WWW.MASH.DOBROTA.BIZ
БЕСПЛАТНАЯ  ИНТЕРНЕТ  БИБЛИОТЕКА - онлайн публикации
 


Pages:   || 2 |

«АНТОНОВ Владислав Иванович ТЕОРИЯ И ПРИЛОЖЕНИЯ АДАПТИВНОГО СТРУКТУРНОГО АНАЛИЗА СИГНАЛОВ В ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНОЙ ЭЛЕКТРОЭНЕРГЕТИКЕ ...»

-- [ Страница 1 ] --

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное

учреждение высшего образования

«Чувашский государственный университет имени И.Н. Ульянова»

На правах рукописи

АНТОНОВ Владислав Иванович

ТЕОРИЯ И ПРИЛОЖЕНИЯ АДАПТИВНОГО СТРУКТУРНОГО

АНАЛИЗА СИГНАЛОВ В ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНОЙ

ЭЛЕКТРОЭНЕРГЕТИКЕ

Специальность 05.14.02 – Электрические станции и электроэнергетические системы Диссертация на соискание ученой степени доктора технических наук

Научный консультант:

доктор технических наук, профессор Ванин Валерий Кузьмич Чебоксары ОГЛАВЛЕНИЕ ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1 СИГНАЛЫ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СИСТЕМ И ИХ СТРУКТУРА

1.1 Базис собственных мод электрической системы

1.2 Шумы и тренды в цифровом сигнале электрической системы

1.3 Структура цифровых осциллограмм

1.4 Задачи структурного анализа

1.5 Выводы

ГЛАВА 2 ТЕОРИЯ АДАПТИВНЫХ СТРУКТУРНЫХ МОДЕЛЕЙ СИГНАЛОВ

ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

2.1 Общие начала теории структурных моделей сигналов

2.1.1 Истоки метода

2.1.2 Адаптивные структурные модели с изменяемым масштабом времени................. 43 2.1.3 Каноническая и составная модели слагаемой сигнала



2.1.4 Эффективные структурные модели сигнала и ее составляющие

2.2 Фундаментальные свойства эффективных структурных моделей

2.2.1 Влияние частоты дискретизации на распознаваемость сигнала

2.2.2 Свойства фильтра эффективного ядра

2.2.3 Роль фильтра шума

2.2.4 Влияние внутримодельной децимации

2.2.5 Оптимальная частота дискретизации гармоники

2.2.6 Влияние числа и децимации невязок

2.3 Выводы

ГЛАВА 3 НЕАДАПТИВНЫЕ И ГИБРИДНЫЕ СТРУКТУРНЫЕ МОДЕЛИ

3.1 Неадаптивные структурные модели и их свойства

3.1.1 Генеральные свойства ортогональных составляющих гармоники

3.1.2 Преобразование частоты и фильтрация

3.1.3 Оптимальные неадаптивные модели

3.1.4 Оптимальные оценки ортосоставляющих гармоники

3.1.5 Синхронная дискретизация при оценивании ортосоставляющих

3.1.6 Роль линейного оператора заграждения

3.1.7 Быстродействующие фильтры ортосоставляющих основной гармоники............. 91

3.2 Гибридные структурные модели сигналов

3.2.1 Роль составляющих гибридной модели

3.2.2 Пример распознавания сигнала гибридной моделью

3.3 Выводы

ГЛАВА 4 РАЗРЕШЕНИЕ СТРУКТУРНОЙ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ СИГНАЛА........... 101

4.1 Классическое решение задачи МНК при настройке моделей (винеровские оценки)102

4.2 Разрешение структурной неопределенности сигнала с помощью сингулярного разложения

4.2.1 Сингулярное разложение и численный ранг траекторной матрицы

4.2.2 Модели с минимальной нормой

4.3 Разрешение структурной неопределенности в общей задаче наименьших квадратов110 4.3.1 Введение в общую задачу наименьших квадратов

4.3.2 Базовое решение общей задачи наименьших квадратов

4.3.3 TLS-решение с минимальной нормой





4.3.4 Эквивалентность подпространств собственных векторов сигнала и шума в общей задаче наименьших квадратов

4.4 Геометрическая интерпретация решений классической и общей задачи наименьших квадратов

4.5 Методы настройки структурных моделей в темпе развития процесса в электрической системе

4.5.1 Метод наложения моделей

4.5.2 Схема наложения фильтров

4.5.3 Настройка неадаптивного оператора

4.5.4 Разрешение структурной неопределенности адаптивного оператора................. 129

4.6 Характеристики методов настройки моделей

4.6.1 Механизм влияния шума на точность винеровских оценок

4.6.2 Совершенствование винеровских оценок

4.6.3 Преимущества структурных моделей с минимальной нормой

4.6.4 Преимущества структурных моделей общей задачи МНК

4.6.5 Сравнение методов

4.7 Выводы

ГЛАВА 5 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ СТРУКТУРНОГО АНАЛИЗА

5.1 Cтруктурный анализ цифровых осциллограмм

5.1.1 Экстраполирующий фильтр

5.1.2 Определение границ интервалов однородности

5.1.3 Определение границ интервалов как алгоритм релейной защиты

5.1.4 Обработка коротких интервалов

5.2 Методы компонентного анализа

5.2.1 Компонентная модель

5.2.2 Разбиение эффективного фильтра на составляющие

5.2.3 Компактность компонентной модели

5.2.4 Пример компонентного анализа

5.3 Оценка частоты электрической сети (основные определения)

5.3.1 Амплитуда, фаза и частота сигнала электрической сети в установившемся синусоидальном режиме

5.3.2 Амплитуда (огибающая), фаза и частота сигнала электрической сети в периодическом несинусоидальном режиме

5.3.3 Мгновенная частота и частота электрической сети

5.4 Практические алгоритмы оценки частоты

5.4.1 Оценка частоты сети по переходу через нуль

5.4.2 Оценка частоты сети с помощью ортогональных составляющих

5.4.3 Оценка частоты сети с помощью операторов с частотно-зависимыми характеристиками

5.4.4 Оценка частоты сети с помощью адаптивных структурных моделей сигнала... 203 5.4.5 Оценка частоты сети в периодическом несинусоидальном режиме с помощью адаптивных заграждающих моделей

5.5 Предварительная обработка электрического сигнала

5.5.1 Коррекция выбросов

5.5.2 Коррекция выбросов с помощью линейных фильтров

5.5.3 Прецизионная коррекция выбросов

5.6 Принцип инвариантности оцениваемого параметра

5.7 Удаление тренда

5.8 Выводы

ГЛАВА 6 ПРИЛОЖЕНИЯ АДАПТИВНОГО СТРУКТУРНОГО АНАЛИЗА

6.1 Интерактивная среда адаптивного структурного анализа сигналов электрических сетей

6.1.1 Блок настройки структурной модели сигнала

6.1.2 Блок декомпозиции структурной модели

6.1.3 Блок компонентного анализа

6.1.4 Блок выделения слагаемой сигнала

6.1.5 Блок составного фильтра

6.1.6 Блок линейного фильтра

6.1.7 Блок построения АЧХ фильтра

6.1.8 Блок построения модуля обобщенной комплексной частотной характеристики фильтра

6.1.9 Блок расчета частоты и коэффициентов затухания составляющих структурной модели сигнала

6.1.10 Интерактивная среда структурного анализа

6.1.11 Пример структурного анализа в интерактивной среде

6.2 Релейная защита электрических систем с высоковольтными передачами постоянного тока

6.3 Адаптивный структурный анализ в быстродействующей релейной защите............ 245

6.4 Мониторинг низкочастотных колебаний в электроэнергетических системах......... 247 6.4.1 Причины возникновения колебаний энергосистем

6.4.2 Идентификация низкочастотных колебаний

6.5 Активно-Адаптивное распознавание «слабой» информационной слагаемой.......... 252 6.5.1 Область применения

6.5.2 Система активно-адаптивного распознавания слабой информационной слагаемой

6.6 Адаптивный структурный анализ в системах сбора и передачи технологической информации (ССПТИ)

6.6.1 Распознавание информационного образа сигнала

6.6.2 Компрессия осциллограмм

6.6.3 Задача определения места повреждения

6.7 Адаптивная идентификация системных функций элементов электрической сети и ее приложения

6.7.1 Идентификация системной функции элемента

6.7.2 Реконструкция сигнала электрической сети

6.7.3 Оценка технического состояния элементов электрической сети

6.8 Интеллектуальное (контролируемое) автоматическое повторное включение компенсированной линии

6.9 Выводы

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ, ПРИНЯТЫЕ В ДИССЕРТАЦИИ

СПИСОК ОСНОВНЫХ СИМВОЛОВ И СОКРАЩЕНИЙ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ПРИЛОЖЕНИЯ

П.1 Сигнал без шума

П.2 Осциллограмма аварийного процесса и ее модели

П.3 Частотные характеристики

П.4 Экспоненциальная характеристика

П.5 Обобщенная комплексная характеристика

АКТЫ ВНЕДРЕНИЯ

1 Акт об использовании ООО НПП «ЭКРА» (Чебоксары)

2 Акт об использовании ООО «НПП Бреслер» (Чебоксары)

3 Акт внедрения ООО «Инженерный центр «Энергосервис» (Архангельск)................ 325 4 Акт внедрения в ФГБОУ ВО «Чувашский государственный университет им. И.Н .

Ульянова» (Чебоксары)

5 Акт внедрения в Высшей школе энергетики, нефти и газа ФГАОУ ВО «Северный (Арктический) федеральный университет имени М.В. Ломоносова» (Архангельск)... 327 6 Справка об использовании ФГАОУ ДПО «Петербургский энергетический институт повышения квалификации» (С.-Петербург)

7 Справка об использовании НОУ ДПО «Институт повышения квалификации специалистов релейной защиты и автоматики» (г. Чебоксары)

ВВЕДЕНИЕ

Надежное, безопасное и эффективное управление режимами работы электрической системы (ЭС) сегодня видится – согласно Национальной технологической инициативе EnergyNet (энергетика будущего на принципах Internet of Energy) – в построении интеллектуальных электроэнергетических систем, так называемых «умных сетей» (Smart Grids) [1, 2]. Новые качества интеллектуальных сетей достигаются за счет расширения информационной основы принятия решений, заключающейся в высокоточных измерениях параметров текущего режима в различных узлах электрической системы .

Действительно, техническое совершенство современных коммуникационных технологий и систем синхронизации измерений сделало возможным автоматизированное оценивание состояния энергосистемы в реальном масштабе времени [3] и осуществление технологического управления и защиты энергосистем с помощью распределенных иерархических систем, получивших общее название распределенных систем мониторинга, защиты и управления – WAMPACS. Функционально WAMPACS интегрирует в себе распределенные системы мониторинга переходных режимов WAMS, защиты WAPS и управления WACS .

Технологии WAMPACS требуют применения новых и эффективных методов обработки сигналов, способных адаптироваться к изменяющимся условиям работы электрической сети. Так, приспосабливаемость распределенной системы релейной защиты (WAPS) к изменяющейся структуре «умной сети», проявляющаяся в активной перенастройке характеристик и уставок [4], обеспечивается благодаря интеллектуальным алгоритмам мультиагентных систем защиты и высокой точности измерений в условиях интенсивных переходных процессов в защищаемой системе. В особенности это качество востребовано в релейной защите сетей, прилегающих к высоковольтным сетям передачи постоянного тока (HVDC). При коротком замыкании в сети переменного тока вблизи станции HVDC входные сигналы релейной защиты изобилуют межгармоническими составляющими разных частот, вызванными разрядом сети постоянного тока на сеть переменного тока из-за ошибочной коммутации вентилей на станции HVDC [5, 6]. Именно в релейной защите таких сетей проявляются в полной мере преимущества адаптивных структурных моделей .

Кроме того, адаптивные алгоритмы обработки сигнала реального времени востребованы в системах адаптивного векторного автоматического управления устройствами FACTS в режимах демпфирования опасных низкочастотных колебаний, возникающих в энергосистеме [7]. Без надлежащих корректирующих действий межобластные колебания могут привести к неоправданному разделению энергосистемы на автономные части [8]. Используемые в этих системах эффективные алгоритмы выявления модальных составляющих низкочастотного колебания энергосистемы основаны на методах и моделях адаптивного структурного анализа реакции энергосистемы [9–11] .

Адаптивные структурные модели также активно применяются в централизованных системах сбора и передачи технологической информации (ССПТИ) [12] при анализе причин аварий в энергосистеме, при оценке правильности действия релейной защиты и противоаварийной автоматики, при определении места повреждения на ЛЭП [13] .

Эффективность применения распределенной системы мониторинга тесно связана с решением задач оперативной обработки множества осциллограмм, их систематизации и архивирования, компрессии с целью повышения компактности [14], отсортировки осциллограмм с низкой информативностью на основе адаптивного распознавания информационного образа сигнала [15]. Учитывая, что ССПТИ получает осциллограммы из разных источников, то их обработка и систематизация наиболее результативна при использовании адаптивных фильтров, не требующих, как известно, априорной информации о сигнале .

Еще одним важнейшим применением адаптивного структурного анализа является измерение слабой информационной слагаемой на фоне преобладающих других составляющих сигнала [16]. В этом случае терминал защиты адаптивно изменяет характеристики тракта АЦП и аппаратно подавляет доминирующие составляющие сигнала без использования аналоговых фильтров и избирательно усиливает слабую информационную составляющую до уровня, обеспечивающего гарантированную точность измерения трактом АЦП. Одно из применений новой технологии измерения – это разработка высокочувствительных защит от замыканий на землю в распределительных сетях и генераторной сети (защита статора генератора) [17–19] .

Наряду с этим распознавание структуры сигнала позволяет повысить точность измерения за счет коррекции сигнала после измерительных трансформаторов, например, емкостных трансформаторов напряжения [20] и трактов АЦП терминалов защиты. Использование адаптивного структурного анализа значительно повышает технологический уровень технических комплексов, обеспечивающих мониторинг и контроль функционирования элементов электрических систем. Например, адаптивная идентификация системных функций на основе структурных моделей позволяет решать задачи мониторинга состояния кабельных линий [21] .

Закономерен вопрос: почему в решении всех упомянутых задач отдается предпочтение адаптивному структурному анализу? Известно ведь, что основу множества существующих систем релейной защиты и управления электрическими сетями составляют алгоритмы, оценивающие комплексное действующее значение (фазор) основной гармоники сигнала. Среди них пользуются заслуженным признанием фильтры ортогональных составляющих [22–26] .

Ответ заключается в том, что основу классических алгоритмов составляют неадаптивные модели, структура которых задается заведомо, и которые в принципе не способны адаптироваться к сигналу. В силу этого они не могут учитывать всю сложность сигнала свободного процесса в электрической сети .

Поэтому им присущ общий недостаток, и заключается он в появлении значительной погрешности в оценках ортогональных составляющих основной гармоники при распознавании сигнала переходного режима электрической сети .

Этот изъян классических алгоритмов распознавания сигнала носит принципиальный характер. Развитие фильтров ортосоставляющих, способных нивелировать влияние апериодической составляющей в обрабатываемом сигнале [27– 29], не решает проблемы в случае сигнала с более сложным составом .

Ясно, что прецизионная оценка параметров основной гармоники, как одной из слагаемых сигнала переходного режима электрической системы, в принципе невозможна без гибкого учета в модели сигнала и других составляющих процесса. Поэтому при оценке информационных параметров основной гармоники необходимо определить всю структуру сигнала. И поскольку построение модели ведется в условиях структурной неопределенности электрического сигнала (недостаточности информации о характеристиках сигнала), его распознавание должно рассматриваться как решение задачи адаптивного структурного анализа, заключающейся в идентификации структуры сигнала текущего режима на множестве собственных мод реакции электрической системы и составляющих принужденного режима .

Обзор основных этапов развития алгоритмов распознавания сигналов в электроэнергетике. Задача распознавания структуры сигналов электрических систем стала актуальной с повышением вычислительных ресурсов цифровых систем релейной защиты и противоаварийной автоматики. Сначала, когда еще терминалы релейной защиты не могли предоставить развитую вычислительную среду, алгоритмы цифровых защит основывались преимущественно на простых методах определения параметров основной гармоники установившегося и переходного процесса электрической сети. Применялись методы вычисления амплитуды и фазы первой гармоники электрической величины, основанные на предположении, что они имеют синусоидальную форму. Известный алгоритм Манна и Моррисона [30] использует первую производную сигнала, а алгоритмы Рокфеллера и Удрена [31, 32] – первую и вторую производные, на тех же предположениях построены алгоритмы двух и трех отсчетов [32] .

Затем были развиты алгоритмы обработки и для несинусоидальных сигналов. Стремление оценить параметры основной гармоники, прибегая к богатству возможностей, открываемых цифровыми фильтрами, привело к широкому внедрению в технику релейной защиты фильтров ортогональных составляющих, основанных чаще всего на преобразовании Фурье [33]. Со временем это направление обрело самостоятельное значение, и теперь эти фильтры уже известны как фильтры Фурье [34, 22, 23] .

По мере совершенствования терминалов релейной защиты были предприняты первые опыты оптимальной оценки основной гармоники сигнала переходного режима электрической системы. Использовался метод наименьших квадратов [35–37], причем в качестве инструмента решения применялось довольно затратное с точки зрения вычислительных ресурсов сингулярное разложение. Были опробованы фильтры Калмана [38–40] и решетчатые фильтры [41], но не нашли широкого применения, поскольку не придали алгоритмам релейной зашиты и автоматики новых преимуществ .

Но самое главное, все предложенные алгоритмы были предназначены для оценивания основной гармоники, причем без структурного анализа сигнала (определения структуры сигнала). Поэтому они не могут быть эффективно использованы в современных системах адаптивного управления электрическими сетями, адаптивной релейной защиты или системах определения места повреждения [42]. Особенно остры проблемы быстрого структурного анализа при ОМП в сетях с быстродействующими выключателями, когда выключение повреждения происходит быстро, и осциллограмма процесса не содержит участка установившегося послеаварийного режима .

Кроме того, применение структурного анализа позволяет расширить функциональные возможности систем централизованного управления электрическими сетями, когда во избежание перегрузки линий связи, а также вычислительных ресурсов систем высокого уровня, необходимо передать регистрируемую в удаленной точке информацию о процессах в сети в сжатом виде, проведя структурную компрессию осциллограмм [67, 20]. Наряду с этим структурный анализ позволяет построить программно-аппаратный комплекс распознавания слабой составляющей сигнала на фоне доминирующих слагаемых сигнала, являющихся, по сути, непреодолимой помехой для нее [16]. Это открывает новый класс высокочувствительных защит, например защит генераторов от замыкания на землю в одной точке. Такие защиты могут быть основаны на использовании как высших гармоник, появляющихся в генераторной сети из-за нелинейности магнитной системы самих генераторов [17, 18], так и специально инжектируемой в генераторную сеть субгармоники от отдельного источника малой мощности [73] .

Как отмечается в работах [71, 72], использование структурного анализа создает новый кластер алгоритмов цифровой обработки сигналов, способствующих повышению быстродействия и надежности систем релейной защиты и автоматики. Предполагается, что метод структурного анализа получит в будущем широкое применение в современных распределенных системах мониторинга, защиты и управления – WAMPACS и позволит повысить устойчивость и надежность функционирования интеллектуальных энергосистем .

Адаптивные модели различного назначения, являющиеся прообразом структурных моделей, широко применяются в общей теории цифровой обработки сигналов для повышения разрешающей способности спектрального анализа (оценки спектра) сигналов [103]. Наиболее известны алгоритмы MUSIC [104] и ESPIRT [105], использующие обобщение идеи Писаренко [106]. Они широко используются в радиолокации [152], акустике и обработке речи [41], но прямому наследованию их идей в методах распознавания сигналов электрических систем для целей управлении режимами энергосистем и релейной защиты препятствуют существенные различия предметных областей и решаемых задач [64]. В связи с этим существует настоятельная необходимость в разработке основ теории адаптивного структурного анализа сигналов электрической системы для применения в системах управления ее режимами, релейной защиты и автоматики .

Общая характеристика работы

. Цель работы. Разработка теории адаптивного структурного анализа электрических сигналов и методических основ внедрения ее методов в современные приложения интеллектуальной электроэнергетики .

Задачи исследования. Для достижения поставленной цели решаются следующие задачи:

1 Обобщение и исследование существующих адаптивных методов распознавания сигналов и выявление базовых методов распознавания структуры сигнала .

2 Разработка теории адаптивных структурных моделей сигналов электроэнергетики, обеспечивающей каузальность и согласованность формируемых структурных моделей с распознаваемым сигналом .

3 Разработка методов компонентного анализа сигналов интеллектуальной электроэнергетики, обеспечивающие согласованность компонентов модели с сигналом, избегая множественности ее компонентов .

4 Разработка общей теории адаптивного структурного анализа сигнала электрической системы, интегрирующей в себе методы теории адаптивных структурных моделей и методов компонентного анализа и обеспечивающей структурный анализ самой осциллограммы сигнала и идентификацию структуры сигнала на выявленных интервалах однородности .

5 Разработка методических основ применения адаптивного структурного анализа в различных приложениях интеллектуальной электроэнергетики, включая и WAMPACS .

Степень разработанности темы исследования. Методы цифровой обработки сигналов и их приложения в интеллектуальной электроэнергетике развиваются во многих исследованиях как отечественных, так и зарубежных ученых .

Широко известны научные труды Я.Л. Арцишевского, В.К. Ванина, А.В. Булычева, Н.А. Дони, Ю.К. Евдокимова, А.В. Жукова, А.С. Засыпкина, С.Л. Кужекова, Т.Г. Климовой, А.Л. Куликова, В.Ф. Лачугина, Ю.Я. Лямеца, Н.А. Манова, А.В. Мокеева, В.И. Нагая, Г.С. Нудельмана, В.И. Пуляева, Е.И. Сацук, М.И .

Успенского, В.А. Шуина В.А., J.F. Hauer, J. Ortbandt, T obos, R. Kumaresan, D.W. Tufts, M.A. Rahman и др. Считается, что начала структурного анализа положены в работе Prony (1795 г.). Но несмотря на множество работ так или иначе связанных с оценкой структуры сигнала, до сих пор цельная и хорошо проработанная теория структурного анализа, методы и определения которой были бы достаточно ясны и методически обоснованы для применения в различных приложениях интеллектуальной электроэнергетики, не сложилась. Представленное к защите диссертационное исследование решает эту задачу .

Методы исследования. При выполнении исследований применялись методы математического моделирования, теоретических основ электротехники, теории электрических и электромеханических переходных процессов в электроэнергетической системе, основы теории линейной алгебры и теории цифровой обработки сигналов. Исследования проводились на программнотехническом комплексе моделирования процессов в электроэнергетической системе в реальном масштабе времени фирмы RTDS Technologies Inc. (Канада) и программных средах Matlab и Mathcad .

Достоверность полученных результатов основных научных положений и выводов работы подтверждается результатами математического моделирования и экспериментальных исследований на программно-техническом комплексе испытаний в реальном масштабе времени RTDS; апробации положений и методов теории в программно-технических комплексах Испытательного полигона современных систем релейной защиты, автоматики и управления ООО НПП ЭКРА и на цифровом полигоне Нижегородской ГЭС; опытом эксплуатации в энергосистемах России различных устройств релейной защиты и автоматики на базе серийно выпускаемых микропроцессорных терминалов релейной защиты и автоматики ЭКРА 200 (НПП «ЭКРА») и «Бреслер-0107» (НПП «Бреслер»), использующих разработанные в настоящей работе методы структурного анализа .

Основные положения, выносимые на защиту:

1 Теория адаптивных структурных моделей сигналов, обобщающая научные достижения в области адаптивных алгоритмов распознавания сигналов и формирующая единый подход к методам идентификации структуры сигналов в новых системах мониторинга, управления и релейной защиты интеллектуальной электроэнергетики .

2 Новые методы компонентного анализа сигналов электроэнергетики, обеспечивающие согласованность компонентов модели с сигналом, избегая множественности ее компонентов .

3 Общая теория адаптивного структурного анализа сигнала электрической системы, объединяющая в себе методы теории адаптивных структурных моделей и компонентного анализа и обеспечивающая определение интегрированной структуры сигнала в темпе развития аварийного процесса в энергосистеме .

4 Новый алгоритм разрешения структурной неопределенности сигнала для цифровых систем релейной защиты, автоматики и управления интеллектуальной энергосистемой, работающих в темпе развития аварийного процесса в электрической системе .

5 Новые адаптивные методы предварительной обработки распознаваемого сигнала, повышающие разрешающую способность и достоверность оценок структурного анализа сигнала, обеспечивая улучшение быстродействия и надежности систем релейной защиты и автоматики и совершенствование систем мониторинга и управления интеллектуальными энергосистемами .

6 Методические основы применения адаптивного структурного анализа в различных приложениях интеллектуальной электроэнергетики, формирующие базу знаний и эксперимента, достаточной для использования ее как руководство при внедрении положений теории адаптивного структурного анализа в различные приложения интеллектуальной электроэнергетики .

Научная новизна работы:

1 Разработанная теория адаптивных структурных моделей сигналов характеризуется тем, что обобщает научные достижения в области адаптивных алгоритмов распознавания сигналов и формирует единый подход к методам идентификации их структуры, в частности, структуры сигналов электроэнергетики, и объясняет многие свойства структурных моделей, установленные ранее в различных источниках только эмпирическим путем .

2 Предложенные методы компонентного анализа сигналов формируют ранее не известные правила построения однозначной и компактной модели распознаваемого сигнала, широко используя положения разработанной в работе теории адаптивных структурных моделей .

3 Разработанная впервые общая теория структурного анализа определяет основы структурного анализа сигнала и позволяет в темпе развития аварийного процесса определять интегрированную структуру сигнала, разделяя его на интервалы однородности (интервалы инвариантности структуры) и идентифицируя структуру (компонентный состав) сигнала на выделенных интервалах .

4 Разработанные методические основы реализации методов структурного анализа сигналов формируют базу знаний об их приложениях в интеллектуальную электроэнергетику, создавая алгоритмическое обеспечение для оценивания состояния энергосистемы в реальном масштабе времени и осуществления технологического управления и защиты энергосистем с помощью распределенных систем мониторинга, защиты и управления – WAMPACS .

Теоретическая ценность работы:

1 Разработанная теория адаптивного структурного анализа обогащает теорию информационного анализа состояния электрической системы и открывает новый кластер методов построения систем релейной защиты, мониторинга и управления интеллектуальными электроэнергетическими системами, повышая устойчивость функционирования технических систем интеллектуальной электроэнергетики .

2 Обнаруженная методическая основа синтеза алгоритмов оценки структуры сигнала аварийного процесса в ЭС формирует базу знаний для развития алгоритмов управления и защиты интеллектуальных электроэнергетических систем, придавая техническим средствам аварийной защиты и управления интеллектуальными электроэнергетическими системами повышенную селективность и эффективность действия .

Практическая ценность работы:

1 В работе создано алгоритмическое обеспечение, использующее структурный анализ сигналов и позволяющее разрабатывать современные программно-технические средства и устройства релейной защиты и противоаварийной автоматики, мониторинга и управления интеллектуальными электроэнергетическими системами .

2 Для цифровых систем релейной защиты, автоматики и управления интеллектуальной энергосистемой разработан новый алгоритм разрешения структурной неопределенности сигнала на основе метода наложения адаптивных фильтров, обеспечивающий распознавание структуры сигнала в темпе развития аварийного процесса в электрической системе .

3 Разработаны новые адаптивные методы предварительной обработки распознаваемого сигнала, в том числе алгоритмы удаления тренда, оценки частоты сети, локализации и коррекции отсчетов с выбросами (или потерянных отсчетов), повышающие разрешающую способность и достоверность оценок структурного анализа сигнала, обеспечивая улучшение быстродействия и надежности систем релейной защиты и автоматики и совершенствование систем мониторинга и управления интеллектуальными энергосистемами .

4 Создано алгоритмическое обеспечение для нового кластера программно-технических средств и устройств релейной защиты и противоаварийной автоматики, мониторинга и управления интеллектуальными электроэнергетическими системами (WAMPACS), обладающих повышенными быстродействием, селективностью и устойчивостью функционирования. Разработаны алгоритмы:

определения места повреждения; быстродействующей релейной защиты, способной принять решение на основе анализа короткого участка аварийного процесса; защиты электрических генераторов с активно-адаптивным распознаванием слабой информационной слагаемой; мониторинга низкочастотных колебаний в электроэнергетической системе; распознавания информационного образа цифровых сигналов (осциллограмм); релейной защиты электрических систем с высоковольтными передачами постоянного тока; интеллектуального (контролируемого) автоматического повторного включения транзитных ЛЭП в работу после аварийного отключения; структурной компрессии осциллограмм; оценки технического состояния высоковольтного оборудования; реконструкции сигнала ЭС. Создана интерактивная среда адаптивного структурного анализа на основе Simulink .

Апробация работы. Основные положения диссертационной работы и ее результаты докладывались и обсуждались на следующих международных конференциях: «Релейная защита и автоматика энергосистем – 2017»: СанктПетербург, 2017; «Современные направления развития систем релейной защиты и автоматики энергосистем» – РНК CIGRE: Сочи, 2015; Екатеринбург, 2013;

«Релейная защита и автоматизация электроэнергетических систем России – РЕЛАВЭКСПО» (Чебоксары, 2012 –2017) и всероссийских конференциях: ”Динамика нелинейных дискретных электротехнических и электронных систем” и “Информационные технологии в электротехнике и электроэнергетике” (Чебоксары, 1995–2017 г.); на Всесоюзных конференциях и семинарах в Риге (1986, 1988), Киеве (1990), Мариуполе (1990), Каунасе (1991), С.-Петербурге (1994), Новочеркасске (1994), Й.-Оле (1996) .

По теме докторской диссертации под научным руководством соискателя защищены 3 диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук:

1 Лазарева, Н.М. Алгоритмы структурной компрессии цифровых осциллограмм сигналов электроэнергетических систем: автореф. дис.... канд. техн .

наук: 05.09.03 / Лазарева Надежда Михайловна. – Чебоксары, 1997. – 27 с .

2 Ильин, А.А. Совершенствование методов структурного анализа входных сигналов цифровых систем релейной защиты и автоматики: автореф. дис .

... канд. техн. наук: 05.14.02 / Ильин Алексей Анатольевич. – Чебоксары, 2014 .

– 23 с .

3 Петров, В.С. Цифровая система автоматического ограничения повышения напряжения сетей 110-750 кВ: автореф. дис.... канд. техн. наук: 05.14.02 / Петров Владимир Сергеевич. – Чебоксары, 2015. – 24 с .

Реализация результатов работы. Предлагаемые в работе методы адаптивного структурного анализа были частично опробованы еще в 1991 г. в первом в России микропроцессорном определителе места повреждения, разработанном в совместно Чувашским госуниверситетом (В.И. Антонов, Ю.Я. Лямец) и ВНИИР (Н.А. Дони, Г.С. Нудельман) и введенным в эксплуатацию в ОДУ Северного Кавказа на ЛЭП–500 «Кавкасиони» (п/ст «Центральная» Краснодарэнерго) .

Результаты работы используются:

в ООО НПП «ЭКРА» (Чебоксары) в серийно выпускаемой продукции:

аппаратуре противоаварийной автоматики серий ШЭЭ 22х на базе терминалов серии ЭКРА 200; аппаратуре релейной защиты электрических генераторов, работающих на общую шину, серий ШЭ11ХХ на базе терминалов серии ЭКРА 200; алгоритмическом обеспечении терминала интеллектуального (контролируемого) включения ЛЭП; определителе места повреждения (ОМП) в программно-техническом комплексе АСУ ТП EVICON; программном комплексе анализа сигналов аварийного процесса RecViewer;

в ООО «НПП Бреслер» (г. Чебоксары) при разработке серийно выпускаемого базового микропроцессорного терминала релейной защиты и автоматики «Бреслер-0107»;

в ООО «Инженерный центр «Энергосервис» (г. Архангельск) используются для математического моделирования современных интеллектуальных устройств различного функционального назначения автоматизированных систем управления и защиты нового поколения WAMPACS .

Теоретические основы адаптивного структурного анализа, разработанные в диссертации, а также интерактивная среда адаптивного структурного анализа используются в учебном процессе:

в ФГБОУ ВО «Чувашский государственный университет имени И.Н .

Ульянова» (г. Чебоксары) при чтении лекций по курсам «Цифровая обработка электроэнергетических сигналов», «Автоматическое управление электроэнергетическими системами», «Системы и сети распределенной генерации», «Управляемые системы передачи электроэнергии» направления подготовки магистров 13.04.02 – «Электроэнергетика и электротехника», а также при подготовке выпускных квалификационных работ магистрантов и диссертационных работ аспирантов;

в Высшей школе энергетики, нефти и газа ФГАОУ ВО «Северный (Арктический) федеральный университет имени М.В. Ломоносова» (г. Архангельск) по дисциплинам «Основы автоматического управления» и «Релейная защита и автоматизация энергетических систем», а также при подготовке выпускных квалификационных работ магистрантов и диссертационных работ аспирантов кафедры Электроэнергетики и электротехники;

в ФГАОУ ДПО "ПЭИПК (С.-Петербург) на лекционных и практических, а также конференциях и семинарах кафедры "Релейная защита и автоматика электрических станций, сетей и энергосистем" для повышения квалификации специалистов в области релейной защиты и автоматики энергосистем России и ближнего зарубежья;

в НОУ ДПО «ИПК РЗА» (г. Чебоксары) повышения квалификации специалистов релейной защиты и автоматики энергосистем России и ближнего зарубежья на лекционных, практических и семинарских занятиях .

Структура диссертации. Учитывая, что теория структурного анализа еще не получила должного развития в научной литературе, работа построена таким образом, чтобы охватить все аспекты теории. В диссертации предпринята попытка гармоничного изложения теории структурного анализа. Для этого в рассмотрение вводится адаптивная структурная модель, а затем ее свойства распространяются и на гибридную модель, интегрирующую в себе неадаптивную и адаптивную модели .

Обнаруживается, что адаптивные структурные модели проявляют себя как самостоятельные объекты теории структурного анализа, обладая только им присущими свойствами. И именно осознание этого факта, что структурные модели субстантивны (самодостаточны), позволило сформулировать их фундаментальные свойства и объяснить некоторые эмпирически установленные закономерности, такие, как например, повышение разрешающей способности моделей при повышении их порядка и свойственная им способность распознавать сигнал в условиях недоопределенной системы уравнений. Отсюда же следует, что если созданы условия, делающие структурную модель потенциально эффективной, то ее разрешающая способность теоретически не зависит от метода настройки .

В то же время и сам структурный анализ обнаруживает себя как адаптивная процедура, распознающая структуру цифровой осциллограммы и оценивающая компонентный состав сигнала на разных участках осциллограммы автоматически и практически не располагая априорной информацией о сигнале .

В главе 1 поставлены задачи диссертации. В ней рассматриваются свойства сигналов интеллектуальной электрической системы, формулируется базис собственных мод электрической системы и устанавливается его связь с характеристическим уравнением системы. Определяются задачи структурного анализа сигналов электрических систем .

В главе 2 излагается теория адаптивных структурных моделей и формулируются фундаментальные свойства структурных моделей. Показывается, что сигнал электрической системы может быть распознан, если для него сформирован эффективный фильтр. Обнаруживается, что для одного и того же сигнала может быть сформировано множество эффективных фильтров, имеющих близкие фильтры эффективного ядра, ассоциированного с полезным сигналом, и совершенно разные фильтры шума. Демонстрируется фундаментальная роль фильтра шума в распознавании сигнала, выявляются факторы, так или иначе влияющие на разрешающую способность структурных моделей .

В главе 3 теория структурных моделей распространяется на неадаптивные и гибридные модели. Излагается основы неадаптивных структурных моделей, использующих представление синусоидальных величин в базисе ортогональных составляющих опорной частоты. Изучаются генеральные свойства ортосоставляющих и их оптимальные оценки. Определяется структура гибридной модели, рассматривая ее как линейный оператор, обладающего универсальностью адаптивных и эффективностью неадаптивных моделей. Изучается роль ее составляющих в распознавании структуры сигнала. Дается пример использования гибридной модели .

В главе 4 исследуются методы построения эффективных структурных моделей в условиях структурной неопределенности сигнала. Разбираются методы, основанные на решении классической и общей задачи наименьших квадратов. Показывается, что возможности структурных моделей, предназначенных для работы на коротком отрезке данных и имеющих небольшой порядок, кардинально зависят от методов настройки и достигают наибольшей эффективности при использовании решения общего метода наименьших квадратов с минимальной нормой. Здесь проявляется слабость структурных моделей при недостаточно высоком потенциале фильтра шума. Однако при использовании моделей высокого порядка практически все методы обретают преимущества общего метода наименьших квадратов, поскольку с ростом порядка фильтра повышается потенциал фильтра шума, нивелирующий разницу в методах настройки моделей. Предлагается новый метод настройки моделей, основанный на наложении промежуточных фильтров-прототипов, обеспечивающий распознавание структуры сигнала в темпе развития процесса в электрической системе. Метод решает задачу наименьших квадратов в условиях сингулярности траекторной матрицы, проявляя преимущества аппроксимации сигнала эффективной моделью аналогично аппроксимации траекторной матрицы в традициях известной теоремы Экарта–Янга–Мирского [143, 144]. Метод наложения фильтров предназначен в первую очередь для распознавания структуры сигнала в темпе развития процесса .

В главе 5 излагаются методы общей теории структурного анализа, рассматриваются основные инструменты и правила структурного анализа цифровых осциллограмм. Материал главы полностью опирается на идеи предыдущих глав и формулирует принципы сегментации цифровой осциллограммы. Описывается оригинальный принцип определения границ интервалов однородности осциллограммы, формулируемый как алгоритм релейной защиты. Излагаются методы компонентного анализа. Показывается связь слагаемых компонентной модели с нулями фильтра эффективного ядра. Формулируются принципы разделения эффективной модели на фильтр эффективного ядра и фильтр шума .

Здесь же рассматриваются алгоритмы предварительной обработки цифровых осциллограмм и определения частоты сети. Их главной целью являются повышение точности и робастности алгоритмов адаптивного структурного анализа. Внимание к изложению научных и практических вопросов оценки частоты сети оправдано фундаментальным значением частоты не только для структурного анализа сигнала, но и для задач релейной защиты и управления электрической системой. Поэтому дается развернутое изложение понятия частоты электрической величины и устанавливается ее связь с частотой электрической сети, излагаются теоретические основы построения алгоритмов оценки частоты и возможные принципы их практического приложения в цифровых системах релейной защиты и автоматики. Рассматриваются основные характеристики сигнала (амплитуда, фаза, частота) в установившемся и периодическом несинусоидальном режимах электрической сети. Описываются практические алгоритмы оценки частоты сети. В части предварительной обработки сигнала решаются задачи локализации и коррекции выбросов в осциллограмме и удаления трендов (например, дрейфа нуля АЦП). Объединяющей основой описываемых алгоритмов является использование ими принципа инвариантности оцениваемого параметра .

В главе 6 рассматриваются приложения адаптивного структурного анализа в релейной защите, мониторинге, управлении и исследовании поведения интеллектуальной энергосистемы. Описывается интерактивная среда адаптивного структурного анализа сигналов электроэнергетических систем, разработанная в работе и реализованная в Simulink Matlab. Излагаются методические основы применения методов теории структурного анализа в задачах: а) релейной защиты электрических систем с высоковольтными передачами постоянного тока; б) быстродействующей защиты, способной принять решение на основе анализа короткого участка аварийного процесса; в) мониторинга низкочастотных колебаний электрической защиты (так называемая задача устойчивости малых колебаний – Small Signal Stability [214]); г) систем сбора и передачи технологической информации (ССПТИ); д) идентификации системных функций и диагностики технического состояния элементов электрической сети .

Предлагается оригинальное применение адаптивного структурного анализа в задаче активно-адаптивного распознавания «слабой» информационной слагаемой. Разрабатываемая система способна различить информационную слагаемую на фоне доминирующих остальных составляющих. Показывается, что оценивание амплитуды информационной слагаемой с 1%-й точностью может быть осуществлено при кратности амплитуд доминирующих составляющих, достигающих 2000. Преимущества методов адаптивного структурного анализа в полной мере реализуются в системах автоматического управления электрической сетью в переходных режимах, когда в формировании решения участвует информация о всей структуре распознаваемого сигнала. Это положение иллюстрируется разработкой идеи цифрового устройства контролируемого автоматического повторного включения компенсированной транзитной линии в работу .

В приложениях к работе приведены определения системных функций фильтров, сигналы и их различные модели, используемые в монографии при иллюстрации положений теории адаптивного структурного анализа. Там же приложены акты внедрения теоретических и практических результатов работы на предприятиях-производителях технических средств и программных комплексов для интеллектуальной электроэнергетики и акты использования научных результатов в учебном процессе вузов .

Глава 1 СИГНАЛЫ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СИСТЕМ И ИХ СТРУКТУРА

В главе рассматриваются свойства сигналов интеллектуальной электрической системы, формулируется базис собственных мод электрической системы и устанавливается его связь с характеристическим уравнением системы .

Определяются задачи структурного анализа сигналов электрических систем .

Изложение материала ведется на основе работ [20, 22, 43–58, 64] .

1.1 БАЗИС СОБСТВЕННЫХ МОД ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

В интеллектуальной электроэнергетике токи и напряжения электрической системы преобразуются в цифровые сигналы непосредственно у измерительных трансформаторов тока TA и напряжения TV устройством сопряжения с шиной процесса MU (Рисунок 1.1). Устройство MU формирует так называемые потоки цифровых отсчетов (SV-потоки) и через локальную сеть подключается к шине процесса (Process Bus) стандарта IEC 61850-9-2 (МЭК 61850-9-2LE) [61] и публикует потоки SV. Оформившие подписку устройства цифровой релейной защиты и автоматики, устройства синхронных векторных измерений и т.д. выбирают из SV-потока необходимые для своей работы отсчеты сигналов. Вместе их будем называть сигналами электрической системы [51, 55] (далее, где это возможно, просто сигналами) .

Будем обозначать непрерывный во времени сигнал как (), а сигнал, подвергнутый дискретизации и аналогово-цифровому преобразованию, как ( ) или (), где t и – непрерывное и дискретное время соответственно,

– период дискретизации .

Электрическая система высокого напряжения представляет собой мощную энергетическую систему. Поэтому сигналы электрической системы имеют ярко выраженный детерминированный (не случайный) Рисунок 1.1 – Связь интеллектуальных устройств мониторинга, управления и релейной защиты и автоматики с исхарактер и могут быть точниками сигналов через шину процесса IEC 61850-9-2 цифровой подстанции .

описаны без привлечения терминов теории вероятности и математической статистики .

Сигнал переходного процесса () включает в себя множество слагаемых принужденного режима () и множество слагаемых () свободного движения электрической системы. Вид слагаемых принужденной составляющей (), а также его порядок, как известно, полностью определяются источниками, действующими в электрической системе. И поэтому слагаемые принужденного режима не в полной мере характеризуют свойства сети .

Эта роль отводится слагаемым свободного процесса, поскольку их характер полностью задается корнями характеристического уравнения электрической системы () = ( 1 ) … ( ) = 0. (1.1) Следуя [56], составляющие свободного процесса = {1 (), …, ()}, (1.2) ассоциированные с корнями характеристического уравнения (1.1), будем вместе называть множеством базисных сигналов или множеством собственных мод реакции электрической системы .

–  –  –

Кратные вещественные корни 1 = 2 = порождают собственные моды 1 () =, 2 () =, (1.9) проявляющие себя в сигнале как компонент критического режима свободного процесса () = 1 1 () + 2 1 () = (1 + 2 ). (1.10) Для электрических систем среднего напряжения (110–220 кВ) корни характеристического уравнения (1.1) будут преимущественно вещественными, в связи с чем базис собственных мод включает в себя практически только апериодические составляющие. Базис сигнала свободного движения электрических систем высокого и сверхвысокого напряжения (330–1150 кВ) будет содержать наряду с апериодическими составляющими еще и затухающие колебательные слагаемые [58, 59] .

Множество собственных мод, дополненное множеством составляющих принужденного режима, образует множество слагаемых текущего режима электрической системы [64]:

= ( ), ( + ), (1.11) где – число слагаемых множества. Учитывая, что составляющие принужденного режима сети переменного тока можно рассматривать как частный случай базиса собственных мод электрической системы, то сигнал текущего режима может быть представлен как совокупность собственных мод:

() = 1 1 () + … + (). (1.12) В выражениях (1.11) и (1.12) учтено, что в общем случае часть множества составляющих принужденного режима может быть поглощена множеством собственных мод .

Важное свойство базиса собственных мод заключается в том, что его компоненты, будучи подведенными к входу другой линейной системы, появляются на ее выходе, изменяя лишь амплитуду и фазу. И если удастся настроить линейную систему таким образом, чтобы нули ее передаточной функции совпадали с корнями в изображении распознаваемого сигнала, то полученная линейная система содержит всю информацию о характеристических параметрах сигнала (о коэффициентах затухания и частотах собственных мод). Это означает, что такая модель может быть использована для определения структуры (для структурного анализа) сигнала текущего режима .

1.2 ШУМЫ И ТРЕНДЫ В ЦИФРОВОМ СИГНАЛЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

–  –  –

() = () + (). (1.14) Здесь и далее принято, что сигнал представлен линейной комбинацией собственных мод электрической системы, поэтому порядок сигнала () равен числу компонентов .

Природа шума в цифровых сигналах релейной защиты и автоматики различна и, в основном, связана с погрешностями тракта измерения и аналогоцифрового преобразования сигналов. Эти шумы носят случайный характер, поскольку невозможна их идентичная повторная реализация. Они могут быть вызваны эффектами квантования АЦП (шумы округления), девиацией частоты дискретизации (шум дрожания) и дрейфом нуля АЦП (трендом). Для решения задачи оценки компонентов сигнала (структурного анализа) важно, чтобы шум в сигнале не носил характер систематической ошибки [60] .

В качестве примера на Рисунке 1.2 приведена осциллограмма сигнала, искаженная шумами квантования (тренд АЦП равен 26 единицам) .

В то же время в сигнале имеются и внешние помехи, никак не связанные с процессами в электрической системе. Может появиться значительное локальное искажение сигнала [48] в результате появления выбросов или потерь отсчетов в потоке сообщений от цифровых трансформаторов тока и напряжения (SVпотоков), в связи с чем без предварительной обработки анализ сигнала оказывается невозможным [62]. Пример такого сигнала приведен на Рисунке 1.3 .

Сигнал плохо различим на фоне выбросов .

Вероятность искажения сигналов из-за случайных сбоев в системе сбора данных, ошибок каналов и трактов измерений требует обеспечения качества и надежности исходной информации и решения задачи обнаружения плохих данных и устранения их влияния на достоверность структурной модели сигнала .

Методы коррекции выбросов рассматриваются в §5.5 .

Рисунок 1.2 – Тренд в сигнале электрической системы (постоянная составляющая)

Рисунок 1.3 – Выбросы в сигнале электрической системы На функционировании систем обработки сигналов могут сказаться также и отклонения параметров электрической системы от расчетных значений .

К примеру, отклонение частоты электрической сети от номинального значения может быть причиной значительных погрешностей при идентификации параметров сигнала. Подобная же ситуация возникает при обработке сигналов асинхронного режима электрической системы, когда сигнал тока или напряжения может содержать несколько слагаемых основной гармоники, вызванных действием эквивалентных ЭДС различных частей электрической системы, потерявших синхронность работы. Алгоритмы распознавания сигналов должны учитывать вероятность появления подобных режимов электрических систем, а возможно, и предназначены для работы во время них .

В случае обработки сигналов электрических систем знание частоты основной гармоники особенно важно, так как в основе большинства алгоритмов принятия решения и управления в электроэнергетических системах лежит использование информации о первой гармонике [63, 13] .

Методы оценки частоты основной гармоники (частоты сети) рассматриваются в §5.4 .

1.3 СТРУКТУРА ЦИФРОВЫХ ОСЦИЛЛОГРАММ

Компонентный состав сигнала () зависит от режима электрической системы. Поэтому осциллограмма процесса состоит из интервалов, соответствующих тем или иным режимам работы сети. Очевидно, что электрический сигнал на каждом из этих интервалов представлен своим компонентным составом (1.13), отличающимся от совокупности компонентов других интервалов. Иными словами, на осциллограмме можно отметить интервалы, на протяжении каждого из которых структура сигнала однородна и включает в себя инвариантную для этого интервала совокупность составляющих. Эти отрезки осциллограммы принято называть интервалами однородности [51] .

На Рисунке 1.4 представлена цифровая осциллограмма сигнала электрической системы после предварительной обработки: тренд АЦП удален, выбросы скорректированы (алгоритмы выявления и удаления тренда и выбросов рассмотрены в §5.5). Осциллограмма состоит из двух участков однородности: [0, 23] и [24, 80], соответствующих двум режимам работы электрической системы .

На первом из них электрическая система находилась в нормальном режиме, характеризующемся как периодический установившийся режим. А второй интервал однородности соответствует переходному режиму сети, возникшему после короткого замыкания на линии .

i, кА

-1

–  –  –

Рисунок 1.4 – Цифровая осциллограмма аварийного сигнала электрической системы (ток однофазного короткого замыкания ЛЭП-500 кВ) .

Штриховой линией показана аппроксимация кривой сигнала, – отсчеты В свою очередь интервал однородности может быть представлен участками нестационарного и стационарного режимов. Интервал стационарности цифровой осциллограммы обычно соответствует установившемуся режиму электрической системы. Как известно, на стационарных участках статистические характеристики сигнала инвариантны к сдвигу во времени. Поэтому полную информацию о сигнале на стационарном участке можно получить из отрезка осциллограммы длиной в период, а сам сигнал представить выборкой отсчетов одного периода. Как правило, участки стационарного режима составляют значительную часть осциллограммы. Для обработки таких участков используются простые алгоритмы. На Рисунке 1.4 стационарному режиму соответствуют интервалы [0, 23] и [55, 80] .

Интервал нестационарности (участок [24, 54]) представляет собой сигнал в переходном режиме электрической системы. Структурная модель на нестационарном участке в значительной мере зависит от местоположения обучающей последовательности отсчетов на распознаваемом участке. Важно, что адаптивная модель сигнала нестационарной части интервала однородности, может быть использована и на стационарном участке, являющемся продолжением данного интервала однородности .

Таким образом, структурный анализ заключается в разделении осциллограммы сигнала электрической системы на интервалы однородности и в разбиении (декомпозиции) сигнала интервала однородности на слагаемые множества текущего режима (1.11) с последующим определением их параметров. Поскольку ни размер, ни структура множества априори не известны, то модели при структурном анализе должны быть адаптивными [64]. И самим методам структурного анализа должна быть присуща способность изменяться в зависимости от сложности сигнала, обеспечивая адаптацию моделей к сигналам электрической системы независимо от структуры самого сигнала и конкретных его характеристик. Именно благодаря этим качествам, структурный анализ позволяет повысить точность оценки параметров сигнала .

1.4 ЗАДАЧИ СТРУКТУРНОГО АНАЛИЗА

Существуют две задачи структурного анализа сигнала электрической системы: общая и локальная. Предметом общей задачи является оценивание топологической структуры осциллограммы сигнала, представляя ее в виде интервалов однородности, на протяжении каждого из которых структура сигнала однородна и включает в себя инвариантную для этого интервала совокупность составляющих. Задача локального структурного анализа опирается на теорию адаптивных структурных моделей, определяет методы выбора и настройки структурной модели данного интервала однородности. Как будет показано в главе 2, возможности локального структурного анализа полностью определяются субстантивными свойствами адаптивных структурных моделей .

Заключительной стадией структурного анализа является компонентный анализ, методы которого формируют компонентный состав сигнала на каждом из выделенных интервалов однородности, обеспечивая однозначность и компактность моделей и избегая множественности представления сигнала .

Методы общей теории структурного анализа сигнала решают следующие основные задачи [64]:

1) сегментация сигнала. Результатом сегментации сигнала является множество интервалов однородности [20];

2) построение эффективных структурных моделей сигнала на каждом сегменте (интервале однородности) [78]. Общий порядок адаптивной модели может быть намного больше размера множества слагаемых текущего режима (1.11), но эффективный порядок модели должен быть максимально близок к размеру множества (эффективные модели рассматриваются в разделе 2.1.4); в идеальном случае =, = + .

( – избыточность порядка, необходимая для учета шумов в распознаваемом сигнале). Только в этом случае гарантируется правильная оценка слагаемых режима, и тогда каждый из этих слагаемых несет часть необходимой информации о структуре и параметрах защищаемого объекта электрической системы .

Благодаря этому структурный анализ расширяет информационный базис алгоритмов цифровых систем интеллектуальной энергетики за счет использования моделей элемента электрической системы, построенной в базисе распознанного компонента сигнала (например, модель поврежденной ЛЭП, дополненной моделью для апериодической составляющей в задаче ОМП);

3) построение редуцированных компонентных моделей сигнала на интервалах однородности. Компонентная модель будет редуцированной, если она содержит только слагаемые множества. Это достигается путем селекции корней характеристического полинома эффективной модели. Она исключает корни, ассоциированные с физически нереализуемыми (не казуальными) компонентами или не принадлежащими множеству [20];

4) решение обратной задачи структурного анализа. Подразумевается построение компактной структурной модели сигнала для задач компрессии, хранения и передачи осциллограмм на удаленный сервер [66–67], реконструкции сигналов с учетом влияния характеристик каналов измерения [68], построения моделей защищаемого объекта для различных компонентов сигнала [69], определения места повреждения на ЛЭП [69–50], выделения слабой слагаемой на фоне преобладающих составляющих сигнала [16] для различных защит, использующих слабые гармонические слагаемые, порождаемые самим объектом [17] или инжектируемые в сеть [73], и т. п .

Основным инструментом метода является адаптивная структурная модель [74], обладающая универсальной способностью распознавать структуру сигнала любой сложности. Полагается, что во время мониторинга состояния электрической системы ее параметры не изменяются во времени или меняются значительно медленней, чем развиваются процессы измерения и распознавания сигнала. Это значит, что сигнал переходного режима электрической системы при коротком замыкании можно рассматривать как реакцию линейной системы с постоянными коэффициентами или, другими словами, линейной инвариантной во времени системы (ЛИВ-системы) .

Стремление к эффективной реализации задач практических приложений метода приводит к многообразию моделей, и все они так или иначе подчинены единой цели структурного анализа. В периодическом режиме электрической системы наиболее эффективны неадаптивные модели [76, 22]. В общем случае они могут включать в себя линейный оператор с заранее заданной частотной характеристикой (например, оператор подавления гармоник) [86]. В переходном режиме сети не обойтись без адаптивных моделей [74, 75]. Если информация о некоторых составляющих текущего режима известна, то наибольшую гибкость проявляют гибридные структуры (гибридные модели) [99], сочетающие в себе универсальность адаптивных и эффективность неадаптивных моделей. В гибридных моделях предполагаемые (известные) составляющие сигнала текущего режима составляют основу неадаптивной части модели, а неизвестные слагаемые сигнала включаются в адаптивную часть. Гибридные модели наилучшим образом приспособлены для реализации в терминалах цифровой защиты .

1.5 ВЫВОДЫ

1 Сигналы интеллектуальной электрической системы поступают к устройствам распределенной системы мониторинга, защиты и управления – WAMPACS через шину процесса, в связи с чем методы обработки сигналов не могут взаимодействовать с устройствами сопряжения с шиной процесса и влиять на их характеристики преобразования измеряемых токов и напряжений электрической сети. Поэтому разрешающая способность методов распознавания структуры сигнала (структурного анализа) полностью определяется свойствами структурных моделей .

2 Сигнал свободного движения электрической системы представляет собой сумму взвешенных собственных мод системы, полностью согласованных с множеством корней ее характеристического уравнения. Компоненты принужденной составляющей определяются источниками энергосистемы, к ним же могут быть отнесены и составляющие высших гармоник. Рассматривая составляющие принужденного режима как частный случай базиса собственных мод энергосистемы, сигнал текущего режима может быть представлен полностью как линейная совокупность собственных мод .

3 Цифровые сигналы интеллектуальной электроэнергетики кроме информационных составляющих еще могут содержать шум преобразования и смещение нуля АЦП, выбросы или потери отсчетов в SV-потоке сообщений .

Поэтому в интеллектуальных устройствах WAMPACS должны быть предусмотрены алгоритмы удаления тренда (смещения нуля АЦП) и локализации и коррекции отсчетов с выбросами .

4 Существуют две задачи структурного анализа сигнала электрической системы: общая и локальная. Методы общей задачи формируют структуру осциллограммы сигнала, представляя ее в виде множества интервалов однородности, на протяжении каждого из которых структура сигнала однородна и включает в себя инвариантную для этого интервала совокупность составляющих .

Методы локального структурного анализа определяют свойства структурной модели данного интервала однородности и методы ее настройки. Заключительной стадией структурного анализа является компонентный анализ, методы которого формируют компонентный состав сигнала на каждом из выделенных интервалов однородности, обеспечивая однозначность и компактность моделей и избегая множественности представления сигнала .

Глава 2 ТЕОРИЯ АДАПТИВНЫХ СТРУКТУРНЫХ МОДЕЛЕЙ

СИГНАЛОВ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

Впервые излагается теория адаптивных структурных моделей и формулируются фундаментальные свойства структурных моделей. Показывается, что сигнал электрической системы может быть распознан, если для него сформирован эффективный фильтр. Обнаруживается, что для одного и того же сигнала может быть сформировано множество эффективных фильтров, имеющих близкие фильтры эффективного ядра, ассоциированного с полезным сигналом, и совершенно разные фильтры шума. Демонстрируется фундаментальная роль фильтра шума в распознавании сигнала, выявляются факторы, так или иначе влияющие на разрешающую способность структурных моделей .

Изложение материала ведется на основе работ [74–85] .

2.1 ОБЩИЕ НАЧАЛА ТЕОРИИ СТРУКТУРНЫХ МОДЕЛЕЙ СИГНАЛОВ

2.1.1 Истоки метода Полагаем, что во время мониторинга состояния электрической системы ее параметры не меняются во времени или изменяются существенно медленней, чем развиваются процессы измерения и распознавания сигнала. Это значит, что сигнал переходного режима электрической системы при коротком замыкании можно рассматривать как реакцию линейной системы с постоянными коэффициентами или, более обще, линейной инвариантной во времени системы (ЛИВсистемы) [100]. Поскольку априорная информация о сигнале мала, то модели должны обладать способностью распознавания сигнала электрической системы независимо от его структуры и характеристических параметров отдельных слагаемых. Такими свойствами, как известно, обладают только адаптивные структуры. Они способны учесть все многообразие сигналов переходного режима защищаемой электрической системы и распознать их структуру, почти не требуя априорной информации о сигнале [64, 101]. Модели с подобными свойствами будем называть адаптивными структурными моделями .

Адаптивные модели широко применяются в общей теории цифровой обработки сигналов [103, 112], но их прямому наследованию в методах распознавания сигналов электрических систем воспрепятствует существенное различие предметной области и решаемых релейной защитой задач [84] .

Истоки теории адаптивных моделей восходят к методу Прони. В 1795 г .

Прони применил для интерполяции данных своих опытов над газами метод, основанный на подгонке экспоненциальной модели к измерениям через равные промежутки времени. В оригинальной статье Прони [102] метод описан для случая точной подгонки экспонент под имеющиеся измерения, при этом число используемых отсчетов равно числу экспонент. Современное изложение метода Прони для случая, когда число отсчетов намного превышает число экспонент, а также развитие на случай комплексных экспонент, излагается во множестве научных трудов; наиболее известна из них работа [103] .

Метод Прони в исходном виде малопригоден для практического применения, поскольку аддитивный шум в сигнале приводит к значительной дисперсии оценок аргументов экспонент. Но Прони открыл главное свойство своей модели, заключающееся в том, что если слагаемые экспоненциальной модели являются базисом собственных функций некоторого разностного уравнения, то интерполяционная функция удовлетворяет этому разностному уравнению .

Именно это свойство модели и составляет суть метода Прони, поскольку оно обосновывает связь между корнями характеристического уравнения с аргументами экспонент. Впрочем, если бы Прони был знаком с операционным исчислением, то эту связь он легко установил бы с помощью преобразования Лапласа (чуть ниже мы покажем эту возможность) .

–  –  –

Порядок сигнала (2.1) равен числу полюсов, ( = 1, ) в его лапласовом изображении () = () = { ()}, а вид слагаемых определяется характером полюсов в соответствии с составляющими (1.4), (1.6), (1.7) и (1.9) базиса собственных мод .

Примем для упрощения изложения, что все полюсы изображения () простые, хотя, быть может и комплексные. Тогда базис мод будет представлен слагаемыми () =,

–  –  –

Напомним, что сигнал () является вещественной функцией, хотя его описание (2.2) и содержит комплексные функции и постоянные .

Лапласово изображение сигнала (2.2) при принятых свойствах полюсов будет следующим:

() () =. (2.3) ( ) =1

–  –  –

Теперь несложно видеть, что уравнение (2.11) будет справедливо только, если часть из корней характеристического уравнения модели (2.9) = ( = 1, ; = 1, ). (2.12) Равенство (2.12) устанавливает связь между частью корней характеристического уравнения фильтра (2.5) и полюсами в изображении сигнала (2.3);

назовем его уравнением согласования корней .

Отсюда следует, что характеристическое уравнение (2.9) фильтра (2.5), настроенного на полное подавление сигнала (2.2), содержит всю информацию о характеристических параметрах компонентов сигнала (о частоте и коэффициенте затухания ) .

Это и есть основной результат метода Прони .

Обобщим полученные здесь результаты и распространим их на адаптивные структурные модели сигналов электрических систем .

2.1.2 Адаптивные структурные модели с изменяемым масштабом времени

–  –  –

Здесь – как и прежде, вес m-й реализации сигнала ( ) в модели, – сдвиг m-й реализации относительно текущего времени, – число используемых реализаций (порядок модели). Масштабирующий коэффициент 0 произволен. В одних методах настройки модели он задается заранее [37, 108] (например, 0 = 1), а в других [110, 111] определяется в ходе настройки модели .

Если сигнал () свободен от шума, то можно потребовать полного соответствия модели и сигнала. Тогда невязка, вычисленная согласно (2.5), но с учетом (2.13), будет удовлетворять равенству () = ( ) = 0. (2.14) =0

–  –  –

при которой все физически реализуемые корни находятся в единичном круге на комплексной плоскости, т.е. выполняется условие | | 1 (слагаемые процесса затухают или имеют колебательный характер) .

Поскольку уравнение (2.17) является составной частью лапласового изображения невязки (2.14), то – в соответствии с изложенными в §2.1.1 свойствами выражений (2.7) и (2.11) – его корни будут ассоциированы с корнями изображения () сигнала согласно определению (2.12):

= ln. (2.18) Порядок модели (2.13) отличается от порядка сигнала (), но, очевидно, что всегда. К увеличению порядка модели приводят и присутствие шума в сигнале, и вычислительные ошибки, неизбежно вызывая появление в характеристическом уравнении (2.16) лишних составляющих, не согласующихся с корнями изображения () сигнала (1.14) .

Наряду с этим использование в модели (2.13) реализаций непрерывного сигнала с дискретным сдвигом по времени придает ей свойства цифровых моделей, приводя при ненадлежащем выборе периода T сдвига к известному явлению наложения спектров. Это отчетливо видно из свойств модели составляющей частоты () = () 2 cos() ( ) + ( 2), в которой гармоника частоты из диапазона / 2/ будет воспринята как составляющая частоты диапазона 0 /. Модель определит частоту

–  –  –

и соответствующий ей цифровой фильтр () = ( ) (2.22) =0 для цифрового сигнала (2.20) могут быть получены из (2.13) и (2.14) путем очевидных подстановок: =, =, () = ( ). Здесь 0 () – взвешенная с коэффициентом 0 оценка текущего отсчета сигнала (), – искомые коэффициенты модели, – коэффициент внутримодельной децимации (разрежения) отсчетов, изменяющий масштаб времени внутри окна фильтра;

= 1, если нет децимации .

Как и в случае с непрерывной моделью, цифровой фильтр (2.22) при отсутствии шума можно настроить на полное подавление сигнала ():

( ) = 0. (2.23) =0

–  –  –

Изменение масштаба дискретного времени трансформирует уравнение согласования корней (2.18):

= ( + ) = ln = ln. (2.27) Таким образом, и непрерывная (2.13) и цифровая (2.21) модели обеспечивают оценку полюсов изображения сигнала электрической системы, а значит, формируют основу для распознавания структуры сигнала. Ее математическая база формируется выражениями (2.21), (2.22) и (2.25) – (2.27) .

Задача структурного анализа заключается в определении компонентов непрерывного сигнала (1.14) или, что равнозначно, цифрового сигнала (2.20) .

Практическая реализация методов структурного анализа цифрового сигнала намного проще, а иногда и единственно возможна. В связи с этим дальнейшее изложение материала ведется применительно к цифровым сигналам .

При «чистом» сигнале корней характеристического уравнения (2.26) полностью согласованы с корнями изображения () полезной части анализируемого сигнала в соответствии с уравнением (2.27). Однако в общем случае, когда шум в сигнале (2.20) явно присутствует, выходной сигнал цифрового фильтра (2.22) () = ( ) + ( ) (2.28) =0 =0 кроме реакции на полезный сигнал содержит еще и реакцию на шум. Поскольку шум () носит нерегулярный характер, то реакцию фильтра на шум исключить из (2.28) путем подбора коэффициентов не удается, в связи с чем коэффициенты фильтра не будут удовлетворять равенство (2.23). Поэтому с целью снижения влияния шума коэффициенты фильтра (2.22) приходится искать как оптимальное на заданном отрезке сигнала решение. Как правило, оно формулируется как решение системы уравнений [37, 145] (2.29) ( ) = 0, = 0, 1, +, оптимальное по критерию наименьших квадратов

min 1 2 ( ) (2.30) =0

на заданном отрезке сигнала размером + + 1, где – число уравнений (отсчетов невязки), – шаг децимации (шаг разрежения) отсчетов невязки, изменяющий масштаб времени вне окна фильтра. Если число уравнений, то система (2.29) называется переопределенной, иначе, т.е. при, – недоопределенной .

К сожалению, оценки коэффициентов фильтра подвержены дисперсии. И, как это видно из (2.28), величина дисперсии зависит так или иначе от реакции фильтра на шум. Ошибка, вносимая шумом в оценки коэффициентов фильтра, скажется, в свою очередь, на оценках корней характеристического уравнения (2.26), из-за чего составляющие () будут определены с некото

–  –  –

ченные в окрестности его составляющих () .

Есть еще одно обстоятельство, содействующее многозначности результатов структурного анализа. Как видно из (2.28) один и тот же сигнал может иметь множество моделей, отличающихся порядком и, соответственно, коэффициентами. Можно ожидать, что при отсутствии шума и надлежащей настройке они будут давать одну и ту же оценку структуры сигнала. Однако при обработке сигнала реального процесса шум в сигнале неизбежен, в связи с чем оценки разных моделей хотя и будут тяготеть к истинным параметрам сигнала, но будут различны .

2.1.3 Каноническая и составная модели слагаемой сигнала Рассмотрим определения еще двух моделей. Назовем их канонической и составной моделями слагаемой сигнала. Их объединяет общее предназначение

– формирование слагаемой распознаваемого сигнала, но каждая из них эту задачу выполняет по-своему .

Каноническая модель полностью определяется корнями фильтра заграждения распознаваемой слагаемой и является субстантивной моделью: она проявляет себя как самодостаточная модель, экстраполируя отсчеты слагаемой на основе ее предыдущих отсчетов .

Любая модель сигнала текущего режима электрической сети может быть представлена как каскад канонических моделей. Действительно, пара комплексно-сопряженных корней = и +1 = +1 = характеристического

–  –  –

() =, (2.36) =0 записанная с учетом замены переменных (2.25), не имеет полюсов. Поэтому фильтр (2.22) является заграждающим оператором и, как уже упоминалось выше, представляет собой каскад канонических фильтров заграждения и подавляет в сигнале () все компоненты, согласованные с нулями передаточной функции (). И наоборот, если нули фильтра (2.36) не ассоциированы с какой-либо слагаемой сигнала, то эта слагаемая хотя и испытывает на себе воздействие фильтра, но появится в выходном сигнале. Точно так же ведет себя фильтр (2.36) по отношению к слагаемой распознаваемого сигнала, если из его характеристического полинома исключить нули, ассоциированные с этой слагаемой. Предположим, например, что i-й слагаемой сигнала соответствует пара нулей и +1 в характеристическом полиноме фильтра () = 0 ( 1 ) … ( )( +1 ) … ( ), (2.37) представленном в форме (2.26). Исключая упомянутые нули, получим полином нового фильтра:

() = () = 0 ( 1 ) … ( 1 )( +2 ) … ( ), (2.38) сигнал на выходе которого будет пропорционален i-й слагаемой распознаваемого сигнала. Поэтому фильтр с характеристическим полиномом (2.38) представляет собой модель -й слагаемой. Полученный таким образом фильтр называется составной моделью слагаемой, поскольку формирует сигнал слагаемой путем подавления всех остальных составляющих распознаваемого сигнала .

Причем для этого используется весь ресурс настроенного фильтра за исключением канонического фильтра самой слагаемой .

Покажем использование канонических и составных моделей на примере формирования ими отсчетов слагаемых сигнала () = cos(/3) + cos(/4) 2 (/12). (2.39)

–  –  –

2.1.4 Эффективные структурные модели сигнала и ее составляющие Основным препятствием к достижению полной информационной согласованности модели и сигнала является шум в сигнале. Именно из-за шума структурный анализ приобретает многозначность, представляя результаты анализа в области, охватывающей истинные параметры сигнала .

Для повышения результативности структурного анализа необходимо уменьшить указанную область неоднозначности, рассматривая решение задачи распознавания сигналов электрической системы как задачу построения эффективных структурных моделей. Под эффективностью моделей здесь понимается их способность распознавать структуру сигнала на основе формирования в своем характеристическом полиноме эффективного ядра, включающего в себя в идеальном случае корни только слагаемых распознаваемого сигнала, а при обработке сигнала реального процесса – корни существенных составляющих сигнала на фоне неизбежного шума [78] .

Дадим определения эффективной структурной модели и ее составляющих .

Если нули настроенного на сигнал () фильтра (2.22) упорядочить таким образом, чтобы первые нулей были согласованы с компонентами полезного сигнала (), то остальные нулей формально будут ассоциированы с шумом в сигнале (2.20).

Тогда характеристический полином (2.26) можно разделить на два полинома:

() = () (). (2.46) Первый из них () = ( 1 ) … ( ) (2.47) целиком согласован с компонентами полезного сигнала и получил название полинома эффективного ядра [78]. Второй полином () = () = 0 ( +1 ) … ( ) (2.48) не связан с компонентами сигнала; все его ресурсы направлены на преодоление шума в сигнале. Поэтому назовем его полиномом шума .

Если эффективное ядро модели сформировано, то модель содержит всю информацию о структуре сигнала, и сигнал может быть распознан полностью .

Хотя общий порядок модели будет всегда больше порядка сигнала (2.19), но размер его эффективного ядра будет, по крайней мере, не меньше порядка полезного сигнала, т.е.. Такую структурную модель будем называть эффективной, а размер эффективного ядра – эффективным порядком. Тогда справедливо утверждение, что модель -го порядка настроена на сигнал (), если она эффективна .

Фильтры, в ходе настройки которых в их характеристических полиномах формируется эффективное ядро, получили название эффективных фильтров [78] .

Введение понятия эффективного фильтра важно по той причине, что оно позволяет пояснить, почему один и тот же сигнал может быть распознан фильтрами различного порядка. Действительно, для структурного анализа одного и того же сигнала могут быть использованы первоначальные фильтры (2.22) различных порядков, но сигнал будет распознан только теми из фильтров, ресурсов которых достаточно для формирования эффективного ядра, т.е. эффективными фильтрами .

Методы настройки моделей должны учитывать то обстоятельство, что порядок модели принимается заведомо больше порядка сигнала. Особенно это требование важно для рекуррентных методов настройки: они должны прекратить настройку модели, как только сформировано эффективное ядро, поскольку ее продолжение приведет к разрушительному изменению многочлена () .

Следуя полиному (2.46), эффективный фильтр с передаточной функцией () = () () (2.49) можно разбить на каскадно соединенные фильтр заграждения компонентов эффективного ядра (фильтр эффективного ядра) с передаточной функцией () = () и фильтр шума с передаточной функцией () = () (Рисунок 2.2). Поскольку операция умножения в передаточной функции (2.49) коммутативна, то порядок следования фильтров в каскаде произволен .

–  –  –

б) Рисунок 2.2 – Декомпозиция фильтра (2.49) на фильтр эффективного ядра () и фильтр шума (). Схема а) удобна для анализа влияния фильтра шума на работу фильтра эффективного ядра, схема б) иллюстрирует механизм влияния фильтра эффективного ядра на работу фильтра шума. Обе схемы эквивалентны фильтру (2.49) .

Каждый из этих фильтров, будучи частью общего фильтра (2.49), преобразует полезный сигнал () и шум (). Как видно из (2.28) и схем соединения фильтров (Рисунок 2.2, а), фильтр шума изменяет полезный сигнал, влияя тем самым на настройку фильтра эффективного ядра, а фильтр эффективного ядра преобразует шум, меняя условия работы фильтра шума (Рисунок 2.2, б). С точки зрения решения задачи (2.30) важно, чтобы воздействие фильтра шума на полезный сигнал, а фильтра эффективного ядра – на шум, по крайней мере, не ухудшали бы отношения сигнал/шум .

2.2 ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ЭФФЕКТИВНЫХ СТРУКТУРНЫХ

МОДЕЛЕЙ Разрешающая способность структурной модели зависит от многих факторов. Понятно, что в первую очередь нужно обеспечить повышение соотношения сигнал/шум, обеспечивая оптимальные условия для настройки фильтра эффективного ядра и гармоничного взаимодействия его с фильтром шума [84, 113]. И как показывает анализ реакции (2.28) фильтра на сигнал, свойств критерия (2.30) и характеристического полинома (2.46), главными факторами, влияющими на разрешающую способность структурной модели, являются:

а) частота дискретизации входного сигнала; б) конкуренция составляющих фильтра эффективного ядра; в) порядок первоначального фильтра (2.22); г) внутримодельная децимация отсчетов сигнала; д) децимация отсчетов невязок .

Рассмотрим значение упомянутых факторов в структурном анализе сигнала электрической системы. Свойства структурных моделей будем иллюстрировать примерами распознавания структуры сигнала реального аварийного процесса, приведенного в Приложении (Рисунок П.1). Сигнал несложной структуры взят с целью упрощения изложения материала .

2.2.1 Влияние частоты дискретизации на распознаваемость сигнала

–  –  –

с ростом угловой частоты дискретизации (или 0) быстро убывают, приближая модель к линейному уравнению. Конечно, при отсутствии шума модель (2.50) при любом будет правильно представлять отсчет ( + ), но появление шума в сигнале приводит к искажению составляющих высшего порядка (2.51), поскольку при уменьшении периода дискретизации изменение сигнала на интервале дискретизации нивелируется и становится соизмеримой с шумом в сигнале. Поэтому при некотором малом модель (2.50) теряет свою эффективность для сигнала с шумом .

Продемонстрируем ухудшение распознающей способности структурного анализа при чрезмерном повышении частоты дискретизации на примере распознавания синусоидального сигнала () = round2 {int[100 cos()]100} = cos() + (), (2.52) полученного после округления значений отсчетов путем отсечения третьего знака после запятой. Здесь int[ ] – операция выделения целой части, round2 { } – операция округления, = = 2, – число отсчетов на периоде сигнала, () – шум округления. Используется структурная модель (2.22) 3-го порядка ( = 3) .

Задача заключается в оценке величины угла по корням характеристического уравнения фильтра (2.22) () = 1 + 3 = ( ± )( ) = 0. (2.53) =1

–  –  –

= 3, коэффициентах внутримодельной децимации = 1 и децимации отсчетов невязок = 1, и числе уравнений = 13) (14) (13) (12) 3 = [(13) (12) (11)] .

(2) (1) (0) Если сигнал (2.52) не содержал бы шума, то ранг матрицы 3 был бы равен 2. Поэтому одно из сингулярных чисел было бы равно нулю. Следовательно, приближение матрицы 3 тоже должно иметь ранг 2. Но из-за того, что сигнал содержит шум, одно из сингулярных чисел, не согласующееся с сигналом, не будет нулевым. Логично, что в рассматриваемом примере полезной составляющей сигнала будут соответствовать наибольшие сингулярные числа, а шуму

– самое малое из них (отношение среднего сингулярного числа к самому малому более 180 при частоте дискретизации 1200 Гц). Поэтому для исключения влияния шума на оценки коэффициентов модели (2.53) в примере самое маленькое сингулярное число всегда обнуляется .

Результаты вычислительного эксперимента представлены на Рисунке 2.3 .

Как видно, повышение числа отсчетов (повышение частоты дискретизации) приводит к росту погрешности определения угла. При малых модели (2.53) удается поддерживать высокий уровень точности оценки, поскольку отсчеты векторов-строк (столбцов) матрицы 3 ощутимо различаются, и это различие, так или иначе, определяется полезной частью сигнала. В этом случае собственные векторы аппроксимирующей матрицы малочувствительны к возмущениям матричных элементов 3, поскольку составляющие (2.51) еще значительны по сравнению с уровнем шумов. Но при дальнейшем повышении числа модули членов более высокого порядка в разложении (2.50) элементов векторов матрицы 3 начинают быстро уменьшаться, усиливая влияние шума на их формирование. Сингулярные числа уменьшаются, разница между ними нивелируется, и модель полезного сигнала упрощается до линейной модели. Характеристический многочлен (2.53) при 160 уже имеет только действительные корни, в связи с чем модель при больших значениях N теряет способность к распознаванию сигнала (2.52) .

Таким образом, распознавание сигнала с высокой частотой дискретизации усложняется, прежде всего, из-за нивелирования различия между соседними отсчетами и роста на этом фоне влияния шума на фор- Рисунок 2.3 – Иллюстрация потери структурной моделью распознающей способности сигнала при повышении мирование модели сигнала. частоты дискретизации (числа отсчетов N на периоде синусоиды): = 100(1 ), % – относительная поВыбор частоты дискрегрешность оценки частоты синусоидального сигнала .

тизации в терминалах релейной защиты продиктован множеством различных факторов [88], и с точки зрения распознавания сигнала ее величина часто бывает избыточно высокой .

Учитывая, что излишне высокая частота дискретизации, как уже было показано выше, ухудшает распознаваемость сигнала, порядок модели обычно выбирается намного больше порядка сигнала [37, 111, 114] и повышается число уравнений [37, 114]. К сожалению, все эти методы увеличивают размерность задачи распознавания и не дают должного эффекта .

Анализ зависимости (2.51) подсказывает, что эффективное повышение распознаваемости сигнала возможно при увеличении расстояния между отсчетами сигнала, создавая условия для повышения уровня составляющих более высокого порядка в разложении сигнала в ряд. В связи с этим возникает задача виртуального изменения частоты дискретизации [116]. Наиболее эффективное ее решение достигается путем внутримодельной децимации отсчетов. При этом составляющие (2.51) растут, а уровень шума остается прежним. Замечательное свойство этого метода заключается еще и в том, что, несмотря на внутримодельную децимацию, отсчеты невязки (2.22) могут формироваться с изначальной частотой дискретизации, т.е. внутримодельная децимация при разумном использовании не приводит к существенному росту необходимой длины отрезка сигнала. Влияние внутримодельной децимации на разрешающую способность структурного анализа рассматривается в §2.2.4 .

2.2.2 Свойства фильтра эффективного ядра

Теоретически полином эффективного ядра (2.47) сигнала инвариантен относительно порядка первоначального фильтра (2.22). Поэтому, следуя [78], можно сказать, что все эффективные фильтры сигнала отличаются друг от друга лишь фильтрами шума .

Конечно, наличие шума в сигнале приводит к многозначности эффективного ядра фильтров. Однако по мере обретения первоначальными фильтрами свойств эффективных фильтров все фильтры эффективного ядра будут стремиться к теоретическому, в связи с чем области многозначности коэффициентов фильтра эффективного ядра, а значит и оценок параметров сигнала различными эффективными фильтрами достаточно компактны для практических приложений и сосредоточены вблизи истинных параметров. Отсюда следует, что при анализе свойств эффективных фильтров можно принять, что все их фильтры эффективного ядра Рисунок 2.4 – АЧХ фильтра эффективного ядра идентичны и влияют на работу фильтров шума всех фильтров одинаково .

В то же время фильтр эффективного ядра полностью согласован с компонентами сигнала, и поэтому его характеристики не зависят от порядка первоначального фильтра .

Из АЧХ (Рисунок 2.4) фильтра эффективного ядра (П.7) обрабатываемого сигнала (Рисунок П.1) видно, что при исходной частоте дискретизации фильтр существенно подчеркивает составляющие в высокочастотной части спектра сигнала, так или иначе усиливая шум и ухудшая тем самым условия настройки первоначального фильтра в целом. Как будет видно далее, такое поведение фильтра эффективного ядра потребует усиления ресурсов фильтра шума, приводя в конечном счете к росту порядка M первоначального фильтра (2.22) .

Кроме того, фильтр эффективного ядра испытывает на себе еще и результат взаимного влияния своих составных частей: канонических фильтров основной гармоники (1 = 50,18600 /12) с передаточной функцией 1 () = 1 1,9314 1 + 2, (2.54) 3-й гармоники (31 /4) – 3 () = 1 1,4102 1 + 2 (2.55) и апериодической составляющей ( = 0,060) – () = 1 0,9418 1. (2.56) При исходной частоте дискретизации частоты заграждения фильтров (2.54) и (2.55) на амплитудно-частотной характеристике фильтра эффективного а) б) Рисунок 2.5 – АЧХ (а) и экспоненциальные характеристики (б) канонических фильтров слагаемых эффективного ядра на исходной частоте дискретизации сигнала: 1 – фильтр эффективного ядра (П.7), 1 – кривая 1 в масштабе 50:1; 2 – фильтр основной гармоники (2.54); 3 – фильтр третьей гармоники (2.55); 4 – фильтр апериодической слагаемой (2.56) .

Здесь и далее на рисунках кружочками и цифрами при них отмечены коэффициенты передачи фильтров ядра будут «прижаты» к началу координат (Рисунок 2.4). По этой причине фильтры заграждения отдельных компонентов сигнала (2.54) – (2.56) конкурируют между собой (назовем это свойство конкуренцией канонических фильтров эффективного ядра): на исходной частоте дискретизации каждый из них ослабляет «чужие» компоненты эффективного ядра. Это отчетливо видно из АЧХ канонических фильтров заграждения отдельных компонентов (Рисунок 2.5, а): коэффициенты передачи фильтров (2.55) и (2.56) на частоте основной а) б) Рисунок 2.6 – АЧХ (а) и экспоненциальная характеристика (б) составных фильтров слагаемых, полученных из фильтра эффективного ядра: 1 и 2 – фильтры основной и 3-й гармоники, 3 – фильтр апериодической слагаемой гармоники (0,26 и 0,50) и фильтров (2.54) и (2.56) на частоте 3-й гармоники (0,52 и 0,75) меньше единицы. Столь же «недружелюбно» ведут себя фильтры заграждения основной и 3-й гармоник по отношению к апериодической составляющей, значительно подавляя ее (Рисунок 2.5, б) – коэффициенты передачи их экспоненциальных характеристик при =0,060 составляют 0,07 и 0,55 соответственно. В результате коэффициенты передачи составных фильтров слагаемых, полученных из фильтра эффективного ядра путем исключения соответствующего из канонических фильтров (2.54) – (2.56) и характеризующие усиление фильтром эффективного ядра распознаваемой слагаемой, будут недостаточно высоки: коэффициенты передачи основной и 3-й гармоник будут составлять только 0,129 и 0,390 соответственно (Рисунок 2.6, а), а коэффициент передачи апериодической слагаемой – и вовсе 0,049 (Рисунок 2.6, б) .

Понятно, что исходная частота дискретизации неоптимальна для структурного анализа сигнала и, согласно выводам работы [83], должна быть уменьшена .

2.2.3 Роль фильтра шума Как уже отмечалось выше, фильтр эффективного ядра полностью согласован с компонентами сигнала, и его характеристики невозможно улучшить за счет повышения порядка первоначального фильтра. Следовательно, весь потенциал фильтра, ассоциированный с порядком, будет реализован в фильтре шума .

а) б) Рисунок 2.7 – АЧХ (а) и экспоненциальная характеристика (б) фильтра шума (П.8) На первый взгляд, фильтр шума должен лишь ослабить шум в сигнале, повышая отношение сигнал/шум, и тем самым улучшить настройку первоначального фильтра. Но вычислительный эксперимент показывает, что существует более результативный путь, заключающийся не столько в ослаблении шума, а сколько в значительном избирательном усилении составляющих эффективного ядра. И как видно из амплитудно-частотных и экспоненциальных характеристик (Рисунок 2.7, а и б), фильтр шума (П.8) не столько ослабляет шум, сколько усиливает составляющие эффективного ядра. Фильтру шума удается во много раз усилить как гармоники (коэффициенты усиления 53,6 и 16,7), так и апериодическую составляющую сигнала (коэффициент передачи амплитуды 80) .

–  –  –

г) Рисунок 2.8 – Распознаваемый ток короткого замыкания (а) и сигналы на выходах фильтров: б) невязка фильтра эффективного ядра при преобразовании им тока ; в) невязка (выходной сигнал эффективного фильтра), полученная при обработке невязки фильтром шума; г) выходной сигнал фильтра шума при преобразовании им тока Причем фильтру шума удается учесть то обстоятельство, что фильтр эффективного ядра вносит в подавление апериодической составляющей большую лепту, чем в ослабление гармоник: как видно, усиление апериодической составляющей более 1,5 раз превышает усиление основной гармоники. Неожиданно и то, что фильтр шума практически не ослабляет невязку (шум) () фильтра эффективного ядра (Рисунок 2.8, в) и главным образом восполняет потерю в уровне составляющих эффективного ядра (Рисунок 2.8, г), возникшую из-за неоптимальной частоты дискретизации сигнала .

В итоге составные фильтры слагаемых усиливают основную и 3-ю гармоники 6.93 и 6.52 раза (Рисунок 2.9, а), а апериодическую слагаемую – 3,95 раза (Рисунок 2.9, б) .

Следовательно, распознавание структуры сигнала будет успешным, если фильтру шума удается восполнить потерю в уровне составляющих эффективного ядра, возникающую либо из-за неоптимальной частоты дискретизации сигнала, либо из-за слабого соотношения сигнал/шум. Причем он всегда реализует АЧХ, обеспечивающую максимальное избирательное усиление составляющих эффективного ядра, если полный фильтр эффективен .

а) б) Рисунок 2.9 – АЧХ (а) составных фильтров: 1 – основной и 2 – третьей гармоник, экспоненциальная характеристика (б) составного фильтра апериодической слагаемой Этот вывод имеет фундаментальное значение для структурного анализа и объясняет феномен сохранения критерием (2.30) унимодальности в пространстве коэффициентов фильтра эффективного ядра и при решении недоопределенной системы уравнений (2.29), т.е. когда число уравнений меньше числа неизвестных коэффициентов. Обнаруживается, что фильтр (2.22) приобретает эффективность и формирует в себе фильтр эффективного ядра даже в случае недоопределенной задачи МНК, если ресурса фильтра шума достаточно для повышения соотношения сигнал/шум до необходимого уровня. Минималь

–  –  –

в) г) Рисунок 2.10 – АЧХ: (а) недоопределенного фильтра, (б) 1 – фильтра шума (П.10) и 2 – фильтра эффективного ядра (П.9), (в) составных фильтров: 3 – основной и 4 – третьей гармоник, (г) экспоненциальная характеристика составного фильтра апериодической слагаемой В качестве примера на Рисунке 2.10 приведены характеристики фильтра, полученного при решении недоопределенной системы уравнений, т.е. настроенного на подавление сигнала на отрезке, недостаточном для составления полномасштабной системы уравнений (2.29) для определения коэффициентов фильтра. Его фильтр эффективного ядра (П.9) практически совпадает с соответствующим фильтром (П.7), полученным в переопределенной системе .

Интересно, что с целью повышения разрешающей способности фильтра в работе [122] тоже рекомендуется использовать недоопределенный фильтр, предлагая отказаться от распространенного эмпирического правила [123], предписывающего выбирать порядок первоначального фильтра (2.22) между /3 и /2, где – число отсчетов в наблюдаемом отрезке сигнала. Смысл правила [123] очевиден: число уравнений должно быть не меньше порядка модели. Авторы [122], опровергая ограничения правила [123], в подтверждение обоснованности использования недоопределенного фильтра приводят результаты распознавания двух синусоид, однако не дают пояснения сути явления. В то же время введение в рассмотрение понятия фильтра шума дает ясное обоснование возможности распознавания структуры сигнала недоопределенным фильтром .

Отметим еще одну важную деталь. Из АЧХ составных фильтров (Рисунки 2.9, а и 2.10, в) видно, что фильтр шума всегда нацелен на максимальное усиление полезных составляющих сигнала. Благодаря этому свойству фильтра шума АЧХ составных фильтров достигают максимума, как правило, именно на частотах слагаемых эффективного ядра, создавая наиболее благоприятные условия для распознавания структуры сигнала .

Положительное влияние увеличения порядка фильтров на их разрешающую способность отмечается во многих работах. Например, в работе [151] отмечается, что среди нулей фильтра, порядок которого значительно превышает порядок сигнала, имеются посторонние нули, не ассоциированные с сигналом и выходящие за пределы единичного круга при низких уровнях отношения сигнал/шум. Утверждается, что эти «посторонние» нули защищают нули сигнала от возмущения из-за шума. Как видим, введение понятия фильтра шума дает этому свойству нулей вполне обоснованное объяснение .

2.2.4 Влияние внутримодельной децимации

Частота дискретизации сигналов интеллектуальной энергетики намного превышает частоту основной гармоники (выше 1000Гц). И как уже отмечалось выше, такое соотношение частот не оптимально для структурного анализа, поскольку составляющие фильтра эффективного ядра – канонические фильтры заграждения отдельных компонентов сигнала – конкурируют между собой, ослабляя «чужие» компоненты .

Ясно, что частоту дискретизации необходимо изменить с таким расчетом, чтобы фильтры заграждения отдельных компонентов не ослабляли слагаемых эффективного ядра, обеспечивая, по возможности, равномерность АЧХ на всей полосе частот от 0 до частоты Найквиста (в относительных частотах от 0 до ). Достигается это изменением масштаба времени внутри модели путем внутримодельной децимации отсчетов с шагом в фильтре (2.22) .

Предпринятое таким образом виртуальное повышение интервала дискретизации устраняет внутреннюю конкуренцию составляющих эффективного ядра и значительно уменьшает необходимый порядок фильтра шума .

В нашем случае опасение, что для распознаваемого сигнала (П.6) при снижении частоты дискретизации могут появиться нежелательные эффекты наложения спектров, не позволяет поднимать коэффициент внутримодельной децимации выше 3. Но и этого оказывается достаточно для значительного улучшения всех характеристик эффективного фильтра. Как видно из АЧХ фильтров его составляющих (Рисунок 2.11, а), при внутримодельной децимации коэффициенты передачи канонических фильтров третьей гармоники и апериодической составляющей на частоте основной гармоники ( = /4) составляют уже 2,81 и 0,72 против 0,51 и 0,26 на исходной частоте (Рисунок 2.5, а), а коэффициенты передачи канонических фильтров основной гармоники и апериодической составляющей на частоте 3-й гармоники – соответственно 2,81 и 1,67 против 0,51 и 0,74. Внутримодельная децимация улучшает и экспоненциальные характеристики фильтров гармоник: коэффициенты их передачи растут до 0,74 и 4,10 (Рисунок 2.11, б) против 0,07 и 0,55 на исходной частоте дискретизации (Рисунок 2.5, б) .

–  –  –

В итоге, благодаря устранению конкуренции между каноническими фильтрами эффективного ядра за счет внутримодельной децимации, удается снизить минимальный порядок первоначального фильтра с 15 до 7. Характеристики фильтров при внутримодельной децимации с шагом = 3 приведены на Рисунке 2.12 .

2.2.5 Оптимальная частота дискретизации гармоники

Как уже отмечалось в разделе 2.1.4, эффективный адаптивный фильтр может быть представлен как каскад заграждающих канонических фильтров .

Поэтому разрешающая способность адаптивного фильтра в целом зависит от эффективности работы его канонических фильтров .

При распознавании гармоники соответствующий ему канонический фильтр должен проявить способность определять ее частоту с заданной точностью. Разумно полагать, что существует оптимальная частота дискретизации,, обеспечивающая благоприятные условия для оценки частоты гармоники .

Определим ее .

–  –  –

3,75 15 3,33 7 2,74 2,5 10 1,25 5 6,83 3,95 0 0,06 0,12 0,18 0,24 /4 /2 3/4

–  –  –

Эту частоту дискретизации будем называть оптимальной .

Рассматривая совместно выражения (2.59) – (2.61), получаем связь смещения оценки коэффициента фильтра

–  –  –

2.2.6 Влияние числа и децимации невязок Число отсчетов невязок и шаг их децимации, используемые в критерии (2.30), не могут влиять на характеристики фильтров эффективного ядра и шума напрямую. Они действуют на них опосредованно .

а) б) Рисунок 2.15 – Зависимость критерия (2.30) при = 1 от коэффициентов канонического фильтра основной гармоники 1 () = () + 1 ( ) + 2 ( 2) эффективного ядра (П.11) при порядке эффективного фильтра = 14 и = 1 в линейном (а) и логарифмическом (б) масштабе: 1 – = 19; 2 – = 24. A и В – направления минимальных и максимальных градиентов на поверхности критерия E соответственно. Принято, что фильтр шума и остальные канонические фильтры эффективного ядра определены. Линии равного уровня указаны на плоскости коэффициентов 1 и 2 для поверхности с номером 2 Понятно, что повышение числа уравнений сглаживает флуктуации критерия (2.30), вызванные реакцией первоначального фильтра на шум (2.28), но это обстоятельство не имеет решающего значения в обретении первоначальным фильтром свойств эффективного фильтра. Важнее всего то, что с ростом числа невязок сокращается вытянутость линий уровня благодаря разнесению поверхностей 2 ( ), ( = 0, 1) критерия (2.30) в пространстве искомых коэффициентов фильтра (2.28), что приводит к повышению крутизны поверхности критерия около его минимума (Рисунок 2.15). Это нивелирует неопределенность в окрестности точки минимума критерия, вносимую шумом .

Децимация невязок также сокращает вытянутость линий уровня критерия (2.30) благодаря разнесению отсчетов невязок (2.28) во времени; и очевидно,

–  –  –

2.3 ВЫВОДЫ 1 Структура сигнала будет распознана, если в структурной модели сформировано эффективное ядро, корни характеристического уравнения которого согласованы в идеальном случае только с информационными слагаемыми сигнала, а при обработке сигнала с шумом – только с существенными составляющими сигнала. Другая часть базиса собственных функций структурной модели формально ассоциирована с шумом и формирует так называемый фильтр шума .

Такая структурная модель называется эффективной .

2 Предельная разрешающая способность эффективных структурных моделей не зависит от методов настройки и обеспечивается следующими их субстантивными (самодостаточными) свойствами:

а) ресурсы фильтра шума всегда направлены на максимальное избирательное усиление информационных слагаемых сигнала, мало придавая внимания подавлению шума в сигнале;

б) порядок модели играет решающую роль и несет основную нагрузку в задаче повышения разрешающей способности структурной модели, поскольку определяет предельные ресурсы фильтра шума. Поэтому повышению порядка должно быть отдано предпочтение, может быть, даже в ущерб числу невязок, используемых при настройке модели;

в) изменение масштаба времени внутри модели (внутримодельная децимация) является магистральным путем повышения разрешающей способности, поскольку решает проблему конкуренции канонических фильтров заграждения эффективного ядра. Подобное изменение масштаба времени для невязок не столь эффективно, поскольку не может влиять на свойства структурных моделей непосредственно .

Глава 3 НЕАДАПТИВНЫЕ И ГИБРИДНЫЕ СТРУКТУРНЫЕ МОДЕЛИ

В главе теория структурных моделей распространяется на неадаптивные и гибридные модели. Излагается основы неадаптивных структурных моделей, использующих представление синусоидальных величин в базисе ортогональных составляющих опорной частоты. Изучаются генеральные свойства ортосоставляющих и их оптимальные оценки. Определяется структура гибридной модели, рассматривая ее как линейный оператор, обладающий универсальностью адаптивных и эффективностью неадаптивных моделей. Изучается роль ее составляющих в распознавании структуры сигнала. Дается пример использования гибридной модели .

Изложение материала ведется на основе работ [20, 22, 57, 76, 86–99] .

3.1 НЕАДАПТИВНЫЕ СТРУКТУРНЫЕ МОДЕЛИ И ИХ СВОЙСТВА

3.1.1 Генеральные свойства ортогональных составляющих гармоники

–  –  –

будут преобразованы в соответствующие пары гармонических слагаемых частот 1 и 1 + ( = 1, 2, 3, … ), а апериодическая составляющая – в затухающую колебательную слагаемую частоты .

Очевидно, что опорная частота должна выбираться с таким расчетом, чтобы избежать наложения составляющих после преобразования частот. Поэтому разностная частота, определяемая согласно (3.3), должна быть меньше частоты основной гармоники 1, т.е. | | 1. Обычно опорную частоту принимают равной номинальной частоте оцениваемой гармоники, следовательно, = 0, а частота гармоники согласно (3.2) равна

–  –  –

Так же обстоит дело и при (Рисунок 3.2, б), с той лишь разницей, что в этом случае оцениваемая и соседняя гармоники меняются местами, изменив условие выбора максимально возможной девиации частоты:

max ( )( + ),. (3.14)

Условия (3.13) и (3.14) можно объединить в одно:

max | |( + ). (3.15) В релейной защите чаще всего преобразуемой является основная гармоника ( = 1), представленная на фоне нечетных кратных гармоник ( = 3, 5, ) .

Поэтому частота опорных сигналов принимается равной 0, а частота среза фильтра нижних частот выбирается исходя из условия отстройки от составляющей левой боковой частоты от соседней гармоники; в данном случае от третьей ( = 3). Максимально возможная девиация будет ограничена условием (3.15). Поэтому max 0,5, а частота среза фильтров 0,50 .

3.1.3 Оптимальные неадаптивные модели

Неадаптивные модели более приспособлены для обработки сигналов установившегося периодического режима электрической сети, хотя в практике релейной защиты часты случаи применения их и для анализа сигнала переходного режима, например сигнала (3.12) .

Рассмотрим анализ полигармонического сигнала установившегося режима электрической сети. В этом случае сигнал (3.12) не будет содержать апериодической составляющей:

() = cos(1 + ). (3.16) =1

–  –  –

Обычно оценки ортосоставляющих ищут по методу наименьших квадратов [129], оценивая качество приближения модели к сигналу с помощью критерия () = 1 2 ( ), (3.18) =0 <

–  –  –

При девиации частот гармоник относительно опорных частот оценки ортогональных составляющих  () и  () должны были бы меняться во времени в соответствии с (3.4) и (3.5). Однако из-за ненулевой взаимной корреляции между составляющими разных частот модели и сигнала в векторе T ()() решения (3.20) появляются колебания суммарных и разностных частот. И, как следствие, оценки ортосоставляющих (Рисунок 3.3) и оценки ам

–  –  –

(3.17) с = 250 рад/с, = 1, 3, 5. Обращает внимание, что влияние составляющих суммарных и разностных частот от разных гармоник на оценки ортосоставляющих проявляется довольно слабо, хотя амплитуды гармоник достаточно велики. Объяснение этому эффекту нужно искать в сглаживающем свойстве скалярного произведения, проявляющемся при вычислении вектора T ()(). Более подробно это свойство рассмотрено в следующем параграфе .

3.1.4 Оптимальные оценки ортосоставляющих гармоники

–  –  –

3.1.5 Синхронная дискретизация при оценивании ортосоставляющих Подразумевается, что частота дискретизации входного сигнала синхронизирована с частотой сети [131, 20], поэтому угловое расстояние 1 = 2/ между отсчетами основной гармоники ( – число отсчетов на периоде) под

–  –  –

элементы которого состоят только из высокочастотных составляющих, возникающих в результате преобразования частот в правой части .

Сравнивая левую и правую части системы (3.32), видим, что именно вектор Q предстает источником погрешности при определении ортосоставляющих .

Поэтому решение системы будет соответствовать каноническому решению (3.8) исключительно тогда, когда вектор Q будет нуль-вектором, т.е. = = 0 0T, где верхний индекс означает транспонирование. Это осуществимо, если скользящему среднему удается подавить все составляющие вектора Q. Как следует из АЧХ (3.25), такая возможность появляется, если только угловая апертура скользящего среднего (1 /2) = () = (3.34) для всех = 1, будет кратна полупериоду (т. е. – любое положительное целое). Тогда из определения (3.25) следует, что коэффициенты передачи 2 = = = 0, и вектор Q будет обнулен. И уравнения системы (3.32) перестают зависеть друг от друга .

Поскольку система (3.32) наследует свои свойства у системы (3.27), то под действием условия (3.34) система (3.27) тоже распадается на независимые уравнения, известные как уравнения классического фильтра Фурье:

 () = [() {()}] cos[(2/)], (3.35) =+1 2 (3.36)  () = [() {()}] sin[(2/)] .

=+1 Здесь учтена связь между частотами (3.31). Оценки ортосоставляющих  () и  () должны быть пересчитаны с учетом влияния оператора {()} 0 .

При = /2 уравнения определяют известный фильтр Фурье с половинным, а при = – с полным окном. Как следует из условия (3.34), минимальное число отсчетов L, при котором все составляющие вектора (3.33) будут подавлены, равно N. Следовательно, только при полном окне данных (при = ) оценки ортосоставляющих будут свободны от слагаемых суммарных частот, даже если сигнал состоит только из одной гармоники .

–  –  –

Уменьшить влияние апериодической составляющей на точность оценки ортосоставляющих можно с помощью заграждающего оператора [86, 138] 1 {()} = 0 ( 1), (3.38) представляющего собой модель апериодической составляющей с предполагае

–  –  –

мым коэффициентом затухания 0. Поскольку фильтр ортосоставляющих лишен способности к адаптации, то коэффициент 0 обычно принимается равным либо нулю [76], превращая тем самым уравнение (3.38) в модель постоянной составляющей, либо некоторому значению 0,, оптимальному с точки зрения уменьшения ошибки в оценках ортосоставляющих при заданном размере L окна данных (Рисунок 3.7) .

Заграждающие операторы (3.37) и (3.38) вносят смещение в оценку ортосоставляющих основной гармоники в соответствии со своими частотными характеристиками. Поэтому в составе фильтра ортосоставляющих нужно предусмотреть блоки компенсации их влияния на оценку комплексной амплитуды гармоники .

Переоценивать роль оператора заграждения {()} не стоит, поскольку известно, что скользящая средняя в системе (3.27) и уравнениях (3.35) и (3.36) эквивалентна каскадному соединению заграждающих фильтров [139]. Это хорошо видно и из АЧХ скользящей средней, особенно при полном окне = (Рисунок 3.5). Оператор {()} может лишь восполнить отсутствие в скользящем среднем некоторых заграждающих фильтров. Значит, выигрыш в быстродействии оценивания ортосоставляющих в фильтрах с короткими окнами ( ) возможен лишь для сигналов с ограниченным числом гармоник .

3.1.7 Быстродействующие фильтры ортосоставляющих основнойгармоники

Фильтры с сокращенным окном. Как уже отмечалось, для быстродействующих защит благоприятны фильтры, использующие отсчеты с синхронной дискретизацией. При этом размер окна данных L может быть и меньше числа отсчетов N на периоде основной гармоники. Такие фильтры при синхронной дискретизации обеспечивают оценивание ортосоставляющих основной гармоники без методической погрешности. Но в работе цифровой защиты существуют режимы, когда система мониторинга частоты сети еще не готова обеспечить выборку синхронных отсчетов (во время старта цифровой защиты) или потеряла способность к синхронизации (потеря сигнала из-за неисправности цепи) .

Важно, чтобы используемый фильтр и в этом случае сохранил работоспособность и приемлемую точность оценки ортогональных составляющих .

Основным пороком режима несинхронной дискретизации является появление в оценках ортосоставляющих методической погрешности из-за отклонения частоты сети от номинальной, даже если сигнал состоит только из одной гармоники. Вызвано это ухудшением подавляющих свойств скользящей средней и разладом частот составляющих в левой и правой частях системы (3.27) .

Действительно, совместный анализ правой части системы (3.28) и АЧХ скользящей средней (Рисунок 3.5) показывает, что при оценке основной гармо

–  –  –

щей. Коэффициент внутримодельной децимации выбирается таким образом, чтобы фильтр заграждения составляющей двойной частоты 20 () = () 2 {()} (3.43) имел равномерную АЧХ, симметричную относительно частоты заграждения (кривая 2 на Рисунке 3.8). Тем самым достигается равномерное влияние заграждающего фильтра как на низкочастотную, так и высокочастотную часть спектра составляющих в правой части системы (3.39) .

Как и прежде оператор {()} предназначен для избирательного удаления гармоник и апериодической слагаемой сигнала .

Рассмотрим характеристики точности и быстродействия фильтров ортосоставляющих основной гармоники (3.39) при несинхронной дискретизации (без учета оператора {()}). Все иллюстрации будут представлены для частоты дискретизации 1200 Гц (число отсчетов на периоде основной гармоники = 24) .

Амплитудно-частотные характеристики. При отсутствии оператора заграждения составляющих суммарной частоты (3.42) уменьшение окна обработки ухудшает АЧХ фильтров ортосоставляющих (Рисунок 3.6) – уже при ширине Рисунок 3.8 – Амплитудно-частотная характеристика фильтра (3.43) с частотой окна в четверть периода основной гарзаграждения 100 Гц: 1 – при первоначальной частоте дискретизации 1200 Гц моники ( = 4 = 6) фильтр практичепри внутримодельной дециски теряет избирательные свойства, по- мации ( = 3, виртуальная частота дискретизации 400 Гц). r – номер гармоники давляя лишь 5-ю и 9-ю гармоники (кри- (частота основной гармоники равна 50 Гц) вая 6) .

Использование фильтра заграждения (3.43) суммарной частоты 100 Гц положительно сказывается на характеристиках всех модификаций фильтра (3.39), повышая их избирательность. Наибольшая эффективность выравнивания

–  –  –

3.2 ГИБРИДНЫЕ СТРУКТУРНЫЕ МОДЕЛИ СИГНАЛОВ

3.2.1 Роль составляющих гибридной модели Как уже отмечалось, адаптивные модели обладают общей универсальностью при структурном анализе сигналов, проявляя способность работать в условиях структурной неопределенности сигналов как установившегося, так и переходного режимов электрической сети. Но при распознавании сигналов периодического режима сети, содержащих кратные гармоники, их эффективность значительно уступает неадаптивным моделям, поскольку часть ресурса модели будет использована для преодоления шума, приводя к повышению общего порядка адаптивной модели. Поэтому при распознавании сигнала периодического режима неадаптивные модели имеют преимущество перед адаптивными .

Часто во входных сигналах релейной защиты и автоматики существенно присутствуют лишь основная гармоника и апериодическая составляющая. Порядок эффективной модели в этом случае не столь велик, но наличие шума, даже небольшого, приводит к увеличению общего порядка адаптивной модели до 1315 .

Кроме того, частота основной гармоники 1, как правило, известна; в цифровой релейной защите это обеспечивается модулем мониторинга частоты .

Поэтому удобно учитывать основную и высшие гармоники неадаптивным оператором, а задачу определения апериодической составляющей и учет шума лучше переложить на адаптивный оператор .

Рассматривая задачу структурного анализа под этим углом зрения, приходим к гибридным моделям – структурам, имеющим наибольшую гибкость, поскольку они сочетают в себе универсальность адаптивных (2.21) и эффективность неадаптивных моделей (3.17):

() = [ cos(1 )  sin(1 )] 0 =1 (3.44) ( ) .

=1 Напомним, что в этом случае оценки ортосоставляющих  и  не меняются во времени и соответствуют канонической форме (3.8) .

Порядок неадаптивной части модели выбирается исходя из числа высших гармоник, подлежащих распознаванию им, а адаптивная часть должна обеспечивать определение непериодических составляющих и нивелирование влияния шума в сигнале .

Гибридный фильтр, соответствующий модели (3.44), определяется как оператор, вычисляющий невязку между текущим отсчетом () и его оценкой

–  –  –

Эффективность гибридных моделей обоснована прежде всего той их особенностью, что характеристические параметры (частоты гармоник) ее неадаптивной части полностью определены и согласованы с периодическими слагаемыми сигнала. Поэтому неадаптивная часть модели оптимально подготовлена для извлечения из сигнала гармоник, хотя, быть может, что ее порядок и избыточен для моделирования периодической части распознаваемого сигнала. Задачей адаптивной части будет лишь распознавание составляющих свободного процесса. В большинстве практических случаев, когда свободный процесс представлен только апериодической составляющей, адаптивная часть может иметь минимальный порядок = 1 .

Оценки параметров неадаптивной части модели (3.44) будут иметь смещение, вызванное действием адаптивного оператора на входной сигнал.

Оно устраняется с учетом частотной характеристики адаптивного оператора (П.13), путем замены переменных [37]:

 +  = ( +  )/(1 ). (3.46)

3.2.2 Пример распознавания сигнала гибридной моделью

Проиллюстрируем работу гибридной модели на примере распознавания сигнала переходного режима, отсчеты которого приведены в Таблице П.1 .

Адаптивные модели обеспечивают распознавание сигнала при порядке выше 13. Соответствующие им модели (П.7) и (П.8) приведены в ПриложенииПРИЛОЖЕНИЯ. Гибридная модель (3.44) добивается тех же результатов при существенно меньших ресурсах, для распознавания сигнала ей достаточно 5-го порядка.

Она состоит из неадаптивной части, учитывающей обе гармоники сигнала, и адаптивной части, предназначенной для оценки апериодической составляющей:

() = 0,4651 cos() + 0,5375 sin() (3.47)

–  –  –

оценки гармоник, получаемые гибридной моделью (3.44), принципиально не содержат ошибок при распознавании сигнала переходного режима .

3.3 ВЫВОДЫ 1 Гармоническая составляющая сигнала электрической сети может быть представлена в ортогональном базисе синусоидальных составляющих выбранной опорной частоты с помощью ортогональных составляющих, аргументы которых в общем случае изменяются во времени пропорционально разности частот гармоники и сигналов базиса .

2 Неадаптивные модели в принципе предназначены только для распознавания структуры полигармонического сигнала и обеспечивают несмещенные оценки ортогональных составляющих гармоник, если только в модели предусмотрены все значимые слагаемые сигнала и известны их частоты .

3 Среди множества методов оценки ортогональных составляющих выделяются два центральных: метод преобразования частот и метод оптимальных оценок. Метод преобразования частот достигает своих предельных возможностей только при использовании идеального фильтра нижних частот с относительно узкой полосой пропускания, что существенно ограничивает быстродействие таких фильтров ортогональных составляющих. Использование вместо фильтра нижних частот прямоугольного окна (классический фильтр Фурье) имеет преимущество перед другими видами окон сглаживания промежуточных сигналов при распознавании полигармонического сигнала с гармониками кратных частот, особенно при синхронной дискретизации сигнала, но ограничивает быстродействие фильтра, поскольку окно сглаживания принципиально не может быть меньше периода распознаваемой гармоники .

4 Повышение быстродействия достигается в модифицированных фильтрах Фурье, использующих сокращенные окна и различные линейные операторы для предварительной обработки входного сигнала и промежуточных сигналов. Однако эти фильтры в принципе имеют методическую погрешность. Перед ними имеют преимущество методы оптимальной оценки ортогональных составляющих, окно обработки которых определяется лишь количеством гармоник в сигнале .

5 Гибридные фильтры обладают лучшей эффективностью, когда характеристические параметры (частоты гармоник) ее неадаптивной части полностью согласованы с периодическими слагаемыми сигнала. Они не теряют эффективности даже тогда, когда в неадаптивной части модели некоторые из гармоник упущены; адаптивная часть фильтра возьмет на себя распознавание этих гармоник наряду с составляющими свободного процесса .

Глава 4 РАЗРЕШЕНИЕ СТРУКТУРНОЙ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ

СИГНАЛА В главе исследуются методы построения эффективных структурных моделей в условиях структурной неопределенности сигнала. Разбираются методы, основанные на решении классической и общей задачи наименьших квадратов .

Показывается, что возможности структурных моделей, предназначенных для работы на коротком отрезке данных и имеющих небольшой порядок, кардинально зависят от методов настройки и достигают наибольшей эффективности при использовании решения общего метода наименьших квадратов с минимальной нормой. Здесь проявляется слабость структурных моделей при недостаточно высоком потенциале фильтра шума. Однако при использовании моделей высокого порядка практически все методы обретают преимущества общего метода наименьших квадратов, поскольку с ростом порядка фильтра повышается потенциал фильтра шума, нивелирующий разницу в методах настройки моделей. Предлагается новый метод настройки моделей, основанный на наложении промежуточных фильтров-прототипов, обеспечивающий распознавание структуры сигнала в темпе развития процесса в электрической системе. Метод решает задачу наименьших квадратов в условиях сингулярности траекторной матрицы, проявляя преимущества аппроксимации сигнала эффективной моделью аналогично аппроксимации траекторной матрицы в традициях известной теоремы Экарта–Янга–Мирского [143, 144]. Метод наложения фильтров предназначен в первую очередь для распознавания структуры сигнала в темпе развития процесса .

Изложение материала ведется на основе работ [37, 70, 40, 110, 111, 115– 121] .

4.1 КЛАССИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ МНК ПРИ НАСТРОЙКЕ МОДЕЛЕЙ

(ВИНЕРОВСКИЕ ОЦЕНКИ)

–  –  –

чителен, в связи с чем он не оказывает существенного влияния на оценку текущего отсчета (4.1). Отношение сигнал/шум значительно, и вектор коэффициентов (4.2) может быть определен просто как решение системы уравнений (4.4) = 1 (4.8) в предположении, что число уравнений = и матрица X квадратная невырожденная [124] .

Для сигнала реального процесса шум имеет существенную величину с точки зрения влияния на оценку отсчета, и природа ее возникновения связана в основном с шумами тракта доставки сигнала до цифровой защиты и преобразования непрерывного сигнала в цифровой. Шум ухудшает разрешающую способность модели (4.1) и приводит к повышению ее порядка. В связи с этим всегда подразумевается, что порядок модели выше порядка сигнала текущего режима (1.13) .

Рассчитывать, что при наличии в сигнале шума система (4.4) совместна и ее решение единственно, нет достаточных оснований, поскольку шум произволен и не может быть учтен моделью (4.1). Поэтому уравнение (4.4) не имеет точного решения и должно быть записано как приближенное равенство. (4.9) Решение системы (4.9) уже не может быть единственным, и речь может идти только об отыскании оптимального решения, доставляющего лучшее усредненное приближение модели к сигналу .

Ясно, что вектор лежит в пространстве столбцов () траекторной матрицы, поскольку является комбинацией столбцов с компонентами вектора

–  –  –

4.2 РАЗРЕШЕНИЕ СТРУКТУРНОЙ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ СИГНАЛА С

ПОМОЩЬЮ СИНГУЛЯРНОГО РАЗЛОЖЕНИЯ

В классической теории цифрового спектрального анализа [103] и анализа временных рядов [128] сингулярное разложение (SVD) используется как устойчивый метод оценки спектральных характеристик сигнала при неполном ранге траекторной матрицы. Возможность применения SVD в практике релейной защиты применительно к задаче оценивания основной гармоники тока короткого замыкания впервые была показана в работе [37]. В зарубежной литературе по релейной защите использование SVD известно в задачах построении неадаптивных моделей сигнала [146, 108], а также в анализе сигналов различных режимов электроэнергетической системы[147, 148] .

4.2.1 Сингулярное разложение и численный ранг траекторной матрицы Как уже отмечалось, в случае дефекта ранга траекторной матрицы, решение (4.15), минимизирующее норму (4.11), вырождается. В терминах линейной алгебры это означает, что система (4.9) имеет бесконечное множество решений Действительно, во множестве случаев распознавания структуры сигналов аварийных процессов электрической системы определитель = det[ ] (4.16) относительно мал, и даже незначительный шум в сигнале и ошибки округлений приводят к существенным флуктуациям в решении (4.15) [116]. Особенно это характерно для приложений с высокой частотой дискретизации входных сигналов. Разумеется, вычислить оценку (4.15) при дефекте ранга траекторной матрицы невозможно, поскольку определитель (4.16) просто равен нулю .

Для практических приложений важны методы настройки моделей, обладающие стабильностью к возмущениям в измерениях и способные решить задачу оценки численного ранга траекторной матрицы в ходе самой настройки .

Под численным рангом здесь подразумевается число, такое, что оно является рангом меньшей матрицы, аппроксимирующей с требуемой точностью исходную траекторную матрицу. Возможность вычисления такой матрицы, являющейся наилучшим в смысле наименьших квадратов приближением анализируемой траекторной матрицы [114], следует из теоремы Экарта–Янга– Мирского [143, 144]. В определении такой аппроксимирующей матрицы важную роль играет сингулярное разложение. Прежде чем привести здесь упомянутую теорему, кратко изложим основы сингулярного разложения. Более подробно с его свойствами можно ознакомиться в книге [145] .

Сингулярное разложение траекторной матрицы определяется следующим образом:

–  –  –

Следовательно, наименьшее сингулярное число траекторной матрицы равно измеренному в евклидовой норме расстоянию до множества всех матриц неполного ранга.

И поэтому, пользуясь понятием -ранга матрицы [145] = rank(, ) = min| |2 rank( ), (4.21) определяющего, что квадратичное расстояние от траекторной матрицы до аппроксимирующей матрицы не больше заданного порога, можно разделить сингулярные числа на два подмножества:

1 … +1 …, = min{, }. (4.22) Другими словами, анализируя сингулярные числа можно определить степень близости аппроксимирующей матрицы к траекторной матрице в метрике евклидового пространства, т.е., определить численный ранг траекторной матрицы как номер сингулярного числа, превышающего заданный порог 0 .

Используя понятие численного ранга траекторной матрицы, можно сформулировать решение задачи построения структурной модели с минимальной нормой .

4.2.2 Модели с минимальной нормой

–  –  –

доставляет минимум норме | |2 и имеет наименьшую евклидовую норму среди всех таких .

Напомним, что вычисление минимума нормы | |2 тождественно вычислению критерия наименьших квадратов (2.30) .

–  –  –

4.3 РАЗРЕШЕНИЕ СТРУКТУРНОЙ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ В ОБЩЕЙ ЗАДАЧЕ

НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

4.3.1 Введение в общую задачу наименьших квадратов Классическое решение задачи метода наименьших квадратов (4.15) и решение с минимальной нормой (4.25) основаны на постулате (4.13), предполагающем, что траекторная матрица определена точно, и все ошибки сосредоточены в векторе наблюдения. И, следуя именно этой гипотезе, считается, что вектор в уравнении (4.13) является проекцией вектора наблюдения на подпространство столбцов () «идеальной» траекторной матрицы (Рисунок 4.1) .

В практических приложениях траекторная матрица (4.5) формируется на основе тех же отсчетов сигнала, что и вектор наблюдения (4.6), и оказывается, что они оба несвободны от ошибок измерения и шума. Очевидно, что рассчитывать в этом случае на «правильное» решение не приходится .

–  –  –

англоязычной литературе получило название TLS-решения. Свойства TLSрешения не зависят от формы распределения ошибок элементов траекторной матрицы и вектора наблюдения [60] .

4.3.2 Базовое решение общей задачи наименьших квадратов

–  –  –

|| =, =1 =1 где – элемент матрицы, расположенный на пересечении -й строки и -го столбца. В терминах сингулярного разложения || = 1 + +, = min{, } .

–  –  –

4.3.3 TLS-решение с минимальной нормой С точки зрения общей теории структурных моделей (§2.2), повышение их разрешающей способности обеспечивается, главным образом, наращиванием ресурсов фильтра шума. Поэтому порядок структурной модели всегда намного превосходит совокупный порядок полезных слагаемых распознаваемого сигнала электрической системы. В идеальном случае, когда сигнал свободен от шума, ранг расширенной матрицы [; ] равен, и между составляющими сигнала и сингулярными числами в (4.34) существует строгое соответствие, в связи с чем все сингулярные числа с номерами будут равны нулю. Поэтому TLS-решение теряет уникальность и сводится к решению задачи МНК с минимальной нормой (§4.2.2) .

Но сигнал реального процесса содержит шум, и при его распознавании ранг расширенной матрицы [; ] полон, и матрица сингулярных чисел не содержит нулевых элементов. Интуитивно ясно, что доминирующие сингулярные числа формируют подмножество, ассоциированное с полезными составляющими сигнала, а малые числа – подмножество, так или иначе связанное с шумом .

Существование этой связи между составляющими сигнала и соответствующи

–  –  –

нале .

Если мал, то можно поднять выше границу разделения сингулярных чисел, т.е. уменьшать номер граничного сингулярного числа в правиле (4.39) до тех пор, пока величина не примет необходимый уровень .

4.3.4 Эквивалентность подпространств собственных векторов сигнала и шума в общей задаче наименьших квадратов Изначально [150] общая задача наименьших квадратов была сформулирована на основе использования подпространства шума (4.43). На первый взгляд такой подход выглядит не совсем разумным, поскольку распознавание сигнала ведется с использованием собственных векторов подпространства, определяемых малыми сингулярными числами. Кажется более обоснованным использование подпространства сигнала (4.42). Однако анализ свойств собственных векторов правой сингулярной матрицы (4.41) показывает, что повода для беспокойств нет: решение общей задачи наименьших квадратов может быть выражено и через собственные векторы подпространства сигнала. Причем это решение будет эквивалентно решению через собственные векторы подпространства шума. Покажем это .

Представим подпространство собственных векторов сигнала (4.42) по аналогии с выражением (4.48) для подпространства шума:

–  –  –

Напомним, что решения (4.50) и (4.56) не являются уникальными и представляют собой TLS-решения с минимальной нормой .

4.4 ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ РЕШЕНИЙ КЛАССИЧЕСКОЙ

И ОБЩЕЙ ЗАДАЧИ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

–  –  –

0,5 0,5

-0,5 -0,5

-1 -1

-1,5 -1,5

-2 -2

-2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2

–  –  –

Пример оценок линейной функции по данным эксперимента в классическом и общем методах наименьших квадратов показан на Рисунке 4.2 .

4.5 МЕТОДЫ НАСТРОЙКИ СТРУКТУРНЫХ МОДЕЛЕЙ В ТЕМПЕ РАЗВИТИЯ

ПРОЦЕССА В ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ

4.5.1 Метод наложения моделей

–  –  –

Рисунок 4.3 – Схема взаимосвязей в промежуточном фильтре с настроенной неадаптивной частью (при = 1, = 1) .

Связь отсчетов невязок (1) фильтра с отсчетами входного (2) и опорных сигналов (3) и (4) показана линиями: сплошные указывают, что условия ортогональности для этих связей выполнены, а штриховые – предстоит выполнить. Каждая из линий соответствует связи отсчета выходного сигнала, устанавливаемой коэффициентами гибридного фильтра (3.45) с соответствующими элементами последовательностей и ( = 1, ) и ( = 1, ) Таким образом, решение уравнений (4.62) – (4.64) потребует взять + 1 + 2 промежуточных фильтров и путем их поэтапного наложения друг с другом получить итоговый фильтр, удовлетворяющий всем условиям ортогональности .

–  –  –

4.5.2 Схема наложения фильтров В настройке структурной модели можно выделить этапы инициализации промежуточных фильтров, отдельные этапы настройки неадаптивной и адаптивной частей фильтров .

–  –  –

а при решении (4.76) – 1 ) ( = .

1 ( )

–  –  –

Как видно из (4.78) и (4.67), существуют различные сочетания промежуточных фильтров (номеров и ) с одной стороны и векторов отсчетов сигнала и фильтров (номеров, и ) – с другой. Все это определяет разнообразие стратегий наложения фильтров (ранжирование фильтров) и выбора последовательностей (ранжирование последовательностей). Ход наложений промежуточных фильтров влияет на свойства окончательного фильтра. Рассмотрим алгоритмы выбора стратегии настройки фильтра [111, 20, 67] .

4.5.3 Настройка неадаптивного оператора

Адаптация фильтра (3.45) к сигналу () берет начало с выполнения уравнений ортогональности (4.75) и (4.76) для неадаптивного оператора, причем число наложений промежуточных фильтров, как уже отмечалось, строго задано его порядком и составляет 2 .

Настройка неадаптивной части фильтра в некоторых случаях имеет самостоятельное значение, так как ее результаты могут быть использованы без настройки адаптивного оператора модели, например, при оценке компонентов полигармонического сигнала на отрезке, длина которого меньше периода основной гармоники (гармонический анализ сигнала на коротком отрезке). В этом случае уравнения ортогональности (4.66) для адаптивной части не выполняют .

Нужно иметь в виду, что, хотя при настройке неадаптивной части рассматриваются только уравнения ортогональности к векторам отсчетов опорных сигналов (4.60) и (4.61), но меняются все коэффициенты нового фильтра; как коэффициенты неадаптивной части и, так и коэффициенты адаптивной части. Это следует непосредственно из правила вычисления коэффициентов (4.77) или (4.78) .

Влияние адаптивной части на коэффициенты неадаптивной части корректируется согласно правилу (3.46) .

При использовании гибридного фильтра (3.45) для распознавания полигармонических сигналов существует вероятность появления сингулярности в вычислении коэффициента наложения по (4.75) или (4.76), особенно, когда длина отрезка сигнала близка или кратна периоду опорных сигналов. Чтобы избежать этого, к сигналу () полезно добавлять стабилизирующую составляющую, недоступную для неадаптивной модели, например, () =, где – малая доля от амплитуды сигнала .

4.5.4 Разрешение структурной неопределенности адаптивногооператора

После настройки неадаптивного оператора нужно установить ортогональность векторов невязок и векторов отсчетов входного сигнала. Поэтому дальнейшая настройка фильтра ведется согласно условиям ортогональности (4.66). Промежуточные фильтры перенастраиваются согласно (4.65) с сохранением достигнутой на предыдущих этапах ортогональности векторов невязок векторам и .

Поскольку порядок адаптивной части, как правило, превышает порядок сигнала (к тому же неадаптивная часть фильтра может взять на себя часть нагрузки модели), то потенциально возможна ситуация, когда избыток порядка модели порождает сингулярность в решении. Среди промежуточных фильтров могут появиться близкие прототипы, наложение которых может привести к фатальному разрушению итогового фильтра. Существует несколько стратегий, исключающих такие неприятности в настройке фильтра. Рассмотрим их .

Контроль уровня корреляций. Для каждого из + 2 фильтров, формируемых на текущем этапе, устанавливается ортогональность (4.66) с одной из последовательностей (4.79), = 0, (кроме тех, для которых ортогональность уже достигнута на предыдущих этапах) .

Как следует из (4.67), при выполнении условия ортогональности (4.66) нужно избегать ортогонализации промежуточных фильтров с последовательностями, для которых абсолютные величины корреляций |( ) | и 1 |( ) | малы. Корреляции таких фильтров подвержены сильному влиянию шумов в отсчетах последовательностей.

Для повышения достоверности результата на каждом этапе настройки необходимо контролировать абсолютный уровень корреляций и исключать из настройки те последовательности, для которых они ниже некоторого порога 0 (ложная ортогональность):

–  –  –

(4.79) (кроме исключенных ранее по условию (4.80) и принявших участие на предыдущих этапах наложения) не ниже установленного порога, то считается допустимым устанавливать ортогональность с последовательностью отсчетов. Иначе вектор бракуется и в дальнейшей настройке фильтров участия не принимает. С точки зрения решения системы (4.62) это адекватно удалению из рассмотрения линейно зависимых уравнений .

В действии критерия (4.80) можно проследить своеобразную аналогию с контролем величин сингулярных чисел в методах настройки моделей с минимальной нормой, рассмотренных в разделах 4.2.2 и 4.3.3 .

Контроль величины корреляции по (4.80) не дает явной оценки достоверности модели, но позволяет, исключая наложения с заведомо плохими с точки зрения решения задачи векторами, поддерживать ее на необходимом уровне .

На роль последовательности в ходе настройки адаптивной части фильтра может претендовать любой из векторов (4.79), но во избежание тривиального решения одна из них должна быть исключена из числа претендентов, поскольку число наложений должно быть не более порядка .

Величина параметра зависит в первую очередь от уровня шумов в сигнале, но не последнюю роль при ее выборе играет и соотношение между доминирующими слагаемыми и составляющими малой амплитуды сигнала. Очевидно, что уровень влияет на разрешающую способность фильтра по отношению к составляющим относительно малого уровня .

Для незашумленных сигналов величина = 109 1012 и определяется, в основном, шумами вычислений. Для реальных сигналов, в которых, как минимум, присутствуют шумы АЦП, = 105 106. При выборе порога нужно проявлять тщательность, поскольку необоснованный выбор его величины может привести к разрушительным последствиям настройки вследствие преждевременной ее остановки или из-за выполнения избыточного числа наложений. Избыточное наложение уже настроенных промежуточных фильтров (фильтров, обретших эффективность) приводит к потере их эффективности, так 1 как в наложении участвуют фильтры, величины корреляций |( ) | и 1 |( ) | которых малы и подвержены значительному влиянию шумов в сигнале .

В качестве примера рассмотрим построение модели фазного тока, осциллограмма которого снята регистратором аварийных сигналов на ЛЭП 500 кВ (Рисунок 4.5). Начальные условия настройки фильтров: частота дискретизации 600 Гц, порядок адаптивного оператора 20, в состав неадаптивного оператора включены первая, третья и пятая гармоники промышленной частоты (50 Гц), блок настройки фильтра содержал 51 отсчет, все 96 отсчетов осциллограммы тока представляли один интервал однородности .

Сначала обработаем сигнал без контроля уровня корреляций. На Рисунке

4.5 приведены результаты построения экстраполирующей модели. При реконструкции фильтра после корректировки корней (§5.2.3) результирующий порядок адаптивного оператора снижен до 18. Среди составляющих неадаптивного оператора идентифицирована первая гармоника (амплитуды третьей и пятой гармоник практически равны нулю). Качество адаптации, достигнутое за 26 этапов наложений, оставляет желать лучшего: интервал однородности ошибочно разбит на два участка: [0, 51] и [52, 95], среднеквадратичная ошибка (СКО) предсказания отсчетов сигнала по полученной модели на первом интервале составляет более 10% от амплитуды первой гармоники .

Рисунок 4.5 – Экстраполирующая модель тока короткого замыкания ЛЭП-500 при адаптации фильтра без контроля уровня корреляций (здесь и далее на рисунках кружки соответствуют отсчетам входного сигнала, а кривая без кружков – оценке модели); неудовлетворительный результат На Рисунке 4 .

6 показана экстраполирующая модель этого же сигнала, построенная при контроле уровня корреляций с порогом = 106. Благодаря контролю, одна из последовательностей отсчетов сигнала, корреляция которой с выходным сигналом модели была ниже порога, была исключена из адаптации .

После коррекции корней порядок адаптивного оператора экстраполирующей модели понижен до 15. Качество модели значительно улучшилось (СКО уменьшилось более чем в 2 раза, интервал однородности идентифицирован правильно), но отклонение кривой модели от реального сигнала еще велико (максимальное отклонение 0,09) .

Рисунок 4.6 – Экстраполирующая модель Рисунка 4 .

5 при адаптации фильтра с контролем уровня корреляций с порогом = 106; улучшенный результат Дальнейшее улучшение модели возможно при более скрупулезном учете свойств последовательностей (4.79) сигнала .

Ранжирование последовательностей. Интуитивно ясно, что порядок установления ортогональности между последовательностями отсчетов входного сигнала и векторами невязок влияет на качество адаптации промежуточных фильтров, а значит и на свойства итогового фильтра. Поэтому важно при настройке выбирать те из множества последовательностей, которые обеспечивают оптимальное наложение. Такой выбор последовательностей будем называть ранжированием. Остановимся подробнее на рассмотрении способов ранжирования последовательностей и преимуществ, которых дает их использование .

Критерии ранжирования. Рассмотрим два критерия ранжирования последовательностей. Первый: последовательность из набора (4.79) выбирается по минимаксному критерию, то есть таким образом, чтобы перед нача

–  –  –

(кроме тех, указанных в примечании к критерию (4.81)) .

Вычислительный эксперимент показывет, что критерий (4.81) проявляет большую восприимчивость к различию между последовательностями, чем критерий (4.82), так как последний склонен к нивелированию различий последовательностей. Поэтому предпочтение стоит отдавать критерию (4.81), тем более что он требует меньших вычислительных затрат .

Введение ранжирования последовательностей значительно улучшает условия адаптации. В то же время эффект от ранжирования последовательностей усиливается, если его сочетать с контролем уровня корреляции. На Рисунке 4.7 приведены результаты построения экстраполирующей модели при контроле уровня корреляций и ранжировании последовательностей. В ходе настройки фильтра было выполнено 11 адаптивных наложений (исключено из адаптации 10 «плохих» последовательностей отсчетов). Порядок реконструированного адаптивного оператора фильтра 12, что меньше порядка предыдущих моделей. Как видно из Рисунка 4.7, полученная модель с высокой точностью описывает сигнал (максимальное отклонение равно 0,05) .

Рисунок 4.7 – Экстраполирующая модель сигнала Рисунка 4 .

5 при адаптации фильтра с контролем уровня корреляций и ранжированием последовательностей; эффективная структурная модель

–  –  –

в результате создает прогнозируемо плохой фильтр, обладающий тривиальной нулевой ортогональностью с последовательностью. Если такое наложение произошло, то он среди фильтров текущего этапа формирует дефектный фильтр, свойства которого непредсказуемы. Поэтому для успешной настройки

–  –  –

На Рисунке 4.8 показана экстраполирующая модель тока, построенная при одновременном ранжировании последовательностей, контроле уровня корреляций с порогом = 106, ранжировании фильтров и удалении линейно зависимых промежуточных фильтров с = 0,02 .

Рисунок 4.8 – Экстраполирующая модель тока короткого замыкания ЛЭП-500 при адаптации фильтра с контролем уровня корреляций, ранжированием последовательностей отсчетов сигнала и удалением линейно зависимых промежуточных фильтров При настройке модели со стартовым порядком адаптивного оператора = 20 и тремя гармониками в неадаптивном операторе в ходе адаптации удаляются 5 линейно зависимых фильтров и выполняется 15 адаптивных наложений .

В итоге экстраполирующая модель имеет адаптивный порядок, равный 10 .

Отметим еще один важный нюанс в настройке фильтров. В ходе наложений коэффициенты промежуточных фильтров проявляют тенденцию либо к уменьшению своих значений, либо к увеличению. И то, и другое плохо сказывается на результате адаптации, поскольку искусственно меняет уровень невязки, а значит и абсолютную величину корреляции фильтра. Поэтому в процедуре настройки необходимо предусмотреть нормализацию коэффициентов и невязок промежуточных фильтров .

Окончание настройки фильтра. Наложение фильтров прекращается, если остается единственный фильтр, либо абсолютные величины корреляций малы и должны быть исключены из рассмотрения согласно критерию (4.80), либо фильтры отбрасываются по критерию линейной зависимости (4.86) .

Поскольку порядок фильтра всегда превышает порядок сигнала, то часто создается ситуация, когда фильтр заканчивает настройку успешно, хотя цикл наложений выполнен неполно. В этом случае на роль итогового фильтра претендуют несколько фильтров текущего этапа. Все они являются эффективными, а значит, все эти фильтры имеют одинаковый фильтр эффективного ядра, хотя фильтры шума могут быть и разными [84] .

4.6 ХАРАКТЕРИСТИКИ МЕТОДОВ НАСТРОЙКИ МОДЕЛЕЙ

Cравнение методов настройки моделей при распознавании сигнала с шумом представляет собой сложную задачу и возможно только при принятии определенных предположений о характеристиках шума [60, 153]. Здесь и далее при сравнении методов настройки структурных моделей полагается, что в сигнале присутствует только белый гауссовский шум с нулевым средним и дисперсией. Принимается, что полезная часть сигнала не взаимодействует с шумом. Как известно [153], принятые исходные предпосылки являются обычными при исследовании методов распознавания сигнала .

В качестве основы для сравнения используются результаты распознавания сигнала (П.1) с добавленным белым гауссовским шумом, свойства которого были определены выше .

4.6.1 Механизм влияния шума на точность винеровских оценок

Винеровская оценка (4.15) основана на предположении, что траекторная матрица (4.5) свободен от ошибок или шумов, и несовместность системы (4.9) вызвана лишь ошибками в ее векторе наблюдения (4.12). Но траекторная матрица включает отсчеты того же сигнала, что и вектор наблюдения, и потому она также не лишена шума. Поэтому траекторная матрица транслирует шум в ковариационную матрицу, вызывая погрешность в оценке вектора коэффициентов фильтра [ ; 1] .

Схема влияния шума на винеровскую оценку становится ясным, если расписать ковариационную матрицу с учетом упомянутой ранее связи (4.29) между чистой от шума 0 и измеренной траекторными матрицами:

= 0 + 0 + + .

Полагая, что шум имеет нулевое среднее и дисперсию и не коррелирован с полезным сигналом, увидим, что в ковариационной матрице шум присутствует в основном в элементах главной диагонали:

0 + = 0 + .

Следуя выводам работы [155], отметим, что влияние искажений траекторной матрицы приводит к более тяжелым последствиям, чем влияние возмущений вектора наблюдений. Это видно и из структуры винеровской оценки (4.15). Влияние возмущения вектора наблюдения на винеровскую оценку пропорционально числу обусловленности () = 1 / траекторной матрицы, а влияние возмущений самой траекторной матрицы – пропорционально 2 () (здесь 1 и – старший и младший сингулярные числа траекторной матрицы ). Следовательно, винеровское решение имеет преимущество в случае с хорошо обусловленной траекторной матрицей .

4.6.2 Совершенствование винеровских оценок

Винеровская оценка (4.15) может быть улучшена лишь в рамках базовых постулатов, положенных в ее основу. Как уже отмечалось выше, основной постулат заключен в предположении, что траекторная матрица не подвержен влиянию шумов, и лишь вектор наблюдения (4.12) содержит аддитивный шум .

Поэтому уравнение (4.9) можно видоизменить, выделив в нем вектор шума

–  –  –

Но, как мы уже говорили, траекторная матрица тоже зашумлена. Поэтому оценка (4.87) далеко несовершенна, особенно в тех случаях, когда и вектор наблюдения, и траекторная матрица порождаются одним процессом .

Несомненно, что улучшение винеровской оценки (4.15) неосуществимо без внимания к шуму в траекторной матрице. Из структуры решения (4.15) видно, что его совершенствование возможно только при учете влияния шума на собственные числа ковариационной матрицы. Это реализуется, как правило, в виде моделей с минимальной нормой (§4.2.2) .

4.6.3 Преимущества структурных моделей с минимальной нормой

Анализ собственных чисел ковариационной матрицы удобно проводить на основе сингулярного разложения (4.19) траекторной матрицы, поскольку известно, что его собственные числа равны квадрату соответствующих сингулярных чисел 2 траекторной матрицы, т.е. = 2 ( = 1, ) [155] .

Алгебра сингулярного разложения меняет решение задачи МНК, позволяя использовать в оценке параметров модели сигнала сингулярные векторы траекторной матрицы и применяя понятие -ранга (4.22). Ожидается, что анализ сингулярных чисел позволит улучшить оценку структурной модели. Успех связан со свойством сингулярного анализа (4.17) располагать (ранжировать) сингулярные числа по невозрастанию, помещая числа, согласованные с доминирующими составляющими сигнала (с информационными составляющими) в верхней части диагонали матрицы. И хотя присутствие шума в сигнале придает траекторной матрице полный ранг, но модель с минимальной нормой формируется на основе только доминирующих сингулярных чисел, не принимая в расчет «хвост» слабых сингулярных чисел. Преимущества этого подхода полностью реализованы в решении (4.23) и в его аналоге (4.25) .

Покажем, в каких случаях, и каким образом моделям с минимальной нормой (4.23) удается улучшить точность оценки в сравнении с винеровской оценкой (4.15) .

Если в оценке (4.23) принимаются в расчет все сингулярные числа траекторной матрицы, то она будет равносильна винеровской оценке (4.15). Из работы [156] известно, что винеровское решение подвержено сильным возмущениям при плохо обусловленной траекторной матрице. Поэтому даже такое элементарное использование сингулярного разложения вполне оправданно, поскольку обеспечивает устойчивое к возмущениям и более точное решение задачи МНК .

После изменения порядка перемножения векторов в (4.23) винеровская оценка может быть представлена как =, (4.88) =1

–  –  –

вызванной возмущением. Видно, что шум или ошибки вычислений изменяют сингулярные числа, согласованные с полезным сигналом, и добавляют «хвост» в матрице = 0 + = diag[(1 + 1 ), …, ( + ), +1, …, ] .

(4.92) Анализируя винеровское решение (4.88) с учетом свойств (4.90) – (4.92) слагаемых матрицы сингулярных чисел, легко представить структуру погрешности в оценке. Прежде всего, все сингулярные числа, согласованные с полезным сигналом ( с номерами ), под действием шума будут иметь возмущение на величину, ( ). Ее величина будет тем значительнее, чем ниже соотношение сигнал/шум .

В то же время шум в сигнале поднимает ранг траекторной матрицы до полного, в результате чего элементы матрицы сингулярных чисел, начиная с номера, будут состоять из сингулярных чисел, так или иначе вызванных шумом в сигнале или ошибками вычислений. Эти сингулярные числа, непосредственно не связанные с полезным сигналом, внесут свою долю возмущения в оценку (4.88). Причем их воздействие на оценку напрямую зависит от отношения сигнал/шум. Если уровень шума в сигнале достаточно высок, то ранг траекторной матрицы будет полон, и оценка (4.88) использует все сингулярные векторы, = 1,. Решение будет уникальным и равнозначным винеровскому (4.15). Но если отношение сигнал/шум будет существенным, то сингулярные числа (4.91) будут сравнительно малы, что делает траекторную матрицу плохо обусловленной. Тогда даже небольшое возмущение в сингулярных числах, ( ) хвоста вызывает существенный разброс в оценке (4.88), поскольку в знаменателе формулы (4.89) для вычисления веса оказывается маленькое сингулярное число .

Использование решения с минимальной нормой (4.23) позволяет избежать сильных колебаний оценок или вырождения решения при распознавании сигнала с сравнительно высоким уровнем соотношения сигнал/шум. Выбор ранга при реализации решения (4.23) осуществляется на основе понятия

-ранга (4.21) .

Заметим, что разделение сингулярных чисел на подмножество, связанное с полезным сигналом, и подмножество, вызванное шумами, задача весьма непростая, поскольку граница между этими подмножествами часто трудно различима. Дело в том, что малые сингулярные числа слабо отличаются друг от друга с ростом их номера .

Например, при распознавании процесса (Рисунок П.1) фильтром 15-го порядка ( = 15) на отрезке длиной 40 отсчетов в матрице сингулярных чисел = diag(30,365; 27,646; 9,577; 0,8276; 0,7709; 0,2372; 0,1802;

(4.93) 0,1612; 0,1118; 0,1008; 0,0960; 0,0874; 0,0689; 0,0526; 0,0502) траекторной матрицы следовало бы ожидать резкого изменения величин сингулярных чисел, находящихся на границе подмножеств, согласованных с полезным сигналом и шумом (в данном случае 5 = 0,7709 и 6 = 0,2372). Как видим, сингулярные числа претерпевают скачок уже на 4-м номере, а затем плавно уменьшаются с ростом их номера, и поэтому говорить твердо о принадлежности к подмножеству сигнала можно только о первых трех из них. Часто это свойство вызвано зависимостью сингулярных чисел от степени доминирования той или иной информационной составляющей в сигнале: слагаемым относительно малого уровня соответствуют малые сингулярные числа .

Для уверенного нахождения границы подмножеств сингулярных чисел можно использовать следующий алгоритм:

1. Расположить сингулярные числа по невозрастанию .

2. Вычислить новую последовательность, состоящую из чисел, равных сумме двух последующих сингулярных чисел:

= +1 + +2, ( = 1, 2) .

3. Сравнить и при изменении от 2 до 1 в убывающем порядке .

Номер = + 2 граничного сингулярного числа найден, если для текущего номера выполняется неравенство

–  –  –

а) б) Рисунок 4.9 – Среднеквадратические ошибки оценок частоты основной гармоники MSE (а) и коэффициента затухания апериодической составляющей MSE (б) размер выборки

– 24 отсчета сигнала (П.1) с отношением сигнал/шум = 100: 1 – винеровское решение; 2

– решение задачи МНК с минимальной нормой; 3 – базовое решение общей задачи наименьших квадратов; 4 – решение общей задачи наименьших квадратов с минимальной нормой; 5 – метод наложения моделей. В решениях 2 и 4 размерность подпространства доминирующих сингулярных чисел равна 3 Оценка МНК с минимальной нормой имеет высокую устойчивость решения и при плохой обусловленности задачи, благодаря своей способности исключать из решения составляющих, испытывающих значительное возмущение из-за малости некоторых сингулярных чисел (из-за большого коэффициента обусловленности). Но стремление к реализации этих преимуществ потребует значительных вычислительных ресурсов. Поэтому предпочтительно использование метода наложения моделей, обеспечивающего при повышении отношения сигнал/шум характеристик, близких к свойствам моделей с минимальной нормой .

–  –  –

за счет очистки элементов диагонали ковариационной матрицы от шума [60, 151]. Теоретически эта возможность существует, если +1 ( – младшее из сингулярных чисел траекторной матрицы ) .

При распознавании сигнала с шумом траекторная матрица обретет полный ранг, поэтому среди его сингулярных чисел (4.18) не будут нулевых. В то же время в силу теоремы следования [60, теорема 2.4] сингулярные числа расширенной и траекторной матриц должны перемежаться, т.е. между двумя сингулярными числами расширенной матрицы должно располагаться сингулярное число траекторной матрицы и наоборот 1 1 2 +1 .

Поэтому решение (4.94) теоретически должно быть лучше, чем винеровское решение (4.15) .

Однако часто сингулярные числа +1 и близки по величине, поскольку элементы вектора наблюдения и траекторной матрицы составлены из отсчетов одного и того же сигнала. Это приводит к сильным возмущениям в оценке (4.94), так как разность этих сингулярных чисел находится в знаменателе. Преодоление этого недостатка видится в использовании псевдоинверсии при вычислении обратной матрицы в (4.94) .

Базовое TLS-решение (4.36) невозможно, если последний элемент столбца, участвующего в решении, равен или близок к нулю, т.е. +1,+1 0. В этом случае каноническое решение невозможно. Эту неопределенность исправляют, выбирая среди столбцов матрицы правых сингулярных векторов столбец с меньшим номером + 1 с высокой абсолютной величиной последнего элемента столбца +1,. Это решение известно как неуникальное TLSрешение (nongeneric TLS-solution [60]).

Эквивалентное ему решение в замкнутой форме можно получить из соотношения (4.94), заменяя в нем + 1:

_ = ( ) = =1 (2 ) .

2 2 (4.95) Опасение, что при близких сингулярных числах +1 и базовое TLSрешение будет проявлять сильную чувствительность к шуму в данных подтверждает и вычислительный эксперимент. Как видно из Рисунков 4.9 и 4.10, базовое решение уступает практически всем рассматриваемым оценкам .

Действительно, «хвост» сингулярных чисел (4.92) траекторной матрицы сплошь вызван присутствием шума в сигнале. Хотя присоединение вектора наблюдения к траекторной матрице усиливает доминирование сингулярных чисел расширенной матрицы [; ], ассоциированных с информационными составляющими сигнала, но сингулярные числа ее «хвоста» не претерпят значительных изменений по сравнению с аналогичными числами траекторной матрицы. Главный недостаток, заключающийся в малом отличии соседних сингулярных чисел друг от друга, в полной мере проявляется и в «хвосте» для расширенной матрицы. С долей определенного приближения можно полагать, что для сингулярных чисел расширенной матрицы выполняется условие (4.38), предписывающее перейти от базового решения к TLS-решению с минимальной нормой (4.50) или, что то же самое, (4.56) .

Исходя из условия разделения сингулярных чисел (4.39), TLS-решение с минимальной нормой в замкнутой форме можно записать как [151] _ = (2 2 ), (4.96) =1

–  –  –

4.6.5 Сравнение методов Распознавание структуры сигнала без шума. Очевидно, что распознавание структуры сигнала без шума являет собой идеализированную задачу, но она выявляет общие свойства и особенности методов. Поскольку сигнал не содержит шума, то ее структурная модель может иметь минимальный порядок, равный порядку сигнала, т.е. =. Она по определению является моделью эффективного ядра распознаваемого сигнала .

Например, минимальное число уравнений (строк в траекторной матрице в уравнении (4.4)), необходимое для формирования эффективной структурной модели сигнала (П.1), равно 3. Поэтому возможно прямое решение (4.8) системы (4.4), и он совпадает с вектором коэффициентов (П.2) .

В эксперименте общее число невязок (2.30) для всех методов принято равным 10, внутримодельная децимация и разрежение невязок отсутствуют, т.е .

= 1 и = 1. Для иллюстрации работы методов настройки моделей в этом разделе порядок модели принят на единицу больше, чем порядок распознаваемого сигнала: = + 1 = 4 .

Винеровская оценка. Так как порядок модели превышает порядок сигнала, то ранг ковариационной матрицы имеет дефект = = 1 (два линейно зависимых уравнения), а уравнение (4.9) – бесконечное число решений [124, 145]. Прямо из-за этого огреха винеровское решение утрачивает способность получения эффективной модели в условиях структурной неопределенности сигнала .

В результате структура сигнала распознается только при равенстве порядка модели порядку сигнала ( = = 3). Необходимая точность коэффициентов (П.2) сохранится, хотя определитель (4.16) = 0,00398 и мал. Но уже при увеличении порядка модели на единицу ( = 4 ) определитель (4.16) становится недопустимо малым (= 1,41 1016 ), и структурная модель сигнала теряет эффективность: ни один из корней ее характеристического многочлена не принадлежит эффективному ядру (П.5) .

Метод наложения структурных моделей. Напомним, что этот метод тоже решает задачу наименьших квадратов, но в его арсенале достаточно инструментов, чтобы избежать вырожденности в решении, возникающей из-за линейной зависимости нормальных уравнений (4.62). Причем метод наложения тем эффективней, чем больше соотношение сигнал/шум .

В нашем примере метод использует 5 промежуточных моделей с = 4 .

Начальные значения коэффициентов могут быть заданы произвольно. Удобно брать их в виде векторов с единственными ненулевыми коэффициентами в составе матрицы (4.73), поскольку в этом случае отсчеты невязок при инициализации настройки будут равны отсчетам сигнала .

Настройка моделей завершается, как и ожидалось, на предпоследнем этапе, когда для оставшихся двух фильтров выполнены условия (4.80) при =

106. Оба промежуточных фильтра являются эффективными, их коэффициенты в форме (4.7):

0 = [0,9592; 2,8530; 2,8910; 1; 0], 1 = [0,2542; 1; 1,4915; 1; 0,2542] .

Фильтр с нулевым номером соответствует модели минимального размера; его порядок соответствует размеру эффективного ядра (П.4). Характеристический полином другого фильтра (с номером 1) () = 0,2542 ()( 1,0425) джобавляет к эффективному ядру () лишний (неказуальный) корень 4 = 1,0425, который удаляется при компонентном анализе согласно критериям (5.15) и (5.16) .

Структурные модели с минимальной нормой.

Структурная модель 4-го порядка, представляющая собой результат решения с минимальной нормой (4.23) с использованием первых трех сингулярных чисел траекторной матрицы, будет иметь следующий расширенный вектор коэффициентов:

= [ ; 1] = [0,7226; 1,1902; 0,6749; 2,1377; 1] .

MN Множество корней характеристического многочлена модели состоит из эффективного ядра (П.4) и корня 4 = 0,7534 несуществующей составляющей:

() = ()( + 0,7534). (4.98) Поскольку эффективное ядро в структурной модели представлено, то структура сигнала распознается правильно. Лишняя составляющая модели будет удалена при компонентном анализе по критерию предельной частоты составляющих (5.20) .

Модели TLS-решения. Хотя расширенная матрица и имеет столбцов на единицу больше, чем траекторная матрица за счет присоединения вектора наблюдений, но ее ранг будет все равно равен порядку сигнала, т.е. 3. Следовательно, количество ненулевых сингулярных чисел тоже не изменится и будет равно порядку сигнала .

Поэтому два последних сингулярных числа будут нулевыми, что сигнализирует о существовании двух аппроксимирующих матриц, евклидовы расстояния от которых до исходной траекторной матрицы равны нулю. Поэтому как для базового TLS-решения, так и для TLS-решения с минимальной нормой возможно сразу по два решения .

Для базового решения одно из них следует из канонической формы (4.36), а другое – из (4.95). Обоим решениям соответствет одно эффективное ядро () (П.4) и по одному лишнему корню. В многочлене модели (4.36) () = ()( + 0,8921) (4.99) лишний корень 4 = 0,8921 соответствует затухающей синусоиде частоты Найквиста 2 = и будет удален при компонентном анализе. В модели (4.95) лишний корень 4 = 2,3636 характеристического многочлена _ () = ()( 2,3636 ) будет удален как корень физически нереализуемой составляющей .

Свойства TLS-решения с минимальной нормой зависят от размеров подпространств, на которые делится матрица правых сингулярных векторов (4.41). Если к подпространству сигнала (4.42) отнести только первые 3 вектора матрицы то решение (4.56) будет равнозначно решению наименьших квадратов с минимальной нормой (4.98). Справедливость этого утверждения подтверждается соотношением (4.96), в котором при чистом сигнале число = 0 .

Если в оценке (4.56) используется подпространство из 4 векторов то оно будет соответствовать базовому TLS-решению (4.99). Идентичность решений легко объясняется, если вспомнить, что решение (4.56) эквивалентно решению (4.50), использующему подпространство шума (4.43). В этом случае размер подпространства равен 1, и решение (4.50) обращается в базовое TLS-решение канонической формы (4.36) .

Отметим, что подобное соответствие между методами существует только при распознавании структуры сигнала без шума, и связано оно тем обстоятельством, что самые малые сингулярные числа расширенной матрицы строго равны нулю .

Распознавание структуры сигнала с шумом. Возможности рассмотренных методов исследовались при распознавании сигнала (П.1) с белым гауссовским шумом. В эксперименте использовалось 100 различных реализаций сигнала с размером выборки 24 или 48 отсчетов, порядок модели изменялся от 3 до 12 (для 48 отсчетов от 3 до 24). За основу при сравнения были приняты среднеквадратические ошибки оценок частоты основной гармоники 100( 50) MSE = =1 и коэффициента затухания апериодической слагаемой 100( 50)2 .

MSE = =1 Здесь и – оценки коэффициента затухания апериодической слагаемой и частоты основной гармоники соответственно для -й реализации сигнала .

При распознавании структуры сигнала с шумом в полной мере проявляется фундаментальное свойство структурных моделей, утверждающее, что структура сигнала может быть идентифицирована, если ресурсов фильтра шума достаточно для того, чтобы повысить отношение сигнал/шум до нужного уровня. Проведенный вычислительный эксперимент (Рисунки 4.9 и 4.10) полностью подтверждает это утверждение: разница в методах настройки ощутима только при малых порядках модели, с ростом порядка структурной модели среднеквадратичные отклонения оценок частоты и коэффициента затухания уменьшаются независимо от используемого метода настройки .

Шум в сигнале прежде всего повышает ранг траекторной матрицы (4.5) до порядка модели, делая его полным и создавая необходимые условия для работы винеровского решения (4.15) .

Но шум ожидаемо ухудшает оценки всех без исключения методов. Однако каждый из них влияние шума испытывает по-разному. Винеровская оценка (4.15) практически совпадает с решением задачи наименьших квадратов с минимальной нормой (4.23), полностью подтверждая мысль, что при распознавании сигнала с шумом преимущества последнего рельефно проявляются лишь при плохой обусловленности задачи наименьших квадратов [156 (§3.3), 145 (§5.3.2)] .

Базовое (4.36) решение общей задачи МНК, а также метод наложения (§4.5) испытывают сравнительно одинаковое влияние шума и имеют большее среднеквадратичное отклонение по сравнению с остальными методами .

Как видно из замкнутого выражения (4.94), базовое решение противодействует влиянию шума путем вычитания из диагональных элементов ковариационной матрицы самого младшего (малого) сингулярного числа +1. Однако, как уже отмечалось в §4.6.4, сингулярные числа +1 и близки по значению друг к другу, поскольку элементы вектора наблюдения и траекторной матрицы состоят из отсчетов одного и того же сигнала. Это свойство сингулярных чисел усиливает возмущения в решении (4.94), так как его знаменатель содержит разность этих сингулярных чисел .

Хотя метод наложения структурных моделей и относится к методам решения задачи наименьших квадратов, но его оценки имеют большие отклонения, чем оценки винеровского решения. Причиной этому является сама идея метода наименьших квадратов, из-за которой величина корреляций в ходе наложений промежуточных фильтров быстро падает, и, начиная с некоторого этапа наложений, ее абсолютная величина уже колеблется на уровне, сравнимом с уровнем корреляции невязок с шумом. Поэтому коэффициенты наложения (4.67) промежуточных фильтров по абсолютной величине будут стремиться к 1, что в итоге приводит к срабатыванию условия (4.86), и метод будет вынужден прекратить настройку моделей .

Но несмотря на это, метод наложения имеет несомненное преимущество перед базовым и неуникальным TLS-решениями, особенно при распознавании структуры сигнала на коротком отрезке и в случаях, когда порядок модели не может принципиально быть большим (Рисунок 4.9) .

TLS-решение с минимальной нормой _ (4.50) или (4.56) выигрывает у всех решений и проявляет себя как самое стабильное решение. Его преимущества наиболее выражены при распознавании структуры сигнала на коротком отрезке (Рисунок 4.9) .

4.7 ВЫВОДЫ

1 Подтверждается главный недостаток винеровской оценки, заключающийся в вырождении решения при росте порядка структурной модели вследствие ухудшения обусловленности системы уравнений. Решение классической задачи МНК может быть избавлено от этого недостатока при использовании решения с минимальной нормой, основу которого составляет аппроксимация траекторной матрицы матрицей меньшего ранга .

2 При распознавании структуры сигналов электрических систем базовое решение общей задачи наименьших квадратов уступает практически всем методам. Причина этого изъяна кроется в том, что разница между младшими сингулярными числами и +1 траекторной и расширенной матриц становится неразличимой. В этих условиях базовое решение утрачивает способность сопротивляться возмущениям в векторе наблюдения и траекторной матрице .

Преодоление этого недостатка видится в использовании псевдоинверсии при вычислении обратной матрицы в замкнутой форме базового решения .

3 При малом порядке структурной модели решение общей задачи наименьших квадратов с минимальной нормой обеспечивает лучшую точность в сравнении с винеровской оценкой и решением минимальной нормы. Причина в том, что при малом порядке модели фильтр шума слаб, и фундаментальные свойства структурных моделей теряют силу. Поэтому существенный вклад в повышение точности оценки дает способность метода к нивелированию в своем решении влияния шума .

4 С увеличением ресурсов модели (порядка модели) вклад в разрешающую способность модели, вносимый фильтром шума, становится всё значительнее, и различие в методах настройки моделей практически исчезает .

5 Все методы настройки обеспечивают приемлемый уровень точности оценок частоты и коэффициента затухания составляющих распознаваемого сигнала. Но метод наложения моделей не требует значительных вычислительных ресурсов от интеллектуальных устройств Smart Grid. Поэтому метод наложения структурных моделей обеспечивает распознавание структуры сигнала в реальном масштабе развития аварийного процесса в электрической сети, и имеет преимущество перед рассмотренными методами настройки структурных моделей при применении в быстродействующих приложениях интеллектуальной электроэнергетики, в частности, WAPS – распределенных системах релейной защиты .

Глава 5 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ СТРУКТУРНОГО АНАЛИЗА

Излагаются методы общей теории структурного анализа, рассматриваются основные инструменты и правила структурного анализа цифровых осциллограмм. Материал главы полностью опирается на идеи предыдущих глав и формулирует принципы сегментации цифровой осциллограммы. Описывается оригинальный принцип определения границ интервалов однородности осциллограммы, формулируемый как алгоритм релейной защиты. Излагаются методы компонентного анализа. Показывается связь слагаемых компонентной модели с нулями фильтра эффективного ядра. Формулируются принципы разделения эффективной модели на фильтр эффективного ядра и фильтр шума .

Здесь же рассматриваются алгоритмы предварительной обработки цифровых осциллограмм и определения частоты сети. Их главной целью являются повышение точности и робастности алгоритмов адаптивного структурного анализа. Внимание к изложению научных и практических вопросов оценки частоты сети оправдано фундаментальным значением частоты не только для структурного анализа сигнала, но и для задач релейной защиты и управления электрической системой. Поэтому дается развернутое изложение понятия частоты электрической величины и устанавливается ее связь с частотой электрической сети, излагаются теоретические основы построения алгоритмов оценки частоты и возможные принципы их практического приложения в цифровых системах релейной защиты и автоматики. Рассматриваются основные характеристики сигнала (амплитуда, фаза, частота) в установившемся и периодическом несинусоидальном режимах электрической сети. Описываются практические алгоритмы оценки частоты сети. В разделе предварительной обработки сигнала решаются задачи локализации и коррекции выбросов в осциллограмме и удаления трендов (например, дрейфа нуля АЦП). Объединяющей основой описываемых алгоритмов является использование ими принципа инвариантности оцениваемого параметра .

Изложение материала ведется на основе работ [54, 58, 62, 64, 65, 132–137, 159, 162, 180–189] .

5.1 CТРУКТУРНЫЙ АНАЛИЗ ЦИФРОВЫХ ОСЦИЛЛОГРАММ

Распознавание структуры осциллограммы сигнала электрической системы является общей задачей структурного анализа в том смысле, что его методы решают задачи идентификации структуры осциллограммы, представляя ее в виде интервалов однородности, на протяжении каждого из которых структура сигнала однородна и содержит некоторую вполне определенную для этого интервала совокупность составляющих. Компонентный состав сигнала формируется методами компонентного анализа, использующих результаты работы методов теории адаптивных структурных моделей .

Разделение сигнала на интервалы однородности заключается в определении левой и правой границ интервалов. Для этого необходимо решить следующие задачи:

а) построить для данного интервала однородности модель сигнала в виде экстраполирующего фильтра (§5.1.1);

б) разработать метод обнаружения возможных выбросов (потерь) в отсчетах сигнала и их коррекции (§5.1.2 и §5.5.1);

в) задать метод определения границ интервала (§5.1.2 и §5.1.3);

г) обеспечить выявление и обработку коротких интервалов (§5.1.4);

д) провести компонентный анализ сигнала на выявленных интервалах однородности (§5.2) .

Поскольку в тракте доставки или измерения сигнала может появиться значительное локальное искажение сигнала [48] из-за выбросов или потерь отсчетов в SV-потоке сообщений, то для сохранения точности распознавания таких сигналов необходима их предварительная обработка [62], заключающаяся в основном в коррекции выбросов и удалении трендов (§5.5). В случае использования гибридных фильтров потребуется еще и определение частоты сети (§5.4) .

5.1.1 Экстраполирующий фильтр Стремление использовать фильтр с запасом по порядку создает ситуацию, когда порядок адаптивного оператора намного превышает порядок множества (1.11) слагаемых текущего режима электрической системы. Использовать такую модель непосредственно для воспроизведения сигнала было бы неразумно, поскольку среди корней ее характеристического уравнения могут содержаться физически нереализуемые корни. Наличие таких корней может привести к самовозбуждению модели (Рисунок 5.13). В связи с этим необходимо корректировать характеристики модели и сформировать новый фильтр для предсказывания отсчетов сигнала. Назовем его экстраполирующим .

Существует два пути построения экстраполирующего фильтра. Первый из них основан на использовании результатов компонентного анализа. В этом случае удается учитывать всю специфику интервала однородности, поскольку известен полный компонентный состав сигнала на интервале. Оценивая относительную величину амплитуд компонентов, можно отсеять часть несущественных составляющих сигнала; возможности этого подхода иллюстрировались на примере компонентного анализа сигнала (Таблица 5.2). Хотя при структурном анализе адаптивный фильтр имел 14-й порядок, но сигнал был продолжен экстраполирующим фильтром 5-го порядка, построенным на основе первых 5 скорректированных корней (Рисунок 5.19) .

Второй путь основан на анализе свойств корней первоначального фильтра и декомпозиции фильтра на составляющие эффективного ядра и шума. Он подробно рассмотрен в §5.2.2 .

Так или иначе экстраполирующий фильтр строится в согласии с характеристическим полиномом (2.26) и на основе избранных и скорректированных корней первоначального адаптивного фильтра .

5.1.2 Определение границ интервалов однородности Обнаружение границ интервалов однородности является одной из важнейших задач в структурном анализе сигналов. Сегментация используется во многих приложениях релейной защиты и противоаварийной автоматики, например, при восстановлении кривой тока, искаженного насыщенным трансформатором тока, при определении начала фронта волны тока в волновых определителях места повреждения [157], при разделении осциллограммы сигнала на интервалы предшествующего и аварийного режима защищаемого объекта и т.д .

Хрестоматийно решение задачи определения границы интервала требует выполнения двух операций. Сначала с помощью экстраполирующей модели предсказывают «будущие отсчеты» сигнала () на данном интервале однородности. А затем с помощью невязки () = 0 () 0 (), используемой в качестве контролируемой величины, определяют меру различия между оценкой и предсказываемым отсчетом. Считается, что отсчет (0 ) принадлежит новому процессу, если абсолютная величина невязки преодолеет заданный порог |(0 )| = |0 (0 ) 0 0 )| 0 .

( (5.1) Выявленный таким образом отсчет принадлежит следующему интервалу сигнала с другим составом компонентов, либо сигнал на нем меняет свое описание. Поэтому ожидается, что абсолютная величина невязки резко вырастет .

Надежное определение границы достигается подтверждением условия (5.1) для нескольких последующих отсчетов. В этом случае для продолжения сигнала правее точки = 0 используются уже предсказанные отсчеты. При успешном подтверждении условия (5.1) на последующих предсказываемых отсчетах в точке = 0 фиксируется граница текущего интервала однородности сигнала и начало следующего .

–  –  –

Такая уствка учитывает динамику изменения сигнала () на интервалее однородности и более чувствительна к выбросам .

В случае, когда предсказанные отсчеты + ), ( = 0, 2) осциллограммы принадлежат текущему интервалу однородности, невязки (5.4) не превысят порог и удовлетворяют следующему неравенству:

|( + )| ( + ), = 0, 2. (5.7) Нарушение закономерности в изменении сигнала () выявляется экстраполирующим фильтром по признаку

–  –  –

Отсчет с номером + соответствует правой границе интервала однородности, если при перемещении фильтра вправо имели место ситуации с номерами 1, 2 или 3, для которых = 1, или ситуация 5, для которой = 0. Возникновение ситуаций 4, 6 или 7 расценивается как обнаружение выброса и выполняется коррекция ложного отсчета. Ситуация с номером 7 требует более пристального внимания при последующем перемещении фильтра, поскольку при возникновении новых ситуаций с номерами 1, 2 или 3 необходимо восстановить отсчет ( 1), измененный на предыдущем шаге, а за правую границу принять отсчет ( 2) .

При необходимости правая граница интервала однородности может быть перепроверена путем адаптации нового экстраполирующего фильтра, блок настройки которого будет расположен справа от найденной границы интервала .

Если новый фильтр продвинуть влево, то должна возникнуть ситуация 1 (Таблица 4.1). На Рисунках 5.3 и 5.4 приведена осциллограмма напряжения нулевой последовательности линии электропередачи до и после коррекции отсчетов с помощью экстраполирующего фильтра. Гибридный фильтр настроен методом наложения фильтров при следующих стартовых условиях: = 20, в неадаптивный оператор включены 1-я, 3-я и 5-я гармоники, частота дискретизации = 600 Гц, порог по уровню корреляций = 106, при адаптации последовательности отсчетов ранжировались по минимаксному критерию (4.81). В результате настройки получен экстраполирующий фильтр, имеющий адаптивный оператор порядка = 10, в неадаптивном операторе идентифицированы 1-я и 3-я гармоники (5-я гармоника практически не обнаружена – ее амплитуда составляет 2% от амплитуды 1-й гармоники). Все 100 отсчетов осциллограммы представляют собой один интервал однородности .

Рисунок 5.3 – Осциллограмма напряжения 30 линии электропередачи до коррекции выбросов: сигнал не различим на фоне выбросов Рисунок 5 .

4 – Осциллограмма напряжения Рисунка 5.3 после прецизионной коррекции отсчетов: наиболее показательны участки около = 90 мс и = 140 мс. Время осциллограммы локальное 5.1.3 Определение границ интервалов как алгоритм релейной защиты В цифровой релейной защите определение границ интервалов однородности сигнала осуществляется в темпе развития процесса, и часто нет возможности перемещения по осциллограмме назад. Поэтому алгоритмы определения границ интервалов должны принимать решение по мере поступления отсчетов сигнала. С этой задачей хорошо справляются алгоритмы, похожие на алгоритмы измерительных органов релейной защиты, отличительной чертой которых является использование характеристик срабатывания [158] .

Рассмотрим усовершенствованный алгоритм сегментации сигнала, также использующий характеристику срабатывания [159]. Работу способа будем иллюстрировать на примере обработки сигнала аварийного процесса в электрической сети (Рисунок П.1), состоящего из двух интервалов однородности: отрезков предшествующего (на Рисунке 5.5 отсчеты с отрицательными номерами) и переходного режимов (отсчеты с положительными номерами). Исходная частота дискретизации сигнала = 1200 Гц (период дискретизации = 11200 с) .

Здесь, как и раньше, – номер измерения (отсчета) электрической величины () или дискретное время; – дискретное время децимированных сигналов (укрупненный масштаб времени) .

Предлагаемый способ эффективно использует преимущества виртуального изменения частоты дискретизации и многоканальной обработки электрического сигнала .

Сначала из отсчетов электрического сигнала составляют равномерно сдвинутые во времени децимированные сигналы таким образом, чтобы их наложение на одну временную ось (ось на Рисунке 5.5) давало отсчеты электрического сигнала. Затем настраивают адаптивный фильтр на полное подавление одного из децимированных сигналов .

По числу децимированных сигналов формируют копии настроенного филь- Рисунок 5.5 – Децимированные сигналы 1 (1 ), 2 (2 ) и 3 (3 ) с шагом децимации тра, определяют выходные сигналы ко- = 3 ( – отсчеты электрического сигнала, – отсчеты децимированных сигнапий фильтров при обработке своих де- лов), выходные сигналы копий фильтров 1 (1 ), 2 (2 ) и 3 (3 ) цимированных сигналов и подают их на входы исполнительного реле. Характеристику срабатывания исполнительного реле выполняют в виде звезды, лучи которой представляют собой симметричные относительно начала координат отрезки на осях в пространстве выходных сигналов копий фильтров (Рисунок 5.6). Число осей (фильтров) равно шагу децимации. Размер отрезков определяется уровнем шума в сигнале. При использовании исполнительного реле с такой характеристикой срабатывания по

–  –  –

Поскольку все децимированные сигналы представляют собой копию электрической величины, но только в новом масштабе времени, то нет необходимости в настройке для каждого из них своего фильтра. Настроенный на сигнал 1 () фильтр (5.10) полностью идентичен и для остальных децимированных сигналов.

Учитывая это обстоятельство, для них формируют копии настроенного адаптивного фильтра (5.10):

(5.11) ( ) = ( ) + ( 1) + ( 2), = 2, 3 .

На первом интервале однородности (после настройки адаптивного фильтра) все выходные сигналы фильтров будут малы (на уровне шумов): ( ) 0, = 1, 3. Поэтому выходные сигналы фильтров будут находиться вблизи начала координат, каждый в своей зоне несрабатывания, заданной отрезком длины 2max (Рисунок 5.6). Поэтому исполнительное реле, анализирующее уровень выходных сигналов фильтра, будет сигнализировать, что обрабатываемые отсчеты принадлежат к текущему интервалу однородности .

Это будет продолжаться до тех пор, пока не наступит граница нового интервала однородности (отрезок сигнала переходного режима – отсчеты с положительными номерами на Рисунке 5.5). Как уже отмечалось, второй интервал сигнала содержит основную гармонику и апериодическую составляющую. Так как фильтры (5.10) и (5.11) были настроены на предыдущем интервале однородности на подавление основной гармоники, то и на новом интервале они пропустят на свой выход все, кроме основной гармоники. Поэтому на выходе всех фильтров на границе интервалов однородности появится апериодическая составляющая, правда, по истечении собственного переходного процесса фильтров (в течение 3-х отсчетов децимированного сигнала). Но собственный переходный процесс фильтров не влияет на процесс выявления границы интервала .

Если достигнута действительная граница интервалов однородности ( = 0), то, как видно из Рисунка 5.5, во всех фильтрах предлагаемого способа возникает собственный переходный процесс (у каждого на своей оси в момент = 0) .

Характеристика срабатывания исполнительного реле должна быть выбрана такой, чтобы его возврат произошел только при последовательном появлении на выходе всех фильтров сигнала, значительно превышающего уровень шума .

Фильтр, сигнал которого первым выйдет за пределы характеристики срабатывания, определяет номер отсчета границы интервала однородности .

Рисунок 5.7 – Движение рабочей точки с координатами (1, 2, 3 ) в трехмерном пространстве для случая Рисунка 5 .

5. Направление движения показано стрелкой. В предшествующем режиме рабочая точка находится в окрестности начала координат. Порядок движения 1–2–3 Последовательность выхода сигналов фильтров за пределы характеристики срабатывания играет важную роль, поскольку является признаком, обеспечивающим отстройку от ложного срабатывания при выбросах. На Рисунке 5.5 первым появляется сигнал на выходе первого канала, затем второго и третьего (движение рабочей точки в пространстве сигналов фильтров показано На Рисунке 5.7). В действительности же первым может появиться сигнал на выходе любого из фильтров – все зависит от местоположения отсчета границы интервала на оси. Но важно, чтобы порядок следования сигналов фильтров был выдержан. Например, если сначала появился сигнал фильтра 2-го канала, то последовательно должны появиться сигналы 3-го и 1-го фильтра, если первым окажется 3-й фильтр, то последовательность сигналов на выходе фильтров должна соответствовать порядку 3–1–2 .

В этом случае полагают, что достигнуто начало нового интервала однородности, если выходные сигналы всех фильтров последовательно окажутся за пределами звезды .

Контроль порядка выхода сигналов фильтров за пределы характеристики срабатывания важен для обнаружения выбросов в отсчетах сигнала. Полагают, что в сигнале есть импульсная помеха (выброс), если порядок выхода сигналов фильтров не отвечает описанной выше последовательности. Как видно из Рисунка 5.8, выброс искажает только отсчеты 2-го децимированного сигнала 2 (2 ), в связи с чем будет возмущен лишь второй фильтр, и только его сигнал 2 (2 ) выйдет за пределы характеристики срабатывания (за пределы отрезка [max, max ] на оси 2 ). Однако выходные сигналы остальных фильтров останутся в пределах характеристики срабатывания (в пределах отрезков [max, max ] на своих осях). Поскольку порядок выхода сигналов фильтров нарушен, то уже на следующем после выброса отсчете принимается решение о замене предыдущего отсчета на его оценку, полученную благодаря второму фильтру. Оценку корректируемого отсчета вычисляют с помощью модели (5.9), заменяя в ней индекс 1 на Рисунок 5.8 – Выявление выброса в сигнале индекс 2 .

(выброс в отсчете с номером = 0) После замены отсчета с выбросом на оценку выходной сигнал 2-го фильтра 2 (2 ) уменьшится и тоже вернется в пределы отрезка [max, max ] .

На какой бы оси децимированных сигналов не располагался отсчет с выбросом, выходной сигнал соответствующего фильтра, оказавшегося за пределами характеристики срабатывания, будет указывать место выброса и позволит определить оценку корректируемого отсчета .

5.1.4 Обработка коротких интервалов

Если осциллограмма сигнала содержит короткий участок, то в адаптации фильтра будут участвовать отсчеты двух смежных интервалов однородности .

Вследствие этого коэффициенты операторов фильтра будут подобраны неверно, и коэффициенты не будут соответствовать ни одному из интервалов однородности. Невязки (3.45) будут большие, фильтр не может быть использован для экстраполяции отсчетов ни одного из интервалов .

В то же время, если длина короткого участка близка к длине блока настройки, то параметры фильтра будут с допустимой погрешностью соответствовать сигналу короткого участка. Хотя настроенный фильтр может быть использован в качестве модели сигнала на коротком участке, но его движение вправо все равно будет невозможно .

Возможен и третий вариант, когда короткий участок намного меньше необходимого размера блока настройки:. При этом блок настройки будет расположен преимущественно на соседнем участке однородности. Тогда параметры сигнала на смежном интервале будут превалировать, и модель будет тяготеть к этому интервалу. При достаточно большой уставке = 1,5 2 в (5.6) фильтр может и будет продвигаться вправо, но короткий участок «растворится»

в общей массе отсчетов и не будет идентифицирован .

Чтобы избежать подобных ситуаций, необходимо выполнять специальную процедуру проверки границ интервала. Она заключается в реализации следующих шагов .

Определение левой границы. Пусть p-й интервал будет коротким, т.е .

. В этом случае фильтр будет настроен неправильно, поскольку блок настройки фильтра будет содержать отсчеты следующего ( + 1)-го интервала .

Его перемещение вправо невозможно, поскольку невязка будет большой. Поэтому правая граница текущего p-го интервала будет определена тоже неправильно и будет располагаться на границе блока настройки фильтра. То обстоятельство, что фильтр не может перемещаться вправо будет сигналом обнаружения короткого участка .

Для определения правильной правой границы фильтр переносится правее от ложно определенной правой границы p-го интервала и выполняется настройка нового фильтра .

Рисунок 5.9 – Исходное положение настроенного фильтра при уточнении левой границы интервала однородности Затем настроенный фильтр перемещают по отсчетам влево (Рисунок 5 .

9), начиная с начального отсчета блока настройки нового фильтра (с «ложной границы» ( + 1)-го интервала). Оценка предсказанного назад отсчета (

1) определяется из соотношения (3.45) .

В случае продвижения фильтра на коротком интервале однородности правая граница p-го интервала будет определена неправильно. Поэтому он будет уточнен путем передвижения нового фильтра, настроенного на ( + 1)-м интервале, влево до тех пор, пока не будет найдена истинная правая граница предыдущего короткого интервала. После этого фильтр короткого интервала должен быть перенастроен, его порядок .

Достаточность порядка фильтра, настроенного на коротком участке, может быть подтверждена оценкой глубины подавления входного сигнала. Выходной сигнал правильно настроенного фильтра должен быть невысоким. С той целью, чтобы его уровень не зависел от величины сигнала, невязка вычисляется для нормированного по максимальному значению сигнала (при обработке сигналов электрических систем невязка не превышает по модулю порог 103 105 ). Высокий уровень выходного сигнала фильтра свидетельствует о недостаточно высоком порядке адаптивного оператора. Такой фильтр не годится для представления сигнала участка. В этом случае модель сигнала короткого интервала в структуре осциллограммы представляется всей совокупностью отсчетов .

-13

-26 Рисунок 5.10 – Осциллограмма напряжения ЛЭП 500 кВ, содержащая короткий интервал предшествующего режима Пример обработки короткого интервала. На Рисунке 5.10 приведен фрагмент осциллограммы напряжения ЛЭП 500 кВ, содержащий два интервала однородности: [0, 23] и [24, 119]. Поскольку порядок фильтра всегда выбирается с запасом, то первый из интервалов для него – короткий. Его отсчетов недостаточно для настройки фильтра (в случае только адаптивного оператора порядка = 18 предельный блок настройки включает 36 отсчетов). Поскольку блок настройки гибридного фильтра с = 18 и неадаптивным оператором 1-й, 3-й и 5-й гармоник составляет, как минимум, 42 отсчета, поэтому он захватывает помимо 24 отсчетов первого интервала еще и 18 отсчетов второго. В нашем примере длина блока настройки фильтра принята равной 47 отсчетам. Поэтому фильтр не перемещается вправо, ложно принимая 47-й отсчет за границу первого интервала. Но новый фильтр, настроенный на блоке [47, 93] второго интервала, будет «правильным» и перемещается влево и достигает отсчета с номером 24, правильно определяя левую границу интервала .

После определения левой границы можно попытаться построить модель короткого интервала. На 24 отсчетах сигнала короткого интервала был построен адаптивный фильтр порядка = 6. После коррекции корней порядок адаптивного оператора экстраполирующего фильтра понижен до 3. Фильтр короткого участка обеспечивает достаточно хорошее подавление входного сигнала (невязка модели на нормированном сигнале составляет 2 104 ) .

Фильтр, настроенный на блоке отсчетов [47, 93] сигнала, после коррекции корней понизил порядок адаптивного оператора до 11 и при перемещении вправо достиг конца осциллограммы. Модели сигнала показаны На Рисунке 4.5 и 4.6 (на коротком и длинном интервалах соответственно) .

Рисунок 5.11 – Модель короткого интервала однородности сигнала Рисунока 5.10

Существует еще одна особенность обработки сигнала с коротким интервалом. Дело в том, что при локализации короткого интервала фильтр следующего интервала располагается далеко от левой границы своего интервала однородности и блок его настройки включает отсчеты сигнала преимущественно в зоне установившегося режима. Так, например, для осциллограммы Рисунка 5.10 фильтр второго интервала настраивался на интервале [47, 93]. Переходный процесс к этому времени практически уже закончился и его составляющие в модели слабо выражены, в связи с чем начальный участок осциллограммы второго интервала фильтром аппроксимируется хуже, чем остальная его часть. Поэтому фильтр интервала, следующего за коротким, рекомендуется перенастроить, расположив блок его настройки в начале интервала .

Рисунок 5.12 – Модель второго интервала однородности сигнала Рисунка 5 .

10

5.2 МЕТОДЫ КОМПОНЕНТНОГО АНАЛИЗА

Если структура осциллограммы цифрового сигнала электрической системы () определена (выделены интервалы однородности и на каждом из них настроен адаптивный фильтр), то созданы все условия для оценивания амплитуды и фазы компонентов сигнала на интервалах. В дело вступает следующий этап структурного анализа сигнала – компонентный анализ .

5.2.1 Компонентная модель Компонентный анализ полностью основан на достижениях эффективного фильтра, сконцентрированных в его характеристическом уравнении. Поэтому базис составляющих компонентной модели известен и формируется на основе корней эффективного ядра (2.47) характеристического уравнения (2.26). Значит компонентная модель является по сути неадаптивной, и ее порядок ограничен сверху порядком эффективного фильтра и равен порядку его эффективного ядра (2.47) .

В то же время корни эффективного ядра ассоциированы, как уже говорилось в главе 2, с полюсами изображения сигнала () электрической системы .

Их согласование осуществляется по правилу (2.27), и таким образом компонентная модель полностью определяется слагаемыми базиса собственных мод сигнала электрической системы .

При оценивании параметров сигнала с помощью компонентной модели важно иметь в виду ее особенность, вытекающую непосредственно из свойств неадаптивных моделей, т.е. моделей, структура которых задана заведомо. Компонентные модели всегда аппроксимируют сигнал в заданном базисе составляющих. И если в компонентной модели предусмотрена какая-либо слагаемая, то компонентный анализ «найдет» ее в сигнале, хотя, возможно, этой слагаемой в нем и нет .

Компонентная модель может быть определена в двух формах; каждая из них будет математически обоснованной. Первая форма модели образуется путем формального соотнесения корней характеристического уравнения фильтра (2.26) с базисом собственных мод сигнала. В этом случае сигнал (1.12) будет включать в себя линейную комбинацию компонентов базиса: экспонент вида

–  –  –

В компонентной модели (5.14) сигнал представлен апериодическими составляющими в количестве, затухающими гармоническими (гармониками, если коэффициент затухания = 0) в количестве и слагаемыми критического режима в количестве (кратность -го корня задана числом ). В этом случае все неизвестные амплитуды,, и ортогональные составляющие, вещественны .

Для определения неизвестных коэффициентов нужно решить (так же, как и в случае первой формы компонентной модели) систему уравнений, составленную для существующей выборки отсчетов сигнала (). Поскольку в общем виде она выглядит громоздко, здесь она не приводится .

Как уже говорилось выше, компонентные модели (5.12) и (5.14) строятся на основе корней эффективного ядра адаптивной модели. Следовательно, должны быть сформулированы правила разделения корней на корни эффективного ядра (2.47) и фильтра шума (2.48) .

5.2.2 Разбиение эффективного фильтра на составляющие Порядок характеристического уравнения (2.26) адаптивной модели всегда превышает порядок полезного сигнала (1.13). Использовать все его корни непосредственно для компонентного анализа было бы неразумно, поскольку среди них могут содержаться физически нереализуемые корни. Наличие таких корней может привести к самовозбуждению модели (Рисунок 5.13) .

Поэтому нужно разделить все множество корней адаптивной модели на подмножество корней, используемых в компонентном анализе, и на подмножество корней, не связанных с полезным сигналом. Другими словами, адаптивный фильтр должен быть разбит на фильтр эффективного ядра и фильтр шума .

–  –  –

Рисунок 5.14 – Экстраполирующий фильтр тока короткого замыкания на ЛЭП 500кВ после удаления корней с | | 1: ошибочное удаление корней = 0,8669 ± 0,4993 (| | = 1 .

0004), соответствующих первой гармонике сигнала, привело к потере достоверности модели Конечно, выявление и удаление корней, не соответствующих условию (5.15), не представляют собой особой сложности. Однако опыт структурного анализа сигналов аварийных процессов электрических систем показывает, что не все корни с | | 1 на самом деле являются посторонними. Так, например, корни, согласованные со слагаемыми принужденного режима, теоретически располагаются на окружности единичного радиуса комплексной плоскости .

Но из-за вычислительных шумов и погрешностей тракта АЦП в оценках таких корней может появиться смещение, и некоторые из оценок могут выйти за пределы единичного круга. Удаление подобных корней будет ошибкой, поскольку это приведет к фатальной потере точности оценки отсчетов сигнала. Этот досадный эффект показан на Рисунке 5.14, на котором показана модель Рисунка 5.13, полученная после удаления корней с | | 1 .

Кроме того, из-за шума некоторые корни, ассоциированные с гармоническими составляющими сигнала, могут быть по модулю незначительно меньше

1. Если не учитывать эту возможность, то формальное использование уравнения согласования корней (2.27) приведет к замене гармоники затухающей колебательной составляющей, что естественно снижает качество модели. Во избежание подобных ситуаций такие корни необходимо корректировать по модулю .

Коррекции подлежат все корни, удовлетворяющие условию || | 1|, = 1,. (5.16) Величина порога выбирается исходя из характеристик сигнала и природы его происхождения. Она должна быть выбрана таким образом, чтобы условие (5.16) обеспечивало селекцию корней, ассоциированных с составляющими принужденного режима электрической системы, из множества слагаемых адаптивной модели .

Очевидно, что сигналы электрических систем разного класса напряжения различаются структурой и характеристическими параметрами слагаемых. Как показывает анализ [58], при коротком замыкании в токе могут появиться как апериодическая, так и затухающие колебательные слагаемые .

Частоты затухающих колебательных слагаемых могут быть как ниже, так и выше частоты основной гармоники [59]. В токе КЗ в сетях с протяженными линиями электропередачи число затухающих гармонических слагаемых значительно, но энергия свободного процесса сосредоточена в основном в апериодической слагаемой и затухающей колебательной слагаемой самой низкой частоты. Остальные слагаемые имеют сравнительно малое время затухания, и по уровню обычно слабы .

Поэтому порог селекции корней, согласованных с принужденными составляющими, должен быть выбран с учетом слагаемой с малым затуханием min. Как правило, такой слагаемой является апериодическая составляющая. C учетом обозначения (2.25) получаем, что в этом случае предельное значение модуля корня будет равно | | = min. (5.17) Постоянная времени апериодической составляющей может быть от 0,15 до 0,35 с (коэффициенты затухания от 6,67 до 2,86 с1 ) при КЗ на шинах электрической станции, и от 0,02 до 0,08 ( от 50 до 12,5 с1 ) – при КЗ на шинах подстанции [125]. При КЗ на линиях коэффициенты затухания обычно еще больше .

Поэтому минимальный коэффициент затухания должен быть принят равным min = 2,86 с1. Тогда из совместного рассмотрения выражений (5.16) и (5.17) следует, что порог = 1 2,86. (5.18) Как видно, порог зависит от обобщенного интервала дискретизации .

Современная цифровая релейная защита имеет частоту дискретизации выше 1 кГц, а шаг децимации не превосходит 10, и поэтому максимальное значение аргумента экспоненты в (5.18) max( min ) 0,03, т.е. весьма мало. Ограничиваясь линейной составляющей в разложении экспоненты в ряд, из (5.18) получаем простое равенство для выбора порога = 2,86. (5.19) Порог определяет ширину области «притяжения» корней, ассоциированных с гармониками или постоянной составляющей, к единичной окружности (Рисунок 5.15, а). Принимается, что смещение модулей | | симметрично относительно 1 .

Шумы в сигнале независимо от природы их происхождения приводят к появлению в модели несуществующих в сигнале высокочастотных составляю

–  –  –

ln(1 ) 0 ln(1 + ) ln min а) б) Рисунок 5.15 – Иллюстрация механизма декомпозиции структурной модели сигнала на эффективное ядро и фильтр шума: а) на единичной окружности комплексной плоскости ;

б) на плоскости (, ). 1 – область затухающих слагаемых сигнала; 2 – область «притяжения» модуля корня | | к 1 согласно (5.16) и (5.19) (коэффициента затухания к 0) .

Области 1 и 2 относятся к фильтру эффективного ядра, а область 3 - к фильтру шума Известно, что в сети с нелинейной нагрузкой (выпрямители, дуговые печи, статические компенсаторы реактивной мощности, инверторы и т.д.) ток наряду с основной гармоникой будет содержать высшие гармоники. Поскольку в России отсутствуют требования к содержанию высших гармоник в токе, то для оценки уровня высших гармоник можно использовать нормы стандарта [126]. Согласно им в сетях высокого напряжения действующее значение гармоник с номерами до 11 не превышает 7,5% и 1,875% от основной гармоники для нечетных и четных гармоник соответственно. В сетях сверхвысокого и ультравысокого напряжения те же параметры будут равны 3,0% и 0,75% соответственно .

В стандарте [126] нормируется содержание гармоник и более высоких порядков, однако их влияние на работу РЗА устраняют специальные фильтры нижних частот измерительного тракта. Амплитудно-частотная характеристика этих фильтров выбирается таким образом, чтобы все гармоники частотой выше частоты Найквиста были подавлены .

Таким образом, отсеивать высокочастотные составляющие в компонентной модели можно двумя способами .

В первом случае можно ограничиться верхними предельными значениями коэффициента затухания max и частоты слагаемой max, полагая, что вклад остальных составляющих в энергетический спектр сигнала незначителен, и скорее всего эти составляющие в модели появились из-за шума в сигнале. На комплексной плоскости (Рисунок 5.15, а) предельной частоте сигнала соответствует угловая длина дуги max = max, (5.20) а предельному коэффициенту затухания – минимальное значение модуля корня min = |min | = max. (5.21) Положительной частоте сигнала соответствует верхняя область комплексной плоскости. Ее отображение на плоскости (, ) представлено на Рисунке 5.15, б .

Во втором случае селекция составляющих основана на сравнении амплитуды колебательной составляющей с амплитудой доминирующей составляющей в сигнале. Последний критерий наиболее продуктивен при компонентном анализе сигнала, в котором превалируют слагаемые, отличные от основной гармоники. Это особенно характерно для защит, использующих в качестве информационных составляющих высшие гармоники сигнала [17] .

Возможно сочетание обоих способов, заключающееся в преднамеренном включении в компонентную модель по первому способу некоторых составляющие высоких частот, следуя второму правилу селекции .

При использовании гибридных моделей иногда возникает необходимость дополнительной коррекции корней, если в ее адаптивном операторе появляются корни гармонической слагаемой, частота которой близка к частоте слагаемой в модели неадаптивного оператора. Существует опасность, что они, взаимодействуя друг с другом, могут привести к биению амплитуды моделируемой колебательной составляющей (Рисунок 5.16) .

Рисунок 5.16 – Влияние корней-«близнецов» фильтра: биение амплитуды вызывает затухающая составляющая частоты 45,8 Гц Если в адаптивном операторе обнаружен компонент частоты, близкий к составляющей частоты неадаптивного оператора, то адаптивный «близнец» не учитывается в компонентном анализе .

Степень близости компонентов регламентируется совместно условием (5.16) и неравенством | | (2), (5.22) где = 2 5 Гц – мера близости, – номер гармоники, включенной в неадаптивный оператор;

5.2.3 Компактность компонентной модели

Компонентная модель, полученная по рекомендациям §5.2.1 и §5.2.2, вполне пригодна для моделирования сигнала, ибо способна с заданной точностью генерировать его реальные отсчеты. Однако из-за вычислительных шумов и погрешностей тракта аналогово-цифрового преобразования, или еще по другим причинам, модель может включать составляющие, отсутствующие в моделируемом сигнале. Поэтому после настройки компонентного оператора основные усилия должны быть направлены на повышение компактности модели .

Главное требование будет заключаться в том, чтобы число компонентов, образующих модель, было минимальным .

Рисунок 5.17 – Компактная модель электроэнергетического сигнала Рисунка 4 .

8: совокупный порядок модели понижен от 16 до 7 Повышение компактности модели может быть достигнуто путем исключения из компонентного оператора составляющих, увязанных с корнями шумов вычислений и дискретизации. Часто ими являются компоненты с большим коэффициентом затухания или относительно малой амплитудой. Во множестве случаев без особого ущерба для качества модели из нее могут быть удалены компоненты с амплитудой (5.23) max, = 0,03 0,05, = 1, .

где max – максимальное значение амплитуды составляющих компонентного оператора. После удаления несущественных компонентов необходимо перенастроить компонентный оператор пониженного порядка; в результате оставшиеся компоненты возмещают модели лишний вклад исключенных составляющих .

Может оказаться, что процесс удаления несущественных составляющих и коррекции модели потребует нескольких итераций. Иллюстрация работы критерия (5.23) представлена на Рисунке 5.17 .

Компактная модель сигнала построена при = 0,05. Стартовый порядок компонентного оператора был равен 16 (порядок адаптивного оператора экстраполирующего фильтра = 10 плюс еще 3 гармоники неадаптивного оператора). После настройки порядок компонентного оператора понижен с 16 до 7 в результате удаления 3-х синусоидальных компонентов по признаку (5.23) и синусоидального и экспоненциального компонентов по условию (5.19) .

Структура полученной модели приведена на Рисунке 5.18 .

Рисунок 5.18 – Компонентный состав компактной модели, приведенной на Рисунке 5 .

17 5.2.4 Пример компонентного анализа В качестве иллюстрации выполним компонентный анализ сигнала, приведенного на Рисунке П.1. Коэффициенты фильтра, полученные в результате настройки на сигнал на исходной частоте дискретизации = 1 = 1200 Гц ( = 1), и корни его характеристического уравнения, вычисленные в среде Matlab, приведены в Таблице 5.2. Для наглядности корни упорядочены по их принадлежности моделям эффективного ядра (П.7) и шума (П.8). Очевидно, что сделать вывод о принадлежности корней той или иной модели можно сделать с наибольшей вероятностью только после выполнения компонентного анализа, и то условно. Отметим, что, несмотря на арифметику двойной точности про

–  –  –

5.3 ОЦЕНКА ЧАСТОТЫ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ СЕТИ (ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ)

Частота является важнейшим системным параметром, характеризующим состояние электрической сети и качество электроэнергии [160]. Ее оценка широко используется в различных системах противоаварийной автоматики, таких как автоматическая частотная разгрузка, частотная делительная автоматика, частотное автоматическое повторное включение, автоматическая ликвидация асинхронного режима [161]. В то же время знание частоты позволяет использовать в структурном анализе гибридные модели (3.44), повышающие его разрешающую способность .

Алгоритмы оценки частоты должны обеспечивать необходимый уровень точности и быстродействия в различных режимах работы электрической сети, сопровождающихся изменением самого оцениваемого параметра во времени, при наличии в электрической величине высших гармоник, в режимах асинхронного хода различных частей электрической системы .

Цифровые алгоритмы оценки частоты в корне отличаются от предшественников, в связи с чем существует настоятельная потребность изложения понятий и определений, так или иначе связанных с частотой электрической величины .

Именно решению этой задачи посвящена настоящая глава. В ней дается развернутое изложение понятия частоты электрической величины и устанавливается ее связь с частотой электрической сети, излагаются теоретические основы построения алгоритмов оценки частоты и возможные принципы их практического приложения в цифровых системах релейной защиты и автоматики .

5.3.1 Амплитуда, фаза и частота сигнала электрической сети в установившемся синусоидальном режиме

–  –  –

5.3.2 Амплитуда (огибающая), фаза и частота сигнала электрической сети в периодическом несинусоидальном режиме В общем случае сигнал электрической сети содержит наряду с составляющей основной гармоники частоты 1 другие составляющие частот, не обязательно кратных основной. Для краткости изложения ограничимся рассмотрением сигнала с двумя составляющими () = 1 cos(1 + 1 ) + cos(1 + ), (5.30) где для определенности примем 1. Полученные выводы можно будет распространить и на более сложные сигналы. При, близком к единице, соотношение (5.30) будет описывать сигнал асинхронного режима электрической сети, а при целых – сигнал с кратной гармоникой .

В любом случае при 1 в сети возникают биения амплитуды.

Сигнал (5.30) в этом случае можно представить в виде квазигармонического колебания с переменной амплитудой (огибающей) () и мгновенной фазой (), определенной, например, через некоторую среднюю частоту 0 [164]:

() = () cos[0 + ()] = () cos (). (5.31) Для удобства вычислений снова можно воспользоваться представлением (5.26), но при определении сопряженного сигнала () нужно учесть, что в этом случае имеем дело с огибающей () периодического несинусоидального сигнала:

() = () + () = () (). (5.32) Как и для гармонического сигнала (5.24), огибающая (), фаза () и мгновенная частота () будут определяться согласно (5.27) – (5.29). Отметим, что мгновенная частота () = 0 + не зависит от выбора 0, поскольку при изменении 0 соответственно меняется и [164] .

Известно [164, 165], что при представлении сигнала (5.30) в форме (5.31) возникает неоднозначность в выборе функций для огибающей () и фазы (), поскольку для любой выбранной функции () всегда можно подобрать соответствующую функцию для (). То же самое свойственно представлению сигнала в виде (5.32), в связи с чем выбор сопряженного сигнала () для заданного сигнала () так же многозначен. Поэтому нужно определить правила задания мнимой части () в (5.32) таким образом, чтобы огибающая была определена однозначно так, чтобы для гармонического сигнала (5.24) она совпадала с амплитудой, а мгновенная частота () – с частотой гармоники [164] .

–  –  –

5.3.3 Мгновенная частота и частота электрической сети В электроэнергетике частота электрической сети определяется как частота электрической величины в установившемся синусоидальном режиме сети .

Электрическая величина в этом случае представляет собой гармонику основной частоты, и мгновенная частота (), определяемая согласно (5.29), будет (теоретически) неизменна во времени и равна частоте этой гармоники. Очевидно, что такое определение частоты требует от алгоритмов оценки частоты сети способность исключать из сигнала высшие гармоники и составляющие свободного процесса или оценивать частоту только на стационарных участках сигнала [132]. Отсюда следует, что представление сигнала (5.30) в форме (5.32) при 1 неприемлемо с точки зрения определения частоты сети, поскольку мгновенная частота (), определенная по (5.25) или (5.35), не соответствует частоте основной гармоники сигнала. В связи с этим понятие мгновенной частоты () может использоваться лишь для оценки динамики изменения частоты электрической величины, поступающей на вход измерительных органов [166], но не для оценки частоты сети. В этом коренное отличие алгоритмов определения частоты сети в системах релейной защиты и противоаварийной автоматики, и именно эта предпосылка определяет весь спектр особенностей алгоритмов релейной защиты и противоаварийной автоматики энергосистем, так или иначе связанных с оценкой частоты электрической сети .

Как уже отмечалось, в нормальном режиме работы электрической сети электрические величины содержат только одну основную гармонику (5.24), частота которой и определяет частоту сети. Однако в случае асинхронного режима сети частоты вращения генераторов будут не одинаковы, и, к примеру, в двухгенераторной сети электрические величины будут содержать две гармоники, частоты которых близки к номинальной частоте сети [166, 168], в связи с чем понятие основной гармоники теряет смысл. Алгоритмы, так или иначе использующие спектральные составляющие [23, 169], будут давать усредненные оценки частот, близкие к половине суммы частот гармоник. Класс алгоритмов, основанных на предположении о синусоидальности входного сигнала и использующие мгновенные величины [170], будут иметь оценки, тяготеющие к мгновенной частоте () .

Ясно, что для объективной оценки частоты сети нужно знать частоту обеих гармоник, порождаемых генераторами сети. Представляется, что для однозначности оценок будет правильным считать за частоту сети частоту вращения ведущего генератора, полагая, что частота генератора дефицитной части сети «проскальзывает» относительно частоты вращения ведущего генератора. Таким образом, алгоритмы оценки частоты сети, предназначенные для работы в режиме асинхронного режима сети, должны обладать способностью разделить сигнал на две гармоники с близкими частотами [171, 172]. Наиболее приспособлены для этого алгоритмы, использующие адаптивные структурные модели сигналов [132, 108] .

5.4 ПРАКТИЧЕСКИЕ АЛГОРИТМЫ ОЦЕНКИ ЧАСТОТЫ

5.4.1 Оценка частоты сети по переходу через нуль

–  –  –

связи с чем они не приводят к появлению «ложных» переходов сигнала через нуль, а значит, практически не влияют на точность оценки частоты .

Рассмотрим влияние составляющих погрешности (5.36) на точность определения частоты .

Погрешность интерполяции. Частота сети определяется как частота цифрового сигнала () = sin( + ), (5.38) полученного из непрерывного сигнала () = sin( + ), (5.39) где – амплитуда, = 2 – циклическая частота, – начальная фаза сигнала .

а) б) Рисунок 5.22 – Иллюстрация механизма возникновения погрешности интерполяции : а) 0; б) 0 Период сигнала (5.39) будем определять по переходу с отрицательной полуволны на положительную; тогда в цифровом сигнале (5.38) переход будет находиться между отсчетами разной полярности. Примем, что вблизи перехода положительный отсчет будет иметь номер = 0 ( = = 0), а номер отрицательного отсчета = 1 ( = ) .

Тогда, как видно из Рисунка 5.22, момент перехода сигнала через нуль находится на полуинтервале ( ; 0], и согласно (5.39)

–  –  –

Рисунок 5.24 – Механизм влияния помехи на Рисунок 5 .

25 – Зависимость максимальпогрешность ной нормированной погрешности, вызванной шумом, от относительной частоты. Принято, что 0 Пример расчета. При реализации алгоритма оценки частоты возникает две задачи: прямая – определение точности оценки частоты при известных параметрах сигнала, и обратная – определение необходимой частоты дискретизации сигнала при заданной точности оценки частоты. Для решения обеих задач можно использовать зависимости, приведенные на Рисунках 5.23 и 5.25 .

Рассмотрим решение прямой задачи для цифрового сигнала (5.39) с шумом, имеющего частоту = 50 Гц, период дискретизации = 1/2000 c и отношение сигнал/шум (5.46) = 2000 .

По относительной частоте сигнала (5.43) = 0,025 определяется максимальная нормированная погрешность интерполяции (Рисунок 5.23) <

–  –  –

5.4.2 Оценка частоты сети с помощью ортогональных составляющих Начала метода восходят к теории связи, а именно, к разделу демодуляции [130]. Очевидно, что сигналы электрических систем существенно отличаются от сигналов в системах связи. Поэтому алгоритмы оценки ортогональных составляющих величины электрической сети имеют свои особенности .

В самом общем случае для определения ортогональных составляющих сигнала (5.24) формируется комплексный сигнал () = 2() 0, (5.49) вещественная

–  –  –

( ) = 2 ( ) sin 0 = ( ) sin( + 1)0 cos( + 1)0 (5.51) части которого согласуются с ортогональными составляющими сигнала (5.24) .

Здесь 0 – опорный (модулирующий) сигнал, его ортогональный базис

–  –  –

() = sin( 1)0 + cos( 1)0 – (5.54) низкочастотные составляющие компонентов сигнала (5.49), 0 – номинальная частота сети, = 0 – коэффициент расстройки частоты сети. Низкочастотные составляющие () и () представляют собой ортогональные составляющие сигнала (5.24), сформированные относительно базиса опорного сигнала (5.52). Для их выделения из (5.50) и (5.51) необходимо подавить составляющие боковой частоты = ( + 1)0. (5.55) В общем случае, когда частота сигнала не совпадает с частотой 0 опорного сигнала, ортогональные составляющие, как это видно из (5.53) и (5.54), изменяются разностной частотой = 0 = ( 1)0. (5.56) Полагая, что в (5.50) и (5.51) составляющие боковой частоты удалены, получим новый комплексный сигнал, соответствующий по форме выражению (5.26):

() = (), где вычисляется согласно (5.27) как = 2 () + 2 () и равна значению по (3.6), а фаза определяется как в (5.28):

() = tan1 [ () ()] .

Частота ортогональных составляющих вычисляется либо по (5.29) с учетом очевидных соответствий, либо по (5.25). Мгновенная частота () сигнала () определяется из (5.56). Она будет постоянной (теоретически) и равной частоте сигнала (5.24) .

Таким образом, для оценки частоты по ортогональным составляющим нужно получить оценки (5.53) и (5.54). Как уже отмечалось, для этого нужно подавить составляющие боковой частоты (5.55). Существует несколько способов решения этой задачи, и все они так или иначе связаны с использованием фильтров. Эти возможности были рассмотрены в главе 3 .

5.4.3 Оценка частоты сети с помощью операторов с частотнозависимыми характеристиками

–  –  –

Алгоритм позволяет иметь стабильную оценку за 3,5 периода основной гармоники. Но любое скачкообразное изменение входного сигнала будет вызывать собственный переходный процесс алгоритма продолжительностью тех же 3,5 периода основной частоты .

Таким образом, алгоритм [173] имеет повышенную инертность, но обладает стабильно высокой и не зависящей от частоты сети точностью благодаря двухканальности обработки, которая позволяет избежать разбалансировки алгоритма при частоте сети, отличной от номинальной .

5.4.4 Оценка частоты сети с помощью адаптивных структурныхмоделей сигнала

Эффективная адаптивная модель (2.21) несет всю информацию о сигнале

– каким бы он ни был сложным – в корнях своего характеристического уравнения (2.46), ассоциированных с корнями изображения () сигнала () в соответствии с уравнением согласования корней (2.27) изображения сигнала и модели. Частоту основной гармоники можно будет определить, используя тот из пары согласованных с ней корней = ±, который расположен на комплексной плоскости в пределах первых двух квадрантов:

1 = (1 ) tan1 ( ) .

(5.57) Модель (2.21) способна распознать сигнал любой сложности, в связи с чем использующий ее алгоритм оценки частоты может работать и в переходных режимах электрической сети .

5.4.5 Оценка частоты сети в периодическом несинусоидальном режиме с помощью адаптивных заграждающих моделей В периодическом режиме работы сети нет необходимости использовать сложную модель (2.21). Ее можно упростить, выделив из нее операторы заграждения – модели отдельных гармонических составляющих (23), включаемых каскадно [132–137, 175]. Их задача заключается в выделении из сигнала основной гармоники. В алгоритмах, предназначенных для работы в системах релейной защиты и противоаварийной автоматики, наиболее характерно использование операторов 3-й и 5-й гармоник (количество используемых операторов с точки зрения структуры излагаемых далее алгоритмов несущественно) .

Оператор заграждения, способный подавить 3-ю и 5-ю гармоники, будет представлен согласно (3.37) моделью двух гармоник:

() = ( 4) + (3 + 5 )[( 3) + ( 1)] + (5.58) +(2 + 3 5 )( 2) + (), где

–  –  –

=+1[( 2) + ()]( 1) = .

=+1 ( 1)

–  –  –

раз после получения оценки частоты изменяет коэффициенты заграждающего оператора (5.58). Очевидно, что на первых итерациях настройки заграждающего оператора (5.58) точность определения частоты будет недостаточна, но среднее значение оценки позволит приблизить частоты заграждения высших гармонических к реальным частотам гармоник, улучшая их заградительные свойства .

Это позволит уменьшить смещение оценки частоты на следующей итерации, что приведет к возникновению в алгоритме своего рода положительной обратной связи, ускоряющей сходимость процесса оценки частоты. Как показано в [132], число итераций в алгоритме не превышает 6. Частота сети определяется за 1,5 – 2 периода основной гармоники .

Этот алгоритм подстройки частоты можно использовать в настройке заграждающего фильтра боковой частоты в алгоритме с фильтром Фурье с сокращенным окном (§3.1.7) .

5.5 ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ ОБРАБОТКА ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО СИГНАЛА



Pages:   || 2 |



Похожие работы:

«www.hjournal.ru DOI: 10.17835/2078-5429.2016.7.2.020-037 Э Т И Ч Е С К И Е ФА К Т О Р Ы П О В Ы Ш Е Н И Я С О Ц И А Л Ь Н О Г О К А П И ТА Л А В Р О С С И И * НУРЕЕВ РУСТЕМ МАХМУТОВИЧ, доктор экономических наук, профессор, заведующий кафедрой экономической теории, Финансов...»

«АНДРИЯНОВ Никита Андреевич ДВАЖДЫ СТОХАСТИЧЕСКИЕ АВТОРЕГРЕССИОННЫЕ МОДЕЛИ ИЗОБРАЖЕНИЙ 05.13.18 — Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук Научный руководитель — кандида...»

«ВАЙТМИКС RT10W ТЕХНИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ. ВАЙТМИКС RT 10 W безусадочная быстротвердеющая высокопрочная сухая смесь, специально разработанная для зимнего и срочного ремонта . Температурный диапазон применения — от минус 20 до + 10 град.С. С...»

«РУС ИНСТРУКЦИЯ P/N 4018850 Внимательно прочитайте эту эксплуатации и перед использованием прибора. CTR S.R.L. Via T.ed E. Manzini n° 9, 43126 Parma (Italy) Tel. +39 0521/957611 Fax. +39 0521/957677 Revision number 1 code 330080 Date 29/04/2014 РУС И...»

«Федорович Владимир Олегович ФОРМИРОВАНИЕ И РАЗВИТИЕ ФИНАНСОВОГО МЕХАНИЗМА УПРАВЛЕНИЯ ИМУЩЕСТВЕННЫМ КОМПЛЕКСОМ КРУПНЫХ КОРПОРАТИВНЫХ ОБРАЗОВАНИЙ Специальности 08.00.05 – Экономика и управление народным хо...»

«Коммерческое предложение на Multivan Comfortline 2.0 biTDI (132кВт), авт.-7 (DSG) 4Motion 1 von 10 21.10.2013 10:18 Angebot AVILON 2 Спецификация автомобиля Multivan Comfortline 2.0 biTDI (132кВт), авт.-7 (DSG) 7EMC49 / PW1 / 2,721...»

«Содержание Стр.1. Область применения 3 2. Общие положения 3 3. Требования к изображениям Знаков Системы 4 4. Порядок применения Знаков Системы 5 Приложение: 1. Форма Разрешения на применение Знака Системы 2. Формы Знаков Системы 1. ОБЛАСТЬ ПРИМЕНЕНИЯ Настоящий документ устанавливает сферу (область) применения, изображение и технич...»

«ГОСТ 28622-90 МЕЖГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТАНДАРТ ГРУНТЫ МЕТОД ЛАБОРАТОРНОГО ОПРЕДЕЛЕНИЯ СТЕПЕНИ ПУЧИНИСТОСТИ Издание официальное БЗ 9 -2 0 0 4 СТАИДАРТИНФОРМ Москва шарф палантин УДК 624.131.3.001.4:006.35...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ЮЖНО-РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ (НПИ) ИМЕНИ М.И.ПЛАТОВА МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ СЕТЕЙ И СИСТЕМ Учебно-методическое пособие для практических занятий Новочеркасск Лик УДК 5.19 8(076.5) РецензентА.А. Михайлов, д-р техн. наук, проф. каф...»

«Храпченкова Ирина Витальевна РАЗВИТИЕ ИННОВАЦИОННОЙ НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЫ НА ОСНОВЕ РАЗВИВАЮЩЕГО ОБУЧЕНИЯ В 1991-2005 гг. 13.00.01 общая педагогика, история педагогики и образования Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук Новосибирск 2010 Работа...»

«Авторский коллектив Должность ФИО Подпись Нач. архитектурнопланировочного Митрофанов Ю.П. отдела Гл. архитектор Кудимова О.А. Архитектор Лысенко Н.Ю. Инженер Баранова Г.В. Инженер Ларин Р.О. Инженер Казанцев А. С. Инженер Коренева З.В. Мун.контракт №35/17 от 16.11.2017г. – ПП.ПЗ Изм. Лист № докум. Подпись Дата Ли...»

«ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2012 Экономика №1(17) УДК 338.23:336:339.923 В.О. Федорович, Н.В. Конципко ИССЛЕДОВАНИЕ МЕХАНИЗМА ФОРМИРОВАНИЯ И РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СТРАТЕГИЧЕСКИХ ФИН...»

«Инструкция по монтажу зданий из ЛСТК производства "АМК" Директор Е. Я. Сивцев Содержание ОБЩАЯ ЧАСТЬ..3 1. ТРАНСПОРТИРОВАНИЕ И СКЛАДИРОВАНИЕ.4 2. УКАЗАНИЯ ПО ПРОИЗВОДСТВУ МЕТАЛЛИЧЕСКИХ КОНСТРУКЦИЙ.5 3....»

«МИТЧЕНКО ИРИНА АНАТОЛЬЕВНА РАЗРАБОТКА МЕХАНИЗМА УПРАВЛЕНИЯ РИСКАМИ В ПРЕДПРИНИМАТЕЛЬСКОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ОРГАНИЗАЦИЙ СФЕРЫ ИНФОРМАЦИОННО-ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ 08.00.05 – "Экономика и управление народным хозяйством:10. Предпринимательство" АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соис...»

«РОССИЙСКОЕ АКЦИОНЕРНОЕ ОБЩЕСТВО ЭНЕРГЕТИКИИ ЭЛЕКТРИФИКАЦИИ "ЕЭС РОССИИ" Департамент науки и техники ОБЪЕМ И ТЕХНИЧЕСКИЕ УСЛОВИЯ НА ВЫПОЛНЕНИЕ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ЗАЩИТ ТЕПЛОЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО ОБОРУДОВАНИ...»

«А.Г. КАГРАМАНЗАДЕ ОСОБЕННОСТИ ЦИФРОВЫХ СИСТЕМ КОММУТАЦИИ БАКУ-2000 КАГРАМАНЗАДЕ А.Г.ОСОБЕННОСТИ ЦИФРОВЫХ СИСТЕМ КОММУТАЦИИ БАКУ-2000 ВВЕДЕНИЕ Основным направлением дальнейшего развития сетей различных...»

«ООО "Холдинг Гефест" 197342, г. Санкт-Петербург, ул. Сердобольская, д. 65, литера А Тел./факс (812) 600-69-11 www.gefest-spb.ru Техподдержка: support@gefest-spb.ru СЕРТИФИКАТ СООТВЕТСТВИЯ С-RU.ПБ97.В.00763 Ороситель спринклерный общего назначения "Аква-Гефест" СВ...»

«ТЕКУЩИЕ МЕЖДУНАРОДНЫЕ ПРОЕКТЫ, КОНКУРСЫ, ГРАНТЫ, СТИПЕНДИИ (добавления по состоянию на 09 декабря 2014 г.) Декабрь 2014 года V Ежегодная студенческая стажировка в РОСНАНО Конечный срок подачи заявки: 15 декабря 2014 года Веб-сайт: http://www...»

«Савин Александр Владимирович УСЛОВИЯ ПРИМЕНЕНИЯ БЕЗБАЛЛАСТНОГО ПУТИ Специальность: 05.22.06 Железнодорожный путь, изыскание и проектирование железных дорог АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук Москва Работа выполнена в акционерном общест...»

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ТЕХНИЧЕСКОМУ РЕГУЛИРОВАНИЮ И МЕТРОЛОГИИ ГОСТР НАЦИОНАЛЬНЫЙ СТАНДАРТ 54710РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ СИСТЕМА ЦИФРОВОГО ЗВУКОВОГО РАДИОВЕЩАНИЯ DRM Руководство по приложениям данных Издание официальное Москва Стандартинформ долевое стро...»

«VII МЕЖДУНАРОДНЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ФОРУМ МОЛОДЫХ УЧЕНЫХ СБОРНИК НАУЧНЫХ ТРУДОВ © НОО ПРОФЕССИОНАЛЬНАЯ НАУКА | WWW.SCIPRO.RU | НАУЧНАЯ ОБЩЕСТВЕННАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ ПРОФЕССИОНАЛЬНАЯ НАУКА Современные проблемы развития образования, обучения и воспитания в Рос...»







 
2019 www.mash.dobrota.biz - «Бесплатная электронная библиотека - онлайн публикации»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.