WWW.MASH.DOBROTA.BIZ
БЕСПЛАТНАЯ  ИНТЕРНЕТ  БИБЛИОТЕКА - онлайн публикации
 


«Васильев Александр Олегович Численное моделирование динамики диффузии нейтронов в ядерном реакторе ...»

Министерство образования и наук

и Российской Федерации

Северо-Восточный федеральный университет имени М. К. Аммосова

На правах рукописи

Васильев Александр Олегович

Численное моделирование динамики диффузии нейтронов в

ядерном реакторе

Специальность: 05.13.18 — Математическое моделирование,

численное методы и комплексы программ

ДИССЕРТАЦИЯ

на соискание учёной степени

кандидата физико-математических наук

Научный руководитель:

д. ф.-м. н., профессор Вабищевич Петр Николаевич Якутск 2017 Оглавление Введение 4 1 Спектральные задачи диффузии нейтронов 16

1.1 Введение................................. 16

1.2 Постановка задачи............................ 18 1.2.1 Многогрупповое приближение................. 18 1.2.2 Операторная формулировка.................. 19

1.3 Спектральные задачи.......................... 21 1.3.1 -спектральная задача..................... 21 1.3.2 -спектральная задача..................... 22 1.3.3 -спектральная задача...................... 23

1.4 Дискретная задача............................ 26 1.4.1 Метод конечных элементов.................. 26 1.4.2 Программное обеспечение................... 27



1.5 Численные примеры........................... 32 1.5.1 Двухмерная модель большого тяжеловодного реактора... 33 1.5.2 Трехмерная модель реактора ВВЭР-1000........... 41

1.6 Выводы.................................. 51 2 Численное моделирование нестационарных задач диффузии нейтронов 53

2.1 Введение................................. 53

2.2 Постановка задачи............................ 55 2.2.1 Уравнения с учетом запаздывающих нейтронов....... 55 2.2.2 Уравнения без учета запаздывающих нейтронов.......

–  –  –

Область атомной энергетики является хорошим примером полезности математического моделирования. Однако, ядерные реакторы имеют дополнительные виды использования, отличные от производства электроэнергии. Реакторы находят свое применение не только на электростанциях, но и в военно-морской, космической отрасли, а в будущем могут запускать глубоководные миссии. Также ядерные реакторы используются для фундаментальных исследований в области нейтронной физики, для испытаний материалов, для лучевой терапии, для производства радиоизотопов для медицинских и промышленных предприятий, и в качестве мобильных источников энергии для удаленных станций, поэтому глубокое понимание процессов, происходящих в них, вызывает большую интерес .

Стремительное развитие атомной энергетики во второй половине прошлого века стимулировало разработку эффективных методов математического моделирования уравнения переноса нейтронов. Последствия нескольких аварий на атомных электростанциях в мире серьёзно отразились на всей ядерной энергетике в целом. Они вынудили специалистов всего мира пересмотреть проблему безопасности ядерных реакторов. Новые стандарты безопасности поставили перед инженерами и учеными, которые занимаются эксплуатацией и проектированием ядерных реакторов, важные цели о повышении качества моделирования физических процессов в ядерном реакторе .





В связи с этим, разработка новых методов и алгоритмов расчета реакторов получила дополнительное ускорение. Математические модели играют важную роль в разработке эффективных ядерных реакторов, обеспечивают их безотказную работу и минимизируют риск различных неисправностей и аварий .

Потребности в электроэнергии в мире будут продолжать расти, особенно в условиях, когда менее развитые страны стремятся к модернизации, а ядерная энергетика является единственной проверенной технологией для удовлетворения этих растущих потребностей в электроэнергии без резкого увеличения уже неприемлемых уровней выбросов парниковых газов в атмосферу. Наличие нештатных ситуаций при работе атомных электростанций ведет к большим финансовым потерям. Значительная доля нештатных ситуаций связана с человеческим фактором, например, ошибки операторного персонала, количество которых можно уменьшить повышением квалификации. Для достижения этой цели следует создавать современные и улучшать действующие тренажеры, для чего необходимы более точные модели и современные программные продукты. Условие работы тренажера в режиме реального времени часто приводит к значительному упрощению математических моделей применяемых в тренажере. Непрерывное развитие вычислительной техники и использование параллельных вычислений позволяет применять более сложные математические модели .

Наиболее важной частью ядерного реактора является его ядро — активная зона [50, 124, 126]. Она состоит из комплекта сборок с топливом и замедлителем, теплоносителя передающего образующееся тепло за пределы реактора, и устройств систем управления и защиты реактора. Снаружи активная зона окружается отражателем для нейтронов, состоящим, как правило, из того же вещества, что и замедлитель. Наличие отражателя необходимо для повышения эффективности использования ядерного топлива и других элементов конструкций реактора, так как отражатель возвращает назад в активную зону часть вылетевших из нее нейтронов. Теоретически наилучшей формой активной зоны является шар, как фигура, имеющая наименьшую площадь поверхности для заданного объёма, однако по конструктивным соображениям, активную зону чаще всего выполняют в виде цилиндра или по форме, приближенной к цилиндру [63]. В активной зоне происходит самоподдерживающейся цепная реакция, с выделением большого количества энергии. Примером цепной ядерной реакции является цепная реакция деления ядер тяжёлых элементов, при которой основное число актов деления инициируется нейтронами, полученными при делении ядер в предыдущем поколении. Поскольку основными компонентами цепной реакции являются нейтроны, то требуется информация об их распределении и движении по всей активной зоне ядерного реактора .

Область состояний вещества с развитием цепной самоподдерживающейся реакции отделена от области, где цепная реакция вообще невозможна, критическим состоянием [116] .

Критическое состояние характеризуется равенством между числом новых цепей и числом обрывов. Достижение критического состояния определяется рядом факторов. Деление тяжелого ядра возбуждается одним нейтроном, а в результате акта деления появляется более одного нейтрона (например, для 235U число нейтронов, родившихся в одном акте деления, в среднем равно от 2 до 3). Следовательно, процесс деления может породить разветвленную цепную реакцию, в результате которой носителями будут служить нейтроны .

Текущее состояние ядерного реактора можно охарактеризовать эффективным коэффициентом размножения нейтронов или реактивностью = ( 1)/ (смотри [12, 30, 114, 121]). Коэффициент размножения нейтронов определяется отношением числа нейтронов последующего поколения к числу в предшествующем поколении во всём объеме размножающей среды (активной зоны ядерного реактора). Если скорость потерь нейтронов (захватов без деления, вылетов из реакционного объёма и т. д.) компенсирует скорость размножения нейтронов таким образом, что эффективный коэффициент размножения нейтронов в точности равен единице, то цепная реакция находится в стационарном режиме. Критическое состояние реактора характеризуется значением = 1. Если 1, то состояние делящегося вещества считается подкритическим, а цепная реакция быстро затухает. В случае, если в начале процесса свободных нейтронов не было, цепная реакция не может возникнуть вообще. Состояние вещества, когда 1, называется надкритическом, а цепная реакция быстро нарастает. Этот процесс продолжается, пока по каким-либо причинам не уменьшится до 1 или ниже .

Осуществление управляемой цепной реакции деления ядра возможно при определенных условиях. В процессе деления ядер топлива возникают мгновенные нейтроны, образующиеся непосредственно в момент деления ядра, и запаздывающие нейтроны, испускаемые осколками деления в процессе их радиоактивного распада. Время жизни мгновенных нейтронов очень мало, оно составляет порядка 104 секунд. Поэтому даже современные системы и средства управления реактором не могут поддерживать необходимый коэффициент размножения нейтронов только за счёт мгновенных нейтронов. За счёт значительного времени жизни запаздывающих нейтронов (от 0.1 до 10 секунд) система управления успевает переместить стержни-поглотители, поддерживая тем самым необходимый коэффициент размножения нейтронов (реактивность). Однако, при повышении скорости ядерной реакции растёт тепловая мощность реактора, в результате чего растёт температура ядерного топлива, что приводит к уменьшению сечения захвата нейтронов и, в свою очередь, к уменьшению скорости ядерной реакции .

Топливный элемент при нагревании расширяется, тем самым изменяя локальную геометрию топливного элемента и коэффициент недостатка потока (отношение потока в топливе к потоку в замедлителе), тем самым обуславливая изменение реактивности. Таким образом, случайное повышение скорости ядерной реакции гасится, а вызванное перемещением управляющих стержней или медленным изменением других параметров — приводит к квазистационарному изменению мощности реактора, а не развитию взрыва. Описанная закономерность является одной из проявлений отрицательного коэффициента реактивности .

Диффузионная теория является достаточно точной, чтобы обеспечить количественное понимание многих физических особенностей ядерных реакторов и, по сути, является рабочим вычислительным методом физики ядерных реакторов .

Физические процессы, происходящие в ядерном реакторе [11, 77, 118, 121, 122], зависят от распределения нейтронного потока, математическое описание которого основывается на уравнении переноса нейтронов [54, 82, 97, 119, 123]. В общем виде это уравнение имеет интегро-дифференциальную форму, а искомое распределение потока нейтронов зависит от времени, энергии, пространственных и угловых переменных. Однако было замечено, что сложные уравнения, составляющие теорию, можно упростить до хорошо изученных диффузионных уравнений, которые достаточно точно описывают данные процессы и сохраняют приемлимую точность .

Для практических расчетов ядерных реакторов, как правило, используют упрощенные формы уравнения переноса нейтронов. Наибольшее распространение для анализа реакторов получило многогрупповое диффузионное приближение (подробнее [22, 70, 98, 125]), которое используется в большинстве инженерных расчетных программ. Сущность метода состоит в том, что решение уравнений ищется в виде ряда по сферическим функциям, ограничиваясь в разложении двумя первыми членами. Известный двухгупповой метод, разработанный с доскональной полнотой [75, 95, 117], оказывается явно недостаточным для решения некоторых задач. Известно, что во многих случаях двухгрупповой метод не может привести к результатам желаемой точности. Особенно это относится к реакторам, размеры которых либо недостаточно велики по сравнению с длиной замедления нейтронов, либо в реакторе имеет место сильное поглощение замедляющихся нейтронов. В этих случаях применяют многогрупповые методы .

Инженерные нейтронно-физические программы предназначены для моделирования переноса нейтронов в диффузионном групповом приближении с использованием, чаще всего, конечно-разностных аппроксимаций по пространству (см., например, [15, 57, 62, 68]). Решением диффузионного уравнения является распределение плотности потока нейтронов по энергии и пространству, для расчета стационарного режима вводиться эффективный коэффициент размножения .

Нейтронно-физические расчетные параметры активной зоны являются, по сути, функционалами плотности нейтронного потока. В конечно-разностных методах пространственное распределение нейтронного потока аппроксимируется конечным числом членов разложения в ряд Тейлора. В простейшем случае первого порядка получается система алгебраических уравнений, хорошо приспособленная для решения с помощью численных методов. Однако, при решении многомерных задач для достижения приемлемой точности расчетов необходимо очень мелкое дробление расчетной сетки, что приводит к большому числу искомых неизвестных .

Рассмотрение критичности реактора обычно связывают задачей на собственные значения для многогруппового уравнения диффузии нейтронов [12,30]. Изучение спектральных задач представляет большой интерес для безопасности реакторов и исследования динамических процессов (смотри, например, [5,39,106]) .

Для анализа стационарного распределения нейтронного потока внутри активной зоны реактора и критического состояния необходимо получить доминирующие собственные значения и соответствующие им собственные функции. Дискретизация задачи приводит к системе алгебраических уравнений, которая в реальных трехмерных постановках может достигать значительных размеров. Решить данную проблему можно используя адаптированные численные методы и внедряя высокопроизводительные вычислительные методы .

Для ядерных реакторов пространственная сетка определяется разными материалами, составляющими активную зону, и по этой причине применяют методы, которые использует фиксированную сетку, и увеличивает ее точность без изменения этой сетки. Для повышения точности расчета нейтронного потока широкое применение нашли нодальные методы (см., например, [13, 43, 59, 66, 67, 93, 94]), которые позволяют проводить расчеты на достаточно грубой сетке (несколько точек на тепловыделяющую сборку в плане и несколько десятков слоев по высоте) .

В основе нодальных методов лежит представление нейтронного потока в пределах расчетного элемента в виде полинома малой степени или набора функций по одной из координат (или на плоскости). Нодальные методы в ряде случаев можно связать [38] со специальными вариантами конечно-элементной аппроксимации. Методы конечных элементов высокого порядка [9, 36] основаны на аппроксимации решения задачи как частичного разложения в соответствующих базисных полиномах. Точность полученного решения контролируется с помощью числа полиномов, рассмотренных в разложении, и нет необходимости в уточнении сетки для повышения точности. Следует отметить, что более оправдано использование стандартных процедур повышения точности конечно-элементного приближения при численном решении краевых задач, связанное со сгущением расчетной сетки и использованием конечных элементов более высокой степени .

Такая технология используется в [5, 108, 111] при рассмотрении спектральных задач для многогруппового уравнения диффузии нейтронов .

При моделировании динамики нейтронно-физических процессов используются стандартные методы приближенного решения нестационарных задач [22, 97, 98]. Наибольшее внимание уделяется двухслойным схемам с весами (метод) [1, 3, 55, 69], используются схемы Рунге-Кутта, схемы Розенброка [20, 48] .

-метод является точной и эффективной конечно-разностной схемой, которая использовалась при численном интегрировании нестационарных уравнений многогрупповой диффузии с середины 1960-х годов [51]. Конечно-разностные схемы первого порядка, такие как неявные схемы Эйлера, явные схемы Эйлера и схемы Кранка-Николсон, могут быть легко получены из -метода в его общем виде .

Краткий обзор -метода применительно к нестационарным уравнениям многогрупповой диффузии нейтронов можно найти у [51, 96]. Свойства устойчивости и точности конечно-разностных схем -метода полно исследованы в работах [14, 19, 45, 81, 96] .

Отметим специальный класс методов для моделирования нестационарного переноса нейтронов в диффузионном групповом приближении, который связан с мультипликативным представлением решения — пространственно-временная факторизация и квазистатический метод [23, 25, 33, 35]. Квазистатический метод является стандартным инструментом для пространственно-временного решения задач переноса нейтронов в размножающих средах (смотри, например, [26, 29, 83, 84]). Приближенное решение ищется в виде произведения двух функций: одна из которых зависит от времени и связана с амплитудой, вторая (формфункция) — описывает пространственное распределение. Форм-функция вычисляется на большом временном масштабе, а амплитуда определяется на коротком временном масштабе. В большинстве вычислительных реализациях заменяют основное уравнение (перенос или диффузию) набором связанных уравнений амплитуды и формы, полученных из факторизации, так называемым улучшенным квазистатическим методом [27, 29, 78]. При таком подходе сложно контролировать точность приближенного решения, в частности, при расчете динамических режимов со сложной перестройкой поля плотности нейтронного потока .

При приближенном решении краевых задач для нестационарных уравнений основное внимание [3, 58, 69] уделяется аппроксимациям по времени. Для параболических уравнений второго порядка безусловно устойчивые схемы строятся на основе неявных аппроксимаций [91, 127, 129]. В вычислительной практике наибольшее распространение получили двухслойные схемы, в то время как трехслойные, а тем более многослойные схемы по времени используются значительно реже. Для безусловно устойчивых схем выбор шага по времени обусловлен только точностью приближенного решения. Проблема контроля шага по времени относительно хорошо проработана при приближенном решении задачи Коши для систем дифференциальных уравнений [2,32,47]. Основной подход состоит в том, что на основе дополнительных расчетов оценивается погрешность приближенного решения на новом шаге, шаг оценивается по теоретической асимптотической зависимости точности от шага по времени и после этого применяется решение о коррекции шага и при необходимости вычисления проводятся повторно .

Дополнительные вычисления для оценки погрешности приближенного решения могут проводиться по-разному. В частности, можно получить приближенное решение с использованием двух различных схем, которые имеют один и тот же теоретический порядок точности. Наиболее известный пример такой стратегии связан с решением задачи на отдельном временном интервале с использованием заданного шага (первое решение) и с шагом в два раза меньшим (второе решение) .

При приближенном решении задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений получили также распространение вложенные методы, когда сравниваются два приближенных решения, которые имеют разный порядок точности. Отмеченные способы выбора шага по времени относятся к классу методов апостериорной оценки точности. В данном случае решение о том, подходит ли шаг по времени, не нужно ли его изменить (увеличить, уменьшить и на сколько), о проведении повторного расчета принимается только после того, как расчет выполнен. Подобные стратегии возможно использовать и на основе более продвинутого апостериорного анализа приближенного решения нестационарных краевых задач [8, 80, 107] .

Нейтронно-физические расчеты реальных трехмерных конструкций требуют использования больших расчетных сеток, динамические процессы моделируются на больших временах. В силу сложности математической модели и применения больших расчетных сеток необходимо использовать современные многопроцессорные вычислительные системы. Параллельные вычислительные алгоритмы базируются на переходе к последовательности решения более простых задач для отдельных процессов. Успех достигается применением технологии расщепления (расщепления по физическим процессам [102]), декомпозиции расчетной области на подобласти [76, 85, 100], итерационных методов решения систем алгебраических уравнений [89, 127]. Применительно к спектральным задачам для задач диффузии нейтронов используются методы декомпозиции области (смотри, например, [42]). Особенности решения нестационарных задач на параллельных компьютерах учитываются построением специальных итерационных методов типа алгоритма параллелизации по времени [74]. В работе [10] такой подход реализован при численном решении нестационарных уравнений многогрупповой нейтронной кинетики .

Реакторная установка это комплекс систем и элементов атомной электростанции, предназначенный для преобразования ядерной энергии в тепловую, включающий реактор и непосредственно связанные с ним системы, необходимые для его нормальной эксплуатации, аварийного охлаждения и поддержания в безопасном состоянии. Существующие инженерные программы [15, 41, 57, 65] разработаны, как правило, под один конкретный тип реакторной установки. Тенденция разработки программ применительно к конкретному типу реакторных установок сохраняется до настоящего времени. Используемые в этих программах подходы и приближения, применимые для определенного типа установок, как правило, заложены в саму структуру алгоритмов. Это может быть определенный тип геометрии, фиксированная расчетная сетка, ограничение на число энергетических групп и т.д. В результате, имеется набор разнородных программ, обладающих ограниченным набором возможностей. Это делает практически невозможным использование этих программ не только для другого типа реакторной установки, обладающего своими специфическими особенностями, но также в случае модернизации проекта данного типа реакторной установки, например, при переходе от одного типа геометрии к другой. Поэтому необходимо разрабатывать универсальные программы для расчетов реакторных установок различных типов без изменения структуры программы .

Для численного моделирования физических процессов, которые описываются дифференциальными уравнениями в частных производных, существует множество вычислительных пакетов (библиотек) различного уровня абстракции. Примером такой системы является вычислительная платформа на основе метода конечных элементов для научных и инженерных вычислений FEniCS [71]. Основным достоинством FEniCS является упрощенная формулировка вариационного уравнения, близкая к математическим обозначениям. Вариационная задача получается из краевой задачи для дифференциальных уравнений в частных производных.

Кроме автоматического решения линейной и нелинейной вариационной задачи, к особенностям вычислительного пакета FEniCS относятся:

Автоматический контроль ошибок и адаптивность, возможность задания функционала, который должен минимизироваться с определенной точностью;

Расширяемая библиотека метода конечных элементов: кроме стандартных конечных элементов, такие как лагранжевы, поддерживается разрывные методы Галеркина, векторные элементы и специальные типы, такие как Crouzeix-Raviart, Raviart-Thomas и др.;

Высокопроизводительная линейная алгебра, несколько вариантов реализации линейной алгебры, такие как PETSc [7], Trilinos/Epetra [53], uBLAS [109] и MTL4 [73], а также библиотека для решения больших разреженных задач на собственные значения SLEPc [88], в которой параллельные вычисления поддерживаются пакетами PETSc, Trilinos/Epetra и SLEPc;

Возможность проведения расчетов в одно-, двух- и трехмерных областях с использованием адаптивных сеток;

Обработка результатов, возможность визуализации сетки, функций и полученных результатов, поддержка широко используемого пакета VTK [101];

Возможность использования языков программирования Python и C++, подробные интерфейсы классов и функций для обоих языков;

Подробная документация и большое количество примеров, детальное описание алгоритмов и реализации пакета;

Компоненты FEniCS являются кросс-платформенными, и могут быть установлены на различные операционные системы: Linux, Windows и MacOS .

Целью диссертационной работы является разработка новых вычислительных алгоритмов и современного программного обеспечения для численного решения краевых задач для системы уравнений переноса нейтронов в многогрупповом диффузионном приближении в ядерном реакторе .

В первой главе рассматриваются спектральные задачи, которые могут характеризовать динамическое нейтронное поле ядерного реактора. В рамках многогруппового диффузионного приближения рассматривается стандартная спектральная задача, которая связана с определением эффективного коэффициента размножения. Значительно более информативной при рассмотрении динамических процессов является -спектральная задача. Сформулирована новая спектральная задача (-спектральная задача), которая связана с самосопряженной частью оператора поглощения-производства нейтронов. Рассматривается численное решение двухмерных и трехмерных спектральных задач диффузии нейтронов в ядерном реакторе. Вычисления проводились на суперкомпьютере СВФУ Ариан Кузьмин .

Во второй главе рассматривается нестационарные задачи диффузии нейтронов. Исследуется выход на регулярный режим при использовании многогруппового приближения. Регулярный режим контролируется сравнением с главным собственным значением и соответствующей собственной функцией, которые находятся численно из решения спектральной задачи. Отдельно рассматривается динамика процессов с учетом и без учета запаздывающих нейтронов. Исследуются различные схемы аппроксимаций по времени. Рассматривается численное решение двухмерных и трехмерных нестационарных задач диффузии нейтронов в ядерном реакторе .

В третьей главе предлагается алгоритм выбора шага по времени при приближенном решении краевых задач для параболических уравнений. Отмечаются возможности оценки шага по времени для приближенного решения краевых задач для параболических уравнений на основе использования вспомогательного решения, которое получено при использовании явной схемы. Применяется подход на основе оценки погрешности аппроксимации. Представлены результаты расчетов для нестационарных задач диффузии нейтронов, которые демонстрируют работоспособность предлагаемого алгоритма выбора шага по времени .

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю, доктору физико-математических наук, профессору Вабищевичу Петру Николаевичу за помощь, оказанную при работе над диссертацией и коллегам из научноисследовательской кафедры вычислительные технологии СВФУ за полезные советы и предоставленные информационные материалы. Отдельная благодарность моим родителям и друзьям за неоценимую помощь и поддержку на всех этапах работы над диссертацией .

Глава 1 Спектральные задачи диффузии нейтронов

В данной главе рассматриваются различные спектральные задачи, которые связаны с динамическими процессами, происходящими в ядерном реакторе. Основной характеристикой динамических процессов выступает минимальное собственное значение соответствующей спектральной задачи [5]. Приведены результаты расчета различных собственных значений в рамках двухмерной модели большого тяжеловодного реактора (HWR) и трехмерной модели реактора на тепловых нейтронах ВВЭР-1000 .

1.1 Введение Процессы в ядерном реакторе существенно нестационарны. Стационарное состояние нейтронного потока, которое связано с критическим состоянием реактора, характеризуется локальным выравниванием интенсивности поглощения и рождения нейтронов. Это пограничное состояние, обычно, описывается как решение спектральной задачи (-спектральная задача) [36,39,106,108] при условии, что фундаментальное собственное значение (максимальное собственное значение), которое называется эффективным коэффициентом размножения, равно единице. Стационарное нейтронное поле в этом случае есть соответствующая собственная функция. Расчеты коэффициента реактора на основе решения спектральной задачи являются обязательными при разработке новой конструкции реакторной установки .

С отклонением от единицы связывают поведением ядерного реактора со временем, привлекая, в частности, понятие реактивности. Это мало оправдано, так как при расчете этого параметра эволюционная природа процессов перераспределения нейтронов (нестационарность системы уравнений) никак не учитывается. Параметр хоть и немного, но отличается от единицы, поэтому такое решение, вообще говоря, нельзя связать со стационарным решением данной задачи. Такого решения попросту не существует. В силу этого, не очень удачными являются попытки исправления базовой математической модели нестационарной диффузии нейтронов за счет введения каких-то корректирующих множителей для достижения строгой критичности .

Для более адекватной характеристики динамической природы реактора вместо предлагается использовать спектральный параметр, который напрямую не связан с. Он определяется как фундаментальное собственное значение спектральной задачи (-спектральная задача), которая связана с нестационарными уравнениями диффузии нейтронов [12, 79, 105]. По аналогии с обычными задачами теплопроводности (смотри, например, [72, 128]) можно выделить регулярный режим реактора. При больших временах поведение нейтронного поля носит асимптотический характер, когда можно говорить о пространственно-временной факторизации решения, амплитуда которого есть exp(), функция формы — собственная функция спектральной задачи .

Исследование динамических процессов можно проводить на основе выделения симметричной и кососимметричной частей оператора переноса нейтронов .

В этом случае возможно легко строить априорные оценки устойчивости в соответствующей норме при оценке оператора симметричной части снизу, проводить анализ используемых аппроксимаций по времени [91, 127]. Для этого решается частичная спектральная задача для нахождения главного собственного значения — -спектральной задачи [5] .

1.2 Постановка задачи Распределения нейтронов внутри активной зоны реактора математически лучше всего описывается уравнением переноса нейтронов. Сложные уравнения переноса нейтронов, составляющие теорию можно упростить. Наиболее популярным, изученным и сохраняющим достаточную высокую точность является диффузионное приближение .

1.2.1 Многогрупповое приближение

–  –  –

(, 0) = 0 (), (, 0) = 0 (), (1.4) = 1, 2,...,, = 1, 2,..., .

–  –  –

Рассматривается задача для уравнения (1.5) с краевыми условиями (1.3) и начальными условиями (1.4) для, = 1, 2,..., .

1.2.2 Операторная формулировка

–  –  –

(1.7) + ( + ) =,

–  –  –

Для (1.6) и (1.7) рассматривается задача Коши, когда (0) = 0, (0) = 0, (1.8)

–  –  –

1.3 Спектральные задачи Для характеристики динамических процессов в ядерном реакторе, которые описываются задачей Коши (1.6)-(1.8), применяются решения некоторых спектральных задач [12, 54, 97] .

1.3.1 -спектральная задача Обычно рассматривается спектральная задача, которая известна как спектральная задача. Для системы уравнений (1.6), (1.8) с учетом запаздывающих нейтронов, имеем ( + ) = () ( + ), (1.9) () = .

Соответствующая спектральная задача для системы уравнений (1.7), (1.8) без учета запаздывающих нейтронов ( + ) = (). (1.10) Для характеристики нейтронного поля привлекается минимальное собственное значение, так что = () () есть эффективный коэффициент размножения. Значение = 1 = 1 связано с критическим состоянием реактора, а соответствующая собственная функция (1) () есть стационарное решение уравнения (1.6), (1.7). При 1 говорят о надкритическом состоянии реактора, при 1 — о подкритическом состоянии .

В силу несамосопряженности операторов нейтронного переноса будем иметь, вообще говоря, комплексные собственные значения. Свойство действительности и положительности для системы уравнений нейтроники доказывается на основе принципа максимума при некоторых ограничениях на коэффициенты операторов переноса нейтронов [44]. Это касается также и несамосопряженного эллиптического оператора второго порядка [31] .

1.3.2 -спектральная задача Спектральную задачу (1.9),(1.10) нельзя напрямую связать с динамическими процессами в ядерном реакторе. Собственные значения коэффициента размножения реактора и соответствующие собственные функции не зависят от временной задержки испускания запаздывающих нейтронов. Причина состоит в том, что задача на собственные значения является задачей нахождения не зависящих от времени решений уравнения переноса нейтронов, причем член, описывающий вклад деления в баланс нейтронов, равен полному числу нейтронов деления, как мгновенных, так и запаздывающих, деленному на. В лучшем случае возможно выделить только предельный случай — стационарное критическое состояние .

Более приемлемая спектральная характеристика для нестационарного уравнения (1.6) связана со спектральной задачей = (), (1.11) () =,

–  –  –

В случае уравнения (1.7) без учета запаздывающих нейтронов, имеем = (). (1.12) Фундаментальное собственное значение () = 1 называется [12] -собственным значением или собственным значением периода ядерного реактора. Задача о собственных функциях периода реактора существенно учитывает вклад запаздывающих нейтронов. В частности, большое время жизни предшественников запаздывающих нейтронов обусловливает большой вклад медленно убывающих собственных функций периода реактора, причем это не имеет места при учете лишь мгновенных нейтронов .

С собственным значением можно связать асимптотическое поведение решения задачи Коши (1.6)-(1.8) при больших временах. В этом регулярном режиме поведение реактора описывается функцией exp()(1) (). Критическое состояние реактора определяется значением = 0, при 0 будет надкритическое состояние, а при 0 — подкритическое состояние реактора .

1.3.3 -спектральная задача

–  –  –

для решения задачи (1.7), (1.8). Подобные оценки, выражающие устойчивость решения по начальным данным, являются ориентиром при построении аппроксимаций по времени [91, 127] .

Спектральная задача (1.13) более удобна для численного решения, чем спектральные задачи (1.10) и (1.12) [34, 90]. Это связано с тем, что в этом случае все собственные значения и собственные функции являются действительными. Сама величина определяет динамику нейтронного поля реактора — смотри оценку (1.15) .

1.4 Дискретная задача Для численного решения спектральной задачи [61] необходимо провести дискретизацию по пространству и сформулировать дискретную задачу. Для аппроксимации по пространству будем использовать метод конечных элементов [24,28,87,110]. Прикладное программное обеспечение написано с использованием вычислительной платформы FEniCS [64, 71]. Для численного решения спектральных задач привлекается библиотека SLEPc [52, 88] .

1.4.1 Метод конечных элементов

–  –  –

для всех, ( = {1,, 2,,...,, }, = {1,, 2,,...,, }) .

Скалярные функции (компоненты векторных функций) аппроксимируются на треугольной (рис. 1.1) или тетраэдральной (рис. 1.2) сетке с использованием лагранжевых конечных элементов с полиномами степени 1,2 и 3 [17, 86] .

1.4.2 Программное обеспечение Существующие инженерные программы разработаны, как правило, под один тип реакторных установок (РУ): в частности, есть программы предназначенные только для расчета реакторов типа ВВЭР. Подобная тенденция разработки программ применительно к конкретному типу РУ сохраняется до настоящего времени. Используемые в этих кодах подходы и приближения, применяемые для определенного типа РУ, как правило, заложены в саму структуру алгоритмов .

Рис. 1.1: Лагранжевые конечные элементы на треугольной сетке .

Рис. 1.2: Лагранжевые конечные элементы на тетраэдральной сетке .

Это может быть определенный тип геометрии, фиксированная расчетная сетка, ограничение на число энергетических групп и т.д. В результате, имеется набор разнородных программ, обладающих ограниченным набором возможностей. Это делает практически невозможным использование этих программ не только для другого типа РУ, обладающего своими специфическими особенностями, но также в случае модернизации проекта данного типа РУ (например, при переходе от одного типа геометрии к другой) .

В этой связи возникает вопрос: можно ли разработать некую универсальную программу, на базе которой можно было бы проводить инженерные расчеты РУ различных типов, при этом, не видоизменяя структуры программы, а лишь используя соответствующие расчетные модули. Из всех известных методов, пожалуй, лишь метод Монте-Карло соответствует этой цели. Программы, использующие метод Монте-Карло, такие, как MCNP [18] или MCU [56], без каких-либо ограничений применяются для расчета реакторных систем любого типа. Однако использование подобных кодов в инженерных расчетах РУ по различным причинам очень проблематично .

Рассмотрим подходы и модели, используемые в современных инженерных программах для нейтронно-физических расчетов. Для большинства инженерных программ геометрическая модель активной зоны имеет схожую структуру. Это, как правило, набор кассет (гексагональных или прямоугольных), которые моделируют тепловыделяющую сборку (ТВС); причем поперечное сечение кассеты повторяет форму ТВС. Торцевой и радиальный отражатели, экраны моделируются кассетами такой же формы. По высоте геометрическая модель активной зоны разбивается на несколько аксиальных слоев или зон, в пределах которых физические и теплогидравлические свойства, определяющие коэффициенты уравнений диффузии считаются одинаковыми .

Отдельный вопрос – формирование расчетной сетки для моделирования нейтронно-физических процессов в РУ. Большинство кодов имеют дело с собственной сеткой, сгенерированной самим кодом, использование которой другими кодами практически исключено. Обычно сетки имеют регулярную в плане структуру (например, шестиугольная ячейка ТВС ВВЭР может разбиваться на несколько равносторонних треугольников). По высоте сетка может быть не регулярной, однако ее структура остается постоянной по всему расчетному объему, т.е. возможность локального сгущения сетки по высоте, например, в пределах отдельной ТВС, не допускается .

Таким образом, учитывая схожесть и различия в подходах и моделях, используемых в современных инженерных программах, сформулируем принципиальные положения, которые мы заложили в расчетную платформу программы. На рис. 1.3 показан графический интерфейс программы .

Во-первых, на данном этапе рассматриваем уравнение переноса нейтронов в диффузионном групповом приближении. В перспективе возможно расширение функциональных возможностей кода за счет использования не диффузиРис. 1.3: Стартовая панель программы .

онных моделей, например, SP3-приближения [16]. Учитываются последние достижения в области численных методов и алгоритмов, позволяющие обеспечить необходимую точность и быстродействие нейтронно-физических расчетов, включая применение современных технологий программирования с использованием объектно-ориентированного подхода. Используются свободное программное обеспечение, которое дает ощутимые преимущества, обусловленные мультиязычным (Qt, Python) интерфейсом, большой надежностью, и возможностями модификации программ .

Во-вторых, применяется традиционный подход при создании геометрической модели активной зоны как набора кассет, имитирующих сборку ТВС, с использованием гомогенизированного представление физических зон (рис. 1.4). В перспективе, возможно использование более подробных моделей (например, более корректное описание бокового отражателя как не гомогенной среды) .

В-третьих, программа работает с произвольными расчетными сетками (сгенерированными в стандартном формате). Расчетная сетка может формироваться независимо (т.е. вне программы) с помощью внешних генераторов сеток. Данный подход позволяет построить и протестировать расчетную сетку любой сложноРис. 1.4: Панель для работы с геометрией .

сти. Базовая сетка формируется самой программой с помощью встроенного генератора сеток .

В-четвертых, реализован переход от конечно-разностной аппроксимации к методу конечных элементов. В этом случае отпадает необходимость в дополнительных методах повышения точности конечно-разностного расчета (нодальные методы), поскольку повысить точность расчета можно как сгущением сетки, так и повышением порядка конечного элемента .

В разработанной программе [112] использовалась свободное программное обеспечение, включающее следующие компоненты:

генератор сеточных объектов – Gmsh;

вычислительная платформа FEniCS, как инструмент для решения краевых задач, описываемых дифференциальными уравнениями в частных производных, методом конечных элементов;

решатели задачи на собственные значения на основе пакета высокопроизводительной линейной алгебры, поддерживающей параллельные вычисления – SLEPc;

система пост-процессорной обработки и визуализации – библиотека VTK .

1.5 Численные примеры Приведем некоторые результаты по расчету собственных значений. Используется двухгрупповая модель ( = 2). Применительно к -спектральной задаче (1.10) имеем · 1 1 + 1 1 = () ( 1 1 + 2 2 ), (1.20) · 2 2 + 2 2,12 1 = 0 .

–  –  –

(1.23) = с несимметричными матрицами применяется библиотека SLEPc с поддержкой параллельных вычислений и встроенный алгоритм Krylov-Schur с точностью

1015. В расчетах варьировались следующие параметры:

— число расчетных ячеек (конечных элементов) на кассету в плане;

— число расчетных ячеек (конечных элементов) на кассету по высоте (для трехмерных случаев);

— порядок конечных элементов;

1.5.1 Двухмерная модель большого тяжеловодного реактора Рассматривается двухмерная модель большого тяжеловодного реактора (HWR) [21]. Геометрическая модель активной зоны HWR состоит из набора кассет гексагональной формы и представлена на рис. 1.5, где цифрами показаны кассеты различных сортов. Размер кассеты «под ключ» равен 17.78 см. Диффузионные нейтронно-физические константы в общепринятых единицах приведены в табл. 1.1. Используются граничные условия (1.3) при задании = 0.5, = 1, 2 .

Таблица 1.1: Диффузионные константы для большого тяжеловодного реактора .

–  –  –

Используются треугольные сетки. Число треугольников на одну кассету варьируется от 6 до 96 (рис.1.6). Все показанные далее в графиках собственные Рис. 1.5: Геометрическая модель активной зоны реактора HWR .

Рис. 1.6: Разбиение кассеты на 6, 24 и 96 конечных элементов .

–  –  –

(), которые соответствуют первым собственным значениям, = 1, 2,..., 5 .

Собственные функции для главного собственного значения ( = 1) показаны () рис.1.7. Реальная часть собственных функций 1, = 2, 3, 4, 5 приведена на рис.1.8. Мнимая часть показана на рис.1.9 .

Полученные результаты для спектральной задачи можно сравнить с результатами, полученными Gonz lez-Pintor et al.(2009) [36]. Используя метод конечa ных элементов с конечными элементы высокого порядка для двухмерной модели большого тяжеловодного реактора (HWR), они получили следующие собственные значения: 1 = 0.9919610; 2 = 0.9835926; 3 = 0.9835926; 4 = 0.9642380 .

Решение -спектральной задачи

Приведем теперь результаты численного решения -спектральной задачи (1.21). Задача рассматривается при 1 = 1.25 · 107 см/с и 2 = 2.5 · 105 см/с .

Результаты решения -спектральной задачи для первых собственных значений () () () Re2... на разных расчетных сетках =, = 1, 2,..., 5, Re1 при использовании различных конечно-элементных аппроксимаций показаны в табл.1.3. Так же как и для -спектральной задачи (1.20) собственные значения 2, 3, 4, 5, 9, 10 для -спектральной задачи являются комплексными с малыми мнимыми частями, собственные значения 1, 6, 7, 8 — действительными .

–  –  –

1 2, 3 4, 5 1 42.28145 85.12917 ± 0.05604 183.97351 ± 0.10320 2 42.13522 84.73725 ± 0.06117 182.79517 ± 0.11345 3 42.25852 84.86342 ± 0.06130 182.91188 ± 0.11367 1 42.19593 84.86062 ± 0.05997 183.11506 ± 0.11104 24 2 42.25260 84.85735 ± 0.06129 182.90628 ± 0.11365 3 42.26300 84.86756 ± 0.06130 182.91450 ± 0.11367 1 42.24114 84.86101 ± 0.06096 182.96129 ± 0.11301 96 2 42.26235 84.86689 ± 0.06130 182.91391 ± 0.11367 3 42.26266 84.86709 ± 0.06130 182.91375 ± 0.11367 Собственные функции для главного собственного значения ( = 1) спектральной задачи показаны рис.1.10. Реальная часть собственных функций () 1, = 2, 3, 4, 5 приведена на рис.1.11. Мнимая часть этих собственных функций показана на рис.1.12 .

–  –  –

() Таблица 1.4: Собственные значения =, = 1, 2,..., 5 .

1 -1127.55257 -1009.80617 -1009.80398 -871.60140 -871.59855 6 2 -1132.64216 -1018.75605 -1018.75385 -883.21855 -883.21571 3 -1132.81177 -1019.03389 -1019.03169 -883.53871 -883.53587 1 -1131.36452 -1016.52656 -1016.52435 -880.32945 -880.32661 24 2 -1132.80333 -1019.02010 -1019.01790 -883.52291 -883.52007 3 -1132.82161 -1019.05019 -1019.04798 -883.55788 -883.55504 1 -1132.44380 -1018.39826 -1018.39605 -882.72667 -882.72383 96 2 -1132.82067 -1019.04865 -1019.04644 -883.55611 -883.55327 3 -1132.82240 -1019.05153 -1019.04932 -883.55955 -883.55671

Решение -спектральной задачи

Результаты решения -спектральной задачи (1.22) для первых пяти собственных значений приведены в табл.1.4. Все собственные значения являются действительными, а значение = 1 1132.82 достаточно далеко от = 1

42.26. Сами собственные функции -спектральной задачи какого-то особого значения не имеют. В силу этого на рис.1.13 приведены только 1 и 1 .

–  –  –

1.5.2 Трехмерная модель реактора ВВЭР-1000 В рамках международной научной группы AER (Atomic Energy Research) была разработана трехмерная стационарная тестовая задача, описывающая реактор ВВЭР-1000. По имени автора тест получил название тест Шульца [92] .

Тестовая задача моделирует активную зону реактора ВВЭР-1000 с 12 полупогруженными стержнями СУЗ. Размер кассеты "под ключ" равен 24.1 см. Активная зона имеет высоту 355 см, она окружена радиальными и аксиальным отражателями. На рисунке 1.14, 1.15 показаны радиальная и аксиальная геометрические модели, соответсвенно, где цифрами показаны кассеты различных сортов. Диффузионные нейтронно-физические константы заданы в таблице 1.5. На внешней границе реактора задается условие границы с вакуумом ( = 0.5) .

Рис. 1.14: Радиальная геометрическая модель активной зоны реактора ВВЭР-1000 .

Используются тетраэдральные сетки. Параметр варьируется от 6 до 96, а параметр от 12 до 48. На рис. 1.16 показаны примеры тетраэдральных сеток для = 6 и = 12, = 24 и = 24, = 96 и = 48 соответственно .

Вычислялись следующие параметры:

эффективный коэффициент размножения ;

распределение нейтронной мощности по кассетам с нормировкой на среднее значение по активной зоне:

–  –  –

где — коэффициент нормировки на заданное значение интегральной мощности .

Сравнение полученных результатов проводилось с результатами расчетов по диффузионной программе CRONOS [60] (эталонное решение = 1.049526 было получено путем экстраполяции результатов на бесконечно малый размер элементарной ячейки расчетной сетки).

Будем рассматривать следующие отклонения в расчетных параметрах:

для эффективного коэффициента размножения, абсолютное отклонение от «эталонного» значения : = | |, выражается в pcm (percentРис. 1.16: Разбиение кассеты ВВЭР-1000 .

milli, т.е. 105 );

для распределения покассетных мощностей вычисляются относительные отклонения (выраженные в %):

=,

–  –  –

Все вычисления проводились на суперкомпьютере «Ариан Кузьмин» [120] .

Максимальное количество использованных ядер 1440 (120 узлов) .

Результаты расчетов Результаты решения -спектральной задачи (1.20) для главного собственного значения 1 при использовании различных сеток и конечных элементов приведены в табл. 1.6. Здесь — размер матриц, (1.23). Эти данные демонстрируют сходимость приближенно вычисляемых собственных значений при сгущении расчетной сетки (, ) и при увеличении степени аппроксимирующих полиномов. Сравнение эталонного решения с результатом решения при параметрах = 2, = 6, = 24 (в таблице 1.6 выделено серым цветом) показано на рисунке 1.17 .

В таблице 1.7 представлены результаты, полученные для следующих трех собственных значений при различных сетках. Вертикальные и горизонтальные срезы распределения мощности для первых 4 собственных значений показаны на рисунках 1.18–1.21 .

Таблица 1.6: Результаты решения для 1 для ВВЭР-1000 .

–  –  –

1.6 Выводы Рассмотрены спектральные задачи, которые характеризуют динамическое нейтронное поле ядерного реактора. В рамках многогруппового диффузионного приближения рассматривается стандартная -спектральная задача, которая связана с определением эффективного коэффициента размножения. Значительно более информативной при рассмотрении динамических процессов является

-спектральная задача. С фундаментальным собственным значением и соответствующей ей собственной функцией мы можем связать динамику реактора на асимптотической стадии при больших временах. Сформулирована новая спектральная задача (-спектральная задача), которая связывается с самосопряженной частью оператора поглощения-производства нейтронов. Решение этой задачи позволяет получить априорную оценку для динамики нейтронного поля .

Вычислительный алгоритм приближенного решения спектральных задач базируется на стандартной конечно-элементной аппроксимации при использовании лагранжевых конечных элементов степени = 1, 2, 3. Матричная спектральная задача решается с использованием библиотеки SLEPc. Контроль точности приближенного решения проводиться на последовательности сгущающихся сеток с использованием конечных элементов различной степени .

Тестовые расчеты выполнены для двухмерной модели большого тяжеловодного реактора с использованием двухгруппового диффузионного приближения .

Получены действительные и комплексные собственные значения и собственные функции в -спектральной задаче. Установлена хорошая отделимость собственных значений в -спектральной задаче. Представлены результаты численного решения -спектральной задачи для оценки динамики нейтронного поля .

Проведены расчеты для трехмерной модели реактора ВВЭР-1000 в двухгрупповом диффузионном приближении на суперкомпьютере СВФУ Ариан Кузьмин .

Результаты демонстрируют сходимость приближенно вычисляемых собственных значений при сгущении расчетной сетки и при увеличении степени конечных элементов. Полученные результаты эффективного коэффициента размножения нейтронов и нейтронного потока могут быть использованы в качестве эталонного решения .

Глава 2 Численное моделирование нестационарных задач диффузии нейтронов В данной главе для приближенного решения нестационарных задач диффузии нейтронов исследуются чисто неявная схема первого порядка аппроксимации и симметричная схема второго порядка по времени. Отдельно выделена явно-неявная схема, которая максимально упрощает переход на новый временной слой. Аппроксимация по пространству базируется на использовании стандартных лагранжевых конечных элементов с полиномами различного порядка .

По аналогии с обычными тепловыми процессами можно выделить регулярный режим работы ядерного реактора, который связан с самоподобным развитием нейтронного поля при больших временах. Для моделирования регулярного режима реактора необходимо ориентироваться на приминение чисто неявных схем, в то время, как схема Кранка-Николсон является непригодной [4, 113] .

2.1 Введение При рассмотрении нестационарных задач диффузии нейтронов после дискретизации уравнений для плотности нейтронного потока формируется система линейных алгебраических уравнений, которая решается с использованием итерационных методов [37, 46, 89]. Для получения приемлемой точности решения краевой задачи для системы уравнений диффузии необходимо использовать достаточно подробную расчетную сетку (несколько десятков точек на тепловыделяющую сборку в плане и столько же слоев по высоте), что заметно увеличивает время счета. Во многих нейтронно-физических программах используются морально устаревающие итерационные методы, которые плохо приспособлены для современных вычислительных систем параллельной архитектуры .

Для характеристики динамической природы реактора используется спектральный параметр. Он определяется как главное собственное значение спектральной задачи (-спектральная задача), которая характеризует нестационарные процессы диффузии нейтронов [12, 79, 105]. По аналогии с обычными задачами теплопроводности (смотри, например, [72, 128]) можно выделить регулярный режим реактора. При больших временах поведение нейтронного поля носит асимптотический характер, когда можно говорить о пространственно-временной факторизации решения, амплитуда которого есть exp(), а форм-функция — собственная функция спектральной задачи .

2.2 Постановка задачи Моделирование динамических процессов в ядерных реакторах проводится, чаще всего, на основе описания нейтронного потока в многогрупповом диффузионном приближении. Базовая модель включает многомерную систему связанных уравнений параболического типа. Моделируется нестационарный процесс в ядерном реакторе в многогрупповом диффузионном приближении. Динамика нейтронного потока рассматривается в ограниченной выпуклой двумерной или трехмерной области ( = {1,..., }, = 2, 3) с границей .

2.2.1 Уравнения с учетом запаздывающих нейтронов

Перенос нейтронов с учетом запаздывающих нейтронов описывается системой уравнений:

1 · +, = = =1 (2.1) = (1 ) +, = 1, 2,..., .

=1 =1 Здесь (, ) — поток нейтронов группы в точке на момент времени, — число групп, — эффективная скорость нейтронов в группе, () — коэффициент диффузии, — оператор градиента, (, ) — сечение увода,, (, ) — сечение рассеяния нейтронов из группы в группу, — эффективная доля запаздывающих нейтронов,, — спектры мгновенных и запаздывающих нейтронов, (, ) — сечение генерации группы, — плотность источников запаздывающих нейтронов типа, — постоянная распада источников запаздывающих нейтронов, — число типов запаздывающих нейтронов. Плотность источников запаздывающих нейтронов описывается уравнениями (2.2) + =, = 1, 2,...,, =1

–  –  –

(, 0) = 0 (), (, 0) = 0 (), (2.4) = 1, 2,...,, = 1, 2,..., .

–  –  –

Рассматривается задача для уравнения (2.7) с краевыми условиями (2.3) и начальными условиями (, 0) = 0 (), (2.8) = 1, 2,..., .

Запишем краевую задачу (2.7), (2.8), (2.3) в операторной форме. Будем работать на множестве векторов, компоненты которого удовлетворяют граничным условиям (2.3).

Тогда система уравнений (2.7) записывается в следующем виде:

–  –  –

Для (2.9) рассматривается задача Коши, когда (0) = 0, (2.10)

–  –  –

2.3 Дискретная задача Для аппроксимации по времени рассмотрим, как основные, две стандартные двухслойные схемы [127]: чисто неявную схемы первого порядка аппроксимации и симметричную схему (схему Кранка-Николсон) второго порядка. Операторные матрицы, диагональные, а – нижняя треугольная матрица. Существенное связывание уравнений обусловлено только оператором генерации нейтронов .

В силу этого построение аппроксимаций по времени, которые удобны для вычислительной реализации, может проводиться на основе явно-неявных аппроксимаций, когда с нижнего слоя по времени берется слагаемое с оператором генерации нейтронов .

Для численного решения можно строить различные классы устойчивых разностных схем. Актуальной является проблема выбора схемы среди устойчивых разностных схем, которая является оптимальной по тем или иным дополнительным критериям. В теории разностных схем выделен класс асимптотически устойчивых разностных схем, которые [128, 129] обеспечивают правильное поведение приближенного решения при больших временах. В теории численных методов решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений [20, 32] введено понятие -устойчивых методов, в которых с несколько других позиций также отслеживается асимптотическое поведение приближенного решения при больших временах. Чисто неявная схема имеет лучшие асимптотические свойства, чем симметричная схема, что важно при исследовании регулярного режима ядерного реактора .

Для аппроксимации по пространству будем использовать метод конечных элементов [24, 28, 87, 110] .

2.3.1 Аппроксимация по времени Определим равномерную сетку по времени

–  –  –

При использовании чисто неявной схемы подинтегральное выражение в правой части (2.11) берется при = +1. Для системы уравнений (2.5) неявная схема записывается в виде +1 + ( + )+1 = +1 + +1, (2.12) +1 = + +1,

–  –  –

+1 + ( + )+1 = + +1, (2.14) +1 = +, где

–  –  –

+1 + ( + )+1 =. (2.15) Аналогично записывается симметричная схема. Схему Кранка-Николсон будем рассматривать только в случае (2.9) без учета запаздывающих нейтронов. Приближенное решение на новом слое по времени определяется из уравнений +1 +1 + +1 + (2.16) + ( + ) = .

2.3.2 Аппроксимация по пространству Рассмотрим, например, аппроксимацию по пространству для чисто неявной схемы с учетом запаздывающих нейтронов (2.12). Пусть 1 () — пространство Соболева, состоящее из скалярных функций таких, что 2 и ||2 имеют конечный интеграл в. Для векторных функций = {1, 2,..., } определим аналогично = [ 1 ()]. Для тестовых функций используем обозначения = {1, 2,..., }, = {1, 2,..., }. В вариационной форме задача (2.12) имеет вид: найти,, для которых имеет место +1 ( ) +1 +1 + + + =1 (2.17) +1 + +1, +1 + = =1 +1 = + +1

–  –  –

для всех, ( = {1,, 2,,...,, }, = {1,, 2,,...,, }) .

Скалярные функции (компоненты векторных функций) аппроксимируются на треугольной или тетраэдральной сетке с использованием лагранжевых конечных элементов с полиномами степени 1,2 и 3 .

2.4 Численные примеры Проведено численное моделирование регулярного режима в рамках двухгруппового приближения численного теста для реактора на тепловых нейтронах ВВЭР-1000. Проводилось численное решение теста трехмерной модели реактора AER-2 с обратной связью [6] .

Программное обеспечение написано с использованием вычислительной платформы FEniCS. Для решения спектральных задач с несимметричными матрицами применялась библиотека SLEPc. В расчетах варьировались следующие параметры:

— число расчетных ячеек (конечных элементов) на кассету в плане;

— число расчетных ячеек (конечных элементов) на кассету по высоте (для трехмерных случаев);

— порядок конечных элементов .

2.4.1 Регулярный режим ВВЭР-1000 без отражателя

Рассматривается тестовая задача для реактора ВВЭР-1000 без отражателя [21] в двухмерном приближении ( — сечение активной зоны реактора). Геометрическая модель активной зоны ВВЭР-1000 состоит из набора кассет гексагональной формы и представлена на рис.2.1, где цифрами показаны кассеты различных типов. Размер кассеты «под ключ» равен 23.6 см. Диффузионные нейтроннофизические константы при использовании двухгруппового приближения в общепринятых единицах приведены в табл.2.1. Используются граничные условия (2.3) при задании = 0.5, = 1, 2. Характеристики запаздывающих нейтронов: используется одна группа запаздывающих нейтронов (эффективная доля 1 = 6.5 · 103 ; постоянная распада 1 = 0.08 с1 ). Скорость нейтронов 1 = 1.25 · 107 см/с и 2 = 2.5 · 105 см/с .

Для приближенного решение задачи используется регулярные треугольные сетки. Число треугольников на одну кассету варьируется от 6 до 96 (рис.2.2) .

Задача рассматривается в двухгрупповом приближении с учетом и без учета заТаблица 2.1: Диффузионные константы для ВВЭР-1000 .

Материал 1 2 3 4 5 1, см 1.38320e-0 1 .

38299e-0 1.39522e-0 1.39446e-0 1.39506e-0 2, см 3.86277e-1 3.89403e-1 3.86225e-1 3.87723e-1 3.84492e-1 1 +,12, см1 2.48836e-2 2.62865e-2 2.45662e-2 2.60117e-2 2.46141e-2 2, см1 6.73049e-2 8.10328e-2 8.44801e-1 9.89671e-2 8.93878e-2,12, см1 1.64977e-2 1.47315e-2 1.56219e-2 1.40185e-2 1.54981e-2 1, см1 4.81619e-3 4.66953e-3 6.04889e-3 5.91507e-3 6.40256e-3 2, см1 8.46154e-2 8.52264e-2 1.19428e-1 1.20497e-1 1.29281e-1 Рис. 2.1: Геометрическая модель активной зоны реактора ВВЭР-1000 .

Рис. 2.2: Разбиение кассеты на 6, 24 и 96 конечных элементов .

паздывающих нейтронов. Чисто неявная схема (2.12) с учетом запаздывающих нейтронов принимает вид:

1 +1 1 · 1 +1 + 1 +1 +,12 +1 1 (1 1 )( 1 +1 + 2 +1 ) = 1 + 1 +1, 1 (2.19) 1 +1 1 2 · 2 +1 + 2 +1,12 +1 =, +1 = 1 + 1 ( 1 +1 + 2 +1 ) .

В случае явно-неявной схемы (2.14) имеем:

1 +1 1 · 1 +1 + 1 +1 +,12 +1 = 1 1 + (1 1 )( 1 + 2 ) + 1 +1, = 1 2 1 1 (2.20) 1 +1 1 2 · 2 +1 + 2 +1,12 +1 =, +1 = 1 + 1 1 ( 1 + 2 )

–  –  –

стики динамических процессов в ядерном реакторе, которые описываются задачей Коши (2.6),(2.10) привлекаются решения некоторых спектральных задач (смотри главу 1 параграф 3) .

Решение спектральных задач

–  –  –

1 2, 3 4, 5 1 -105.032 159.802 ± 0.025510 659.109 ± 0.034667 2 -139.090 115.793 ± 0.029186 591.782 ± 0.034667 3 -140.223 114.035 ± 0.033814 588.762 ± 0.069025 1 -130.422 126.984 ± 0.034409 608.734 ± 0.070724 24 2 -140.187 114.089 ± 0.033512 588.849 ± 0.068555 3 -140.281 113.887 ± 0.033604 588.415 ± 0.068695 1 -137.704 117.345 ± 0.033823 593.818 ± 0.069254 96 2 -140.284 113.886 ± 0.033599 588.419 ± 0.068687 3 -140.308 113.842 ± 0.033603 588.336 ± 0.068690 Результаты решения спектральной задачи (2.24) для первых собственных значений = (), = 1, 2,..., 5, Re(1) Re(2)... на разных расчетных сетках при использовании различных конечно-элементных аппроксимаций показаны в табл.2.2. Собственные значения 2, 3, 4, 5, 9, 10 являются комплексными с малыми мнимыми частями, собственные значения 1, 6, 7, 8 — действительными .

Сами собственные значения Re(1) Re(2)... хорошо отделены друг от друга. В данном примере главное собственное значение отрицательно и поэтому главная гармоника будет нарастать, а все другие будут затухать. Тем самым выражен регулярный режим работы реактора. Сама величина = (1) определяет амплитуду развития нейтронного поля и непосредственно связана с периодом реактора в регулярном режиме .

Собственные функции для главного собственного значения ( = 1) спектральной задачи (2.24) показаны рис.2.3. Реальная часть собственных функций (1) (1) Рис. 2.3: Собственные функции 1 (слева) и 2 (справа) .

–  –  –

Ищется главное собственное значение = (1), причем Re(1) Re(2)... .

Результаты решения спектральной задачи (2.25) для первых собственных значений = (), = 1, 2,..., 5 на разных расчетных сетках при использовании различных конечно-элементных аппроксимаций показаны в табл.2.3. Как и в задаче без учета запаздывающих нейтронов, собственные значения 2, 3, 4, 5, 9, 10 для спектральной задачи (2.25) являются комплексными с малыми мнимыми частями, собственные значения 1, 6, 7, 8 — действительными .

Собственные функции для главного собственного значения ( = 1) спектральной задачи (2.25) показаны рис.2.6. Реальная часть собственных функций Таблица 2.3: Собственные значения = (), = 1, 2,..., 5 1 2, 3 4, 5 1 -0.22557 0.04241 ± 3.08808e-06 0.06588 ± 4.80448e-07 2 -2.10154 0.03592 ± 4.96474e-06 0.06452 ± 1.21320e-06 3 -2.47975 0.03561 ± 5.83719e-06 0.06445 ± 1.41869e-06 1 -0.82680 0.03777 ± 5.37884e-06 0.06489 ± 1.37315e-06 24 2 -2.46601 0.03562 ± 5.78277e-06 0.06445 ± 1.40897e-06 3 -2.50294 0.03559 ± 5.80783e-06 0.06444 ± 1.41341e-06 1 -1.74998 0.03619 ± 5.69002e-06 0.06456 ± 1.40299e-06 96 2 -2.50375 0.03559 ± 5.80693e-06 0.06444 ± 1.41324e-06 3 -2.51280 0.03558 ± 5.80954e-06 0.06444 ± 1.41362e-06

–  –  –

() 1, = 2, 3, 4, 5 приведена на рис.2.7. Мнимая часть этих собственных функций показана на рис.2.8. Снова главное собственное значение отрицательно и поэтому главная гармоника будет нарастать, а все другие будут затухать. Тем самым мы можем наблюдать регулярный режим работы реактора .

Выход на регулярный режим

–  –  –

При численном решении нестационарной задачи без учета запаздывающих нейтронов возьмем = 5 · 103. Будем варьировать шаг по времени: положим = 5 · 105, 1 · 104, 2 · 104, 4 · 104 в случае чисто неявной схемы (2.21) и схемы Рис. 2.10: Явно-неявная схема .

Рис. 2.11: Схема Кранка-Николсон .

Кранка-Николсон (2.23) и = 1.25 · 105, 2.5 · 105, 5 · 105, 1 · 104 в случае явно-неявной схемы (2.22). Эталонным решением ( ) для всех случаев будет приближенное решение при использовании чисто неявной схемы при = 1·105 .

= 0.0004 = 0.0001 = 0.005 = 0.0016

–  –  –

Зависимости () и () от используемого шага по времени приведена на рис.2.9 для чисто неявной схемы и на рис.2.10 для явно-неявной схемы. На рис.2.11 показаны зависимости () и () для схемы Кранка-Николсон. Чисто неявная схема (2.13) имеет существенно более высокую точность, чем явнонеявная схема (2.15). Как и ожидалось, схема Кранка-Николсон практически непригодна для моделирования регулярного режима в силу того, что она имеет плохие свойства асимптотической устойчивости .

= 0.0001 = 0.0004 = 0.0016 = 0.005

–  –  –

Далее на рис.2.12, 2.13 показаны отнормированые реперные решения 1 и 2 на моменты времени = 0.0001, 0.0004, 0.0016 и 0.005 секунд, которые иллюстрируют выход на регулярный режим .

Приведем аналогичные расчетные данные по динамической задаче с учетом запаздывающих нейтронов, когда = 1 · 102. Будем использовать шаги по времени = 1 · 104, 2 · 104, 4 · 104, 8 · 104 в случае чисто неявной схемы и = 5 · 106, 1 · 105, 2 · 105, 4 · 104 в случае явно-неявной схемы. Эталонным решением ( ) в этой задаче будет служить решение при чисто неявной аппроксимации по времени с шагом = 5 · 105 .

–  –  –

Зависимости () и () от используемого шага по времени приведена на рис.2.14 для чисто неявной схемы и на рис.2.15 — для явно-неявной схемы. Чисто неявная схема снова имеет существенно более высокую точность, чем явнонеявная схема. Приведены также (рис.2.16,2.17) отнормированые решения 1 и 2 на характерные моменты времени = 0.0001, 0.0004, 0.0016 и 0.0064 секунд .

2.4.2 Трехмерная модель реактора AER-2 с обратной связью Рассматривается трехмерная кинетическая тестовая задача AER-2 с обратной связью, которая была представлена на симпозиуме AER в 1993 г. [40]. Задача описывает выброс периферийного органа регулирования (ОР) системы управления и защиты (СУЗ) из активной зоны реактора ВВЭР-440 с включением в модель динамики простой обратной связи по тепло-гидравлическим параметрам .

Механизм обратной связи состоит в изменении нейтронно-физических свойств (сечения деления) при адиабатическом нагреве топлива, температура теплоносителя в ходе процесса остается неизменной .

Рис. 2.18: Радиальная геометрическая модель реактора ВВЭР-440 .

Рис. 2.19: Аксиальная геометрическая модель реактора ВВЭР-440 .

Геометрическая модель активной зоны ВВЭР-440 состоит из набора кассет гексагональной формы. На рисунке 2.18 представлено поперечное сечение активной зоны, где цифрами показаны кассеты различных сортов. Периферийная кассета, содержащая аварийный ОР СУЗ, показана на рисунке темно-красным цветом. На рисунке 2.19 приведена схема продольного сечения активной зоны реактора. Высота активной зоны составляет 250 см, размер кассеты "под ключ" равен 14.7 см. Боковой, нижний и верхний торцевые отражатели в этой задаче не моделируются .

Всего имеется 4 набора нейтронно-физических констант. Диффузионные нейтронно-физические константы при использовании двухгруппового приближения в общепринятых единицах приведены в таблице 2.4. На границе активной зоны определены альбедные граничные условия для групповых токов нейтронов (смотри таблицу 2.5). Характеристики запаздывающих нейтронов показаны в таблице 2.6. Скорость нейтронов 1 = 1.25 · 107 см/с и 2 = 2.5 · 105 см/с .

–  –  –

Механизм обратной связи для всех типов топлива моделируется с помощью следующей зависимости сечения деления тепловых нейтронов 2 от температуры топлива :

[ ] 1 + ( 0 ), 2 =

–  –  –

нейтронов при 0 = 260 C .

Температура топлива при адиабатическом нагреве определяется из решения следующего уравнения теплового баланса:

=, где – плотность топлива, – теплоемкость топлива, – удельное энерговыделение в топливе. Теплопередача от твэлов к теплоносителю, а также растечка тепла за счет теплопроводности по высоте твэла отсутствует. Все остальные нейтронно-физические константы не зависят от теплогидравлических параметров активной зоны. В таблице 2.7 приведены основные исходные данные, использованные при решении задачи AER-2 .

Реализуется следующий сценарий динамического процесса. В начальном состоянии все ОР СУЗ (включая ТВС с аварийным ОР СУЗ) погружены в активную зону на 200 см. В момент времени = 0 начинается извлечение из активной зоны с постоянной скоростью 12.5 м/с аварийного ОР СУЗ, который полностью извлекается через 0.16 с. Срабатывание аварийной защиты, а также процессы отравления и остаточного энерговыделения в этой задаче не моделируются. Длительность переходного процесса (с момента извлечения ОР СУЗ) составляет 2 секунды .

Таблица 2.7: Основные исходные данные .

–  –  –

Результаты расчетов Эффективность выброса управляющего стержня определяется по следующей формуле:

= 1, где и – эффективный коэффициент размножения в начальном состоянии и после выброса управляющего стержня, соответственно. Величина рассматривается как ценность выброса стержня и является определяющим фактором в изменении мощности реактора в ходе переходного процесса с выбросом ОР СУЗ .

Если учесть тот факт, что эффективность ОР СУЗ составляет 2, то небольшое различие в величинах, полученных по двум программам может привести к значительным расхождениям результатов. К примеру, 3%-различие в приведет к 30%-расхождению в пиковой мощности .

–  –  –

Результаты расчетов по диффузионной мелкосеточной программе CRONOS, которые официально не являются эталонным решением, мы использовали для сравнительного анализа стационарного распределения мощности в начальный момент времени и в конечный момент времени после выброса управляющего стерженя.

Далее, результаты полученные с помощью программы CRONOS используется в качестве эталона для сравнения с результатами, полученными другими программами:

() 1) · 100% .

= ( ( ) В таблице 2.8 приведены значения коэффициентов размножения реактора и эффективности извлекаемого ОР СУЗ, полученные по различным программам .

Использовались различные расчетные сетки, для программы CRONOS приведен результат для бесконечной сетки, полученные методом экстраполирования .

Рис. 2.20: Значение при = 1, 2 .

Результаты, полученные по ранним версиям программ DYN3D, KIKO3D и HEXTRAN демонстрируют отклонение в величине в диапазоне от 4.4% до 7.4%. Для новых усовершенствованных версий программ KIKO3DMG и DYN3D/HEXNEM2 это отклонение значительно ниже (правда, при использовании сверхмелкой сетки кодом KIKO3DMG). Результаты, полученные с использованием грубой сетки (6 треугольников в плане) и второго порядка конечных элементов, демонстрируют практическую пригодность. Результаты расчетов при первом и втором порядках конечного элемента, показаны на рисунке 2.20 .

Будем рассматривать распределения относительных мощностей ТВС, усредненных по высоте активной зоны. Нормировка распределений осуществляется на среднее значение. Таким образом, максимальное значение мощности ТВС соответствует радиальному коэффициенту неравномерности энерговыделения. На рисунках 2.21 и 2.22 представлено сравнение относительных мощностей ТВС, рассчитанных по программе CRONOS и при следующих параметрах = 6, = 20, = 2 для стартового состояния и после извлечения ОР СУЗ. Из рисунков видно что: для стартового состояния максимальное отклонение не превышает 2.8%, а для состояния после извлечения ОР СУЗ максимальное отклонение составляет 2.2% .

–  –  –

На рисунке 2.23 приведено сравнение результатов расчета мощности реактора полученных по различным программам, а на рисунке 2.24 результатами при = 24 и = 2, в ходе переходного процесса .

–  –  –

Рис. 2.24: Mощность при = 24, = 2 .

2.5 Выводы Рассмотрена нестационарная задача диффузии нейтронов в ядерном реакторе для многогруппового приближения. Выделена -спектральная задача, которая характеризует динамическое нейтронное поле ядерного реактора на асимптотической стадии при больших временах — регулярный режим .

Вычислительный алгоритм приближенного решения спектральных задач базируется на стандартной конечно-элементной аппроксимации по пространству при использовании лагранжевых конечных элементов степени = 1, 2, 3. Матричная спектральная задача решается с применением свободной библиотеки SLEPc. Контроль точности приближенного решения проводится на последовательности сгущающихся сеток с использованием конечных элементов различной степени .

Для приближенного решения нестационарной задачи использовались стандартная чисто неявная схема первого порядка аппроксимации и симметричная схема (схема Кранка-Николсон) второго порядка. Рассмотрена также явнонеявная схема, когда члены уравнения, описывающие генерацию нейтронов берутся с нижнего временного слоя. Такая схема удобна в плане вычислительной реализации, относительно стандартных схемы с весами .

Рассмотрена нестационарная задача диффузии нейтронов с выходом на регулярный режим в двух случаях: с учетом запаздывающих нейтронов и без учета запаздывающих нейтронов. Тестовые расчеты выполнены в двухмерном приближении для ядерного реактора ВВВЭР-1000 без отражателя с использованием двухгруппового диффузионного приближения. Установлена хорошая отделимость собственных значений в -спектральной задаче с учетом и без учета запаздывающих нейтронов. Наблюдается хорошая сходимость нестационарной задачи при уменьшении шага по времени для чисто неявной схемы. Явно-неявная схема сходится намного хуже, чем чисто неявная схема. Схема Кранка-Николсон хоть и имеет второй порядок аппроксимации, практически непригодна для моделирования регулярного режима ядерного реактора .

Рассмотрена трехмерная динамическая задача диффузии нейтронов с обратной связью. Проведены расчеты переходного процесса для теста AER-2 с использованием грубых сеток и конечных элементов первого и второго порядков .

Рассматривались результаты стационарных расчетов эффективности извлекаемого ОР СУЗ. В результате чего было выявлено, что использование конечных элементов первого порядка приводит к завышению стоимости выбрасываемого стержня, особенно при использовании грубых сеток. Вычисления с конечными элементами второго порядка дают более плавную зависимость от типа сетки. Результаты, полученные с использованием грубой сетки (6 треугольников в плане) и второго порядка конечных элементов, демонстрируют практическую пригодность. Приводятся результаты сравнения расчетов распределения мощности ТВС с результатами полученными с помощью различных инженерных программ .

Наблюдается сходимость результатов расчета мощности реактора для значений параметров n = 6 и p = 2. Данные результаты схожы с результатами полученными с помощью прогаммы KIKO3DMG .

Глава 3 Автоматический выбор шага по времени

Предлагается алгоритм выбора шага по времени при приближенном решении краевых задач для параболических уравнений. Само решение находится на основе использования безусловно устойчивых неявных схем, а выбор шага проводится на основе решения, которое получено с использованием явной схемы .

Явные расчетные формулы для шага по времени выведены на основе оценки погрешности аппроксимации на новом шаге по времени. Представлены результаты расчетов для модельной параболической краевой задачи и для задач диффузии нейтронов, которые демонстрируют работоспособность предлагаемого алгоритма выбора шага по времени [115] .

3.1 Введение Проблема контроля шага по времени относительно хорошо проработана при приближенном решении задачи Коши для систем дифференциальных уравнений [2, 32, 47]. Основной подход состоит в том, что на основе дополнительных расчетов оценивается погрешность приближенного решения на новом шаге. Шаг оценивается по теоретической асимптотической зависимости точности от шага по времени и после этого применяется решение о коррекции шага и при необходимости вычисления повторяются .

Дополнительные вычисления для оценки погрешности приближенного решения могут проводиться по-разному. В частности, можно получить приближенное решение с использованием двух различных схем, которые имеют один и тот же теоретический порядок точности. Наиболее известный пример такой стратегии связан с решением задачи на отдельном временном интервале с использованием заданного шага (первое решение) и с шагом в два раза меньшим (второе решение). При приближенном решении задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений получили широкое распространение вложенные методы, когда сравниваются два приближенных решения, которые имеют разный порядок точности .

Отмеченные способы выбора шага по времени относятся к классу методов апостериорной оценки точности. В данном случае решение о том, подходит ли шаг по времени, не нужно ли его изменить (увеличить, уменьшить и на сколько), о проведении повторного расчета принимается только после того, как расчет выполнен. Подобные стратегии мы можем использовать и на основе более продвинутого апостериорного анализа приближенного решения нестационарных краевых задач [8, 80, 107] .

В работе [104] рассматривается фактически априорный выбор шага по времени при приближенном решении краевых задач для параболических уравнений .

Некоторые более общие задачи рассмотрены в статье [103]. Для нахождения решения на новом слое используется стандартная неявная схема Эйлера. Шаг по времени на новом временном слое явно рассчитывается по решению на двух предыдущих слоях по времени и учитывает изменение коэффициентов уравнения и правой части. В данной работе развивается этот подход выбора шага по времени проведенный на основе оценки погрешности аппроксимации .

3.2 Модельная параболическая задача Описывается алгоритм выбора шага по времени при приближенном решении параболической задачи. Ранее (смотри [103, 104]) проводилась оценка шага на основе сравнения численных решений — по оценке погрешности приближенного решения. В нашем случае применяется более прямой подход на основе оценки погрешности аппроксимации .

3.2.1 Постановка задачи

–  –  –

(3.2) (0) = 0 .

–  –  –

Для численного решения нестационарной задачи используется неравномерная сетка по времени:

0 = 0, +1 = + +1, = .

= 0, 1,..., 1, Будем использовать обозначения = ( ). При приближенном решении задачи (3.1), (3.2) применяется чисто неявна схема, когда переход с одного временного слоя на другой проводиться на основе +1 + +1 +1 = +1, = 0, 1,..., 1, (3.4) +1

–  –  –

Для приближенного решения при ограничениях +1 0 из (3.4) непосредственно следует послойная оценка:

+1 + +1 +1 .

–  –  –

для задачи (3.4), (3.5). Для погрешности приближенного решения = имеем задачу +1 + +1 +1 = +1, = 0, 1,..., 1, +1 0 = 0 .

Здесь +1 — погрешность аппроксимации:

–  –  –

С учетом этого, при контроле погрешности можно ориентироваться на суммарную погрешность +1 на интервале +1. В этом случае число определяет одинаковый уровень погрешности на всем интервале интегрирования. Для погрешности приближенного решения из (3.8) имеем оценку +1 +1 .

Погрешность накапливается и растет линейно со временем .

Основная особенность нашего подхода состоит в том, что численное решение нестационарной задачи находится с помощью безусловно устойчивой неявной схемы. С этой схемой связаны основные вычислительные затраты для перехода на новый временной слой. Явная схема является вычислительно эффективной и условно устойчивой, или просто неустойчивой для используемых шагов по времени. Она фактически используется только для того, чтобы оценить невязку неявной схемы. Следовательно, устойчивость нашего алгоритма не нарушается, она полностью определяется свойствами основной неявной схемы .

3.2.2 Алгоритм оценки шага по времени В силу оценки для погрешности приближенного решения (3.8), накопление ошибок при переходе со слоя по времени на новый временный слой +1 регулируется по правилу +1 + +1 +1 .

В силу этого, мы должны контролировать локальную погрешность +1 .

В случае если возможно вычисление погрешности аппроксимации +1, то является возможным получение апостериорной оценки погрешности. Сравнивая +1 c заданным уровнем погрешности можно судить о качестве выбора шага по времени +1. А именно, если +1 существенно больше (меньше), то шаг по времени взят слишком большим (малым), и если +1 близко к, то шаг по времени оптимален.

Тем самым:

+1 : +1. (3.9) Проблема в том, что невозможно вычислить погрешность аппроксимации, так как она определяется по точному решению, которое неизвестно. В силу этого необходимо ориентироваться на те или иные оценки погрешности аппроксимации, на выполнение в той или иной мере (3.9) .

Общий подход к адаптивному выбору шага по времени при приближенном решении нестационарных задач включает в себя следующие основные элементы:

выбор прогнозного временного шага на основе анализа решения на предыдущих шагах по времени;

проведения расчетов с прогнозным шагом по времени;

проведения анализа точности полученного приближенного решения и проведения перерасчета с меньшим шагом времени, если это необходимо .

Это общая стратегия обычно реализуется (смотри, например, [2, 32, 47]) с помощью асимптотического анализа для погрешности приближенного решения при условии, что ошибка не существенно изменяться по времени. Отметим основные отличительные особенности нашего подхода к выбору шага времени .

В нашем случае прогнозный временной шаг фиксируется — желательно увеличить шаг по времени, отталкиваясь от текущего шага. Чтобы оценить шаг на новом слое по времени (во время перехода от момента времени на следующий момент времени +1 ), ориентируемся на предыдущий шаг по времени = 1. Прежде всего, исследуется возможность использовать больший временной шаг на новом слое по времени.

В связи с этим прогнозируемый шаг по времени определяется следующим образом:

+1 =, (3.10) где является числовым параметром алгоритма. Коэффициент для максимального увеличения шага по времени задается равным, например, 1.25 или 1.5. Параметры задачи (коэффициенты уравнения и правая часть, их изменение) оцениваются на интервале [, + +1 ]. При оценке шага по времени необходимо не пропустить момент времени, когда наблюдаются существенные изменения в параметрах задачи .

Выбор временного шага при ограничении +1 выполняется с использованием расчетных формул на основе оценки погрешности аппроксимации на новом уровне времени. Приближенное решение на новом временном уровне находиться из неявной схемы (3.4), в то время как оценка шага по времени осуществляется с помощью явной схемы. Обе схемы, явная и неявная, имеют один и тот же порядок аппроксимации, и новое приближенное решение рассчитывается с одним и тем же начальным условием (на момент времени = ). Проводится расчет только на один шаг по времени и, поэтому, возможная вычислительная неустойчивость для явной схемы не проявляется .

Предлагается использовать следующую стратегию коррекции шага по времени. Шаг +1 выбирается из условий:

Прогнозное решение. С использованием явной схемы находиться решение +1 на момент времени +1 = + +1 ;

Погрешность аппроксимации. По найденному +1 c использованием неявной схемы оценивается погрешность аппроксимации;

Выбор шага. Шаг +1 оценивается по близости нормы погрешности к — условие (3.9) .

Приведем расчетные формулы выбора шага по времени. Прогнозное решение +1 определяется из

–  –  –

+1 +1 = +1 +1 +1 .

(3.12) +1

Здесь используются следующие обозначения:

+1 = ( + ), +1 = ( + ) .

–  –  –

+1 = +1, (3.13) +1 = .

+1 Искомый шаг по времени не может превышать прогнозный, поэтому +1 +1, +1 +1 .

Естественно ограничить допустимый шаг по времени снизу некоторым минимальным шагом 0. В силу этого положим

–  –  –

Конкретизируем расчетные формулы алгоритма выбора шага в соответствии с (3.11)–(3.14). Подстановка (3.12) в (3.13) дает +1 = +1 +1 +1 + = +1 (+1 ) +1 (+1 ) ( ) +1 +1 +1 +1 = +1 .

+1 +1 +1

–  –  –

+1 +1 (+1 ) +1 (+1 ). (3.15) Принимая во внимание (3.15) из (3.13) получаем расчетную формулу для шага по времени (3.14), в которой (3.16) +1 = .

+1 (+1 ) +1 (+1 ) В этой формуле (в знаменателе в выражении для +1 ) явно отражены корректирующие мероприятия по выбору шага по времени, которые связаны с изменением со временем правой части (первая часть) и оператора задачи (вторая часть), с динамикой самого решения (третья часть) .

Близкие формулы для выбора шага по времени были получены ранее в работах [103, 104] на основе оценки изменения приближенного решения, которое получено после двух вспомогательных шагов с прогнозным шагом по времени .

Первый шаг вперед делается по явной схеме, второй — по явной схеме назад .

Здесь мы опираемся на более простую и более общую процедуру оценки погрешности аппроксимации на прогнозном шаге по времени по приближенному решению, которое было получено по одному шагу вперед с использованием явной схемы .

3.2.3 Обобщения

Предложенный подход к выбору шага по времени может быть применен во многих других задачах. Мы отмечаем наиболее простые возможности, которые связаны с использованием схем второго порядка аппроксимации по времени для приближенного решения модельной задачи (3.1), (3.2) .

Для численного решения краевой задачи для параболического уравнения (3.1), (3.2) можно использовать не чисто неявную схему (3.4), а симметричную схему (схему Кранка-Николсон):

–  –  –

+1 +1 2 +1 + +1 + (3.18) ( ) = .

+1 2 2 2 Вместо (3.18) возможно использование других явных схем Рунге–Кутта второго порядка точности .

Вторая интересная возможность связана с использованием трехслойных схем второго порядка точности. Трехслойную схему на неравномерной сетке по времени запишем в виде +1 1 + =, + (1 ) = 1, 2,..., 1, (3.19) +1 при заданных 0 и 1. Решение 1 рассчитывается с минимальным шагом: 1 =

0. Для весового параметра имеем = .

1 +

–  –  –

0, (3.23) (0, ) = 0, (1, ) = 0, (, 0) = 0 (), (3.24) 0 1 .

–  –  –

Для базового варианта положим = 100, = 10, = 0.5 .

Задача решается на сетке = 100, расчеты выполняются при задании достаточно малого начального шага по времени: 1 = 0 = 1 · 106. В этой главе рассматриваются проблемы аппроксимации по времени и поэтому расчетная сетка по пространству не варьировалась .

Точность приближенного решения оценивалась по эталонному решению, в качестве которого мы используем численное решение на достаточно подробной сетке по времени ( = 1 · 107 ). Погрешность оценивается в норме 2 () (2 = · ) или в () ( = · ), причем = max |()| .

Вначале приведем данные о погрешности приближенного решения при использовании равномерных сеток по времени. На рис. 3.1 показана зависимость точности в норме 2 (), а на рис. 3.2 — в (). Приведенные данные демонстрируют падение точности в начале расчетного процесса, повышенный уровень погрешности в точке = 0.05 (разрыв правой части ()) и в точке = 0.075 (разрыв младшего коэффициента уравнения ()). Успешная стратегия выбора шага по времени должны улавливать отмеченные особенности: расчет с малым шагом по времени в правой окрестности = 0 и в окрестности = 0.05, = 0.075 .

Рис. 3.1: Погрешность в 2 () на равномерной сетке

Уровень погрешности аппроксимации определяется с учетом того, что =

0.1 и приближенное решение определяется на единичном интервале по, имея амплитуду решения порядка 1. На рис. 3.3 показаны шаги по времени, которые определяются согласно (3.13), (3.14) при использовании нормы 2 () для оценки погрешности аппроксимации. Для параметра увеличения шага по времени положим = 1.5. Полученная при этом точность при задании различного уровня погрешности аппроксимации представлена на рис. 3.4. Расчет начинается с малого шага, и он постепенно увеличивается, в окрестности = 0.05 происходит переход на существенно более мелкий шаг по времени, наблюдается также сброс шага по времени в окрестности = 0.075. Точность приближенного решения существенно увеличивается при малых временах, фактически нет потери точности в окрестности разрыва правой части и коэффициента уравнения .

Рис. 3.2: Погрешность в () на равномерной сетке

–  –  –

Подобные данные получены при использовании нормы () для оценки уровня погрешности аппроксимации. Можно сопоставить рис. 3.5 и рис. 3.3, рис. 3.6 и рис. 3.4. Видно, что в данном случае начальный (минимальный) шаг должен быть уменьшен для повышения точности приближенного решения для малых. Снова наблюдается ярко выраженная смена шага по времени при =

0.05 и = 0.075 — при разрывах правой части и коэффициента уравнения. Тем самым алгоритм выбора шага по времени работает при выборе различных норм для оценки уровня погрешности аппроксимации .

Прогнозное решение находится по явной схеме (3.11), которая имеет первый порядок точности, как и неявная расчетная схема (3.4). Мы можем использовать и более точные разностные схемы для нахождения прогнозного решения. На рис. 3.7 и рис. 3.8 приведены, например, результаты расчетов при использовании трехслойной явной схемы (3.19) .

Сравнение с данными при использовании явной схемы (3.11) (смотри рис. 3.3, 3.4) показывает, что основные тенденции по выбору шага по времени, достигаемой точности остаются теми же .

Рис. 3.5: Шаги сетки по времени — () Рис. 3.6: Погрешность в () на неравномерной сетке

–  –  –

Рис. 3.8: Погрешность при использовании трехслойной схемы для прогноза Рис. 3.9: Шаги сетки по времени при различных Рис. 3.10: Погрешность при различных Среди основных параметров предложенного алгоритма можно отметить, который связан с выбором прогнозного шага. Как показывают данные на рис. 3.9, 3.10 влияние параметра увеличения шага по времени незначительно .

Отдельного внимания заслуживает исследование влияния начальных условий — параметра. Типичной является ситуация с наличием пограничного слоя, что требует использования мелкого шага при небольших временах. При = 1 мы имеем более благоприятную ситуацию с погрешностью при малых (смотри рис. 3.11). Неравномерная сетка и точность приближенного решения приведены на рис. 3.12, 3.13. В данном случае на начальном участке процесса погрешность малая, что хорошо отрабатывается алгоритмом выбора шага по времени. Влияние других параметров задачи ( и ) не столь кардинальное .

Рис. 3.11: Погрешность на равномерной сетке при = 1

Приведем результаты расчетов при численном решении модельной параболической задачи (3.22)–(3.24) с использованием схемы второго порядка (3.17) .

Точность приближенного решения на равномерной сетке по времени показана рис. 3.14. Использовался алгоритм выбора шага по времени (3.14), (3.21) на основе трехслойной схемы (3.19). Вырабатываемый шаг по времени показан на Рис. 3.12: Шаги сетки по времени при = 1

–  –  –

Рис. 3.14: Погрешность на равномерной сетке для схемы Кранка–Николсон Рис. 3.15: Шаги сетки по времени для схемы Кранка–Николсон Рис. 3.16: Погрешность для схемы Кранка–Николсон рис. 3.15, точность приближенного решения на неравномерной сетке иллюстрируется рис. 3.16. Сравнение рис. 3.15 и рис. 3.14 показывает, что на достаточно небольших неравномерных сетках по времени мы получаем решение с существенно более высокой точностью .

3.3 Одногрупповая диффузионная задача Для проверки алгоритма шага по времени рассматривается двухмерный тест в одногрупповом приближении. В данной главе обсуждаются проблемы аппроксимации по времени и поэтому расчетная сетка по пространству не варьировалась. Программное обеспечение написано с использованием вычислительной платформы FEniCS. Для решения спектральных задач с несимметричными матрицами применяется библиотеку SLEPc .

3.3.1 Постановка задачи

–  –  –

(, 0) = 0 (), (, 0) = 0 (). (3.27) Для приближенного решения задачи (3.25)–(3.27) используем конечноэлементную аппроксимацию по пространству. Разберем, например, аппроксимацию по пространству для чисто неявной схемы (3.4). Пусть 1 () — пространство Соболева, состоящее из скалярных функций таких, что 2 и ||2 имеют конечный интеграл в. Для векторных функций = {1, 2 } определим аналогично = 1 (). Для тестовых функций используем обозначения,. В вариационной форме задача (3.25) имеет вид: найти,, для которых имеет место 1 +1 +1 +1 + +1 + +1 +1 + +1 = (1 )+1 +1 + +1, +1 + +1 = +1 +1 .

+1 (3.28)

–  –  –

Далее переходим из непрерывной вариационной задачи (3.28) к дискретной задаче. Введем конечномерное пространство конечных элементов .

Дискретная вариационная задача формулируется следующим образом: найти +1, +1, такие, что 1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 + + + +1 = (1 )+1 +1 + +1, +1 + +1 = +1 +1 .

+1 (3.29) для всех,. Скалярные функции (компоненты векторных функций) аппроксимируются на треугольной сетке с использованием лагранжевых конечных элементов .

3.3.2 Оценка шага по времени

–  –  –

1 +1 +1 · +1 +1 + +1 +1 1 = +1 (1 )+1 +1 +1, (3.30) +1 +1 + +1 +1 +1, 2 = +1 где +1 = {+1, +1 } — точное решение. Приведем расчетные формулы выбора шага по времени. Прогнозное решение определяется из

–  –  –

+1 +1 1 · +1 +1 + +1 +1 1 = +1 (1 )+1 +1 +1, (3.32) +1 +1 + +1 +1 +1 .

2 = +1

–  –  –

+1 = +1, (3.33) +1 = .

+1 Искомый шаг по времени не может превышать прогнозный, поэтому +1 +1, +1 +1 .

Естественно ограничим допустимый шаг по времени снизу минимальным шагом

0. В силу этого положим

–  –  –

Конкретизируем расчетные формулы алгоритма выбора шага в соответствии с (3.31)–(3.34). Подстановка (3.33) в (3.34) дает 1 = ( · +1 + +1 (1 )+1 + · + (1 ) ) +1 + ( · +1 + +1 (1 )+1 )(+1 ) (+1 ) .

2 = (+1 + ) + (+1 ) +1 (+1 ) .

+1

Перепишем для удобства в операторном виде:

–  –  –

+1 (+1 ) + +1 (+1 ). (3.35) Принимая во внимание (3.35) из (3.33) получаем расчетную формулу для шага по времени (3.34), в которой (3.36) +1 = .

(+1 ) + +1 (+1 ) В этой формуле (знаменатель в выражении для +1 ) явно отражены корректирующие мероприятия по выбору шага по времени, которые связаны с изменением оператора задачи (первая часть), с динамикой самого решения (вторая часть) .

3.3.3 Модифицированный тест IAEA-2D Рассматривается модифицированный тест IAEA-2D [21] без отражателя в одногрупповом приближении. Активная зона имеет 13 стержней СУЗ. Размер ТВС "под ключ" 20 см, отражатель отсутствует. На рисунке 3.17 приведена геометрия расчетного теста в плане. Граничные условия задаются в виде логарифмической производной ( = 0.5). Нейтронно-физические константы приведены в таблице

3.1. Характеристика запаздывающих нейтронов: эффективная доля = 6.5 · 103 ;

постоянная распада = 0.081 ; скорость нейтронов = 1.0 · 106 см/с .

Таблица 3.1: Диффузионные константы для ВВЭР-1000 .

–  –  –

На базе теста IAEA-2D разработан динамический тест, в котором нестационарный процесс обусловлен скачкообразным изменением сечения поглощения материала № 3. Моделируется эффект от погружения или извлечения стержней Рис. 3.17: Геометрическая модель активной зоны реактора IAEA .

–  –  –

где – коэффициент нормировки на заданное значение интегральной мощности .

3.3.4 Результаты расчетов Точность решения оценивалась по эталонному решению, в качестве которого используется численное решение на достаточно подробной сетке по времени ( = 1 · 105 ) по чисто-неявной схеме с фиксированным шагом. Начальное значение составило 1.0005063. На рисунке 3.18 и 3.19 показаны интегральные мощности при погружении и при извлечении стержней соответственно .

–  –  –

Погрешность оценивается в виде () = | |, где — эталонное решение, — решение полученное при использовании алгоритма выбора шага по времени. В качестве минимального шага по времени взяли шаг эталонного решения 0 = .

На рисунках 3.20, 3.21 показана погрешность при погружении стержней и при извлечении стержней соответственно, при различных значениях параметра. Здесь видно, что погрешность сходится при уменьшении параметра .

На рисунке 3.22 показаны шаги по времени при погружении стержней, а на Рис. 3.19: Мощность при извлечении стержней .

рисунке 3.23 при извлечении стержней, при разных значениях параметра .

Видно, что сначала идет быстрый рост шага по времени с заданной точностью .

Потом происходит улавливание резкого изменения мощности с сильным уменьшением шага по времени. Далее, шаг по времени растет до определенного момента и остается на одном уровне, который контролируется погрешностью .

–  –  –

В таблице 3.2 приведены различные выходные данные при различных значениях параметра, где max( ) – максимальная погрешность мощности, – количество шагов по времени, – время расчета в секундах.

Эталонное решение:

количество шагов по времени — 50000, время счета — 2130 секунд .

Рис. 3.20: Погрешность при погружении стержней .

Рис. 3.21: Погрешность при извлечении стержней .

Рис. 3.22: Шаги по времени при погружении стержней .

Рис. 3.23: Шаги по времени при извлечении стержней

3.4 Двухгрупповая диффузионная задача Для проверки алгоритма шага по времени рассматривается двухмерный тест в двухгрупповом приближении. В данной главе обсуждаются проблемы аппроксимации по времени и поэтому расчетная сетка по пространству не варьировалась. Программное обеспечение написано с использованием вычислительной платформы FEniCS. Для решения спектральных задач с несимметричными матрицами применяется библиотеку SLEPc .

3.4.1 Постановка задачи

–  –  –

Здесь 1 (, ), 2 (, ), — поток нейтронов 1 и 2 группы в точке на момент времени, 1, 2 — эффективная скорость нейтронов 1 и 2 группы, 1 (, 2 ()) — коэффициент диффузии для 1 и 2 группы, — оператор градиента, 1 (, ), 2 (, ) — сечение поглощения для 1 и 2 группы,,12 (, ) — сечение рассеяния нейтронов из группы 1 в группу 2, 1 (, ), 2 (, ) — сечение генерации для 1 и 2 группы, — эффективная доля запаздывающих нейтронов, — плотность источников запаздывающих нейтронов, — постоянная распада .

На границе области ставятся условия альбедного типа:

–  –  –

(, 0) = 0 (), (, 0) = 0 (), (3.39) = 1, 2, = 1, 2 .

Для приближенного решения задачи (3.37)–(3.39) используется конечноэлементная аппроксимация по пространству, которая была рассмотрена в предыдущем параграфе (смотри 3.28) .

3.4.2 Оценка шага по времени

–  –  –

+1 +1 = 1 1 1 · +1 +1 + +1 +1 + +1 +1 1 1 1 1 1,12 1 1 +1 (1 )(+1 +1 + +1 +1 ) +1, (3.42) +1 +1 = 1 2 2 · +1 +1 + +1 +1 +1 +1, 2 2 2 2 2,12 1 2 +1 +1 +1 + +1 (+1 +1 + +1 +1 ) .

3 = 1 1 2 2 +1

–  –  –

Искомый шаг по времени не может превышать прогнозный, поэтому +1 +1, +1 +1 .

Естественно ограничим допустимый шаг по времени снизу минимальным шагом

0. В силу этого положим

–  –  –

+1 = +1 +1 0, = 0, +1 +1 +1 11 = · 1 + 1 +,12 (1 ) 1, 12 = (1 ) 2, 13 =, 21 =,12, 22 = · 2 + 2, 31 = 1, 32 = 2, 33 = .

–  –  –

В силу этого положим +1 (+1 ) + +1 (+1 ). (3.45) Принимая во внимание (3.45) из (3.43) получаем расчетную формулу для шага по времени (3.44), в которой (3.46) +1 = .

(+1 ) + +1 (+1 ) В этой формуле (знаменатель в выражении для +1 ) явно отражены корректирующие мероприятия по выбору шага по времени, которые связаны с изменением оператора задачи (первая часть), с динамикой самого решения (вторая часть) .

3.4.3 Модифицированный тест IAEA-2D Рассматривается модифицированный тест IAEA-2D, который был представлен в разделе 3.3.3, но в двухгрупповом приближении. Активная зона имеет 13 стержней СУЗ. Размер ТВС "под ключ" 20 см; отражатель отсутствует. На рисунке 3.17 приведена геометрия расчетного теста в плане. Граничные условия задаются в виде логарифмической производной ( = 0.5). Нейтронно-физические константы приведены в таблице 3.3. В тесте используется упрощенная модель с одной группой запаздывающих нейтронов: эффективная доля запаздывающих нейтронов = 6.5 · 103, постоянная распада = 0.081. Групповые скорости нейтронов для всех материалов приняты равными 1 = 1.25 · 107 см/c и 2 = 2.5 · 105 см/c, соответственно .

Таблица 3.3: Диффузионные константы для модифицированного теста IAEA-2D .

–  –  –

где – коэффициент нормировки на заданное значение интегральной мощности .

3.4.4 Результаты Точность решения оценивалась по эталонному решению, в качестве которого используется численное решение на достаточно подробной сетке по времени ( = 1 · 105 ) по чисто-неявной схеме с фиксированным шагом. Начальное значение составило 1.0004986. На рисунке 3.24 и 3.25 показаны интегральные мощности при погружении и при извлечении стержней соответственно .

–  –  –

Погрешность оценивается в виде () = | |, где — эталонное решение, — решение полученное при использовании алгоритма выбора шага по времени. В качестве минимального шага по времени взяли шаг эталонного решения 0 =. На рисунках 3.26, 3.27 показана погрешность при погружении стержней и при извлечении стержней соответственно, при различных значениях параметра. Здесь видно, что погрешность сходится при уменьшении параметра .

На рисунке 3.28 показаны шаги по времени при погружении стержней, а на Рис. 3.25: Мощность при извлечении стержней .

рисунке 3.29 при извлечении стержней, при разных значениях параметра .

Видно, что вначале идет быстрый рост шага по времени с заданной точностью. Потом происходит "улавливание" резкого изменения мощности с сильным уменьшением шага по времени. Далее, шаг по времени растет до определенного момента и остается на одном уровне, который контролируется погрешностью .

В таблице 3.4 приведены различные выходные данные при различных значениях параметра, где max( ) – максимальная погрешность мощности, – количество шагов по времени, – время расчета в секундах.

Эталонное решение:

количество шагов по времени — 50000, время счета — 2150 секунд .

–  –  –

Рис. 3.26: Погрешность при погружении стержней .

Рис. 3.27: Погрешность при извлечении стержней .

Рис. 3.28: Шаги по времени при погружении стержней .

Рис. 3.29: Шаги по времени при извлечении стержней

3.5 Выводы Разработан алгоритм выбора шага по времени. Основной особенностью алгоритма является: выбор прогнозного шага по времени происходит на основе анализа решения по явной схеме; численное решение нестационарной задачи находится с помощью безусловно устойчивой неявной схемы, с которой связаны основные вычислительные затраты .

Для проверки алгоритма были проведены численные тесты для модельной параболической задачи, для одногрупповой и двухгрупповой диффузионной задачи. В модельной параболической задаче наглядно видно, что на достаточно небольших неравномерных сетках по времени получается решение с существенно с более высокой точностью. Алгоритм хорошо себя показывает при наличии пограничных слоев и хорошо отрабатывает погрешность начального условия .

В диффузионных задачах проведенные расчеты демонстрируют сходимость решения при уменьшении погрешности. Можно отметить, что происходит улавливание резкого изменения мощности с уменьшением шага по времени. Наблюдается заметный выигрыш времени расчета относительно мелкой сетки по времени при достаточной точности .

Заключение

Основные научные результаты, полученные в работе, формулируются следующим образом:

1. Численно решены спектральные задачи, которые характеризуют динамическое нейтронное поле ядерного реактора. Вычислительные алгоритмы приближенного решения спектральных задач базируется на стандартной конечно-элементной аппроксимации. В рамках многогруппового диффузионного приближения рассматривалась стандартная -спектральная задача, которая связана с определением эффективного коэффициента размножения. Значительно более информативной при рассмотрении динамических процессов является -спектральная задача. С фундаментальным собственным значением и соответствующей ей собственной функцией можно связать динамику реактора на асимптотической стадии при больших временах. Сформулирована новая спектральная задача (-спектральная задача), которая связана с самосопряженной частью оператора поглощенияпроизводства нейтронов. С помощью нее можно получить априорную оценку для решения задачи динамики нейтронного поля .

2. Проведено исследование разностных схем для моделирования динамического нейтронного поля ядерного реактора на асимптотической стадии при больших временах — регулярный режим. Наблюдается хорошая сходимость нестационарной задачи при уменьшении шага по времени для чисто неявной схемы. Явно-неявная схема (члены уравнения описывающие генерацию нейтронов берутся с нижнего временного слоя) сходится намного хуже, чем чисто неявная схема. Схема Кранка-Николсон хоть и имеет второй порядок аппроксимации, практически непригодна для моделирования регулярного режима ядерного реактора .

3. Разработан алгоритм автоматического выбора шага по времени при приближенном решении краевых задач для параболических уравнений. Основной особенностью алгоритма является: выбор шага по времени происходит на основе анализа решения по явной схеме; численное решение нестационарной задачи находится с помощью безусловно устойчивой неявной схемы, с которой связаны основные вычислительные затраты. Работоспособность предложенного алгоритма выбора шага по времени продемонстрирована при численном решении нестационарных задач диффузии нейтронов в ядерном реакторе .

–  –  –

1. Ames W. F. Numerical methods for partial differential equations. — Academic press, 2014 .

2. Ascher U. M. Computer methods for ordinary differential equations and differential-algebraic equations. — Society for Industrial Mathematics, 1998 .

3. Ascher U. M. Numerical methods for evolutionary differential equations. — Society for Industrial Mathematics, 2008 .

4. Avvakumov A. V., Strizhov V. F., Vabishchevich P. N. et al. Algorithms for Numerical Simulation of Non-stationary Neutron Diffusion Problems // International Conference on Numerical Analysis and Its Applications / Springer. — 2016. — P. 212–219 .

5. Avvakumov A. V., Strizhov V. F., Vabishchevich P. N. et al. Spectral properties of dynamic processes in a nuclear reactor // Annals of Nuclear Energy. — 2017. — Vol. 99. — P. 68–79 .

6. Avvakumov A. V., Vabishchevich P. N., Vasilev A. O. et al. Solution of the neutronics code dynamic benchmark by finite element method // AIP Conference Proceedings / AIP Publishing. — Vol. 1773. — 2016. — P. 110003 .

7. Balay S., Brown J., Buschelman K. et al. PETSc users manual revision 3.3 // Computer Science Division, Argonne National Laboratory, Argonne, IL. — 2012 .

8. Bangerth W., Rannacher R. Adaptive finite element methods for differential equations. — Springer, 2003 .

–  –  –

10. Baudron A.-M., Lautard J.-J., Maday Y. et al. Parareal in time 3D numerical solver for the LWR Benchmark neutron diffusion transient model // Journal of Computational Physics. — 2014. — Vol. 279. — P. 67–79 .

11. Beckurts K. H., Wirtz K. Neutron Physics. — Springer Verlag, 1964 .

12. Bell G. I., Glasstone S. Nuclear Reactor Theory. — Van Nostrand Reinhold Company, 1970 .

13. Bennewitz F., Finnemann H., Wagner M. R. Higher order corrections in nodal reactor calculations // Transactions of the American Nuclear Society. — 1975. — Vol. 22 .

14. Blanchon F., Ha-Duong T., Planchard J. Numerical methods for solving the reactor kinetic equations // Progress in Nuclear Energy. — 1988. — Vol. 22, no. 2. — P. 173–180 .

15. Bolshov L., Strizhov V. SOCRAT: The System of Codes for Realistic Analysis of Severe Accidents. — American Nuclear Society - ANS, 2006 .

16. Brantley P. S., Larsen E. W. The simplified P 3 approximation // Nuclear Science and Engineering. — 2000. — Vol. 134, no. 1. — P. 1–21 .

17. Brenner S. C., Scott L. R. The mathematical theory of finite element methods. — Springer, 2008 .

18. Briesmeister J. F. et al. MCNP–A general Monte Carlo code for neutron and photon transport. — Los Alamos National Laboratory, 1986 .

19. Buckner M. R., Stewart J. W. Multidimensional Space-Time Nuclear-Reactor Kinetics Studies—Part I: Theoretical // Nuclear Science and Engineering. — 1976. — Vol. 59, no. 4. — P. 289–297 .

20. Butcher J. C. Numerical methods for ordinary differential equations. — Wiley, 2008 .

21. Chao Y. A., Shatilla Y. A. Conformal mapping and hexagonal nodal methodsII: Implementation in the ANC-H Code. // Nuclear Science and Engineering. — 1995. — Vol. 121. — P. 210–225 .

22. Cho N. Z. Fundamentals and recent developments of reactor physics methods // Nuclear Engineering and Technology. — 2005. — Vol. 37, no. 1. — P. 25–78 .

23. Chou H. P., Lu J. R., Chang M. B. A three-dimensional space-time model and its use in pressurized water reactor rod ejection analyses // Nuclear Technology. — 1990. — Vol. 90, no. 2. — P. 142–154 .

24. Ciarlet P. G. The finite element method for elliptic problems. — SIAM, 2002 .

25. Dahmani M., Baudron A. M., Lautard J. J. et al. A 3D nodal mixed dual method for nuclear reactor kinetics with improved quasistatic model and a semi-implicit scheme to solve the precursor equations // Annals of Nuclear Energy. — 2001. — Vol. 28, no. 8. — P. 805–824 .

26. Devooght J. Quasistatic solutions of reactor kinetics // Annals of nuclear energy. — 1980. — Vol. 7, no. 1. — P. 47–58 .

27. Devooght J., Mund E. Generalized quasi-static method for nuclear reactor spacetime kinetics // Nuclear Science and Engineering. — 1980. — Vol. 76, no. 1. — P. 10–17 .

–  –  –

29. Dodds Jr H. L. Accuracy of the quasistatic method for two-dimensional thermal reactor transients with feedback // Nuclear Science and Engineering. — 1976. — Vol. 59, no. 3. — P. 271–276 .

30. Duderstadt J. J., Hamilton L. J. Nuclear Reactor Analysis. — Wiley, 1976 .

31. Evans L. C. Partial Differential Equations. — American Mathematical Society, 1998 .

32. Gear C. W. Numerical initial value problems in ordinary differential equations. — New York : Prentice Hall, 1971 .

33. A quasi-static polynomial nodal method for nuclear reactor analysis : Rep. / Oak Ridge Inst. for Science and Education, TN (United States); Massachusetts Inst. of Tech., Cambridge, MA (United States) ; Executor: J. C. Gehin : 1992 .

34. Golub G. H., Van Loan C. F. Matrix Computations. — 4 edition. — Johns Hopkins University Press, 2012 .

35. Goluoglu S., Dodds H. L. A time-dependent, three-dimensional neutron transport methodology // Nuclear Science and Engineering. — 2001. — Vol. 139, no. 3. — P. 248–261 .

–  –  –

37. Greenbaum A. Iterative methods for solving linear systems. — SIAM, 1997 .

38. Grossman L. M., Hennart J.-P. Nodal diffusion methods for space-time neutron kinetics // Progress in Nuclear Energy. — 2007. — Vol. 49, no. 3. — P. 181–216 .

39. Grundmann U. The numerical analysis of eigenvalue problem solutions in the multigroup neutron diffusion theory // Progress in Nuclear Energy. — 1985. — Vol. 33, no. 3. — P. 301–391 .

40. Grundmann U., Rohde U. Definition of the second kinetic benchmark of AER // Proc. of the Third Symposium of AER. — 1993. — P. 325 .

41. Grundmann U., Rohde U., Mittag S. DYN3D–three dimensional core model for steady-state and transient analysis of thermal reactors // Proceedings of the 2000 ANS International Topical Meeting on Advances in Reactor Physics and Mathematics and Computation into the Next Millennium (PHYSOR 2000), Pittsburgh (USA). — 2000 .

42. Gu rin P., Baudron A.-M., Lautard J.-J. Domain decomposition methods for e the neutron diffusion problem // Mathematics and Computers in Simulation. — 2010. — Vol. 80, no. 11. — P. 2159–2167 .

43. Gupta N. K. Nodal methods for three-dimensional simulators // Progress in Nuclear Energy. — 1981. — Vol. 7. — P. 127–149 .

44. Habetler G. J., Martino M. A. Existence theorems and spectral theory for the multigroup diffusion model // Nuclear Reactor Theory, Proceedings of Symposia in Applied Mathematics. — Vol. 11. — 1961. — P. 127–139 .

45. Hageman L. A., Yasinsky J. B. Comparison of alternating-direction timedifferencing methods with other implicit methods for the solution of the neutron group-diffusion equations // Nuclear Science and Engineering. — 1969. — Vol. 38, no. 1. — P. 8–32 .

46. Hageman L. A., Young D. M. Applied Iterative Methods. — New York : Academic Press, 1981 .

47. Hairer E., Norsett S., Wanner G. Solving ordinary differential equations. I .

Nonstiff problems. — Berlin : Springer, 1987 .

48. Hairer E., Wanner G. Solving Ordinary Differential Equations II: Stiff and Differential-Algebraic Problems. — Springer Verlag, 2010 .

49. Handbook of Linear Algebra / Ed. by L. Hogben. — 2 edition. — CRC, 2013 .

50. Henry A. F. Nuclear-reactor analysis. — MIT press Cambridge, 1975. — Vol. 4 .

51. Henry A. F., Vota A. V. WIGL2—A Program for the Solution of the OneDimensional, Two-Group, Space-Time Diffusion Equations Accounting for Temperature, Xenon, and Control Feedback // Bettis Atomic Power Laboratory Report WAPD-TM-532. — 1965 .

52. Hernandez V., Roman J. E., Vidal V. et al. Resolution of the neutron diffusion equation with SLEPc, the Scalable Library for Eigenvalue Problem Computations // Nuclear Mathematical and Computational Sciences: A Century in Review, A Century Anew Gatlinburg. — American Nuclear Society, 2003 .

53. Heroux M. A., Bartlett R. A., Howle V. E. et al. An overview of the Trilinos project // ACM Transactions on Mathematical Software (TOMS). — 2005. — Vol. 31, no. 3. — P. 397–423 .

54. Hetrick D. L. Dynamics of Nuclear Reactors. — University of Chicago Press, 1971 .

55. Hundsdorfer W. H., Verwer J. G. Numerical solution of time-dependent advection-diffusion-reaction equations. — Springer Verlag, 2003 .

56. Kalugin M. A., Oleynik D. S., Shkarovsky D. A. Overview of the MCU Monte Carlo software package // Annals of Nuclear Energy. — 2015. — Vol. 82. — P. 54–62 .

–  –  –

58. Knabner P., Angermann L. Numerical methods for elliptic and parabolic partial differential equations. — Springer, 2003 .

59. Koebke K., Hetzelt L., Wagner M. R. et al. Principles and application of advanced nodal reactor analysis methods // American Nuclear Society. — 1984 .

60. Kolev N. P., Lenain R., Fedon-Magnaud C. Solutions of the AER 3D Benchmark for VVER-1000 by CRONOS // Proc. 7-th Symposium of AER on VVER Reactor Physics and Safety. — Hoernitz, Germany, 1997 .

61. Kressner D. Numerical Methods for General and Structured Eigenvalue Problems. Lecture Notes in Computational Science and Engineering. — Springer, 2006 .

62. Kyrki-Rajam ki R. Three-dimensional reactor dynamics code for VVER type a nuclear reactors // International Atomic Energy Agency. — 1995 .

63. Lamarsh J. R. Introduction to nuclear engineering. — 1975 .

64. Langtangen H. P., Logg A. Solving PDEs in Minutes–The FEniCS Tutorial Volume I // Springer. — 2016 .

–  –  –

66. Lawrence R. D. Progress in nodal methods for the solution of the neutron diffusion and transport equations // Progress in Nuclear Energy. — 1986. — Vol. 17, no. 3. — P. 271–301 .

67. Lawrence R. D., Dorning J. J. A nodal green’s function method for multidimensional neutron diffusion calculations // Nuclear Science and Engineering. — 1980. — Vol. 76, no. 2. — P. 218–231 .

68. Lawrence R. D., Laboratory Argonne National. The DIF3D Nodal Neutronics Option for Two- and Three-dimensional Diffusion Theory Calculations in Hexagonal Geometry. Report. — 1983 .

69. LeVeque R. J. Finite Difference Methods for Ordinary and Partial Differential Equations. Steady-State and Time-Dependent Problems. — Society for Industrial Mathematics, 2007 .

70. Lewis E. E., Miller W. F. Computational Methods of Neutron Transport. — American Nuclear Society, 1993 .

71. Logg A., Mardal K.-A., Wells G. Automated solution of differential equations by the finite element method: The FEniCS book. — Springer Science & Business Media, 2012. — Vol. 84 .

72. Luikov A. Analytical Heat Diffusion Theory. — Academic Press, 1968 .

73. MTL4 (The Matrix Template Library 4). — http://www.simunova.com/ de/node/24 .

74. Maday Y., Turinici G. The parareal in time iterative solver: a further direction to parallel implementation // Domain Decomposition Methods in Science and Engineering. — Springer, 2005. — P. 441–448 .

75. Marchuk G. I., Lebedev V. I. Numerical Methods in the Theory of Neutron Transport. — Harwood Academic Pub., 1986 .

76. Mathew T. Domain decomposition methods for the numerical solution of partial differential equations. — Springer Science & Business Media, 2008. — Vol. 61 .

77. Meghreblian R. V., Holmes D. K. Reactor Analysis. — McGraw-Hill, 1960 .

78. Mika J. Mathematical foundations of the quasistatic approximation in reactor physics // Annals of Nuclear Energy. — 1982. — Vol. 9, no. 11-12. — P. 585– 589 .

79. Modak R. S., Gupta A. A scheme for the evaluation of dominant timeeigenvalues of a nuclear reactor // Annals of Nuclear Energy. — 2007. — Vol. 34, no. 3. — P. 213–221 .

80. M ller C. A. Adaptive finite elements in the discretization of parabolic probo lems. — Logos-Verlag, 2011 .

81. Nakamura S. Computational methods in engineering and science, with applications to fluid dynamics and nuclear systems. — 1977 .

82. Onega R. J. An Introduction to Fission Reactor Theory. — University Publications, 1975 .

83. Ott K. O. Quasistatic treatment of spatial phenomena in reactor dynamics // Nuclear Science and Engineering. — 1966. — Vol. 26, no. 4. — P. 563–565 .

84. Ott K. O., Meneley D. A. Accuracy of the quasistatic treatment of spatial reactor kinetics // Nuclear Science and Engineering. — 1969. — Vol. 36, no. 3. — P. 402–411 .

85. Quarteroni A., Valli A. Domain decomposition methods for partial differential equations. — Oxford University Press, 1999. — Vol. CMCS-BOOK-2009-019 .

86. Quarteroni A., Valli A. Numerical approximation of partial differential equations. — Springer, 2008 .

87. Reddy J. N. An introduction to the finite element method. — McGraw-Hill New York, 1993. — Vol. 2 .

88. Campos C., Roman J. E., Romero E., Tomas A. — SLEPc Users Manual, 2013 .

89. Saad Y. Iterative methods for sparse linear systems. — Society for Industrial Mathematics, 2003 .

90. Saad Y. Numerical Methods for Large Eigenvalue Problems. — 2 edition. — SIAM, 2011 .

91. Samarskii A. A., Matus P. P., Vabishchevich P. N. Difference Schemes with Operator Factors. — Kluwer, 2002 .

92. Schulz G. Solution of a 3D VVER-1000 benchmark // In Proc. of 6-th Symposium of AER. — Kikkonummi, Finland, 1996 .

93. Shober R. A., Sims R. N., Henry A. F. Two nodal methods for solving timedependent group diffusion equations // Nuclear Science and Engineering. — 1977. — Vol. 64, no. 2. — P. 582–592 .

94. Smith K. S. An analytic nodal method for solving the two-group, multidimensional, static and transient neutron diffusion equations : Ph. D. thesis / K. S. Smith ; Massachusetts Institute of Technology. — 1979 .

95. Soodak H., Campbell E. C., Schweinler H. C. Elementary pile theory // American Journal of Physics. — 1950. — Vol. 18, no. 6. — P. 403–403 .

96. Stacey W. M. Space-time nuclear reactor kinetics. — Academic Press, 1969. — Vol. 5 .

97. Stacey W. M. Nuclear Reactor Physics. — Wiley, 2007 .

98. Sutton T. M., Aviles B. N. Diffusion theory methods for spatial kinetics calculations // Progress in Nuclear Energy. — 1996. — Vol. 30, no. 2. — P. 119–182 .

99. Thom e V. Galerkin Finite Element Methods for Parabolic Problems. Springer e series in computational mathematics. — Springer-Verlag, 2010 .

100. Toselli A., Widlund O. Domain Decomposition Methods – Algorithms and Theory. — Springer, 2005 .

101. VTK (Visualization Toolkit). — http://www.vtk.org/ .

102. Vabishchevich P. N. Additive operator-difference schemes. Splitting schemes. — de Gruyter, 2014 .

103. Vabishchevich P. N. Time Step for Numerically Solving Parabolic Problems // Finite Difference Methods, Theory and Applications. — Springer, 2015. — P. 96– 103 .

104. Vabishchevich P. N. A priori estimation of a time step for numerically solving parabolic problems // Mathematical Modelling and Analysis. — 2015. — Vol. 20, no. 1. — P. 94–111 .

105. Verdu G., Ginestar D., Roman J. et al. 3D alpha modes of a nuclear power reactor // Journal of Nuclear Science and Technology. — 2010. — Vol. 47, no. 5. — P. 501–514 .

106. Verd G., Ginestar D., Vidal V. et al. 3D -modes of the neutron-diffusion u equation // Annals of Nuclear Energy. — 1994. — Vol. 21, no. 7. — P. 405–421 .

107. Verf rth R. A posteriori error estimation techniques for finite element methu ods. — Oxford University Press, 2013 .

108. Vidal-Ferrandiz A., Fayez R., Ginestar D. et al. Solution of the Lambda modes problem of a nuclear power reactor using an h–p finite element method // Annals of Nuclear Energy. — 2014. — Vol. 72. — P. 338–349 .

109. Walter J., Koch M. et al. uBLAS // Boost C++ software library available from http://www. boost. org/doc/libs. — 2006 .

110. Zienkiewicz O. C., Taylor R. L., Taylor R. L. The finite element method. — McGraw-hill London, 1977. — Vol. 3 .

111. Аввакумов А. В., Вабищевич П. Н., Васильев А. О. Метод конечных элементов для уравнения диффузии нейтронов в гексагональной геометрии // Вестник СВФУ. — 2014. — Т. 11, № 5 .

112. Аввакумов А. В., Васильев А. О., Захаров П. Е. Программная реализация метода конечных элементов для уравнения диффузии нейтронов // Вестник СВФУ. — 2015. — Т. 4, № 48 .

113. Аввакумов А. В. Вабищевич П. Н. Васильев А. О. и др. Численное моделирование нестационарных задач диффузии нейтронов // Математическое моделирование. — 2017. — Т. 29, № 7. — С. 44–62 .

114. Белл Д., Глесстон С., Артамкин В. Н. Теория ядерных реакторов. — Атомиздат, 1974 .

115. Вабищевич П. Н. Васильев А. О. Выбор шага при численном решении краевых задач для параболических уравнений // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 2017. — Т. 57, № 5. — С. 842–853 .

116. Вейнберг А., Шевелев Я. В., Вигнер Е. Физическая теория ядерных реакторов. — Иностранной литературы, 1961 .

117. Галанин А. Д. Введение в теорию ядерных реакторов на тепловых нейтронах. — Москва, 1990 .

118. Ганев И. Х., Доллежаль Н. А. Физика и расчет реактора. — Энергоиздат, 1981 .

119. Зизин М. Н. Шишков Л. К. Ярославцева Л. Н. Тестовые нейтроннофизические расчёты ядерных реакторов. — Наука, 1980 .

120. Кластер Ариан Кузьмин. — http://chpc.ru/about/clusters/. — Кафедра вычислительных технологий, СВФУ им. М.К. Аммосова .

121. Климов А. Н. Ядерная физика и ядерные реакторы. — Атомиздат, 1971 .

122. Крянев А. В. Вопросы математической теории реакторов. Нелинейный анализ. — Энергоатомиздат, 1983 .

123. Крянев А. В. Аналитические и численные методы математической теории переноса. — МИФИ, 1991 .

124. Левин В. Е. Ядерная физика и ядерные реакторы. — Атомиздат, 1979 .

125. Марчук Г. И., Лебедев В. И. Численные методы в теории переноса нейтронов. — Атомиздат, 1981 .

126. Петунин В. П., Новиков И. И., Троицкий М. А. и другие. Теплоэнергетика ядерных установок // Физика. — 1960. — Т. 53, № 09. — С. 3 .

127. Самарский А. А. Теория разностных схем. — Наука, 1989 .

128. Самарский А. А., Вабищевич П. Н. Вычислительная теплопередача. — ЛИБРОКОМ, 2009.




Похожие работы:

«АДМИНИСТРАЦИЯ КРАСНОСТРЕЛЬСКОГО СЕЛЬСКОГО ПОСЕЛЕНИЯ ТЕМРЮКСКОГО РАЙОНА ПОСТАНОВЛЕНИЕ ль //9 //.2o/l 4!, от пос.стрелка 0б утверждении административного регламента предоставления муниципальной услуги предоставление разрешения на осуществление земляцых работ В соответствии с Градостроительным кодексом Российской Федерации, Федеральным зак...»

«ГОСТ 8 8 4 5 -8 7 МЕЖГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТАНДАРТ ПОЛОТНА И ИЗДЕЛИЯ ТРИКОТАЖНЫЕ МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВЛАЖНОСТИ, МАССЫ И ПОВЕРХНОСТНОЙ ПЛОТНОСТИ Издание официальное ИПК ИЗДАТЕЛЬСТВО СТАНДАРТОВ Москва воротник стойка ГОСТ 8 8 4 5 -8 7 ИНФ О РМ АЦИОН НЫ Е ДАННЫ Е 1. РАЗРАБОТАН И ВНЕСЕН Министерством легкой промыш...»

«Фомин Алексей Дмитриевич Разработка и исследование надежных методов агрегации данных в сенсорных сетях Специальность: 05.13.01 Системный анализ, управление и обработка информации (в технике и технологиях) Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук Сан...»

«МЕЖГОСУДАРСТВЕННЫЙ СОВЕТ ПО СТАНДАРТИЗАЦИИ, МЕТРОЛОГИИ И СЕРТИФИКАЦИИ (МГС) INTERSTATE COUNCIL FOR STANDARDIZATION, METROLOGY AND CERTIFICATION (ISC) ГОСТ IEC МЕЖГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТАНДАРТ 62115 — ИГРУШ КИ ЭЛЕКТРИ ЧЕС КИ Е Требования безопасности (IEC 62115:2004, ЮТ) Изд...»

«БАЗЫ ДАННЫХ ДЛЯ ПРОЕКТИРОВАНИЯ СТРОИТЕЛЬНЫХ ОБЪЕКТОВ Методические указания по подготовке и выполнению лабораторных работ для студентов специальности 270114 – проектирование зданий Санкт-Петербург Федеральное агентство по образованию Санкт-Пете...»

«Михайлов Игорь Анатольевич ПОЛУЧЕНИЕ ГАЛОГЕНСОДЕРЖАЩИХ КАУЧУКОВ МЕТОДОМ МЕХАНОХИМИЧЕСКОЙ МОДИФИКАЦИИ, СВОЙСТВА ЭЛАСТОМЕРНЫХ КОМПОЗИЦИЙ НА ИХ ОСНОВЕ. 02.00.06 – высокомолекулярные соединения АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учной степе...»

«-2СОДЕРЖАНИЕ Лист Состояние вопроса..3 1 Требования к средствам пожаротушения, предназаначенным для эксплуатации на автотранспортных средствах..4 2 Нормативные и технические ссылки..4 3 Термины и определения..5 4 Введение..5 5 Конструкц...»

«Саргсян Севак Сеникович Методы поиска клонов кода и семантических ошибок на основе семантического анализа программы 05.13.11 – математическое и программное обеспечение вычислительных машин, комплексов и компьютерных сетей...»

«Технология выполнения работы, приведенная в данной карте технологического процесса согласована ЦБТ письмом от 06.08.2012 №ЦБТТ-15/10 и утверждена ЦШ 27.06.2013 в составе части 2 сборника "Устройства СЦБ. Технология обслуживания" Центральная дирекция инфраструктуры – филиал ОА...»

«Антистрессовый водорастворимый препарат нового поколения!!! Уникальный по составу и разработанный в Великобритании на основе длительных научных экспериментов по выяснению молекулярных механизмов развития стрессов и путей их предотвращения, включая регуляцию ге...»

«Овощерезательная машина 1 ВВЕДЕНИЕ УВАЖАЕМЫЕ ГОСПОДА! Вы приобрели профессиональное оборудование. Прежде чем Вы приступите к работе с ним, обязательно ознакомьтесь с настоящим Паспортом. Помните, что, выполняя все указания, изложенные в настоящем Паспорте,...»

«1 ПРОТОКОЛ № 50 заседания Правления комитета Тульской области по тарифам 20 октября 2017 года ПРЕДСЕДАТЕЛЬСТВОВАЛ: Заместитель председателя комитета Тульской области по тарифам Е.В. Денисова Присутствовали: Войтицкая Т.В. – начальник отдела комитета Малови...»

«Донецкий Национальный Технический Университет Кафедра "Геоинформатики и геодезии" Кренида Ю. Ф. ЭКОНОМИКА ГЕОДЕЗИЧЕСКОГО ОБЕСПЕЧЕНИЯ ХОЗЯЙСТВЕННЫХ ОБЪЕКТОВ Донецк 2018...»

«СЛУЖБА ГОСУДАРСТВЕННОГО НАДЗОРА ЗА ТЕХНИЧЕСКИМ СОСТОЯНИЕМ САМОХОДНЫХ МАШИН И ДРУГИХ ВИДОВ ТЕХНИКИ ХАНТЫ-МАНСИЙСКОГО АВТОНОМНОГО ОКРУГА ЮГРЫ ГОСТЕХНАДЗОР ЮГРЫ Россия, 628002, Тюменская область Ф акс (3467) 33-...»

«mod_na_majnkraft_1_11_2_na_mebel_dekokraft.zip.2 1. Сам мод делает блестящий вид в Майнкрафт.8. Теперь вы можете ремесло из мебели и столового серебра для ламп и пивные кеги. Мод DecoCraft 2 для Майнкрафт 1.9 1.4 1.12.2 1.2 1. Эти строительные блоки для опор и являются наиболее важной частью.11. Наверное, одно из лучших измене...»

«Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Национальный исследовательский Томский политехнический университет" УТВЕРЖДАЮ Директор ИПР _ А.Ю. Дмитриев " " 2016 г. РАБОЧАЯ ПРОГРАММА Д...»

«Пример технологической разработки выполненной для производства аммиака АМ-600 2012 г. Общая характеристика производства аммиака Технологическая схема действующего производства аммиака 1. Технические решения по модернизации агрегатов синтез...»

«А. Ю. Постыляков, Ю. Н. Логинов УрФУ им. первого Президента России Б.Н. Ельцина, г. Екатеринбург a.i.postyliakov@urfu.ru, j.n.loginov@urfu.ru МКЭ-МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА ДЕФЕКТООБРАЗОВАНИЯ ПРИ ГОРЯЧЕЙ СОРТОВОЙ ПРОКАТКЕ МЕДИ В работе исслед...»

«Микроволновая печь MMG50X Уважаемый покупатель! Поздравляем вас с удачной покупкой! Корпорация HAIER выражает вам огромную признательность за ваш выбор и гарантирует высокое качество, без...»

«Министерство образования РФ Санкт-Петербургский государственный горный институт имени Г.В.Плеханова (технический университет) Кафедра минералогии, кристаллографии и петрографии ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Г.М. ЗАГИДУЛЛИНА, Э.И. ШАГИАХМЕТОВА СТРАТЕГИЧЕСКИЙ МЕНЕДЖМЕНТ Учебное пособие КАЗАНЬ УДК 658.1 (075) ББК 3-14 65.290-21я7 Загидуллина Г.М., Шагиахметова Э.И. Стратегический менеджмент: учеб. П...»

«ОСОБЕННОСТИ РАЗРАБОТКИ ТЕХНОЛОГИИ ИЗГОТОВЛЕНИЯ ОТЛИВОК ЛИТЬЕМ ПОД ДАВЛЕНИЕМ С ПРИМЕНЕНИЕМ СИСТЕМ КОМПЬЮТЕРНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ Макаров А.Н. – студент, Марширов И.В. – к.т.н., доцент Алтайский государственный технический университет (г. Барнаул) Литье под давлением заключается в том, что расплавленный металл заливается...»

«Дрейбанд Дмитрий Владимирович СОВЕРШЕНСТВОВАНИЕ  ОРГАНИЗАЦИОННОЭКОНОМИЧЕСКОГО  МЕХАНИЗМА  ТАРИФНОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ  В  СФЕРЕ  ПАССАЖИРСКИХ ПЕРЕВОЗОК Специальность 08.00.05 - "Экономика и управление народным хозяйством" (Экономика, организация и управление предприятиями, отраслями...»

«S/2008/304 Организация Объединенных Наций Совет Безопасности Distr.: General 9 May 2008 Russian Original: English Доклад Генерального секретаря о развертывании Смешанной операции Африканск...»

«1. ЦЕЛЕВОЙ РАЗДЕЛ 1.1. Пояснительная записка 1.1.1. Цели и задачи Программы 1.1.2. Принципы и подходы к формированию Программы 1.2. Планируемые результаты Целевые ориентиры в раннем возрасте Целевые ориентиры на этапе завершения освоения...»







 
2019 www.mash.dobrota.biz - «Бесплатная электронная библиотека - онлайн публикации»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.