разработана структура семейства согласованных алгоритмов, обеспечивающих априорное построение сети локально линейных трубок траекторий при наличии внешних ограничений. В состав семейства входят алгоритмы: обработки массивов картографической информации, представляемой согласно международным стандартам;

конструктивного описания препятствий на основе системы невыпуклых и несвязных множеств; формирования по заданной паре терминальных позиций сети типовых оптимальных маршрутов. Рассмотрены несколько вариантов формализации внешних ограничений для моделирования семейства невыпуклых и несвязных препятствий. Сформулированы конструктивные условия, определяющие выбор варианта формализации семейства внешних ограничений, упорядоченных по уровням и масштабам иерархических систем, описывающих проходы. За основу принято согласование масштабов представления картографической информации и параметров, описывающих характеристики маневренности объектов, а следовательно, трубок возможных маршрутов .

1 Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН, Екатеринбург (1) Стандартное для морских навигационных карт представление внешних ограничений предполагает исследование конечного семейства замкнутых невыпуклых непересекающихся полигонов. Разработаны конструктивные условия распараллеливания вычислительных алгоритмов, анализирующие пересечение контуров, построение выпуклых оболочек и комбинации выпуклых множеств, описывающих проходы. За основу принят параллельный алгоритм построения выпуклой оболочки с наперед заданной точностью по множеству крайних точек плоского контура .

(2) Существенный частный случай составляет конструктивное описание внешних ограничений на основе конечного семейства порождающих замкнутых шаров .

Прокладка набора маршрутов в обход сухопутных образований вида (1) показала необходимость предварительного выделения системы двойственных объектов, не зависящих от конкретной постановки, так называемых сложных препятствий. Возможность распараллеливания расчетных алгоритмов прокладки маршрута исследована на основе структурных соотношений, связывающих задачи априорной прокладки сети трубок постоянного сечения [3] и оптимизации блочно-диагональной структуры дискретного семейства матричнозначных функций, описывающего включения проекций невыпуклых и несвязных множеств .

Разработанные алгоритмы обеспечивают возможность динамического моделирования изменения обстановки за счет включения новых объектов или возникновения структурных связей между ранее выявленными объектами. Полученные результаты могут применяться для разработки блоков априорной прокладки маршрутов в перспективных системах управления безэкипажными катерами и платформами морского базирования .

Работа выполнена при поддержке РФФИ, проект № 12-01-00043 .

[1] Kurzhanski A.B., Mitchel I.M., Varaiya P. Optimization techniques for state-constrained control and obstacle problems // JOTA, 2006 .

Vol. 128(3), pp. 499–521 .

[2] Sharma Sk., Sutton R., Roberts G. A local control network autopilot for an unmanned surface vehicle // Manoeuvring and Control of Marine Craft: Proc. 9th IFAC Conference, Arenzano, Italy. Sept .

2012 .

[3] Kruglikov S.V., Kruglikov A.S. An a priori planning of joint motions for USV as a problem of guaranteed control/estimation // Applied Mechanics and Materials. 2014. Vols. 494–495, pp. 1110–1113 .

–  –  –

Во многих отраслях конкуренция между компаниями за долю рынка происходит, прежде всего, на основе рекламы. Типичными примерами здесь являются рынки прохладительных напитков, пива, сигарет. Воздействие рекламы на таких рынках описывается динамическими моделями (Sorger [1], Sethi [2] и др.). Как правило, это модели непрерывного времени. Однако сами рекламные акции по сути дискретны .

В работе рассматривается дискретная задача оптимального планирования рекламного бюджета в дуополии, математическая модель которой представляет собой многошаговую позиционную бескоалиционную игру двух лиц {1, 2}, o, {Ai }i{1,2}, {Ji (U1, U2, x0 )}i{1,2} (1) с начальной позицией (0, x0 ) .

В выражении (1) цифры 1 и 2 порядковые номера игроков; o управляемая дискретная система, изменение ее в дискретные моменты времени t = 0, 1,..., T 1 описывается системой двух разностных уравнений x1 (t + 1) = (1 )x1 (t) + 1 u1 [t] x2 2 u2 [t] x1 +, x2 (t + 1) = (1 )x2 (t) 1 u1 [t] x2 + 2 u2 [t] x1 + с начальным условием x(0) = x0. Пусть x(t) = (x1 (t), x2 (t)), xi (t) доля рынка, принадлежащая игроку i в момент времени t; при этом в любой момент времени t соблюдается равенство x1 (t) + x2 (t) = 1 .

1 Южно-Уральский государственный университет (национальный исследовательский университет), Челябинск 2 Челябинская государственная агроинженерная академия Символом Ai в (1) обозначено множество позиционных стратегий

–  –  –

и определяется стратегиями U1, U2, выбранными игроками .

В (2) постоянная r представляет собой коэффициент дисконтирования, а константы mi, ci параметры, оценивающие долю рынка и силу воздействия рекламы i-го игрока соответственно .

Используя модификацию метода динамического пограммирования Беллмана из [3], для игры (1) построен явный вид ситуаций равновесия по Нэшу и равновесных выигрышей. Исследован кооперативный вариант игры .

[1] Sorger G. Competitive dynamic advertising: A modication of the Case game // Journal of Economics Dynamics and Control. 1989 .

№ 13. P. 55–80 .

[2] Naik P.A., Prasad A., Sethi S.P. Building brand awareness in dynamic oligopoly markets // Management Science. 2008. V. 54, № 1. P. 129–138 .

[3] Жуковский В.И., Кудрявцев К.Н. Уравновешивание конфликтов и приложения. М.: URSS, ЛЕНАНД, 2012 .

–  –  –

где x [r, +) Rn, u Rm управление, матричнозначная функция с ограниченной вариацией на отрезке [r, 0], постоянная матрица .

(0) = (0) = 0, B Канонические аппроксимации применялись при нахождении стабилизирующих управлений для систем с последействием в работах Н.Н. Красовского, Ю.С. Осипова, L. Pandol и других авторов [1–3] .

В этих работах при решении задачи стабилизации использовалось пространство состояний C ([r, 0], Rn ) и координатное описание канонических аппроксимаций .

Удобно перейти от конечномерной к бесконечномерной постановке задачи. При фиксированном t 0 в качестве элемента решения системы (1) будем рассматривать отрезок решения [4]

–  –  –

В функциональном пространстве состояний C системе (1) соответствует дифференциальное уравнение с замкнутым неограниченным оператором A : C C, определенным в работе [5] .

При построении канонических аппроксимаций в задаче стабилизации системы функционально-разностных уравнений используется 1 Уральский федеральный университет имени первого Президента России где N замкнутый спрямляемый контур, лежащий в резольвентном множестве (A), содержащий внутри себя множество N = {1,..., N } (A) и не содержащий точки (A) /N. Ориентация контура N выбрана так, что при его обходе множество N остается слева. Резольвента R (; A) определена в работе [6], в которой также доказано, что она может быть продолжена из C ([r, 0], Cn ) на пространство L2 ([r, 0], Cn ) .

Предложены и численно реализованы конструктивные алгоритмы канонической схемы аппроксимации задачи стабилизации автономных систем функционально-разностных уравнений. При реализации указанного подхода используются результаты работ [6, 7] .

Работа выполнена при поддержке РФФИ, проект № 13-01-00094-a .

[1] Красовский Н.Н., Осипов Ю.С. О стабилизации движений управляемого объекта с запаздыванием в системе регулирования // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1963. № 6. С. 3–15 .

[2] Маркушин Е.М., Шиманов С.Н. Приближенное решение задачи аналитического регулятора для систем с запаздыванием // Дифференц. уравнения. 1966. Т. 2, № 8. С. 1018–1026 .

[3] Pandol L. Canonical realizations of systems with delays // SIAM J. Control Optim. 1983. Vol. 21, no. 4. P. 598–613 .

[4] Красовский Н.Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: Физматгиз, 1959 .

[5] Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1984 .

[6] Dolgii Yu.F., Kukushkina E.V. Construction of the approximate characteristic equations for autonomous systems of functionaldierence equations // Funct. Dierent. Equat. 2008. Vol. 15, no. 3–4. P. 183–198 .

[7] Быков Д.С., Долгий Ю.Ф. Канонические аппроксимации в задаче оптимальной стабилизации автономных систем с последействием // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2011 .

Т. 17, № 2. С. 20–34 .

Максимальные стабильные мосты в задачах преследования с двумя догоняющими и одним убегающим С. С. Кумков1, В. С. Пацко1

e-mail:

В докладе представлены результаты построения множеств уровня функции цены (максимальных стабильных мостов [1]) для следующей дифференциальной игры. Три точки (два преследователя P1, P2 и один убегающий E) передвигаются по прямой. Динамика движения объектов описывается в векторной форме соотношениями

–  –  –

Здесь AP1, AP2, AE квадратные матрицы соответствующих размеров; BP1, BP2 матрицы размеров nP1 p1 и nP2 p2, BE матрица размера nE q. Компоненты векторных управлений uPi преследователей, i = 1, 2, и v убегающего ограничены по модулю, т. е., компакты Pi, Q являются прямоугольными параллелепипедами в своих пространствах .

Пусть zPi, zE первые компоненты векторов zPi, i = 1, 2, zE, соответствующие геометрическим координатам объектов на прямой .

В назначенный заранее момент T1 измеряется расстояние r1 (T1 ) = zP1 (T1 ) zE (T1 ) между преследователем P1 и убегающим E. Аналогично, в назначенный момент T2 измеряется расстояние r2 (T2 ) = zP2 (T2 )zE (T2 ) между P2 и E.

Платой в игре является минимум из этих двух расстояний:

–  –  –

Первый игрок, объединяющий преследователей P1 и P2, минимизирует значение платы. Второй игрок, отождествляемый с убегающим E, старается максимизировать плату .

1 Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН, Екатеринбург Ранее авторы исследовали [2–4] задачу (1), (2) для частного случая динамики объектов. Однако разработанные алгоритмы построения максимальных стабильных мостов позволяют провести численное исследование мостов и закономерностей их структуры для более широкого класса динамик. Этому посвящён доклад .

Работа выполнена при поддержке интеграционного проекта УрО и СО РАН, проект № 12-С-1-1017 .

[1] Красовский Н.Н., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974 .

[2] Le Mnec S. Linear dierential game with two pursuers and e one evader / Annals of the International Society of Dynamic Games, Vol. 11: Advances in Dynamic Games. Theory, Applications, and Numerical Methods for Dierential and Stochastic Games. M. Breton, K. Szajowski (Eds.). Boston: Birkhauser, 2011, pp. 209–226 .

[3] Ganebny S.A., Kumkov S.S., Le Mnec S., Patsko V.S. Model e problem in a line with two pursuers and one evader // Dynamic Games and Applications. 2012. No. 2, pp. 228–257 .

[4] Ganebny S.A., Kumkov S.S., Le Menec S., Patsko V.S. Model dierential game with two pursuers and one evader / Contributions to game theory and management. Vol. V. Collected papers presented on the Fifth International Conference “Game Theory and Management”, Leon A. Petrosyan, Nikolay A. Zenkevich (Eds), Saint-Petersburg: Graduate School of Management SPbU, 2012, pp. 83–96 .

Теория трубок траекторий в задачах группового управления А. Б. Куржанский1

e-mail:

Приведена общая схема решения задачи целевого управления стаей систем, совершающих совместное движение в условиях препятствий, с использованием теории трубок траекторий. Обсуждается перечень промежуточных задач, на которые предлагается разбить решение основной задачи. Указаны методы решения таких задач и средств их координации, развитые под влиянием работ Н.Н. Красовского и его последователей .

Наилучшие аппроксимации множеств конечными наборами кругов П. Д. Лебедев2, А. Л. Казаков3

e-mail:

В задачах теории оптимального управления [1] часто требуется проводить замену множеств со сложной геометрией более удобными в работе конструкциями. На плоскости одним из самых легко реализуемых и одновременно сохраняющим информацию способов аппроксимации является подмена исходного множества объединением конечного числа кругов равного радиуса [2, 3]. Близкие задачи об аппроксимации плоских фигур эллипсами рассматривались в работах А.Б. Куржанского и его учеников [4]. Вопросы существования и единственности оптимальных покрытий множеств шарами равного радиуса в различных евклидовых пространствах были изучены А.Л. Гаркави [5] и Е.Н. Сосовым [6]. Основным элементом их построения является отыскание наилучшей n-сети множества M, которая 1 Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова 2 Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН, Екатеринбург 3 Институт динамики систем и теории управления СО РАН, Иркутск является обобщением понятия чебышевского центра [5] для случая нескольких точек .

В некоторых случаях движения динамических систем происходят на замкнутой поверхности в трехмерном пространстве. Возникает необходимость наилучшей аппроксимации множеств на поверхности некоторыми аналогами кругов на ней. Авторами рассмотрены покрытия множеств на сфере единичного радиуса сферическиими круговыми сегментами. Близкая по своей математической постановке задача возникает при проектировании систем охраны подводных объектов [7] .

Кроме задач оптимального управления, другим направлением практического применения наилучших n-сетей и оптимальных покрытий является построение транспортных сетей и размещение логистических центров обслуживания [8] .

Работа выполнена в рамках программы Президиума РАН Динамические системы и теория управления, при финансовой поддержке УрО РАН (12-П-1при поддержке интеграционного проекта УрО и СО РАН, проект (12-С-1при поддержке Совета по грантам Президента Российской федерации для государственной поддержки ведущих научных школ (НШ-5007.2014.9) .

[1] Красовский Н.Н., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974 .

[2] Лебедев П.Д., Бухаров Д.С. Аппроксимация многоугольников наилучшими наборами кругов // Известия Иркутcкого гос. унта. Сер. Математика. 2013. № 3. С. 72–87 .

[3] Лебедев П.Д., Успенский А.А., Ушаков В.Н. Алгоритмы наилучшей аппроксимации плоских множеств наборами кругов // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика .

Компьютерные науки. 2013. Вып. 4. С. 88–99 .

[4] Kurzhanski A.B., Valyi I. Ellipsoidal calculus for estimation and control. Boston: Birkhauser. 1997 .

[5] Гаркави А.Л. О наилучшей сети и наилучшем сечении множеств в нормированном пространстве // Изв. АН СССР. Сер. матем .

1962. Т. 26. № 1. С. 87–106 .

[6] Сосов Е.Н. Метрическое пространство всех N -сетей геодезического пространства // Учен. зап. Казан. гос. ун-та. Сер. Физ.матем. науки. 2009. Т. 15. Вып. 4. С. 136–149 .

[7] Бычков И.В., Максимкин Н.Н., Хозяинов И.С., Киселев Л.В .

О задаче патрулирования границы акватории, охраняемой группой подводных аппаратов // Технические проблемы освоения мирового океана: материалы 5-ой Всерос. науч.-техн. конф. Владивосток. 2013. С. 424–429 .

[8] Казаков А.Л., Лемперт А.А., Бухаров Д.С. К вопросу о сегментации логистических зон для обслуживания непрерывно распределенных потребителей // АиТ. 2013. № 6. С. 87–100 .

–  –  –

Рассматривается конфликтно-управляемый объект, движение которого описывается функционально-дифференциальным уравнением нейтрального типа в форме Дж. Хейла [1]:

–  –  –

Екатеринбург управляющих воздействий u и v в дискретной по времени цепи обратной связи. Согласно этому правилу между исходным объектом и моделирующим поводырем, по сути, осуществляется процедура взаимного прицеливания [7] .

Основным результатом работы является доказательство того, что при подходящем выборе моделирующей системы, при осуществлении указанной процедуры взаимного прицеливания, для любых допустимых реализаций управляющего воздействия u и противодействия v движения исходной и моделирующей систем будут близки в равномерной метрике. Приводятся результаты численных экспериментов .

Работа выполнена в рамках программы Президиума РАН Динамические системы и теория управления, при финансовой поддержке УрО РАН (12-П-1а также при поддержке РФФИ (14-01-31319 мол_а) .

[1] Hale J. Theory of Functional Dierential Equations, New York, Springer, 1977 .

[2] Красовский Н.Н. Об аппроксимации одной задачи аналитического конструирования регуляторов в системе с запаздыванием // ПMM. 1964. Т. 28, вып. 4. С. 716–724 .

[3] Репин Ю.М. О приближенной замене систем с запаздыванием обыкновенными динамическими системами // ПMM. 1965. Т. 29, вып. 2. С. 226–235 .

[4] Куржанский А.Б. К аппроксимации линейных дифференциальных уравнений с запаздыванием // Дифференц. уравнения .

1967. Т. 3. С. 2094–2107 .

[5] Matvii O.V., Cherevko I.M. On approximation of systems of dierential-dierence equations of neutral type by systems of ordinary dierential equations // Nonlinear Oscillations, Vol. 10, no. 3, 2007. P. 330–338 .

[6] Лукоянов Н.Ю., Плаксин А.Р. Конечномерные моделирующие поводыри в системах с запаздыванием // Тр. Института математики и механики УрО РАН, 2013. Т. 19, № 1. С. 182–195 .

[7] Красовский Н.Н. Управление динамической системой. М.: Наука, 1985 .

Об одном способе построения компромиссных наборов стратегий в дифференциальных играх нескольких лиц С. В. Лутманов1

e-mail:

В докладе рассматривается игра нескольких лиц, в которой интерес каждого игрока, помимо минимизации своей платы, состоит еще и в том, чтобы любой из его оппонентов не мог получить результат лучший (меньший) некоторой заданной величины. При этом собственный результат игрока должен быть не хуже (не больше) другой заданной величины. В работе принимается, что рациональное поведение участников описанного конфликта состоит в выборе компромиссного набора стратегий, обеспечивающего каждому игроку значение платы не хуже (не больше) верхней оценки платы. При этом никакое единоличное уклонение игрока от стратегии, предписываемой компромиссным набором, не позволяет ему получить значение платы лучше (меньше) нижней оценки платы. Формальное определение компромиссного набора стратегий приводится ниже .

Определение. Ситуация W comp {W } называется компромиссной по отношению к оценкам S, S, если для всех i K справедливы неравенства comp comp comp comp Si min Ii U1, · · ·, Ui1, Ui, Ui+1, · · ·, Uk Ui {Ui }

–  –  –

Доклад посвящен обсуждению задач отслеживания решений управляемых систем с помощью метода экстремального сдвига. Рассматриваются различные типы систем: системы, описываемые обыкновенными дифференциальными уравнениями, уравнениями с последействием, уравнениями с распределенными параметрами. Предполагается, что входная информация (результаты измерения текущих фазовых положений) неточна и поступает по ходу процесса .

Суть задач состоит в построении алгоритмов управления по принципу обратной связи, которые гарантировали бы заданное качество управляемого процесса, например, отслеживание траекторией заданной управляемой системы предписанной траектории некоторой эталонной системы, подверженной влиянию неизвестного возмущения .

Методы решения подобного типа задач хорошо известны и излагаются, в частности, в рамках теории позиционного управления. В настоящем сообщении обсудим алгоритмы решения задач, имеющих ряд особенностей. В частности, рассмотрим случай, когда система 1 Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН, Екатеринбург описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями и измеряются не все, а часть фазовых координат. Кроме того, рассмотрим ситуацию, когда относительно возмущения, действующего на эталонную систему, известно лишь, что оно является элементом пространства функций, суммируемых с квадратом евклидовой нормы, т. е. может быть неограниченным. Учитывая данные особенности, сконструируем устойчивые к информационным помехам и погрешностям вычислений алгоритмы решения, которые основаны на сочетании элементов теории некорректных задач с известным в теории позиционных дифференциальных игр методом экстремального сдвига .

Работа выполнена при поддержке РФФИ, проект 13-01-12446-офиМ2 .

К вопросу об изучении одного варианта управляемой модели Солоу М. С. Никольский1

e-mail:

Среди часто изучаемых моделей математической экономики привлекают определенный интерес оптимизационные задачи, связанные с управляемой моделью Солоу (см., например, в [1] разделы 4.1 и 4.3, а также статью [2] и др.). Настоящая работа продолжает исследования работы [2] .

В нашей работе динамика управляемой системы в удельных показателях описывается одномерным нелинейным уравнением, в котором фазовой переменной является удельный капитал, а роль управления играет удельное потребление на одного работника, на которое накладываются смешанные ограничения. Управляемый процесс протекает на отрезке времени [0, T ] под воздействием измеримого управления и начинается из заданного начального состояния. Также фиксируется терминальное состояние управляемой системы в конечный момент T .

Качество допустимого управления оценивается интегральным функционалом, описывающим дисконтированную полезность от потребления, который надо максимизировать. Таким образом, рассматМосковский государственный университет имени М.В. Ломоносова ривается некоторый вариант задачи об оптимальном росте для односекторной замкнутой экономической системы с конечным горизонтом управления и положительной нормой дисконтирования .

Большую сложность в рассмотрениях [2] вызывает наличие смешанных ограничений на управление. Непосредственное применение принципа максимума Понтрягина в форме, например, [3] вызывает большие трудности. Мы предлагаем использовать переход к новой, эквивалентной оптимизационной задаче, в которой ограничения на управление имеют традиционный вид, и дальше применить обычный принцип максимума Понтрягина. В рассматриваемой оптимизационной задаче такой переход удобно осуществить с помощью несложной замены управления. На этом пути удалось получить простое аналитическое описание множеств достижимости исследуемого управляемого объекта и установить общие условия существования оптимального управления. Также были получены эффективные достаточные условия, обеспечивающие непрерывность оптимального управления и отсутствие особых режимов .

Благодарю Н.Л. Григоренко за предоставленные материалы и полезные замечания .

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, проекты № 12-01а, 13-01-00685, 13-01-12446 офи-м2 .

[1] Колемаев В.А. Математическая экономика. М.: Юнити, 2005 .

[2] Анисимов А.В., Григоренко Н.Л., Лукьянова Л.Н. Задача оптимального управления для односекторной модели экономического роста со смешанными ограничениями // Прикладная математика и информатика: Труды факультета ВМК МГУ им. М.В. Ломоносова. М.: МАКС Пресс. 2013. № 44. C. 5–21 .

[3] Seierstad A., Sydsaeter K. Optimal control theory with economic applications. Amsterdam: Elsevier Science B.V., 1987 .

–  –  –

1 Челябинский государственный университет Для задачи (1)–(2) получен принцип верхних и нижних решений существования сильных решений. С его помощью доказываются теоремы неединственности для задачи (1)–(2). Приведем основные результаты .

Теорема 1. Предположим, что q n + 2, 1 минимальное собственное значение оператора L с условиями (2) и 1 .

Пусть существуют положительные постоянные r0, r1 и k1 такие, что почти всюду на QT

–  –  –

3) g(x, t, 0) = 0 на QT и функции gi (x, t, ·), i = 1, 2, ограничены на отрезках полупрямой R+ (R ) равномерно по (x, t) QT .

Тогда задача (1)–(2) имеет сильное положительное (отрицательное) решение из Wq (QT ) .

Теорема 2. Пусть q и 1 те же, что и в теореме 1, g(x, t, 0) = 0 на QT и gi (x, t, ·), i = 1, 2, ограничены на отрезках числовой прямой равномерно по (x, t) QT .

Предположим, что

1) существует r0 0 такое, что для почти всех (x, t) QT

–  –  –

Фазовым пространством такой системы является гладкое многообразие M размерности n, удовлетворяющее ряду стандартных условий .

Векторное поле v удовлетворяет локальному условию Липшица по x, непрерывно по u, U компактно в Rm, и v, как функция t, локально интегрируема по Лебегу, ограничена и равномерно непрерывна в среднем на R для всякого компакта K в M. Предполагается, кроме того, что для всякой гладкой кривой t x(t) M имеет место условие невырожденности

v(t, x(t), U ) Tx(t) M = .

Стандартная система (1) обладает следующим важным свойством: всякая система, полученная из (1) замыканием множества сдвигов по переменной t в топологии равномерной сходимости на компактах в [, ]K, тоже стандартна и, более того, полученное множество управляемых систем компактно в этой топологии .

Будем называть процесс ((t), u(t)) M U, состоящий из управления u(t) и решения (t) системы

x = v (t, x, u(t)),

допустимым, если управление u : R U удовлетворяет ряду условий, решение (t) понимается в смысле Каратеодори, определено на прямой, ограничено на [0, ) и v (t, (t), u(t)) T(t) M .

Далее, функция u : R M U называется допустимым позиционным управлением системы (1), если для каждой точки x M 1 Тамбовский государственный университет имени Г.Р. Державина 2 Удмуртский государственный университет, Ижевск функция t u(t, x) локально интегрируема по Лебегу, ограничена и равномерно непрерывна в среднем. Любая ограниченная область G многообразия M состоит из конечного числа областей Gi, в каждой из которых векторное поле x = v t, x, u(t, x), (2) локально липшицево по x и в каждой точке на границе областей Gi существует конечный предел. Кроме того, существует допустимый процесс (t) = (t), u(t) системы (2), удовлетворяющий условию невырожденности .

Пусть (t, x1 ) решение системы (2) с условием (0, x1 ) = x1 .

Множеством управляемости решения (t) допустимого процесса (t), u (t) на [0, ] называется множество .

D ( ) = x1 M : (t, x1 ) = (t), t= t= а положительная полутраектория orb+ ( ) = { (· + ) : 0} решения (t) называется локально управляемой, если для любого 0 найдутся такие положительные = ( ), = ( ), что O (0) D ( ), где (t) = (t + ). Далее, полутраектория orb+ ( ) называется равномерно локально управляемой, если найдутся такие положительные,, что для всех orb+ ( ) имеет место вложение O (0) D ( ) .

Доклад посвящен обсуждению условий существования локально и равномерно локально управляемой полутраектории заданного допустимого процесса [1], применению аналогов функций Ляпунова к задачам управляемости и рассмотрению ряда прикладных задач с помощью полученных в этом докладе результатов .

Работа выполнена при финансовой поддержке программы Президиума РАН (№ 12-П-1002), грантов РФФИ (12-01-00195, 14-01-00877, 14-01-97504), базовой части Минобрнауки России и госзадания № 2014/285 (проект № 2476) .

[1] Тонков Е.Л. Распространение теоремы Е.А. Барбашина и Н.Н. Красовского об устойчивости на управляемые системы на гладких многообразиях // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2014. Т. 20, № 3. C. 185–201 .

–  –  –

где z Rk (k строго выпуклый компакт с гладw V, V кой границей, ap (t) непрерывные на [t0, ) функции такие, что выполнен некоторый аналог предположения 1 .

Работа выполнена при поддержке РФФИ, проект № 12-01-00195 и Минобрнауки России в рамках базовой части .

–  –  –

и V (x0, T t0 ; M ) супераддитивна по M .

Используя характеристическую функцию (5), можно построить любой принцип оптимальности кооперативной траектории на множестве игроков Sk, т. е. решить задачу второго уровня кооперации .

Далее, используя процедуру распределения дележа (ПРД), можно провести регуляризацию игры, построив новые динамически устойчивые (состоятельные во времени) принципы оптимальности в дифференциальных играх с двухуровневой кооперацией .

Работа выполнена при поддержке РФФИ, грант № 13-01-91160-ГФЕН_а, и СПбГУ, грант № 9.38.245.2014 .

[1] Петросян Л.А., Зенкевич Н.А., Шевкопляс Е.В. Теория игр .

СПб.: БХВ-Петербург, 2012 .

[2] Shapley L.S. A Value for n-person Games / Contributions to the Theory of Games, vol. II, by H.W. Kuhn and A.W. Tucker, editors .

Annals of Mathematical Studies. Vol. 28, pp. 307–317. Princeton University Press, 1953 .

Численные методы моделирования управляемого уравнения переноса с запаздыванием В. Г. Пименов1

e-mail:

Математические модели самых различных объектов содержат одновременно два эффекта: распределенность по состоянию и запаздывание по времени. При этом эффект запаздывания может наблюдаться и в частных производных, как по времени, так и по состоянию. Если рассматривать управление таким объектом по принципу обратной связи, то порождаемая управлением неоднородность будет иметь функциональный эффект наследственности по состоянию, например, распределенное запаздывание. Этот факт отмечался уже в первых работах по теории управления системами с последействием .

В работе строится семейство сеточных численных схем с весами для управляемых уравнений переноса с эффектом запаздывания в частной производной по времени, получены условия устойчивости схем и приведена теорема сходимости .

Рассмотрим уравнение u u u (x, t) + a (x, t) + b (x, t ) = v. (1) t x t Здесь u(x, t) искомая функция, x [0, X], t [0, T ], величина запаздывания, управление v строится по известному закону v = f (x, t, u(x, t), ut (x, ·)), где ut (x, ·) = {u(x, t + s), s 0} функция-предыстория искомой функции к моменту t .

Заданы начальные условия: u(x, t) = (x, t), x [0, X], t [, 0], и граничные условия: u(0, t) = 0, t [0, T ] .

Будем предполагать, что функционал f и функция таковы, что задача имеет единственное решение. Считаем также, что a 0 .

Проведем дискретизацию задачи. Пусть h = X/N, введем xi = ih, i = 0,..., N ; пусть = T /M, tj = j, j = 0,..., M, / = K целое. Приближения функции u(x, t) в узлах сетки (xi, tj ) будем обозначать ui. j 1 Уральский федеральный университет имени первого Президента России Работа выполнена при поддержке РФФИ, проект № 13-01-00089, и Программы повышения конкурентоспособности ведущих университетов РФ (постановление Правительства РФ № 211 от 16 марта 2013 г.) .

[1] Cermak J., Jansky J., Kundrat P. On necessary and sucient conditions for the asymptotic stability of higher older linear dierence equations // Journal of Dierence Equations and Applications. 2012. V. 18, no. 11. P. 1781–1800 .

[2] Пименов В.Г., Ложников А.Б. Разностные схемы численного решения уравнения теплопроводности с последействием // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2011. Т. 17. № 1 .

С. 178–189 .

Об одной задаче управления для квазилинейного уравнения первого порядка Н. И. Погодаев1

e-mail:

–  –  –

Будет показано, что при определенных условиях носитель функции (t, ·), т. е. наименьшее замкнутое множество C(t) со свойством (t, x) dx = 0, содержится в множестве достижимости R(t, p) Rn \C(t) некоторого дифференциального включения

–  –  –

будет указан возможный способ решения такой задачи .

Работа выполнена при поддержке РФФИ, проект № 14-01-31254 мол_а .

1 Институт динамики систем и теории управления СО РАН, Иркутск Аппроксимация информационных множеств в задаче минимаксной фильтрации с использованием систем линейных неравенств Е. О. Подивилова1, В. И. Ширяев1

e-mail:

Рассматривается построение гарантированных оценок состояния динамических систем в условиях неопределённости, когда статистическая информация о возмущениях и помехах отсутствует и известны только множества их возможных значений.

Система описана уравнениями:

xk+1 = Axk + Buk + wk, yk+1 = Gxk+1 + Hvk+1, (1) где xk, wk, yk, vk векторы состояния системы, возмущения, измерения, ошибок измерений на k-м шаге соответствующих размерностей; A, B,, G, H известные матрицы; uk заданное управление .

Минимаксная фильтрация заключается в построении последовательности информационных множеств X k [1], [3], т. е. множеств возможных значений вектора состояния на k-м шаге, когда известно:

x0 X 0, wk W, vk V, k = 0, 1,..., N 1. (2) Здесь X0, W, V заданные выпуклые многогранникии .

Минимаксный фильтр включает выполнение операций суммы множеств Минковского, линейного преобразования и пересечения множеств. При увеличении размерности задачи возникают проблемы в построении информационных множеств в реальном времени .

В этом случае для уменьшения вычислительной сложности применяют различные аппроксимации информационных множеств, хотя при этом и происходит потеря точности [2] .

В данной работе приведена процедура построения аппроксимации информационного множества многогранником любой формы без выполнения вычислительно затратных операций над множествами .

Для построения аппроксимирующего многогранника Xk+1 информационного множества X k+1 используется неявное задание последнего системами линейных неравенств, полученных из условий (2) и уравнений модели (1). Затем строится явное представление 1 Южно-Уральский государственный университет (национальный исследовательский университет), Челябинск аппроксимирующего многогранника Xk+1 в виде системы линейных неравенств относительно переменной xk+1, т. е. Axk+1 xk+1 bxk+1, где каждая строка матрицы Axk+1 является вектором нормали к грани аппроксимирующего многогранника, а для вычисления значения свободного члена bk+1 требуется решить ряд задач линейного программирования .

Поскольку форма информационного множесва неизвестна, то выбирать следует такие грани аппроксимирующего многогранника, по направлению которых оценки значения координат вектора состояния являются значимыми. Наиболее простая аппроксимация аппроксимация прямоугольным параллелепипедом, ориентированным параллельно координатым плоскостям, когда вычисляется диапазон возможных значений по каждой из координат вектора состояния xk .

Выбирая дополнительные грани аппроксимирующего многогранника, можно получить более точную оценку информационного множества. Также имеется возможность уточнения аппроксимации благодаря расширению системы, неявно задающей информационное множество, за счёт накопления данных с нескольких предыдущих шагов .

По сравнению с аппроксимацией на основе текущего измерения, аппроксимация с использованием расширенной системы на некоторых итерациях позволяет увеличить точность аппроксимации .

Описанный алгоритм продемонстрирован на примере математической модели истребителя F-16, вектор состояния которого является шестимерным .

[1] Кац И.Я., Куржанский А.Б. Минимаксная многошаговая фильтрация в статистически неопределенных ситуациях // АиТ .

1978. № 11. C. 79–87 .

[2] Костоусова Е.К. О полиэдральных оценках множеств достижимости линейных многошаговых систем с интегральными ограничениями на управление // Вычислительные технологии. 2003 .

T. 8. № 4. С. 55–74 .

[3] Ширяев В.И. Синтез управления линейными системами при неполной информации // Изв. РАН. Техническая кибернетика .

1994., № 3. C. 229–237 .

Необходимые условия оптимальности в задачах с дифференциальными включениями Е. С. Половинкин1

e-mail:

В докладе излагается созданный автором прямой метод исследования оптимизационных задач в банаховых пространствах с дифференциальными включениями с неограниченной правой частью. Метод состоит в том, что любое дифференциальное включение в окрестности испытуемой траектории приближается более простым дифференциальным включением, график правой части которого является выпуклым конусом, измеримо зависящим от времени. В отличие от других аппроксимационных методов исследования таких негладких оптимизационных задач, указанный прямой метод позволяет получать необходимые условия с более точными сопряженными (полярными) конусами .

Рассмотрены дифференциальные включения, удовлетворяющие локальным условиям в окрестности графика траектории, подозрительной на оптимальность, а именно, так называемые дифференциальные включения с измеримо-псевдолипшицевой правой частью .

Для таких дифференциальных включений получены теорема существования решений задачи Коши с оценками уклонения от начального приближения [3] и теорема о релаксации [5], т. е. обобщение теорем А.Ф. Филиппова и А.Ф. Филиппова – Т. Важевского на случай измеримо-псевдолипшицевой правой части, причем в банаховых пространствах. Доказаны некоторые свойства множества решений указанных дифференциальных включений, являющиеся обобщением классических теорем о непрерывной зависимости и о дифференцировании решений по начальным данным. Изучены полярные конусы к множествам решений дифференциального включения, график правой части которого является выпуклым замкнутым конусом (см. [4]) .

В итоге, получены необходимые условия оптимальности в ряде оптимизационных задач с дифференциальными включениями указанного вида [6] .

Данная работа развивает цикл результатов (см., например, [1, 2]), 1 Московский физико-технический институт (государственный университет),

Долгопрудный

касающихся качественных свойств решений дифференциальных включений и необходимых условий оптимальности в задачах с дифференциальным включением, со случая, когда правая часть включения удовлетворяла условию Липшица по фазовой переменной на измеримо-псевдолипшицевый случай, а также со случая, когда решения принадлежали конечномерному пространству Rn, на случай рефлексивного банахова пространства (см. [3–5]) .

Работа выполнена при поддержке РФФИ, проект № 13-01-00295а .

[1] Половинкин Е.С., Смирнов Г.В. О задаче быстродействия для дифференциальных включений // Дифф. уравнения, т. 22, № 8,

1986. С. 1351–1365 .

[2] Половинкин Е.С. Необходимые условия оптимальности с дифференциальными включениями // Тр. Матем. инст .

им. В.А. Стеклова АН СССР, т. 211, 1995. С. 387–400 .

[3] Половинкин Е.С. Теорема существования решений дифференциального включения с псевдо-липшицевой правой частью // Нелинейный мир, т. 10, № 9. 2012. С. 571–578 .

[4] Половинкин Е.С. О вычислении полярного конуса ко множеству решений дифференциального включения // Тр. Матем. инст .

им. В.А. Стеклова РАН, т. 278, 2012. C. 178–187 .

[5] Половинкин Е. С. Дифференциальные включения с измеримопсевдолипшицевой правой частью // Тр. Матем. инст .

им. В.А. Стеклова РАН, т. 283, 2013. С. 121–141 .

[6] Половинкин Е.С. Многозначный анализ и дифференциальные включения. М.: Физматлит, 2014, 600 с. (в печати) .

–  –  –

с дискретным временем, удовлетворяющую условиям:

1) последовательности матриц {Ak }kZ Mn и {Bk }kZ Mnm почти периодичны (Mnm множество вещественных n m-матриц, .

Mn = Mnn );

2) при каждом k Z матрица Ak обратима, и последовательность {A1 }kZ ограничена .

k Определение. Преобразованием Ляпунова называется линейное преобразование фазового пространства вида yk = Lk xk, где последовательности {Lk }kZ Mn и {L1 }kZ Mn ограничены. Системы k

–  –  –

Теорема. Если система (1) равномерно вполне управляема, то для всякой почти периодической последовательности {Ck }kZ Mn, такой что последовательность {Ck }kZ ограничена, найдется почти периодическая последовательность {Uk }kZ Mmn, такая что система (1), замкнутая управлением uk = Uk xk, асимптотически эквивалентна системе (2) .

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант 12-01-00195 .

1 Удмуртский государственный университет, Ижевск

–  –  –

Подмножества E1, E2 (0, l), функции f (x) H 1 (E1 ), g(x) L2 (E2 ) и число R 0 предполагаются заданными .

Задачи (1) и (2) относятся к классу задач квадратичной минимизации на эллипсоидальных множествах в гильбертовом пространстве и после соответствующих переобозначений записываются в виде

Au f inf, Bu g R. (3)

Для численного решения задачи (3) предложен алгоритм, основанный на вариационном методе [1, 2]. Доказана устойчивость алгоритма к возмущениям исходных данных A, B, f, g и R, причём малость возмущений в операторах понимается в смысле их сильной поточечной сходимости .

Одним из важных достаточных условий применимости этого алгоритма к задачам (1) и (2) является наличие конструктивных оценок типа непрерывной обратимости

–  –  –

[1] Потапов М.М. Устойчивый метод решения линейных уравнений с неравномерно возмущённым оператором // Доклады РАН .

1999. Т. 365, № 5. C. 596–598 .

[2] Васильев Ф.П., Куржанский М.А., Потапов М.М., Разгулин А.В. Приближённое решение двойственных задач управления и наблюдения. М.: МАКС Пресс, 2010 .

[3] Потапов М.М., Дряженков А.А. Оптимизация порогового момента в неравенстве наблюдаемости для волнового уравнения с краевым условием упругого закрепления // Труды МИАН .

2012. Т. 277. C. 215–229 .

[4] Потапов М.М., Иванов Д.А. Задачи двустороннего граничного управления для волнового уравнения на докритических промежутках в классах сильных обобщённых решений // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2013. Т. 19, № 4. C. 192–202 .

[5] Дряженков А.А., Потапов М.М. Конструктивные неравенства наблюдаемости для слабых обобщённых решений волнового уравнения с условием упругого закрепления // ЖВМиМФ .

2014. Т. 54. № 6 .

О структуре сингулярного множества минимаксного решения уравнения Гамильтона – Якоби – Беллмана А. С. Родин1,2

e-mail:

Рассмотрим краевую задачу для уравнения Гамильтона – Якоби –

Беллмана:

(t, x) x Rn. (1) + H(t, x, s) = 0, (T, x) = (x), t [0, T ], t Обозначим T = {(t, x) : t [0, T ], x Rn }. Задача рассматривается при следующих предположениях:

A1 функция H(t, x, s) непрерывно дифференцируема по всем переменным и вогнута по переменной s;

A2 функция (x) непрерывно дифференцируема;

A3 функции H(t,x,s), H(t,x,s), i, j 1, n, обладают подлинейным xi sj ростом по x, s .

Задача (1) не имеет, как правило, классического решения. В работе рассматривается обобщенное кусочно-гладкое минимаксное решение [1]. Кусочная гладкость решения (t, x) означает следующее:

T = iI Mi, Mi Mj =, если i = j, i, j I, I = 1, 2,...N;

Mi дифференцируемые подмногообразия;

J := {i I : Mi n + 1-мерное многообразие} и (t, x) T J(t, x) := {j J : (t, x) M j }, с условием J(t1, x1 ) = J(t2, x2 ) при (t1, x1 ), (t2, x2 ) Mi i I;

сужение функции (t, x) на многообразие M i, i J является непрерывно дифференцируемым .

Определение. Множеством сингулярности Q обобщенного решения (·, ·) задачи (1) называется множество точек (t, x) T, в которых функция (·, ·) недифференцируема .

Условия A1 A3 гарантируют существование, единственность и 1 Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН, Екатеринбург 2 Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б.Н. Ельцина, Екатеринбург продолжимость решений характеристической системы

–  –  –

Используя работы [2, 3], получены следующие результаты .

Теорема 1. Пусть в задаче (1) выполнены условия A1 A3 и (t, x) Q .

Тогда для того чтобы (t, x) Mj, dim Mj = n + 1 k, k 1, n, необходимо и достаточно, чтобы существовали решения x(·, i ), s(·, i ), z (·, i ) системы (2)–(3), i 1, r + 1, такие что

–  –  –

[1] Субботин А.И. Обобщённые решения уравнения в частных производных первого порядка: перспективы динамической оптимизации. М.; Ижевск: Ин-т комп. исследований, 2003 .

[2] Субботина Н.Н., Колпакова Е.А., Токманцев Т.Б., Шагалова Л.Г. Метод характеристик для уравнения Гамильтона – Якоби – Беллмана. Екатеринбург: Изд-во УрО РАН, 2013 .

[3] Колпакова Е.А. Обобщённый метод характеристик в теории уравнений Гамильтона – Якоби и законов сохранения // Тр. Инта математики и механники УрО РАН. 2010. Т. 16, № 5. С. 95–98 .

Инвариантные множества управляемой системы со случайными коэффициентами Л. И. Родина1

e-mail:

Существуют различные модели популяционной динамики (например, модели с типовой или возрастной структурой), в которых предполагается, что переход из одного класса в другой носит скачкообразный характер и происходит в фиксированные моменты времени k. Это модели с дискретно-непрерывным поведением траекторий, описываемые системой дифференциальных уравнений с импульсными воздействиями. В данной работе будем предполагать, что изменение размера популяции на интервалах (k, k+1 ), в моменты k, а так же сами эти моменты определяются различными случайными условиями. Поэтому рассматриваем управляемую систему со случайными коэффициентами

–  –  –

Тогда, если тривиальное решение уравнения (2) устойчиво по Ляпунову, то множество M() положительно инвариантно относительно системы (1) .

Работа выполнена при поддержке РФФИ, проект № 12-01-00195 .

[1] Родина Л.И. О некоторых вероятностных моделях динамики роста популяций // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2013. Вып. 4. C. 109–124 .

[2] Панасенко Е.А., Тонков Е.Л. Инвариантные и устойчиво инвариантные множества дифференциальных включений // Тр. Матем. инст. им. В.А. Стеклова. 2008. Т. 262. С. 202–221 .

Реконструкция параметров линейного стохастического уравнения в условиях дефицита информации В. Л. Розенберг1

e-mail:

Задача реконструкции неизвестного детерминированного возмущения, характеризующего уровень случайных помех, в линейном стохастическом дифференциальном уравнении исследуется с позиций подхода теории динамического обращения [1] .

Рассматривается уравнение следующего вида:

dX(t, ) = A(t)X(t, )dt + B(t)U (t)d(t, ) + f (t)dt, (1)

t T = [0, ], X(0, ) = X0, X Rn, Rm .

Здесь X0 детерминированный или случайный (распределенный по нормальному закону) вектор начальных условий;, (, F, P ) вероятностное пространство; f (t) Rn непрерывная векторфункция; A(t) и B(t) заданные матричные функции размерности n n и n k с липшицевыми элементами; U (t) k m-мерная матричная функция специального вида, характеризующая амплитуду случайной помехи и играющая роль неизвестного входного воздействия, U (·) L2 (T ; Rkm ), U (t) M t T, M заданный компакт в Rkm ; (t, ) стандартный винеровский процесс (т. е. процесс с нулевым математическим ожиданием, матрицей ковариации, равной It (I единичная матрица), и (0) = 0) .

1 Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН, Последний интеграл в правой части равенства (2) является стохастическим и понимается в смысле Ито. Для любого сформулированная задача Коши имеет единственное решение и определяет реализацию случайного процесса X(t, ), t T. Решение уравнения (1) определяется как случайный процесс, удовлетворяющий тождеству (2) при любом t с вероятностью 1. При сделанных предположениях существует единственное решение, которое является нормальным марковским процессом с непрерывными реализациями .

Задача в общей постановке состоит в следующем. В дискретные, достаточно частые, моменты времени i T, i = i, = /l, i [0 : l 1], поступает информация о некотором количестве N реализаций (части) координат случайного процесса. Требуется указать алгоритм динамического восстановления неизвестной функции U (t), причем отклонение приближения от U (t) должно быть сколь угодно мало в метрике пространства L2 (T ; Rkm ) при достаточно большом N и согласованном с N шаге временной дискретизации = (N ) = /l(N ) .

Рассматриваемая задача сводится к обратной задаче для системы обыкновенных дифференциальных уравнений, которой удовлетворяют элементы ковариационной матрицы исходного процесса. В работе [2] для уравнения (1) изучен случай измерения реализаций всего фазового вектора, а в работе [3] решалась задача для системы второго порядка при измерении реализаций одной координаты. В докладе обсуждаются общие условия разрешимости задачи при неполной информации. Для конкретных постановок разработаны конструктивные конечношаговые алгоритмы, основанные на методе вспомогательных управляемых моделей. В условиях дополнительных предположений получены оценки точности восстановления относительно количества доступных измерению реализаций .

Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект № 13-01-00110-а) и Программы фундаментальных исследований Президиума РАН Динамические системы и теория управления (проект № 12-П-1-1019) .

[1] Osipov Yu.S., Kryazhimskii A.V. Inverse problems for ordinary dierential equations: dynamical solutions. London: Gordon and Breach, 1995 .

[2] Розенберг В.Л. Задача динамического восстановления неизвестной функции в линейном стохастическом уравнении // АиТ .

2007. № 11. С. 76–87 .

[3] Розенберг В.Л. Задача реконструкции возмущения в линейном стохастическом уравнении: случай неполной информации // Тр .

Ин-та математики и механики УрО РАН. 2012. Т. 19, № 4 .

C. 214–221 .

Метод функций стохастической чувствительности в анализе индуцированных шумами явлений для нелинейных динамических систем Л. Б. Ряшко1

e-mail:

Неизбежно присутствующие случайные воздействия, деформируя решения идеализированных невозмущенных динамических моделей, могут приводить к возникновению новых режимов, не имеющих аналогов в детерминированном случае. Действительно, сильная нелинейность исходной детерминированной динамической модели проявляется в высокой степени неоднородности фазового портрета, мультистабильности, существовании аттракторов сложных пространственных форм, наличии узких параметрических зон, сочетающих локальные и глобальные бифуркации с многократными переходами от порядка к хаосу .

В этих обстоятельствах даже малые случайные возмущения могут формировать переходы как между сосуществующими детерминированными аттракторами, так и между их отдельными пространственными фрагментами. В результате таких переходов зачастую наблюдаются стохастический резонанс, индуцированный шумом порядок и хаос, порождаемая шумом перемежаемость, стохастические бифуркации .

1 Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б.Н. Ельцина, Екатеринбург В докладе излагается общий подход к анализу стохастических аттракторов нелинейных динамических систем, основанный на технике функции стохастической чувствительности и методе доверительных областей. Рассматриваются основные теоретические конструкции этой техники, обсуждаются алгоритмы ее реализации .

Конструктивность данного метода в параметрическом анализе индуцированных шумами явлений иллюстрируется на примере ряда динамических моделей естествознания .

В докладе обсуждаются возможности применения разработанного метода к решению задач управления .

Работа выполнена при поддержке РФФИ, проект № 14-01-00181 .

Дифференциальные игры с линейными ограничениями по управлению Б. Т. Саматов1

e-mail:

Вводится понятие линейного ограничения по управлению игроков в линейной дифференциальной игре преследования, которое обобщает в некотором смысле как интегральное, так и геометрическое ограничения. Для соответствующей задачи строятся оптимальные стратегии параллельного преследования (-стратегии) .

В евклидовом пространстве Rn рассматривается дифференциальная игра, описываемая на промежутке [0, T ] уравнением z = kz + Bu Cv, z(0) = z0 .

(1) Здесь z, u, v Rn ; B и C невырожденные квадратные матрицы порядка n n; k неположительное число; z0 начальное состояние игры и z0 = 0; u параметр управления преследователя, v параметр управления убегающего .

Как задача управления z = f (z, u), так и более общая дифференциальная игра z = f (z, u, v) обычно рассматриваются при геометрическом ограничении (налагаемом на векторы управления) вида u P, v Q, где P и Q заданные подмножества евклидовых пространств соответствующей размерности .

1 Наманганский государственный университет, Узбекистан В докладе рассматриваются так называемые линейные ограничения по управлению [1]. Для управления u(·) ограничение определяется неравенством t

–  –  –

где (t) = t +, и неотрицательные числа. Такие управления в дальнейшем будем называть допустимыми, а их совокупности обозначим для преследователя U, а для убегающего V .

Определение 1. Отображение u : V U называется стратегией преследователя, если оно обладает следующим свойством вольтерровости: для любых v1 (·), v2 (·) V и t 0 выполнение равенства v1 (s) = v2 (s) п.в. на [0, t] влечет равенство u1 (s) = u2 (s) п.в. на [0, t], где ui (·) = u[vi (·)], i = 1, 2 .

Пусть заданы точка z0 Rn, стратегия преследователя u и допустимое управление убегающего v(·). Тогда формула t

z(t) = ekt z0 + ek(ts) [Bu(v(s)) Cv(s)]ds

определяет траекторию z(t), t 0 .

Определение 2. В дифференциальной игре (1)–(3) стратегия u гарантирует завершение преследования на отрезке времени [0, T ], если для любого v(·) V существует t [0, T ] такое, что z(t ) = 0 .

Положим F = B 1 C .

A. Пусть ||F ||2 .

Определение 3. Если ||F ||2, то в дифференциальной игре (1)–(3) A -стратегией преследователя назовем функцию uA (t, v) = F v A (t, v)0, t 0, v Rn, где

–  –  –

Теорема 2. Если 2||F ||2 и 2(2||F ||2 ), то в дифференциальной игре (1)–(3) B -стратегия порождает допустимые управления и гарантирует завершение преследования на конечном отрезке времени [0, TB ], где TB = 2|B 1 z0 |/[ + 2 + 2( 2||F ||2 )] .

[1] Саматов Б.Т. -стратегия в дифференциальной игре с линейными ограничениями по управлению // ПММ. 2014. Т. 78, № 3 .

С. 369–377 .

–  –  –

Работа примыкает к исследованиям по теории гарантирующего позиционного управления, проводимым школой Н.Н. Красовского (см. [1–3] и библ. в этих работах) и посвящена задаче управления с нейтральной помехой, то есть помехой, не связанной в своих проявлениях с действиями управляющей стороны и состоянием управляемой системы. В постановке задачи это свойство помехи выражается теми или иными дополнительными функциональными ограничениями. Простейшим примером такого ограничения является предположение о том, что помеха задана некоторой неизвестной фиксированной функцией времени .

Рассматривается система, описываемая обыкновенным дифференциальным уравнением. Векторы управления и помехи в каждый момент времени лежат в известных компактных множествах. Реализации помехи, кроме того, стеснены некоторым неизвестным функциональным ограничением из заданного семейства функциональных ограничений. Реализации управления формируются позиционными стратегиями с полной памятью. Показатель качества, определенный на движениях управляемой системы, предполагается непрерывным на соответствующем пространстве непрерывных функций .

Задачи управления с функционально ограниченной помехой исследовались в работах [4, 5]. В работе А.В. Кряжимского [6] для одного класса систем, в предположении, что помеха содержится в некотором заранее не определенном множестве, компактном в Lp, было установлено равенство оптимальных гарантированных результатов, достигаемых в классах позиционных стратегий с полной памятью и квазистратегий неупреждающих программных откликов на реализации помехи (см. [3, с. 24]). Для обозначения этого свойства позиционных стратегий с полной памятью в [6] был введен термин неулучшаемость. В работе [7] было продолжено изучение задачи в постановке [6] и получены новые условия неулучшаемости .

1 Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН,

Екатеринбург

Приводимый в данной работе результат усиливает утверждения из [6] (в части вопросов неулучшаемости) и [7]: показано, что при помехах, стесненных компактными в Lp ограничениями, неулучшаемость стратегий с полной памятью имеет место без каких-либо дополнительных ограничений на правую часть управляемой системы, отличных от классических условий существования единственности и продолжимости решений дифференциального уравнения .

Работа выполнена в рамках программы Президиума РАН Динамические системы и теория управления, при финансовой поддержке УрО РАН (проект №12-П-1-1002), а также при поддержке РФФИ (проект №12-01-00290-а) .

[1] Красовский Н.Н., Субботин A.И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974 .

[2] Красовский Н.Н. Управление динамической системой. М.: Наука. 1985 .

[3] Субботин A.И., Ченцов A.Г. Оптимизация гарантии в задачах управления. М.: Наука, 1981 .

[4] Барабанова Н.Н., Субботин А.И. О непрерывных стратегиях уклонения в игровых задачах о встрече движений // ПММ .

1970. Т. 34, № 5. С. 796–803 .

[5] Барабанова Н.Н., Субботин А.И. О классах с тратегий в дифференциальных играх уклонения от встречи // ПММ. 1971. Т. 35, № 3. С. 385–392 .

[6] Kryazhimskii A.V. The problem of optimization of the ensured result: unimprovability of full-memory strategies / Constantin Caratheodory: An International Tribute, T.M. Rassias Ed., World Scientic. 1991, pp. 636–675 .

[7] Серков Д.А. Оптимизация гарантированного результата при функциональных ограничениях на динамическую помеху // Доклады Академии наук, 2013, Т. 450, № 3. С. 274–278 .

–  –  –

вдоль траекторий системы (1). В (2) S, 0 (t), 2 (t, s), 4 (t) симметричные матрицы, 0 (t), 1 (t, ), 2 (t, s), 3 (t,, ), 4 (t) непрерывные матрицы-функции своих аргументов, размерность этих матриц n n .

1 Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б.Н. Ельцина, Екатеринбург Данная задача является вырожденной [1] и в классе абсолютно непрерывных функций решения не имеет. Для построения оптимального решения осуществим расширение задачи путем введения импульсных управлений. Будем полагать, что v(t), а следовательно, и x(t) функции ограниченной вариации, производные которых понимаются в обобщенном смысле [2]. Начальную функцию (t) также будем считать функцией ограниченной вариации .

Для этой задачи сформулированы достаточные условия, обеспечивающие существование ее решения, исследована структура оптимального управления, получены уравнения, описывающие интенсивности импульсных составляющих и коэффициенты перед фазовыми переменными, которые определяют вид оптимального управления .

Другие постановки вырожденных линейно-квадратичных задач для систем с запаздыванием рассматривались в [3–5] .

Работа выполнена при поддержке РФФИ, проект №13-01-00304 .

[1] Гурман В.И. Принцип расширения в задачах управления. М.:

Наука, 1985 .

[2] Владимиров В.С. Обобщенные функции в математической физике. М.: Наука, 1976 .

[3] Андреева И.Ю., Сесекин А.Н. Вырожденная линейноквадратичная задача оптимизации с запаздыванием по времени // АиТ. 1997. № 7. С. 43–54 .

[4] Сесекин А.Н., Фетисова Ю.В. О порядке сингулярности импульсного оптимального управления в вырожденной линейноквадратичной задаче оптимизации с последействием // АиТ .

2009. № 4. С. 31–40 .

[5] Желонкина Н.И., Ложников А.Б., Сесекин А.Н. Об оптимальной стабилизации импульсным управлением линейных систем с последействием // АиТ. 2013. № 11. С. 39–48 .

Анализ стохастической возбудимости в модели нейрона Хиндмарш – Розе Е. С. Слепухина1, Л. Б. Ряшко1

e-mail:

Основными типами нейронной активности являются состояние покоя, тонические (периодические) и пачечные (бёрстовые) колебания. Последние представляют собой чередование периодических спайков, объединенных в группу (пачку), и участка покоя .

Модель Хиндмарш – Розе была предложена в [1] для описания пачечной активности. Сначала была представлена двумерная система, в которой данный вид активности невозможен. Для моделирования пачечных колебаний было введено дополнительное третье уравнение .

В докладе проводится анализ воздействия случайных возмущений на двумерную модель Хиндмарш – Розе. Исходная детерминированная система отличается сильной нелинейностью, вследствие которой она демонстрирует весьма разнообразные и трудно поддающиеся анализу динамические режимы. Вместе с тем, случайные возмущения существенно влияют на механизмы возбуждения в нейронных системах. Даже небольшие стохастические флуктуации могут привести к значительному качественному изменению нелинейной динамики таких систем .

В системе Хиндмарш – Розе под действием случайных возмущений могут произойти индуцированные шумом переходы между сосуществующими предельными циклами и равновесиями. Под влиянием стохастических флуктуаций равновесные или периодические режимы трансформируются в пачечные: система демонстрирует чередование малых колебаний около равновесия с осцилляциями больших амплитуд .

Основой анализа стохастической возбудимости в модели нейрона является техника функций стохастической чувствительности и метод доверительных областей [2] .

[1] Hindmarsh J.L., Rose R.M. A model of neuronal bursting using three coupled rst order dierential equations // Proc. R. Soc .

1 Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б.Н. Ельцина, Екатеринбург London, Ser. B. 1984. V. 221, no. 1222. P. 87–102 .

[2] Bashkirtseva I.A., Ryashko L.B. Stochastic sensitivity of 3Dcycles // Mathematics and Computers in Simulation. 2004. V. 66, no. 1. P. 55–67 .

–  –  –

представляют собой полиномы от оператора сдвига назад (q 1 yt = yt1 ). Априорная информация о неизвестных коэффициентах полиномов задаётся включением (a0,..., an, b0,..., bm ) с известным ограниченным множеством. Неизвестная вещественная функция f описывает липшицеву неопределенность в системе,

–  –  –

где xt = (x0,..., xt ), гарантирующую устойчивость замкнутой системы управления для как можно более широкого класса неопределенностей f .

1 Отдел математики, Коми научный центр УрО РАН, Сыктывкар В работе [1] установлено, что для простейшей динамической системы (1) с полиномами a() = 0, b() = 1 значение постоянной Липшица L = 3/2 + 2 является критическим. Если L 3/2 + 2, то для любой заданной причинной обратной связи и любого ограниченного возмущения w существует неопределенность f, при которой замкнутая система неустойчива (limt |yt | = ). Для системы с L 3/2 + 2 в [1] была построена обратная связь с бесконечной памятью, основанная на онлайн оценивании липшицевой неопределенности f, обеспечивающая асимптотически оптимальное отслеживания ограниченного задающего сигнала. В работах [2,3] синтезирована адаптивная обратная связь с конечной памятью, гарантирующая субоптимальное отслеживание ограниченного задающего сигнала для системы более общего вида с неизвестным постоянным полиномом a() = a0 .

Заметим, что в рамках 1 -теории робастного управления рассматриваются неопределенности, удовлетворяющие ограничению t L max0 k t1 |yk |, и критическое значение коэффициента |f (y0 )| усиления L для системы (1) равно 1 .

В работе [4] построена причинная обратная связь с бесконечной памятью, обеспечивающая адаптивную стабилизацию системы (1) из априорного класса минимально-фазовых систем (корни полинома b() лежат вне единичного круга комплексной плоскости) при известной верхней границе Lmax 3/2 + 2 постоянной Липшица L и известной верхней границе W возмущения w. В настоящей работе синтезируется адаптивная обратная связь с конечной памятью, гарантирующая стабилизацию для этого же класса систем (1) при неизвестной верхней границе W .

Работа выполнена при поддержке программы фундаментальных исследований УрО РАН, проект № 12-П-1-1013 .

[1] Xie L. L., Guo L. How much uncertainty can be dealt with by feedback? // IEEE Transactions on Automatic Control. 2000. V. 45 .

P. 2203–2217 .

[2] Sokolov V. F. Adaptive suboptimal tracking for the rst-order plant with Lipschitz uncertainty // IEEE Transactions on Automatic Control. 2003. V. 48. P. 607–612 .

[3] Соколов В.Ф. Адаптивное субоптимальное слежение для объекта первого порядка с липшицевой неопределенностью // АиТ .

2003. № 3. С. 124–136 .

[4] Huang C, Guo L. On feedback capability for a class of semiparametric uncertain systems // Automatica. 2012. V. 48. P. 873–878 .

–  –  –

[1] Пименов В.Г., Ложников А.Б. Разностные схемы численного решения уравнения теплопроводности с последействием // Тр .

Ин-та математики и механики УрО РАН. 2011. Т. 17. № 1 .

С. 178–189 .

[2] Солодушкин С.И. Разностная схема для численного решения уравнения переноса с последействием // Известия высших учебных заведений. Математика. 2013. № 10. С. 77–82 .

–  –  –

dx = [A(t, u)x + a(t, u)] dt+ [B(t, u)x + b(t, u)] (dt), x(0) = x0, (1) ||([0, T ]) M. (2) Здесь присутствуют обычные управления u борелевские функции со значениями в заданном компакте U Rr, и импульсные управления в смысле [1]. Набор включает скалярную борелевскую меру µ, скалярную неотрицательную меру, имеющую смысл полной вариации импульсного управления, а также семейство борелевских функций так называемых присоединенных управлений, отвечающих за представление обобщенного воздействия µ в моменты приложения импульса (фактически, характеризующих способ аппроксимации разрывного решения системы (1) решениями Каратеодори, соответствующими обычным управлениям, аппроксимирующим µ). Ввиду использования импульсного управления, дифференциальное уравнение с мерами (1), описывающее динамику состояния x(t) Rn, следует трактовать в более общем смысле [1], чем обычно. Условие (2) есть ограничение на полный ресурс управляющего воздействия, где M 0 и || .

Для невыпуклой задачи (P ) сформулировано необходимое условие глобальной оптимальности вариационного типа, оперирующее 1 Институт динамики систем и теории управления СО РАН, Иркутск позиционными управлениями (аналог условия из [2] для классических задач). Условие получено с помощью эквивалентного преобразования [3] задачи (P ) к классической задаче с терминальным ограничением. Несмотря на то что на данный момент этот результат не расшифрован в терминах исходной задачи, он носит конструктивный характер и может быть положен в основу нелокальных вычислительных алгоритмов решения задачи (P ) .

Работа выполнена при частичной поддержке РФФИ (проекты №№ 14-01и Совета по грантам Президента РФ для государственной поддержки ведущих научных школ (проект № НШ-5007.2014.9) .

[1] Arutyunov A., Karamzin D., Pereira F. On constrained impulsive control problems // J. Math. Sci. 2010. V. 165, no. 6. P. 654–688 .

[2] Дыхта В.А. Слабо монотонные решения неравенства Гамильтона – Якоби и условия оптимальности с позиционными управлениями // АиТ. 2014. № 5. С. 31–49 .

[3] Миллер Б.М., Рубинович Е.Я. Оптимизация динамических систем с импульсными управлениями. М.: Наука, 2005 .

–  –  –

где функции gi1 (x), hi1 (x) выпуклые на I n, а функции gi (x, u, t), R hi (x, t) выпуклы по переменной x I n. Другими словами, термиR нальная и подынтегральная функции Fi1 (x) и Fi (x, u, t) функционала Ji (·), i = 0, 1,..., m, являются функциями А.Д. Александрова (d.c. функциями) по переменной x I n. R Для невыпуклых задач типа (P) предлагаются два типа условий глобальной оптимальности (УГО), связанных с принципом максимума Понтрягина [1,2]. К тому же эти УГО являются необходимыми и достаточными при некотором достаточно естественном и неограничительном предположении и обладают конструктивным (алгоритмическим) свойством [3], позволяющим улучшать управления, не являющиеся глобально оптимальными в невыпуклых задачах оптимального управления типа (P), например, стационарные и локально оптимальные управления .

На основе разработанных УГО построены методы локального и глобального поисков и исследована их сходимость [4]. Проведено тестирование методов, показавшее сравнительную эффективность разработанного подхода на широком поле тестовых примеров большой размерности .

Работа выполнена при частичной поддержке РФФИ, проект № 13-01-92201Монг_а .

[1] Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.:

Физматгиз, 1961 .

[2] Срочко В.А. Итерационные методы решения задач оптимального управления. М.: Физматлит, 2000 .



Pages:   || 2 |



Похожие работы:

«Стандарт Некоммерческого партнерства Саморегулируемая организация строителей Байкальского региона СТО 022 НОСТРОЙ 2.33.53-2011 НАЦИОНАЛЬНОЕ ОБЪЕДИНЕНИЕ СТРОИТЕЛЕЙ Стандарт организации Организация строительного производства...»

«\ -/ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное юсударовенное бюджетов образовакмьнос учреждение высшего профессионального образования Пермский национальный исследовательский IIIHHIIV политехнический университет Гуманитарный факультет Кафедра социологии и политологии УТВЕРЖД...»

«Информация о ходе реализации предложений Совета общественных инициатив при Законодательной Думе Томской области к проекту закона Томской области "Об областном бюджете на 2015 год и на плановый период 2016 и 2017 го...»

«ООО "ЦСБ" 410010, г. Саратов, ул. Техническая, д. 5, лит. А (8452) 77-90-39 info@vari-ant.ru ИСТОЧНИК ВТОРИЧНОГО ЭЛЕКТРОПИТАНИЯ РЕЗЕРВИРОВАННЫЙ ББП-50 исп1 . Технический паспорт Источник вторичного электропитания резервированный "ББП-50 исп1." (далее – ИП) ТУ 4372-001предназначен для обеспечения...»

«www.orion-stolitsa.ru ИСТОЧНИК ВТОРИЧНОГО ЭЛЕКТРОПИТАНИЯ РЕЗЕРВИРОВАННЫЙ ББП-50 Pro Технический паспорт Источник вторичного электропитания резервированный ББП-50 Pro (далее – ББП) предназначен для обеспечения бесперебойного электропитания потребителей при ном...»

«23MWG-850T/B-M v1.0 МИКРОВОЛНОВАЯ ПЕЧЬ БЫТОВАЯ Руководство по эксплуатации с гарантийным талоном прочитайте внимательно перед эксплуатацией СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ ПРОЧЕЕ Инструкция по мерам безопасности Особенности Материалы, разрешенные к использованию Радиопомехи в микрово...»

«Дата/переработан: 10.12.13 Техническое описание № 3-04.05 ДЕНСТОП ЭП 400 (DensTop EP 400) ЭПОКСИДНОЕ СВЯЗУЮЩЕЕ ДЛЯ УСТРОЙСТВА ПРОМЫШЛЕННЫХ ПОЛИМЕРНЫХ НАПОЛЬНЫХ ПОКРЫТИЙ ОПИСАНИЕ ДенсТоп ЭП 400 – это двухкомпонентное прозрачное эпоксидно...»

«Министерство образования и науки Российской Федерации Сыктывкарский лесной институт (филиал) федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования "Санк...»

«FZV 4001-E FZV 4001 E FZV 4001 E Содержание 129 RU Вертикуттер ИНСТРУКЦИЯ ПО ЭКСПЛУАТАЦИИ Благодарим Вас за то, что Вы купили этот садовый вертикуттер. Прежде, чем Вы начнете им пользоваться, прочтите, пожалуйста, вниматель...»

«Руководство по эксплуатации IP-камеры L-серии с технологией Starlight MICRODIGITAL Inc. MD-IPC-Starlight рев. 1.1 Выпущено 31 мая 2017 г. © 2017 MICRODIGITAL Inc. Данный документ представляет собой руководство по эксплуатации IP-камеры с технологией Starlight. Технические характеристики могут быть изменены без предварительного...»

«ГИГРОМЕТР ТЕРМОМЕТР ЦИФРОВОЙ ГТЦ -1 Руководство по эксплуатации УШЯИ. 413614.002 РЭ Содержание 1 Описание и работа гигрометра-термометра 3 1.1 Назначение гигрометра-термометра 3 1.2 Технические характеристики 3 1.3 Состав гигрометра термометр...»

«Оглавление Введение 9 1 Обзор литературы 11 1.1 Понятие основных средств учреждений 11 1.2 Анализ основных средств учреждений 13 1.3 Управление основными средствами учреждений 19 2 Объект и методы исследования 23 3 Расчеты и аналитика 26 3.1 Анализ состава и структуры основных средств 30 3.2 Анализ технического состояния ос...»

«Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования "НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ" Институт ЭНИН Н...»

«База нормативной документации: www.complexdoc.ru ГОСТ Р 51671-2000 ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТАНДАРТ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ СРЕДСТВА СВЯЗИ И ИНФОРМАЦИИ ТЕХНИЧЕСКИЕ ОБЩЕГО ПОЛЬЗОВАНИЯ, ДОСТУПНЫЕ ДЛЯ ИНВАЛИДОВ Классификация. Требования доступности и безопасности Technical aids for communication and information of public use for disa...»

«BA300E с дизельным приводом для осушительных работ и откачки сточных вод макс. 1250 м3/ч, макс. 19 м Pumps for results Технические характеристики: Тип Макс. производительность. 1250 м /ч Макс. напор Соединения Свободный проход Рабочее колесо Вакуумная система Дв...»

«I ПОЛИС СТРАХОВАНИЯ ГРАЖДАНСКОЙ ОТВЕТСТВЕТСТВЕННОСТИ В СЛУЧАЕ ПРИЧИНЕНИЕ ВРЕДА ВСЛЕДСТВИЕ НЕДОСТАТКОВ РАБОТ, КОТОРЫЕ ОКАЗЬШАЮТ ВЛИЯНИЕ НА БЕЗОПАСНОСТЬ ОБЪЕКТОВ КАПИТАЛЬНОГО СТРОИТЕЛЬСТВА.NH41703-021-000257 Настоящий Полис заключен на основании Правил страхования гражданской ответственности в случае причинения вреда вследств...»

«ПАСПОРТ на Блок бесперебойного питания ББП-20Н Дата продажи200 г. ИСТОЧНИК ПИТАНИЯ ББП-20Н ПАСПОРТ Штамп торгующей 1. ВВЕДЕНИЕ организации Настоящий паспорт предназначен для изучения обслуживающим персоналом правил эксплуатации блока питания ББП-20Н.2. НАЗНАЧЕНИЕ источник питания ББП-20Н (в дальнейшем источник питания) Подпись продавц...»

«ПЕРСПЕКТИВЫ ПРИМЕНЕНИЯ СИСТЕМ МОНИТОРИНГА СТРЕСС-КОРРОЗИОННЫХ ПОВРЕЖДЕНИЙ МАГИСТРАЛЬНЫХ ГАЗОПРОВОДОВ ДЛЯ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ КИНЕТИКИ ИХ РАЗВИТИЯ Д.А. Мишарин, к.т.н. И.В . Ряховских1, М.М. Адмакин2, С.В. Рыбалко3...»

«Министерство строительства и жилищно-коммунального хозяйства Российской Федерации Федеральное автономное учреждение "Федеральный центр нормирования, стандартизации и оценки соответствия в строительстве" М...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "ПОВОЛЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СЕРВИСА" (ФГБОУ ВПО "ПВГУС") РАБОЧАЯ УЧЕБНАЯ...»

«КОСИЛКИ РОТАЦИОННЫЕ НАВЕСНЫЕ ЖТТ-2,8"Strige" ЖТТ-3,2"Strige" Руководство по эксплуатации Каталог деталей и сборочных единиц Версия 3 Настоящее руководство по эксплуатации (далее РЭ) с каталогом деталей и сборочных единиц (далее КДС) предназначены для изучения устройства и правил эксплуатации косилок ротационных нав...»

«Вестник научно-технического развития Bulletin of Science and Technical Development Номер 6 (130), июнь 2018 г. DOI: 10.18411/vntr2018-130 Издается с 2007 года Издание зарегистрировано в Министерстве РФ по делам печати, телерадиовещания и средс...»







 
2019 www.mash.dobrota.biz - «Бесплатная электронная библиотека - онлайн публикации»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.