WWW.MASH.DOBROTA.BIZ
БЕСПЛАТНАЯ  ИНТЕРНЕТ  БИБЛИОТЕКА - онлайн публикации
 


«(ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ) В.Б.БОРИСЕВИЧ, Б.Е.ЕРМАКОВ, Т.Л.АРТЕМЬЕВА, Г.М.РОЗЕНБЛАТ ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ УДАРА Методические указания для студентов, изучающих курс ...»

московский

А В Т О М О Б И Л Ь Н О - Д О Р О Ж Н Ы Й ИНСТИТУТ

(ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ

УНИВЕРСИТЕТ)

В.Б.БОРИСЕВИЧ, Б.Е.ЕРМАКОВ,

Т.Л.АРТЕМЬЕВА, Г.М.РОЗЕНБЛАТ

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ УДАРА

Методические указания

для студентов, изучающих курс

"Теоретическая механика"

МОСКВА 2009

московский

АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ИНСТИТУТ

(ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)

Кафедра теоретической механики Утверждаю Первый проректор профессор П.И.Поспелов УУ" ^^4у^ 2009 г .

В.Б.БОРИСЕВИЧ, Б.Е.ЕРМАКОВ, ТЛ.АРТЕМЬЕВА, Г.М.РОЗЕНБЛАТ

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ УДАРА

Методические указания д л я студентов, и з у ч а ю щ и х курс "Теоретическая механика" МОСКВА 2009 УДК 531.312.1 ББК 22.21 В методических указаниях приведена краткая теория, предложены д л я решения 86 стандартных задач и даны примеры решения отдельного вида задач .

Указания предназначены д л я студентов очной ф о р м ы обучения всех специальностей, изучающих курс "Теоретическая механика" .

© Московский автомобильно-дорожный институт (государственный технический университет), 2009 ВВЕДЕНИЕ Настоящие методические указания посвящены изучению основных элементов теории удара, которая является неотъемлемой частью стандартного курса "Теоретическая механика" .



Явление удара происходит в течение очень малого промежутка времени при очень больших силах (ударных силах), что приводит к скачкообразному изменению скоростей системы точек при неизменных их координатах. В результате дифференциальные уравнения движения заменятся на разностные (алгебраические) соотношения, связывающие изменение скоростей точек с импульсами ударных сил. При этом, как правило, число неизвестных превышает число уравнений, что требует введения определенных гипотез и допущений. В данном издании используется гипотеза Ньютона, основанная на введении коэффициента восстановления при ударе .

В методических указаниях кратко излагается теория удара, которая иллюстрируется подробным решением стандартных задач, используемых в курсовых работах для студентов .

1. КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ .

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ДОПУЩЕНИЯ

Удар твердых тел - это совокупность явлений, возникающих при столкновении движущихся твердых тел, а также при некоторых видах взаимодействия твердого тела с жидкостью или газом (удар струи о тело, удар тела о поверхность жидкости, гидравлический удар, действие взрыва или ударной волны на твердое тело и др.)Для изучения явления удара более точной является физическая модель удара, в которой рассматриваются происходящие во времени местные деформации сплошной среды .

Для исследования процессов деформирования применяют теории упругости, пластичности и распространения волн в твердом теле .

При больших относительных скоростях удара применяют гидродинамическую или специальную теорию высокоскоростного удара .

В курсе теоретической механики т е о р и ю у д а р а рассматривают как процесс соударения материальных точек или тел с малыми относительными скоростями. При этом используется модель Гюйгенса-Ньютона, где интегрально учитываются потери энергии при наличии местных упругопластических деформаций .





Поэтому можно считать, что удар - это я в л е н и е, при котором з а ничтожно м а л ы й промежуток в р е м е н и (т) с к о р о с т и точек тела м е н я ю т с я на к о н е ч н у ю в е л и ч и н у (рис.1) .

–  –  –

2. ПРЯМОЙ И КОСОЙ УДАР МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

О НЕПОДВИЖНУЮ ПОВЕРХНОСТЬ

Рассмотрим прямой удар точки о неподвижную поверхность .

Материальная точка падает с высоты ^^^ без начальной скорости и ударяется о гладкую неподвижную поверхность, имея в начале удара скорость V (рис.3) .

5,

–  –  –

Теперь рассмотрим косой удар, когда материальная точка со скоростью V, под углом а к нормали ударяется о гладкую неподвижную поверхность. Угол а называется углом п а д е н и я .

После удара точка отскакивает от поверхности со скоростью и под углом (3 к нормали. Угол р называется углом отражения (рис. 4) .

–  –  –

Эти равенства умножаем на сИ и берем интегралы с пределами от О до времени удара х:

к=^о к=^ Для механической системы, состоящей из п материальных точек, запишем теорему об изменении количества движения для к-й точки:

где икУк - скорости к-й точки до и после удара;

8к,8к - импульсы внешней и внутренней ударных сил .

–  –  –

внешних ударных сил относительно точки О (X Мо(8'к^ = 0 (по свойству внутренних сил) .

Следовательно, изменение главного момента количеств движения механической системы относительно выбранной точки за время удара равно векторной сумме моментов импульсов внешних ударных сил, приложенных к материальным точкам системы, относительно той же точки .

Векторное равенство (12) в проекциях на оси координат хоуг будет иметь вид:

к=^ ^ ^ ^у-^оу-Ъ Му[81\ (13)

–  –  –

2. Если X '^^^('^я! - О, то, согласно (13), К, = Ко^, хотя Ку Теперь покажем, как меняется угловая скорость тела при его вращении вокруг неподвижной оси при ударе (рис. 5) .

–  –  –

Моменты импульсов 5в, 5о ударных реакций относительно оси 02 равны нулю .

5. ЦЕНТР УДАРА Если к твердому телу 1, которое вращается вокруг неподвижной оси с угловой скоростью со, приложить импульс внешних ударных сил 8*, то можно установить условия, при которых не возникает ударных реакций в подшипниках оси вращения (рис. 6) .

–  –  –

При этом векторы ( О - О о ) и 5^ будут параллельны оси ох, Н, и ?

- кратчайшие расстояния от точек С и /С до оси вращения Аг .

При этом ооо, 00 - угловые скорости вращения тела ) до и после удара .

Запишем теорему количества движения систем в проекциях на ось ох и момента количества движения относительно оси /\г:

–  –  –

При 0^=ти^=т&Ь\ = ту^ = та,о^т, К2=^2^\ Ког=Л®;

5^ -5®; М^^^З^ ^ = -5®/ получим систему двух уравнений:

тЬ{(й-(йо) = -3^, При делении второго уравнения на первое находим расстояние / / = (14)

–  –  –

импульса 5^ с плоскостью, проходящей через ось вращения и центр масс (точка С) при отсутствии ударных реакций в подшипниках /\ и в, называется центром удара. Центр удара К и центр масс С всегда лежат по одну сторону от оси вращения твердого тела .

Если центр масс лежит на оси вращения, то /? = О и расстояние ? — °°, т.е в этом случае центра удара не существует и ударный импульс, приложенный к телу, целиком передается на подшипники .

Задача Заслонка имеет форму треугольника ЛбО (рис. 7) высотой Ь, которая может вращаться вокруг оси ог. Заслонка открывается ударом. Как нужно производить удар, чтобы он не передавался на подшипники, если ось о у - ось симметрии треугольника?

Решение Удар следует направлять перпендикулярно к плоскости заслонки. Центр удара К будет находиться на оси симметрии оу, так как в этом случае плоскость, перпендикулярная к оси вращения и проходящая через линию действия ударного импульса, пересекает ось вращения в точке, для которой ось вращения является главной осью инерции заслонки вследствие симметрии .

,С / ^\ К

–  –  –

7. ПРЯМОЙ ЦЕНТРАЛЬНЫЙ УДАР ДВУХ ТЕЛ

При прямом центральном ударе тел 7 и 2 (рис. 8), движение этих тел, массой т^, Шг, предполагаем поступательным. Скорости тел до удара V^, у г, при этом, чтобы произошел удар, нужно чтобы у-^ у г (рис. 8, а), и\, иг - скорости тел после удара .

–  –  –

где и - скорость движения тел 7 и 2 при деформации; 5^ = 5 1 импульс сил, действующих в первой ф а з е .

В (15) искпючая З ^. 3 1, находим и:

С учетом (15) и (16) вычисляем импульс силы первой фазы:

(17) В ф о р м у л е (17), если Ц =^2, то 3^ = 3 1 = 0, и удар двух тел отсутствует .

Вторая ф а з а удара (фаза восстановления формы тел) показана на рис. 8, в д л я О ^ ^ - ^2, где тг - продолжительность этой фазы .

Полное время удара х = Т1 + тг .

Тогда д л я этой ф а з ы :

–  –  –

^ ^2(/771 +/772) При абсолютно упругом ударе тел с равными массами /Пт = /П2 и /с = 1 из формул (20) получаем ^1 = Уг, ^2 = V^ .

При абсолютно упругом ударе тел равных масс они обмениваются своими скоростями, а потери кинетической энергии в этом случае не происходит .

Частным случаем абсолютно неупругого удара является удар о тело, скорость которого в начале удара равна нулю (Уг = 0). Пусть

-г Ч 2 Т^=-^т•^V^^ - кинетическая энергия системы в начале удара, Т-\ = ^(п?! + т2)и^х - кинетическая энергия системы в конце удара .

–  –  –

Задание 1 Конструкция, состоящая из однородных стержней и жестко связанных с ними точечных масс, неподвижна (прил. 1). Ось вращения перпендикулярна плоскости конструкции и проходит через точку О .

Тело А, двигаясь со скоростью у^, ударяется о конструкцию в точке В. Принимая тело за материальную точку и считая удар абсолютно неупругим, определить; угловую скорость конструкции после удара, воспринимаемый конструкцией ударный импульс, потерянную кинетическую энергию .

Необходимые для расчетов числовые данные приведены в табл. прил. 1 .

Пример решения задания Груз массой Шд = 30 кг, двигаясь поступательно со скоростью \/А = 5 м/с, сталкивается в точке В с концом однородного стержня массой л?! = 20 кг и длиной / = 0,8 м, расположенного в горизонтальной плоскости согласно рис. 9. Считая удар абсолютно неупругим, определить угловую скорость стержневой конструкции оо, скорость груза после удара и, величины действующих ударных импульсов, потерянную при ударе кинетическую энергию системы. Для второго стержня /772 = 15 кг, /2 = 0,6 м .

Решение

Если в качестве механической системы рассматривать груз и стержни вместе, то возникающая между ними ударная сила окажется внутренней силой (соответствующий ударный импульс обозначим 5 ). Внещним ударным будет импульс на оси вращения 5о, который разложим на составляющие 5ох и 5оу (рис. 11) .

Чтобы они не вошли в уравнение, описывающее процесс удара, применим к системе теорему об изменении кинетического момента при ударе относительно оси вращения стержня т .

–  –  –

Приравнивая кинетические моменты до удара и после него, получаем оо = 4,76 с \ откуда скорость фуза после удара и = 00/1 = 3,8 м/с .

Чтобы вычислить ударный импульс 5 между грузом и стержнем применим к грузу теорему об изменении количества движения при ударе в проекции на вертикальную ось у (рис.

10):

–  –  –

Для определения ударных импульсов на оси стержневой конструкции применяем теорему об изменении количества движения при ударе в проекциях на оси координат, учитывая, что количество движения тела равно произведению его массы на скорость центра масс (рис. 11) .

До удара конструкция была неподвижна и Оо = О, после удара

–  –  –

Задание 2 Конструкция состоит из однородной прямоугольной пластины и жестко скрепленной с ней точечной массы или стержня. Ось вращения пластины перпендикулярна плоскости и проходит через точку О. Груз А, принимаемый за материальную точку, двигаясь со скоростью \/А, ударяет конструкцию в точке В (прил. 2). Скорость вращения пластины в момент удара со.

Считая удар абсолютно неупругим, определить:

- угловую скорость конструкции после удара;

- ударный импульс, воспринимаемый конструкцией;

- как следует нанести удар по конструкции, чтобы отсутствовал ударный импульс на оси вращения .

Необходимые д л я расчетов числовые данные приведены в табл. прил. 2 .

Пример решения задания Задание Конструкция, состоящая из однородной плиты 1 массой т-^ = 200 кг и жестко скрепленного с ней стержня 2 массой т2 = 60 кг, вращается вокруг оси, перпендикулярной плоскости плиты и проходящей через точку О с угловой скоростью со = 1 с ' \ Тело А (материальная точка) массой Шд = 70 кг, двигаясь со скоростью V = 5 м/с, ударяется о конструкцию в точке В, причем удар является абсолютно неупругим; а = 1 м, Ь = 0,5 м (рис. 12) .

Определить угловую скорость конструкции после удара и воспринимаемый ею ударный импульс. Установить, как следует наносить удар по конструкции, чтобы отсутствовал ударный импульс на оси вращения (найти центр удара) .

–  –  –

Решение Рассмотрим в качестве механической системы всю конструкцию вместе с телом А. Тогда возникающая между ними ударная сила будет внутренней (соответствующий ударный импульс обозначим 5 ). Внешний ударный импульс на оси вращения 5 о. Разложим его на составные Зо^, (рис. 13) .

Н

–  –  –

В уравнение теоремы об изменении кинетического моменты системы при ударе относительно оси г этот импульс не войдет, то есть следовательно, = - кинетический момент в процессе удара сохраняется. Кинетический момент д о удара относительно оси вращения

–  –  –

где (поскольку удар абсолютно неупругий) и = Ш12а - скорость тела А после удара; - угловая скорость конструкции после удара .

Таким образом,

–  –  –

Итак, угловая скорость после удара 001 = 1,6 с \ а скорость тела А после удара и = 0012а = 3,2 м/с .

Для вычисления ударного импульса 5 применим к телу А (рис .

14) теорему об изменении количества движения при ударе в проекции на вертикальную ось Лу:

Оу ~ Ооу = X ^ку • где О = Шди - количество движения тела после удара; Оо = тдид до удара; Х^^у ~ сумма внешних ударных импульсов, в данном случае равная ударному импульсу 8, направленному вертикально вниз .

Получаем т^и - тдОд = - 5, откуда 5 = 126 Не .

Установим теперь, как следует наносить удар по конструкции, чтобы отсутствовал ударный импульс на оси вращения .

жуУ

–  –  –

А +5 Рис. 14 Из теории известно, что для этого линия действия ударного импульса должна быть п е р п е н д и к у л я р н а плоскости, п р о х о д я щ е й ч е р е з о с ь в р а щ е н и я и центр м а с с конструкции, и находится на

–  –  –

Задание 3 Вариант 1. Шар массой т, после центрального удара с неподвижным шаром массой Шг остается на месте. Определить отношение масс л?! и Ш2 .

Вариант 2. Определить отношение масс т^ и /7?2 двух шаров, если первый шар находится в покое; происходит центральный удар, после которого второй шар остается в покое .

Вариант 3. Определить отношение масс т-[ и Шг двух шаров, если шары встречаются с равными и противоположными скоростями; после центрального удара второй шар остается в покое .

Коэффициент восстановления равен к .

Вариант 4. Шар массой т-^, движущийся поступательно со скоростью 1/1, встречает покоящийся шар массой тг так, что скорость его образует при ударе угол а с линией, соединяющей центры шаров .

Определить скорость первого шара после удара, считая удар абсолютно неупругим .

Вариант 5. Шар массой т^, движущийся поступательно со скоростью 1/1, встречает покоящийся шар массой Шг так, что скорость его образует при ударе угол а с линией, соединяющей центры шаров .

Определить скорость каждого из шаров после удара в предположении, что удар упругий с коэффициентом восстановления к .

Вариант 6. Стальной шарик падает на горизонтальную стальную плиту под углом 45° и отскакивает под углом 60° к вертикали .

Определить коэффициент восстановления при ударе .

Вариант 7. В приборе для опытного определения коэффициента восстановления шарик из испытуемого материала падает без начальной скорости внутри вертикальной прозрачной трубки с заданной высоты /?1 = 50 см на неподвижно закрепленную горизонтальную пластинку из соответствующего материала .

Найти коэффициент восстановления, если высота, на которую подскочил шарик после удара, оказалась равной Лг = 45 см .

Вариант 8. Два т е л а массами л?! и и коэффициентом восстановления к движутся поступательно по одному и тому же направлению .

Каковы должны быть их скорости у^ и 1/2, чтобы после удара догоняющее тело т-\ остановилось, а тело получило бы заданную скорость \/2 .

Вариант 9. Найти скорости после абсолютно упругого удара двух одинаковых шаров, двигавшихся навстречу друг другу со скоростями VI и V2 .

Вариант 10. Два одинаковых упругих шара Л и в движутся навстречу друг другу. При каком соотношении между скоростями до удара шар А после удара остановится? Коэффициент восстановления при ударе равен к .

Вариант 11. Тело А настигает тело В, имея в 3 раза большую скорость. Каким должно быть соотношение масс этих тел, чтобы после удара тело А остановилось? Удар считать прямым центральным. Коэффициент восстановления к = 0,8 .

Вариант 12. Шары движутся поступательно так, что их центры перемещаются по одной прямой. Второй шар, масса которого в три раза меньше массы первого, двигается со скоростью в три раза большей, чем скорость первого шара. Определить скорости шаров после абсолютно упругого удара при движении шаров друг за другом .

Вариант 13. Шары движутся поступательно так, что их центры перемещаются по одной прямой. Второй шар, масса которого в три раза меньше массы первого шара, двигается со скоростью в три раза большей, чем скорость первого шара. Определить скорости шаров после абсолютно упругого удара при движении шаров навстречу друг другу .

Вариант 14. Шарик из слоновой кости, подвешенный на невесомой нити, отклонили на угол 60° от вертикали и опустили без начальной скорости. В вертикальном положении нити шарик наталкивается на неподвижную вертикальную пластинку, изготовленную также из слоновой кости. На какой угол а отклонится д НИТЬ после удара, если коэффициент восстановления к = - .

Вариант 15. Три абсолютно упругих шара с массами т^, т2 \л т^ находятся в покое на одной прямой. Первому шару сообщают некоторую скорость направленную по этой прямой. Считая величины Шт, /77з и VI заданными, определить, какова должна быть масса второго шара я?2, чтобы скорость, полученная после удара третьим шаром, была наибольшая .

Вариант 16. Шарик падает с некоторой высоты /7 на неподвижную горизонтальную плоскость, при втором ударе о плоскость шарик, отскакивая от нее, достигает вьюоты Определить коэффициент восстановления .

Вариант 17. Два шкива вращаются в одной плоскости вокруг своих осей с угловыми скоростями Шю и сого. Определить угловые скорости 0)1 и и)2 после того, как на них будет накинут ремень .

считая шкивы круглыми дисками одинаковой плотности и радиусами Рт и Рг, скольжением и массой ремня пренебречь .

Вариант 18. Диск массой М и радиусом г подвешен на невесомом стержне длиной / к неподвижной горизонтальной оси О1 .

Отклоненный на некоторый угол диск ударяет по неподвижному образцу, когда стержень занимает вертикальное положение .

Скорость центра тяжести диска в этот момент равна Vс. Определить импульс динамической реакции подшипников, если коэффициент восстановления равен к .

Вариант 19. Стержень, вращающийся вокруг неподвижной оси О, отклоняется от вертикали на угол а1 и отпускается без начальной скорости. Стержень на некотором расстоянии от оси О имеет вставку из испытуемого материала, которая ударяется о неподвижное препятствие из того же материала. После этого стержень отклоняется от вертикали на угол аг. Определить коэффициент восстановления, если длина стержня равна 21, расстояние от вставки до оси М, масса стержня т, момент инерции стержня ^ .

Вариант 20. Деревянный шарик, брошенный по вертикали на пол с высоты /?, подскакивает на вьюоту 2/7. Определить, с какой начальной скоростью бросили шарик, если коэффициент восстановления Я = 0,5 .

Вариант 21. Два однородных шара движутся поступательно навстречу друг другу так, что их центры расположены на одной прямой. Масса первого шара в два раза больше массы второго, а скорость в два раза меньше. Чему равна скорость шаров в конце удара, если удар неупругий?

Вариант 22. Шары движутся навстречу друг другу поступательно так, что их центры перемещаются по одой прямой, а скорости 1/1 и V2 обратно пропорциональны массам шаров .

Определить скорости шаров после абсолютно упругого удара .

Вариант 23. Два одинаковых однородных шара, массой т каждый, подвешены к потолку на нерастяжимых невесомых нитях одинаковой длины так, что нити вертикальны, а шары касаются .

Один шар отклонили в плоскости нитей на угол 60° от вертикали и отпустили без начальной скорости. Определить углы щ и аг, на которые отклонятся нити с шарами после удара, если коэффициент восстановления равен к .

Вариант 24. Платформа с помещенным на ней призматическим грузом АВ катится по горизонтальным рельсам со скоростью V. На платформе имеется выступ, в который упирается ребро В груза, препятствуя последнему скользить по платформе вперед, но не препятствуя вращению его около ребра В. Определить угловую скорость 00 вращения груза около ребра В в момент мгновенной остановки платформы, если /? - высота центра масс груза над платформой, а радиус инерции груза относительно ребра В равен р .

Вариант 25. Упругий шарик падает по вертикали с вьюоты /? на горизонтальную плиту, отскакивая от нее вверх, вновь падает на плиту и т.д., продолжая эти движения. Найти путь, пройденный шариком до остановки, если коэффициент восстановления при ударе равен к .

Вариант 26. Массивная платформа А движется по вертикали вверх поступательно прямолинейно с постоянной скоростью V .

Материальная точка В массой т ударяет о платформу, причем вектор скорости V^ точки направлен перпендикулярно плоскости платформы, навстречу е е движению. Определить, какой должна быть скорость движения платформы А, чтобы абсолютная скорость материальной точки В после отскока равнялась ^о, а также определить величину ударного импульса 5 при этом условии, если коэффициент восстановления при ударе равен к. Считать, что масса точки В пренебрежимо мала по сравнению с массой платформы А .

Пример 1. Два шкива радиусом г, и Гг вращаются вокруг параллельных осей с угловыми скоростями 001 и сог (рис .

15), причем Ш2Г2. На шкивы намотана ненатянутая лента. В некоторый момент лента натягивается, вследствие чего происходит удар .

Требуется определить послеударные угловые скорости 01 и Ог шкивов и величину 5 ударного импульса силы натяжения ленты, считая, что после удара лента остается натянутой. Моменты инерции шкивов относительно их осей вращения равны ^1 и ^2•

–  –  –

Уг (03/1 -(02^2) Если шкивы первоначально вращаются в противоположные стороны, то в результате натяжения ленты возможно прекращение их вращения, причем одновременное. Это произойдет, если выполнено равенство ^1^2Ш2 + ^^''2Ш^ = 0 .

П р и м е р 2. Два шара массами гп: и Шг подвешены на нитях таким образом, что их центры тяжестей лежат на одной горизонтальной прямой (рис .

16). Первый шар отклоняют от вертикали влево на угол а и отпускают без начальной скорости .

После удара второй шар получает максимальное отклонение вправо на угол р. Определить коэффициент восстановления .

Рис. 16

Решение. Скорость центра масс первого шара в начале удара обозначим а скорость центра масс второго шара в конце удара обозначим 6/2 .

Используем теорему об изменении кинетической энергии на перемещении ВоВь Учтем, что в начальном положении скорость центра масс первого шара равна нулю. Для первого шара получим

–  –  –

П р и м е р 4. Вращающийся курок АВ (рис .

17) в момент начала удара по ударнику У имеет угловую скорость оо. С - центр масс курка, АС = а, АО = Ь, массы курка и ударника равны соответственно М и\ т, осевой момент инерции курка равен ^А и коэффициент восстановления равен к. Определить скорость ударника в конце удара и импульсивное давление на ось А .

–  –  –

при Ь = —, т.е. когда точка О является центром удара. При Ма МаЬ ^А имеем 5^, О и импульсивная реакция направлена вправо .

а д а в л е н и е на ось - влево. При МаЬ ^А получаем Здх О и импульсивное д а в л е н и е на ось направлено вправо .

ЛИТЕРАТУРА

1. Аппель П. Теоретическая механика. Т. 2. - М. ГИМФМЛ, 1960. - С. 431-462 .

2. Бать М.И., Джанелидзе Г.Ю., Кельзон А.С. Теоретическая механика в примерах и задачах. - СПб., 1998 .

3. Бутенин Н.В., Лунц Я.Л., Меркин Д.Р. Курс теоретической механики. - СПб., 1998 .

4. Голубев Ю.Ф. Основы теоретической механики. - М.: МГУ, 2000 .

5. Диевский В.А., Малышева И.А. Теоретическая механика:

Сборник заданий. - СПб.: Лань, 2007 .

6. Дронг В.И., Дубинин В.В., Ильин М.М. и др. / Под общей редакцией Колесникова К.С. Курс теоретической механики: Учеб .

для вузов. - М.: Изд-во МГТУ им.Н.Э.Баумана, 2000 .

7. Ж у р а в л е в В.Ф. Основы теоретической механики. - М., 2008 .

8. Маркеев А.П. Теоретическая механика. - Ижевск: РХД, 2007. - С. 421-479 .

9. Маркеев А.П. Теоретическая механика. - М., 1999 .

10. Мещерский И.В. Задачи по теоретической механики. - СПб., 2003 .

11. Никитин Н.Н. Курс теоретической механики. - М.: Высш.шк., 1 9 9 0. - 6 0 7 с .

12. ТаргС.М. Краткий курс теоретической механики. - М., 2001 .

13. Яблонский А.А.,Никифорова В.Л. Курс теоретической механики. - М., 2001.




Похожие работы:

«Министерство образования и науки Российской Федерации федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования "НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ" Институт природных ресурсов Направление подготовки: нефтегазовое дело Кафедра геологии и разработки нефтяных местор...»

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ТЕХНИЧЕСКОМУ РЕГУЛИРОВАНИЮ И МЕТРОЛОГИИ ГОСТР НАЦИОНАЛЬНЫЙ СТАНДАРТ 54709РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ СИСТЕМА ЦИФРОВОГО ЗВУКОВОГО РАДИОВЕЩАНИЯ DRM Специф ичны е ограничения по применению протокола распределения и ком м уникации (DCP) Издание оф ициальное Москва Стандартинформ проведение строительной экспертизы...»

«УТВЕРЖДЕН ЛАНИ.416311.001–04 РЭ-ЛУ КОМПЛЕКС МЕТЕОРОЛОГИЧЕСКИЙ МАЛЫЙ МК–26–4 Руководство по эксплуатации ЛАНИ.416311.001–04 РЭ Количество листов 24 Содержание 1 Описание и работа изделия 1.1 Назначение изделия 1.2 Технические характеристики 1.3 Устройство и работа 2 Использование по назначению 2.1 Эксплуатацион...»

«ЮЖНО-УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ УТВЕРЖДАЮ: Директор института Архитектурно-строительный институт _Д. В. Ульрих 15.05.2017 РАБОЧАЯ ПРОГРАММА к ОП ВО от 24.10.2017 №007-03-0433 дисциплины Б.1.19 Теплотехнические измерения для направления 13.03.01 Теплоэнергетика и теплотехника уровень бакалавр тип программы Академический бакалавр...»

«AE&T ИНСТРУКЦИЯ ПО ЭКСПЛУАТАЦИИ ШИНОМОНТАЖНОГО СТЕНДА 890IT ШИНОМОНТАЖНЫЙ СТАНОК ИНСТРУКЦИЯ ПО ЭКСПЛУАТАЦИИ 1. Технические характеристики..2 2. Общие меры безопасности..2 3. Специальные меры безопасности..3 4. Сборочная инструкция..3 4.1. Транспортировк...»

«1 УТВЕРЖДАЮ Генеральный директор ООО "Археологические изыскания в строительстве" Ю. А. Пипко АКТ государственной историко-культурной экспертизы земельного участка, связанного с выполнением работ для реализации проекта:...»

«1 СОДЕРЖАНИЕ Введение..3 1. Аналитический обзор литературы..6 1.1 Пауэрлифтинг как вид спорта 1.2 Техническая подготовка пауэрлифтеров 1.3 Техника становой тяги в пауэрлифтинге 2. Методы и орг...»

«УЛЮШКИН Александр Вениаминович РАЗРАБОТКА И ИССЛЕДОВАНИЕ УЗЛОВ МИКРОСИСТЕМНЫХ АКСЕЛЕРОМЕТРОВ И ОПТИМИЗАЦИЯ ХАРАКТЕРИСТИК Специальность 05.11.01 – Приборы и методы измерения (механические величины) АВТО...»







 
2019 www.mash.dobrota.biz - «Бесплатная электронная библиотека - онлайн публикации»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.