WWW.MASH.DOBROTA.BIZ
БЕСПЛАТНАЯ  ИНТЕРНЕТ  БИБЛИОТЕКА - онлайн публикации
 


«РАСПРОСТРАНЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ В КВАЗИНЕЙТРАЛЬНОЙ БЕССТОЛКНОВИТЕЛЬНОЙ ПЛАЗМЕ А. К. Хе, А. А. Чесноков Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, 630090 ...»

ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 2011. Т. 52, N- 5 3

УДК 533.951+517.948

РАСПРОСТРАНЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ

В КВАЗИНЕЙТРАЛЬНОЙ БЕССТОЛКНОВИТЕЛЬНОЙ ПЛАЗМЕ

А. К. Хе, А. А. Чесноков

Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, 630090 Новосибирск

Новосибирский государственный университет, 630090 Новосибирск

E-mail: chesnokov@hydro.nsc.ru

Для нелинейного кинетического уравнения, описывающего одномерное движение квазинейтральной бесстолкновительной плазмы, определены скорости распространения возмущений и сформулированы условия обобщенной гиперболичности. В классе бегущих волн построены и физически интерпретированы точные (в том числе периодические) решения модели. Предложены дифференциальные законы сохранения, аппроксимирующие исходное интегродифференциальное уравнение. На основе этих законов выполнены численные расчеты распространения волн, показывающие возможность кинетического опрокидывания функции распределения .

Ключевые слова: квазинейтральная плазма, интегродифференциальные уравнения, гиперболичность, нелинейные волны, законы сохранения .

1. Математическая модель. При моделировании течений плазмы квазинейтральное приближение является аналогом теории длинных волн. Такое приближение применяется при рассмотрении движений с характерными размерами, существенно превышающими дебаевский радиус RD. Параметр RD определяет максимальный масштаб разделения зарядов в плазме: при бльших по сравнению с величиной RD смещениях электронов двио жение частиц под действием электрического поля приводит к быстрому восстановлению нейтральности. В одномерном случае в отсутствие магнитного поля уравнение движения квазинейтральной бесстолкновительной плазмы имеет вид [1] f 1 f 1 e f 1 Te 1 f 1 du .

+u = 0, = ln (1) t x Mi x u e N0 Здесь f 1 (t, x, u) — функция распределения ионов; x, t — пространственная координата и время; (t, x) — потенциал электрического поля; u, Mi — скорость и масса ионов; e, Te — заряд и температура электронов; N0 — плотность невозмущенной плазмы. Функция распределения электронов считается равновесной функцией Максвелла — Больцмана .

Величины Mi, e, Te, N0 — заданные положительные постоянные .

В работе [1] исследованы автомодельные движения квазинейтральной разреженной плазмы, изучено явление ускорения ионов при свободном расширении плазмы и установлеРабота выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 10-01-00338) и Совета по грантам Президента РФ для государственной поддержки молодых российских ученых (грант № МК-4417.2009.1), а также в рамках Федеральной целевой программы “Научные и научно-педагогические кадры инновационной России” на 2009–2013 гг. (контракт № 02.740.11.0617) и Интеграционного проекта СО РАН № 65 .

4 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 2011. Т. 52, N- 5

–  –  –

Условия гиперболичности уравнений (4) формулируются в следующей теореме, доказательство которой опущено, поскольку совпадает с приведенными в [3, 7] .

Теорема. Условия + (u) + (u) = 0, arg =0 (11) (u) ( arg ± (u) — приращение аргумента комплексной функции ± (u) при изменении от 0 до 1 при фиксированных t, x) являются необходимыми и достаточными для гиперболичности уравнений (4), если функции u(t, x, ), f (t, x, ) 0 дифференцируемы, а функции удовлетворяют условию Гельдера по переменной [0, 1] .





u 0, f Как отмечено выше, для характеристического уравнения (9) имеет место аналог теоремы Ховарда. Поэтому если в процессе эволюции течения впервые появляются комплексные корни уравнения (z) = 0, то они ответвляются от тех точек отрезка [v0, v1 ] непрерывного характеристического спектра, в которых выполнено равенство ± = 0. Условие + = 0 в (11) исключает этот случай и обеспечивает отсутствие корней уравнения (9) с ненулевой мнимой частью не только на заданном решении, но и на его достаточно малых гладких возмущениях .

2.3. Пример проверки условий гиперболичности. Условия (11) позволяют проверять, являются ли уравнения движения (4) гиперболическими на заданном решении u(t, x, ), H(t, x, ). Следуя [3], в плоскости (Z 1, Z 2 ) построим замкнутый контур C, состоящий из контуров C + и C. Контур C + параметрически задается уравнениями Z 1 = m(u) Re {+ (u)}, Z 2 = m(u) Im {+ (u)} .

Симметричный этому контуру относительно оси Z 1 контур C задается такими же уравнениями с функцией (u). В этих уравнениях комплексные функции ± (u) определены формулой (10); m(u) = (v1 u)(uv0 ), u [v0, v1 ]. Если точка Z 1 = 0, Z 2 = 0 лежит внутри области, ограниченной контуром C, то характеристическое уравнение (9) имеет комплексные корни. В противном случае имеются только вещественные характеристические корни и уравнения движения на соответствующем решении являются гиперболическими .

Дисперсионные соотношения, аналогичные уравнению (9), возникают при исследовании распространения малых возмущений в плазме. В [11] с использованием диаграмм Найквиста показано, что решения, описываемые функциями распределения с одним максимумом, являются устойчивыми. Очевидно, что для функций распределения f (u) с одним максимумом выполняется неравенство (uc u)f (u) 0, (12) где u = uc — точка экстремума. Как отмечено в п. 1, рассматриваемая кинетическая модель имеет гидродинамическую интерпретацию и описывает сдвиговое движение жидкости в упругом канале. При этом распределение скорости по глубине u = u(y) связано с функцией распределения f = f (u) соотношением uy = 1/f. Если условие (12) записать в терминах функции u(y), то получим известный критерий устойчивости Фьертофта [10] для сдвиговых течений u (y)(u(y) uc ) 0 .

Условия гиперболичности (11) хорошо согласуются с известными критериями устойчивости, выведенными в рамках линейной теории. Нетрудно показать, что для функций распределения с одним локальным максимумом условия (11) выполнены. Действительно, условия (11) нарушаются, если точка Z 1 = 0, Z 2 = 0 находится в области, ограниченной контуром C. Поскольку Z 1 (v0 ) = (v1 v0 )f0 0, Z 1 (v1 ) = (v1 v0 )f1 0, 8 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 2011. Т. 52, N- 5

–  –  –

Следовательно, для функций распределения f (u) с одним локальным максимумом условия гиперболичности (11) не могут быть нарушены .

Проверим выполнение условий (11) для функции распределения с двумя максимумами c1 c2 u [1, 1] .

f (u) = +, 2+1 9(u + d)2 + 1 9(u d) На рис. 1 показан график этой функции при c1 = c2 = 0,6, d = 0,4 (сплошная линия) и c1 = c2 = d = 0,7 (штриховая линия). На рис. 2 представлены соответствующие этим функциям контуры C +, обход по которым осуществляется в положительном направлении (против часовой стрелки). Параметр b, входящий в определение функций ± (u), выбран равным единице. Форма контуров C такая же, как у контуров C + (в силу симметрии функции f относительно оси u = 0), но обход по ним выполняется в отрицательном направлении. На рис. 2 видно, что условия гиперболичности (11) выполнены для функции распределения, максимумы которой расположены близко друг к другу (сплошная линия на рис. 1). Возникновение неустойчивости возможно в том случае, если максимумы находятся достаточно далеко друг от друга и имеют сравнительно большую амплитуду. Действительно, для распределения, показанного на рис. 1 штриховой линией, условия (11) нарушены. Аргумент функций m(u)± (u) получает приращение (штриховая линия на рис.

2):

arg {m(u)+ (u)} = 2, arg {m(u) (u)} = 2. Таким образом, arg {+ / } = 4, что означает наличие комплексного корня k = k 3 характеристического уравнения (9), а также комплексно-сопряженного корня k = k 4 .

–  –  –

Выражения (16), (17), (19) являются решением уравнений (3) в классе бегущих волн .

Траектории движения частиц в системе координат, движущейся вместе с волной, определяются уравнениями d/dt = u D, du/dt = (). Линии = const являются интегральными кривыми этой системы, что позволяет использовать рис. 3 для анализа картины движения. В областях 1 и 2 величина u D не меняет знак, вследствие чего частицы со скоростями u v и u v пересекают область бегущей волны в противоположных направлениях. В области 3 частицы совершают поворот, поскольку эта область содержит критический слой, в котором u = D .

По приведенному выше алгоритму построим решение уравнений (3), выражающееся в элементарных функциях. Пусть начальное распределение имеет вид ступеньки f0 = const А. К. Хе, А. А. Чесноков

–  –  –

1,0 0,8 0,6 0,4 0,2

–  –  –

0,7 1 0,6 0,5 0,4 0,3

–  –  –

Корни уравнения вычисляются итерационным методом Ньютона с точностью до 108. Для обеспечения TVD-свойства схемы применяется вычислительная технология “UNO slope limiter” [17] .

На рис. 6 показаны начальные функции распределения при x 0 и x 0 (кривые 1, 2), а также функция f (t, x, u) в момент времени t = 1 при x = 1 и x = 1,2 (кривые 3, 4). Видно, что функция распределения ионов для более “плотной” плазмы (линии 1, 3) изменилась несущественно. При этом функция распределения менее “плотной” плазмы (линии 2, 4) претерпела качественные изменения, обусловленные кинетическим опрокидыванием. На рис. 7 показано распределение плотности плазмы n(t, x) при t = 0 и t = 1, полученное по модели (22) (кривая 1) и по более простым гидродинамическим уравнениям (24), (23) (кривые 2, 3 соответственно). Уравнения холодной плазмы (24) и газодинамический аналог (23) достаточно точно описывают рассматриваемый процесс, но для более детального моделирования волн необходимо использовать полную систему уравнений (22) .

Заключение. Проведен анализ нелинейного кинетического уравнения (3) квазинейтральной плазмы в классе решений с ограниченным носителем. Установлена аналогия с уравнениями сдвигового течения жидкости в протяженном упругом канале (5). На основе обобщения теории характеристик для систем с операторными коэффициентами определены непрерывные и дискретные спектры скоростей распространения возмущений в плазме, сформулированы условия гиперболичности (11) уравнений движения (4). Приведен пример проверки условий гиперболичности и указана аналогия с известным критерием устойчивости сдвиговых течений. В классе бегущих волн построены решения кинетической модели (13) при наличии критического слоя, при этом установлено, что потенциал электрического поля можно задавать произвольно. Обнаружено, что в фазовой плоскости траектории движения частиц имеют характерную для таких решений форму “кошачий глаз”. Показано, что бегущие волны являются устойчивыми по линейному приближению лишь в случае незначительного изменения потенциала электрического поля. Предложены дифференциальные законы сохранения (22), аппроксимирующие исходную интегродифференциальную модель. Ряд известных гидродинамических пределов (уравнения холодной плазмы (24), “waterbag” (27)) являются частными случаями этой системы уравнений. На основе уравнений (22) выполнен численный расчет распространения волн в плазме, возникающих в результате распада начального разрыва. При этом показан эффект кинетического опрокидывания функции распределения .

16 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 2011. Т. 52, N- 5 ЛИТЕРАТУРА

1. Гуревич А. В., Питаевский Л. П. Нелинейная динамика разреженной плазмы и ионосферная аэродинамика // Вопросы теории плазмы. М.: Атомиздат, 1980. Вып. 10. С. 3–87 .

2. Захаров В. Е. Уравнения Бенни и квазиклассическое приближение в методе обратной задачи // Функцион. анализ и его прил. 1980. Т. 14, вып. 2. С. 15–24 .

3. Ляпидевский В. Ю. Математические модели распространения длинных волн в неоднородной жидкости / В. Ю. Ляпидевский, В. М. Тешуков. Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2000 .

4. Тешуков В. М. О гиперболичности уравнений длинных волн // Докл. АН СССР. 1985 .

Т. 284, вып. 3. С. 555–559 .

5. Benney D. J. Some properties of long nonlinear waves // Stud. Appl. Math. 1973. V. 52. P. 45–50 .

6. Чесноков А. А. Осесимметричные вихревые движения жидкости в длинной эластичной трубке // ПМТФ. 2001. Т. 42, № 4. С. 76–87 .

7. Тешуков В. М. Длинные волны в завихренной баротропной жидкости // ПМТФ. 1994 .

Т. 35, № 6. С. 17–26 .

8. Teshukov V., Russo G., Chesnokov A. Analytical and numerical solutions of the shallow water equations for 2-D rotational ows // Math. Models Methods Appl. Sci. 2004. V. 14. P. 1451–1481 .

9. Чесноков А. А., Ляпидевский В. Ю. Волновые движения идеальной жидкости в узком открытом канале // ПМТФ. 2009. Т. 50, № 2. С. 61–71 .

10. Дразин Ф. Введение в теорию гидродинамической устойчивости. М.: Физматлит, 2005 .

11. Стикс Т. Теория плазменных волн. М.: Атомиздат, 1965 .

12. Bernstein I. B., Greene J. M., Kruskal M. D. Exact nonlinear plasma oscillations // Phys .

Rev. 1957. V. 108, N 3. P. 546–550 .

13. Davidson R. C. Methods in nonlinear plasma theory. N. Y.: Acad. Press, 1972 .

14. Тешуков В. М. Характеристики, законы сохранения и симметрии кинетических уравнений движения пузырьков в жидкости // ПМТФ. 1999. Т. 40, № 2. С. 86–100 .

15. Nessyahu H., Tadmor E. Non-oscillatory central dierencing schemes for hyperbolic conservation laws // J. Comp. Phys. 1990. V. 87, N 2. P. 408–463 .

16. Pavlov M. V. Integrability of the Gibbons — Tsarev system // Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2 .

2008. V. 224. P. 247–253 .

17. Harten A., Engquist B., Osher S., Chakravarthy S. Uniformly high order accurate essentially non-oscillatory schemes. Pt 3 // J. Comput. Phys. 1987. V. 71. P. 231–303.




Похожие работы:

«Научная редакция: Д-р Станислав Ситкин (Dr. Stanislav Sitkin) Санкт-Петербург Лекарственные средства и субстанции, а также показания к применению препаратов, представленные в настоящем издании могут отл...»

«ИСТОЧНИК ВТОРИЧНОГО ЭЛЕКТРОПИТАНИЯ РЕЗЕРВИРОВАННЫЙ ББП-80 PRO2 Технический паспорт Источник вторичного электропитания резервированный ББП-80 PRO2 (далее – ББП) предназначен для обеспечения бесперебойного электропитания потребителей при н...»

«Б.А. Смирнов, А.С. Щербаков ЗУБОТЕХНИЧЕСКОЕ ДЕЛО В СТОМАТОЛОГИИ УЧЕБНИК ДЛЯ МЕДИЦИНСКИХ УЧИЛИЩ И КОЛЛЕДЖЕЙ 2-е издание Министерство образования и науки РФ Рекомендовано ГБОУ ВПО "Первый Московский государственный медицинский университет имени И.М. Сеченова...»

«Секция 6 "МАШИНЫ И ТЕХНОЛОГИИ ЗАГОТОВИТЕЛЬНОГО ПРОИЗВОДСТВА". Аннотации. Подсекция "Машины и технологии литейного производства" РОЛЬ МИКРОСТРУКТУРЫ В ФОРМИРОВАНИЕ ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК КОЛОКОЛОВ асп. Бурцев Д.С., д.т.н. проф. Ершов М.Ю. МГТУ "МАМИ", rezon333@yandex.ru, 8 (916) 435-46-45 В статье рассматриваютс...»

«Требования к предварительной подготовке обучающегося: Для изучения данной учебной дисциплины (модуля) необходимы следующие знания, умения и навыки, формируемые предшествующими дисципл...»

«Руководство по эксплуатации TCP/IP цифровые системы v3.0 SIP BAS IP Внутренний монитор Примечание Для правильной установки следуйте дальнейшей инструкции. Если у Вас возникли трудности с установкой и эксплуата...»

«Организация Объединенных Наций A/HRC/WG.6/9/HND/3 Генеральная Ассамблея Distr.: General 4 August 2010 Russian Original: English/French/Spanish Совет по правам человека Рабочая группа по универсальному периодическому обзору Девятая сессия Женева, 112 ноября 2010 года...»







 
2019 www.mash.dobrota.biz - «Бесплатная электронная библиотека - онлайн публикации»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.