WWW.MASH.DOBROTA.BIZ
БЕСПЛАТНАЯ  ИНТЕРНЕТ  БИБЛИОТЕКА - онлайн публикации
 


«Назайкинский Владимир Евгеньевич ОБОБЩЕНИЯ КАНОНИЧЕСКОГО ОПЕРАТОРА МАСЛОВА И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ В МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ ...»

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК

ИНСТИТУТ ПРОБЛЕМ МЕХАНИКИ им. А. Ю. ИШЛИНСКОГО

На правах рукописи

Назайкинский Владимир Евгеньевич

ОБОБЩЕНИЯ КАНОНИЧЕСКОГО

ОПЕРАТОРА МАСЛОВА

И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ

В МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ

01.01.03 – математическая физика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва 2014

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном учреждении науки Инсти­ тут проблем механики им. А. Ю. Ишлинского Российской академии наук .

Официальные оппоненты: Данилов Владимир Григорьевич, доктор физико-математических наук, профессор кафедры прикладной математики МИЭМ Национального исследовательского университета «Высшая школа экономики»

Кордюков Юрий Аркадьевич, доктор физико-математических наук, доцент, ведущий научный сотрудник отдела дифференциальных уравнений Института математики с вычислительным центром Российской академии наук Радкевич Евгений Владимирович, доктор физико-математических наук, профессор кафедры дифференциальных уравнений механико-математического факультета Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова

Ведущая организация: Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования«Владимирский государственный университет имени Александра Григорьевича и Николая Григорьевича Столетовых»

Защита состоится 20 ноября 2014 года в 14:00 часов на заседании диссертационного совета

Д 002.022.02 при ФГБУН Математический институт им. В. А. Стеклова РАН по адресу:

119991, Москва, ГСП-1, ул. Губкина, д. 8, Математический институт им. В. А. Стеклова РАН .

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Математического института им .

В. А. Стеклова РАН и на сайте института по адресу www.mi.ras.ru/index.php?&c=dis_ann

Автореферат разослан « » 2014 г .

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физико-математических наук Ю. Н. Дрожжинов

Общая характеристика работы

Актуальность и степень разработанности темы исследования .

Канонический оператор Маслова [22] (см. также [19, 23, 28–30]) применяется для построения коротковолновых (высокочастотных или быстроосциллирую­ щих) асимптотических решений широкого класса дифференциальных уравне­ ний с вещественными характеристиками. Асимптотики в виде канонического оператора представляют собой далеко идущее обобщение лучевых разложе­ ний в задачах оптики, электродинамики и т. д. и ВКБ-асимптотик в уравне­ ниях квантовой механики. Эти асимптотики основаны на некоторых решени­ ях уравнений классической (гамильтоновой) механики и в каком-то смысле автоматически и глобально позволяют написать по ним решения уравнений квантовой и волновой механики с учетом наличия в задаче фокальных то­ чек и каустик. В основе конструкции канонического оператора Маслова ле­ жит фундаментальный геометрический объект — лагранжево многообразие в фазовом пространстве, отвечающем конфигурационному пространству, на котором рассматривается исходное дифференциальное уравнение .





Канониче­ ский оператор по сути осуществляет редукцию исходного дифференциально­ го уравнения в частных производных на конфигурационном пространстве к обыкновенному дифференциальному уравнению вдоль траекторий гамильто­ нова векторного поля на лагранжевом многообразии. Лагранжево многообра­ зие не универсально даже для фиксированного дифференциального уравне­ ния, оно, как и решение редуцированного обыкновенного дифференциального уравнения — амплитуда — зависит от рассматриваемой для исходного уравне­ ния задачи. Очень важно, что амплитуда на лагранжевом многообразии — гладкая функция, в том числе и в окрестности лагранжевых особенностей, в отличие от амплитуды в обычных лучевых или ВКБ-разложениях. Для многих типов задач (и для разных исходных дифференциальных уравнений) имеются рецепты или алгоритмы построения соответствующих многообразий и амплитуд. Если таковые построены, то ответ в исходной задаче для соответ­ ствующего дифференциального уравнения дается каноническим оператором, примененным к амплитуде; этот ответ автоматически включаюет в себя такие объекты и операции в лучевых разложениях, как поведение в каустических областях, переход через каустики, сращивание различных асимптотических представлений и т.д .

Представление решения в виде канонического оператора можно назвать формулой достаточно условно, это скорее алгоритм или набор вполне опре­ деленных правил, позволяющих реализовать решение в виде более или ме­ нее явных аналитических формул, содержащих либо быстроосциллирующие экспоненты, либо интегралы от таких экспонент. Здесь нужно отметить, во­ первых, что эти формулы, как правило, не являются одинаковыми и универ­ сальными для всех значений независимых переменных; в разных (зависящих от задачи) областях они имеют разные (асимптотические) представления, и во-вторых, даже в фиксированных областях эти представления могут опре­ деляться не единственным образом, удачный их выбор может существенно упростить (локальный) вид решения и позволить выразить его, например, через хорошо известные специальные или даже элементарные функции .

Развитие мощных интерактивных систем математических вычислений, таких как Wolfram Mathematica, предъявляет новые требования к инстру­ ментарию построения асимптотических формул. Эти системы позволяют в режиме диалога менять входные параметры вычислений и визуализировать результаты вычислений в наглядной графической форме, тем самым позво­ ляя в режиме «реального времени» анализировать решение задачи. Но для того, чтобы это было возможно, асимптотические формулы должны быть максимально простыми и удобными в реализации средствами указанных си­ стем. Существующие формулы канонического оператора Маслова не всегда удовлетворяют это условию. Часто бывает так, что формула есть, а эффектив­ но воспользоваться ею нельзя. Таким образом, актуальна задача получения возможно более простых выражений для канонического оператора, особенно в окрестности каустик, где вычисления включают интегрирование быстроос­ циллирующих функций .

Несмотря на всю свою универсальность, стандартный канонический опе­ ратор не дает ответа во многих задачах с вырождением. Одной из таких за­ дач является построение асимптотических решений для волнового уравнения с вырождением на границе. Эта задача важна и с физической точки зрения, поскольку такое уравнение можно использовать для моделирования в линей­ ном приближении наката длинных волн (в частности, волн цунами) на по­ логий берег. Поэтому актуальна задача обобщения асимптотик, задаваемых каноническим оператором, на случай уравнений с вырождением такого рода .

Применения канонического оператора не ограничиваются асимптотика­ ми решений уравнений математической физики. Частным случаем интеграль­ ных операторов Фурье–Маслова (операторов, ядрами Шварца которых слу­ жат функции, представимые с помощью канонического оператора) являются квантованные канонические и контактные (однородные канонические) преоб­ разования, которые играют важную роль в эллиптической теории — первые служат естественным обобщением [33, 34] геометрических эндоморфизмов комплексов в теории Лефшеца [38], а для последних Вайнстейном [49] была поставлена проблема индекса, решенная впоследствии для случая замкнутых гладких многообразий Эпстейном и Мельроузом [41] и Лейштнамом, Нестом и Цыганом [43]. Эллиптическая теория на многообразиях с особенностями (см., например, [45]) является одним из естественных вариантов эллиптиче­ ской теории вне рамок классической ситуации гладких многообразий, и ак­ туальна задача вычисления индекса в этом случае. При этом, естественно, нуждается в обобщении и само определение интегральных операторов Фу­ рье–Маслова .

Цели и задачи диссертационной работы:

(а) Разработать метод построения осциллирующих и локализованных асимптотических решений волнового уравнения в области с переменной ско­ ростью, обращающейся в нуль на границе области .

(б) Изучить структуру быстроосциллирующих решений уравнений с ве­ щественными характеристиками в окрестности каустик и разработать метод построения простых интегральных представлений для таких решений .

(в) Распространить результаты теории индекса квантованных контакт­ ных преобразований со случая замкнутых гладких многообразий на много­ образия с коническими особенностями и выяснить, как будет описываться вклад конических точек .

(г) Вычислить асимптотику числа состояний и энтропии для модели газа Бозе–Маслова и построить для него термодинамическое лагранжево много­ образие, на котором определен соответствующий туннельный канонический оператор Маслова .

Научная новизна. В диссертационной работе впервые получены сле­ дующие результаты .

1. В рамках канонического оператора Маслова предложен и разрабо­ тан метод построения новых интегральных представлений быстроосциллиру­ ющих функций в окрестности каустик и фокальных точек на основе специаль­ ного класса систем координат на лагранжевых многообразиях (эйконал-коор­ динаты). Полученное этим методом представление существенно упрощает ло­ кальный вид решения в окрестности каустик и эффективно при построении широкого класса асимптотических решений линейных гиперболических урав­ нений и систем с переменными коэффициентами (в частности, решений вида волновых пучков и решений задач с локализованными начальными данными или правыми частями) .

2. Доказано, что в задачах о распространении волн с локализованны­ ми начальными данными локализованную в окрестности точки начальную функцию можно представить с помощью канонического оператора на инва­ риантном относительно гамильтониана задачи лагранжевом многообразии, представляющем собой объединение траекторий соответствующей системы Гамильтона, выпущенных из косферы на этой точкой, что позволяет суще­ ственно упростить формулы для асимптотических решений и сделать их эф­ фективными в компьютерной реализации .

3. Предложен и разработан метод построения асимптотик решений мно­ гомерного волнового уравнения, вырождающегося на границе области. Этот метод основан на новом фазовом пространстве, отвечающем таким уравнени­ ям, которое получается как расширение стандартного фазового пространства и на обобщении канонического оператора Маслова на лагранжевы подмного­ образия такого фазового пространства, и приводит, в частности, к новым простым формулам для максимальной амплитуды в точках границы области решения задачи Коши для такого волнового уравнения с локализованными начальными данными специального вида .

4. Для задаваемого квантованным каноническим преобразованием (ин­ тегральным оператором Фурье–Маслова) невырожденного эндоморфизма эл­ липтического комплекса на гладком компактном многообразии в том случае, когда у классического канонического преобразования имеются гладкие мно­ гообразия неподвижных точек и эти многообразия либо симплектические, либо лагранжевы, получены асимптотические формулы, выражающие вклад таких многообразий в число Лефшеца эндоморфизма .

5. Доказаны формулы индекса для удовлетворяющих некоторым услови­ ям симметрии квантованных контактных (однородных канонических) преоб­ разований на компактном многообразии с коническими особенностями, выра­ жающие индекс в виде полусуммы индекса квантованного контактного преоб­ разования на гладком компактном многообразии — дубле исходного многооб­ разия с вырезанными окрестностями конических точек — и явно выписывае­ мого инварианта конормального символа. Инвариант конормального символа выражен через кратности его особых точек в комплексной плоскости .

6. Получены асимптотические формулы для энтропии и числа состояний газа Бозе–Маслова, и н этой основе построено термодинамическое лагран­ жево многообразие, на котором определен отвечающий газу Бозе–Маслова туннельный канонический оператор .

Теоретическая и практическая значимость. Диссертационная ра­ бота носит теоретический характер. Асимптотические методы решения задач математической физики сами по себе представляют теоретический интерес .

Полученное в работе новое интегральное представление канонического опера­ тора Маслова в окрестности фокальных точек может быть использовано для построения эффективных формул, позволяющих провести аналитическо-чис­ ленное исследование доставляемых каноническим оператором асимптотиче­ ских решений, при котором система Гамильтона решается численно, а даль­ нейший расчет ведется по аналитическим формулам с минимальным числом интегрирований. Асимптотические решения волнового уравнения с локализо­ ванными начальными данными в области, на границе которой скорость рас­ пространения волн обращается в нуль, могут быть использованы для иссле­ дования моделей, описывающих в линейном приближении распространение и накат на берег длинных волн, в частности, волн цунами. Формулы индекса для интегральных операторов Фурье–Маслова на многообразиях с особенно­ стями представляют интерес в эллиптической теории на многообразиях с осо­ бенностями и показывают, какие изменения претерпевают соответствующие инварианты, хорошо известные в случае замкнутых гладких многообразий, при наличии конических особых точек и каким образом можно описывать вклад конических точек в эти формулы. Асимптотика статистической суммы в подходе В.П. Маслова к квантованию термодинамики задается туннель­ ным каноническим оператором. Вычисление асимптотики числа состояний и энтропии для газа Бозе–Маслова дает пример такого туннельного канониче­ ского оператора и важно с точки зрения развития упомянутого подхода .

Методы исследования. В диссертации используются методы матема­ тической физики, методы функционального анализа, асимптотические мето­ ды, включая канонический оператор Маслова и интегральные операторы Фу­ рье, методы теории функций от некоммутирующих операторов, симплекти­ ческая геометрия, дифференциальная геометрия и эллиптическая теория .

Степень достоверности и апробация результатов. Основные ре­ зультаты диссертации докладывались на семинарах лаборатории механики природных катастроф Института проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН, отдела математической физики Математического института им. В.А .

Стеклова РАН, отдела теоретической физики Математического института им. В.А. Стеклова РАН, Института математики Потсдамского университета (Германия), 55 и 56 научных конференциях МФТИ, а также на междуна­ родных конференциях «Jean Leray ’99» (Карлскруна, Швеция, 1999), Spring School «Operator Algebras and Index Theory on Manifolds with Singularities»

(Потсдам, Германия, 2000), «PDE 2000» (Клаусталь, Германия, 2000), «The fourth international conference of differential and functional-differential equations»

(Москва, 2005), «XVI Крымская осенняя математическая школа-симпозиум»

(Батилиман, Украина, 2005), « * -algebras and elliptic theory. II», (Бендле­ во, Польша, 2006), «Асимптотические методы и математическая физика»

(Москва, 2010), «XXI Крымская осенняя математическая школа-симпозиум»

(Батилиман, Украина, 2010), «Асимптотические методы теории дифферен­ циальных уравнений» (Челябинск, 2011), «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы» (Москва, 2011), «XXII Крымская осенняя математиче­ ская школа-симпозиум» (Батилиман, Украина, 2011), «Days on Diffraction 2012» (С.-Петербург, 2012), «International Conference on Applied Mathematics»

(Ираклион, Греция, 2013) .

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 17 печатных работах в рецензируемых журналах из списка ВАК, входящих в междуна­ родные индексы цитирования .

Личный вклад автора. Содержание диссертации и основные положе­ ния, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубли­ кованные работы. Подготовка к публикации полученных результатов прово­ дилась совместно с соавторами, причем вклад диссертанта был определяю­ щим. Все представленные в диссертации результаты получены лично авто­ ром .

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, обзора литературы, четырех глав, заключения и списка литературы (108 на­ именований). Объем диссертации составляет 159 страниц .

Благодарности. Автор признателен В. П. Маслову и C. Ю. Доброхото­ ву за внимание и поддержку .

Содержание работы Во Введении обоснована актуальность диссертационной работы, сфор­ мулирована цель и аргументирована научная новизна исследований, показана

–  –  –

+ (), где — индекс Маслова особой карты (определяющийся точно так же, как и в стандартной конструкции канонического оператора) .

–  –  –

где R — ограниченная область с гладкой границей, гладкий в коэффициент 2 () строго положителен в и равен нулю на, а гради­ ент (2 ()) не обращается в нуль на. Наибольший интерес с физической точки зрения представляют собой решения уравнения (1) с конечным инте­ гралом энергии 2 () = 2 2 + ()2, и мы обозначим через соот­ ветствующее самосопряженное расширение в 2 () минимального оператора, порожденного дифференциальным выражением, 2 () .

Гамильтониан уравнения (1) имеет вид (, ) = ()||, и траектории * соответствующей системы Гамильтона на 0 уходят на бесконечность по импульсам за конечное время, одновременно подходя к по переменным .

Чтобы решить задачу Коши для уравнения (1) с быстроосциллирующими или локализованными начальными данными, необходимо правильно описать, что происходит с траекториями после ухода на бесконечность (т. е. найти закон отражения от границы) и построить канонический оператор на возникающих при этом неограниченных лагранжевых многообразиях. В одномерном случае это было сделано в [48] (только для случая быстроосциллирующих решений), однако непосредственно перенести эти результаты на многомерный случай затруднительно .

Построим фазовое пространство, соответствующее рассматриваемой задаче. Пусть — достаточно малая воротниковая окрестность в края, () — положительная в определяющая функция края, и () — гладкое векторное поле в, такое, что (), () = 1 при. В пря­ мом произведении * R (0, ) с координатами (,,, ), (, ) *, R, (0, ), рассмотрим подмножество точек, таких что (), = 0 и () = 2 и его подмножество, выделяемое условием = 0.

В про­ * странстве 0 с координатами (, ) определим гладкое (2 1)-мерное под­ многообразие условием (), = 0} и зададим отображение :

0 0 0 формулами =, = + ()/. Это отображение являет­ * * * ся диффеоморфизмом. Положим теперь = 0 (т.е. в дизъюнктном * объединении 0 отождествим точки, связанные диффеоморфизмом ) .

Теорема 2. Множество наделено естественной структурой гладкого * симплектического многообразия, а 0 — его открытое плотное симплек­ тическое подмногообразие .

Гамильтониан (, ) продолжается по непре­ рывности до гладкой функции на, и траектории соответствующего га­ мильтонова векторного поля на неограниченно продолжимы вперед и на­ зад по времени .

–  –  –

1 = 1, 2 = 1 (), 1 = () + 2, 2 =, так что 1 1 + 2 2 = +. По лемме о локальных координатах (см. [18]) хотя бы одна из четырех пар функций (, ), (, ), (, ), (, ) есть система локальных координат на в окрестности точки *, и каждой из таких канонических систем координат мы сопоставим выраже­ ния для локального канонического оператора, действующего на функции с носителем в малой окрестности точки *. Выпишем для определенности выражение для канонического оператора в канонических координатах (, ):

–  –  –

— функция Бесселя нулевого порядка .

На выписываются условия квантования, и при их выполнении гло­ бальный канонический оператор (,) на строится стандартным образом с помощью разбиения единицы .

–  –  –

где 0 — внутренняя точка области, () — гладкая функция, достаточно быстро убывающая на бесконечности, а () — срезающая функция с носите­ лем в, равная 1 в окрестности точки 0 .

Редукция этой задачи к задаче Коши с быстроосциллирующими началь­ ными данными может быть осуществлена на основе представления локали­ зованных функций через канонический оператор Маслова, введенного в [20] (в задачах без вырождения оно использовалось в [39, 40] и др.). Мы введем усовершенствованное представление этого рода, в котором лагранжево мно­ гообразие в каноническом операторе Маслова может быть выбрано инвари­ антным относительно гамильтонова векторного поля, что в конечном итоге приводит к более эффективным формулам для решения задачи Коши. Итак, сформулируем сначала общую теорему о таком усовершенствованном пред­ ставлении .

Пусть 2 R4 — лагранжево многообразие, такое что (i) 2 содержит окружность 1 = {(, ) R4 : = 0, = n()}, где n() = (cos, sin ), а пробегает окружность S1 = R (mod 2); (ii) сужение на 2 формы не вырождается ни в одной точке многообразия 2. Зафиксируем на 2 дей­ ствие, равное нулю на 1, продолжим функцию с окружности 1 в ее окрестность на 2 произвольным гладким образом и снабдим многообразие 2 мерой, равной вблизи 1. Выберем также аргумент якобиана (1, 2 )/(, ) равным нулю при малых 0. Эти данные однозначно определят канонический оператор Маслова 2 на 2 в окрестности окруж­ ности 1. Пусть e( ) — срезающая функция, равная единице в окрестности нуля. Следующая теорема обобщает выражение локализованной функции че­ рез канонический оператор, данное в [20] .

–  –  –

Здесь () понимается как в смысле равномерной нормы остатка и его

-производных, так и в смысле 2 -нормы градиента (которая в конкретных задачах имеет смысл энергетической нормы) .

Вернемся теперь к задаче Коши (1), (2). В качестве лагранжева мно­ гообразия 2 в фазовом пространстве возьмем объединение R (1 ), где { } — фазовый поток системы Гамильтона, отвечающей гамильтониану (, ) = ()||. (На самом деле можно лишь гарантировать, что отобра­ жение 2 есть локальное вложение, но для конструкции канонического оператора этого достаточно.) Это многообразие инвариантно относительно га­ мильтонова векторного поля, а окрестность подмногообразия 1 в 2, которая только и существенна в представлении (3), удовлетворяет предположениям, в которых сформулирована теорема 4. Справедлива следующая теорема .

–  –  –

с соответствующими условиями на матрицу () = ( ()), а именно () = ()(), где () — симметрическая вещественная матрица, гладко завися­ щая от и строго положительно определенная при всех, а () — определяющая функция границы .

Основные результаты главы 2 опубликованы в работах [2–4, 6, 7, 11–14, 17] .

В третьей главе изучаются квантованные однородные канонические (контактные) преобразования на многообразиях с коническими особенностя­ ми и доказана формула индекса для квантованных контактных преобразова­ ний на многообразиях с коническими особенностями .

Задача о вычислении индекса интегральных операторов Фурье (более точно, квантованных контактных преобразований) была поставлена Вайн­ стейном [49] и решена (для операторов на гладких многообразиях) в [41, 43] .

В диссертации получена теорема об индексе для интегральных операторов Фурье–Маслова на многообразиях с коническими особенностями. Сформули­ руем ее здесь в одном из вариантов .

Объясним прежде всего, что такое интегральные операторы Фурье–Мас­ лова на многообразиях с коническими особенностями (см., например, [31], а также [44]) .

Пусть 1, 2 — многообразия с коническими особенностями, а *1 и *2 — кокасательные расслоения к 1 и 2, определяемые как сжатые ко­ касательные расслоения [44] многообразий с краем 1 и 2, получаемых из 1 и 2 раздутием конических точек. Таким образом, многообразия * 1 и * 2 тоже суть многообразия с краем. Они снабжены естественной сим­ плектической формой, имеющей особенность на крае; в конических коорди­ натах (см .

[46]) форма эта имеет вид 2 = 1 +, где — координата на базе конуса, — радиальная координата, — конормаль­ ная переменная, а — импульсная переменная, двойственная к. Пусть : *1 {0} *2 {0} — R+ -однородное каноническое преобразование (т. е. отображение, гладкое вплоть до границы и сохраняющее симплектиче­ скую форму). График () = {(, ())} *1 {0} *2 {0} отображения является лагранжевым подмногообразием в *1 {0} *2 {0} относи­ *2 *2 тельно симплектической формы 2 2 1 1, где — проекция произведения на -й сомножитель, а — симплектическая форма на *. Пусть — ли­ нейное расслоение Маслова над (), а : () — сечение, однородное степени. Используя на () координаты, «снятые» с *1, можно считать сечением расслоения над *1. Определим интегральный оператор Фурье (, ) =, (1 ), (2 ) в весовых пространствах Соболева [45] на 1 и 2 стандартным образом как оператор с интегральным ядром (), где — канонический опе­ ратор Маслова на (в его однородном варианте). При подходящем вы­ боре элементов конструкции канонического оператора конормальный сим­ вол 0 () оператора (, ) корректно определен как семейство операторов 0 () : (1 ) (2 ), где 1 и 2 — базы конусов на многообразиях 1 и 2 .

Оператор (, ) будем называть формально эллиптическим, если не обращается в нуль и эллиптическим на данной весовой прямой {Im = }), если конормальный символ 0 () обратим всюду на этой весовой прямой. В последнем случае он фредгольмов в пространствах Соболева с соответствую­ щим весовым показателем .

Теорема 6. Пусть (, ) — эллиптический интегральный оператор Фу­ рье–Маслова, конормальный символ 0 () которого гомотопен в классе ко­ нормальных символов формально эллиптических интегральных операторов Фурье конормальному символу 0 () .

Тогда ind (, ) = {ind + sf 0 }, где sf 0 — спектральный поток гомотопии 0, связывающей 0 () и 0 (), а = (, ) : (1 ) (2 ) — интегральный оператор Фурье–Масло­ ва на замкнутых многообразиях 1 и 2, получаемых как дубли раздутий 1 и 2, причем каноническое преобразование и амплитуда выписыва­ ются явно .

–  –  –

Явные выражения для не были найдены в [34] .

Мы вычисляем формы явно в следующих двух случаях, «крайних»

с точки зрения свойств сужения формы 2 на :

1. Размерность dim четна, и rank 2 | = dim. Иначе говоря, — симплектическое подмногообразие в * (здесь 2 — стандартная симплек­ тическая форма на * ) .

2. Размерность dim совпадает с dim, и — лагранжево подмного­ образие в * .

Основные результаты главы 3 опубликованы в статьях [8–10, 15] .

В четвертой главе изучаются некоторые аспекты теории туннельного канонического оператора .

Давно известно о существовании параллелей между термодинамикой и классической механикой (см., например, [21]). Формулы метода термоди­ намических потенциалов (см., например, [42]), выражающие термодинами­ ческие переменные через производные термодинамического потенциала по двойственным «естественным» переменным, с точностью до обозначений тож­ дественны формулам, выражающим в классической механике импульсы как производные производящей функции по координатам [18], а переход от одних наборов естественных переменных к другим (или, что то же самое, от одного термодинамического потенциала к другому) есть не что иное, как преобразо­ вание Лежандра. Термодинамические переменные разбиваются на пары со­ пряженных переменных (давление–объем, энтропия–температура, число ча­ стиц–химический потенциал), и множество равновесных состояний термоди­ намической системы представляет собой в пространстве термодинамических переменных лагранжево многообразие [22], задаваемое термодинамическими потенциалами как производящими функциями .

В статистической физике, как и в квантовой механике, имеется есте­ ственный малый параметр. Это 1/, где — число частиц. В сочетании с тем фактом, что в термодинамике, которая представляет собой «классиче­ ский предел» статистической физики при, имеются естественные лагранжевы многообразия, это наводит на мысль, что и в этой ситуации квантование лагранжева многообразия должно приводить к приближению по параметру, стремящемуся к нулю, на этот раз в статистической физике .

Эта идея подтверждается известной формулой [21] (, ) = lim ( / ) ln для удельной свободной энергии, где — постоянная Больцмана, — удель­ ный объем, — температура, а — статистическая сумма. Из этой формулы получается, что при больших (, )/. Эта формула стоит к об­ щему квантованию лагранжева многообразия в термодинамике в таком же отношении, как ВКБ-приближение — к каноническому оператору .

Идея квантования термодинамического лагранжева многообразия была развита в работах [25], [26]. Отметим, что это квантование весьма сильно отли­ чается от своего квантовомеханического аналога. Там речь идет о быстроос­ циллирующих функциях, в изучаемой же нами ситуации никаких осцилляций нет, а рассматриваются быстроубывающие функции. Поэтому вместо обыч­ ного канонического оператора рассматривается так называемый туннельный канонический оператор [24] .

Логарифм функции, задаваемой туннельным каноническим оператором на термодинамическом лагранжевом многообразии, был назван в [25] ста­ тистическим потенциалом, и основной постулат заключается в том, что туннельный канонический оператор задает асимптотику статистической сум­ мы при больших, так что статистический потенциал точнее описывает свойства термодинамической системы, чем термодинамические потенциалы .

Разумеется, в термодинамике наряду с феноменологической квазиклас­ сикой, или геометрическим квантованием в духе Н. Бора, имеется и задача о квазиклассическом предельном переходе, т. е. о строгом вычислении асимпто­ тики статистической суммы при. В общем случае эта задача явля­ ется значительно более сложной и далека от решения. В модельных примерах иногда удается, например, записав выражение для статистической суммы в виде бесконечномерного интеграла по траекториям (см. Фейнман–Хибс [36], а также Фейнман [35]), вычислить асимптотику этого интеграла в неособом случае при методом Лапласа, что позволяет получить не только экс­ поненту, но и предэкспоненциальный множитель, а из последнего — и меру на лагранжевом многообразии .

В данной главе рассматривается одна из моделей, играющих важную роль в разработанной В. П. Масловым новой термодинамике (см., напр., [27]) .

Рассмотрим идеальный бозе-газ невзаимодействующих частиц, уровни энер­ гии которых (с учетом кратности) представляют собой последовательность { } положительных чисел, такую что ее считающая функция =1 () = #{ : } (6) имеет при асимптотику () = 0 1+ (1 + ( )) (7)

–  –  –

Если — это уровни энергии частиц газа Бозе–Маслова, то — это соответ­ ствующие числа заполнения, () — число состояний газа с полной энергией, не превышающей, а его логарифм () = ln () — энтропия газа при заданной энергии. Заметим, что число частиц мы здесь не фиксируем, и в качестве большого параметра выступает сама энергия (разумеется, сред­ нее число частиц при также будет стремиться к бесконечности). Вид зависимости () при больших и определяет статистический потенциал и соответствующее термодинамическое лагранжево многообразие в соответ­ ствии с уравнением () =, где = 1 — обратная температура .

–  –  –

Список работ, опубликованных автором по теме диссертации

1. Доброхотов С. Ю., Макракис Г., Назайкинский В. Е., Тудоровский Т. Я .

Новые формулы для канонического оператора Маслова в окрестности фокальных точек и каустик в двумерных квазиклассических асимптоти­ ках // Теор. и матем. физика. — 2013. — Т. 177. — Вып. 3. — С. 355–386 .

2. Доброхотов С. Ю., Назайкинский В. Е., Тироцци Б. Асимптотические решения двумерного модельного волнового уравнения с вырождающейся скоростью и локализованными начальными данными // Алгебра и ана­ лиз. — 2010. — Т. 22. — Вып. 6. — С. 67–90 .

3. Назайкинский В. Е. Асимптотические решения вырождающегося волно­ вого уравнения с локализованными начальными данными, отвечающие различным самосопряженным расширениям // Матем. заметки. — 2011 .

— Т. 89. — Вып. 5. — С. 797–800 .

4. Назайкинский В. Е. Геометрия фазового пространства для волнового уравнения, вырождающегося на границе области // Матем. заметки .

— 2012. — Т. 92. — Вып. 1. — С. 153–156 .

5. Назайкинский В. Е. Об энтропии газа Бозе—Маслова // Докл. РАН .

— 2013. — Vol. 448. — No. 3. — P. 266—-268 .

6. Назайкинский В. Е. Канонический оператор Маслова на лагранжевых многообразиях в фазовом пространстве, соответствующем вырождающе­

–  –  –

7. Назайкинский В. Е. О представлениях локализованных функций в R2 каноническим оператором Маслова // Матем. заметки. — 2014. — Т. 96 .

— Вып. 1. — С. 87–99 .

8. Назайкинский В. Е., Стернин Б. Ю. О принципе локальности индекса в эллиптической теории // Функц. анализ и его прил. — 2001. — Т. 35 .

— Вып. 2. — С. 37–52 .

9. Назайкинский В. Е., Стернин Б. Ю., Шульце Б.-В. Индекс квантованных контактных преобразований на многообразиях с коническими особенно­ стями // Докл. РАН. — 1999. — Т. 368. — Вып. 5. — С. 598–600 .

10. Назайкинский В. Е., Стернин Б. Ю., Шульце Б.-В. Индекс интегральных операторов Фурье на многообразиях с изолированными особенностями // Изв. РАН. Сер. матем. — 2001. — Т. 65. — Вып. 2. — С. 127–154 .

11. Dobrokhotov S. Yu., Nazaikinskii V. E., Lozhnikov D. A. Wave trains associ­ ated with a cascade of bifurcations of space-time caustics over elongated un­ derwater banks // Mathematical Modelling of Natural Phenomena. — 2013 .

— Vol. 8. — No. 05. — P. 1–12 .

12. Dobrokhotov S. Yu., Nazaikinskii V. E., Tirozzi B. Asymptotic solution of the one-dimensional wave equation with localized initial data and with de­ generating velocity: I // Russ. J. Math. Phys. — 2010. — Vol. 17. — No. 4 .

— P. 434–447 .

13. Dobrokhotov S. Yu., Nazaikinskii V. E., Tirozzi B. Asymptotic solutions of 2D wave equations with variable velocity and localized right-hand side // Russ. J. Math. Phys. — 2010. — Vol. 17. — No. 1. — P. 66–76 .

14. Dobrokhotov S. Yu., Nazaikinskii V. E., Tirozzi B. Two-dimensional wave equation with degeneration on the curvilinear boundary of the domain and asymptotic solutions with localized initial data // Russ. J. Math. Phys .

— 2013. — Vol. 20. — No. 4. — P. 389–401 .

15. Nazaikinskii V. E. Semiclassical Lefschetz formulas on smooth and singular manifolds // Russ. J. Math. Phys. — 1999. — Vol. 6. — No. 2. — P. 202–213 .

16. Nazaikinskii V. E. On the asymptotics of the number of states for the Bose­ Maslov gas // Mathematical Notes. — 2012. — Vol. 91. — No. 5—6 .

— P. 816—-823 .

17. Nazaikinskii V. E. Maslov’s canonical operator for degenerate hyperbolic equa­ tions // Russ. J. Math. Phys. — 2014. — Vol. 21. — No. 2. — P. 289–290 .

Цитированная литература

18. Арнольд В. И. Математические методы классической механики. — М.:

Наука, 1989 .

19. Белов В. В., Доброхотов С. Ю. Квазиклассические асимптотики Маслова с комплексными фазами. I. Общий подход // Теор. и матем. физика .

— 1992. — Т. 92. — Вып. 2. — С. 215–254 .

20. Доброхотов С. Ю., Тироцци Б., Шафаревич А. И. Представления быст­ роубывающих функций каноническим оператором Маслова // Матем. за­ метки. — 2007. — Т. 82. — Вып. 5. — С. 792–796 .

21. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Статистическая физика. — ГИТТЛ, 1951 .

22. Маслов В. П. Теория возмущений и асимптотические методы. — М.: МГУ, 1965 .

23. Маслов В. П. Операторные методы. — М.: Наука, 1973 .

24. Маслов В. П. Асимптотические методы и теория возмущений. — М.:

Наука, 1988 .

25. Маслов В. П. Аналитическое продолжение асимптотических формул и аксиоматика термодинамики и квазитермодинамики // Функц. анализ и его прил. — 1994. — Т. 28. — Вып. 4. — С. 28–41 .

26. Маслов В. П. Геометрическое квантование термодинамики, фазовые пе­ реходы и асимптотика в критических точках // Матем. заметки. — 1994 .

— Т. 56. — Вып. 3. — С. 155–156 .

27. Маслов В. П. Фазовые переходы в реальных газах и идеальные бозе­ газы // Теор. и матем. физика. — 2011. — Т. 167. — Вып. 2. — С. 295–310 .

28. Маслов В. П., Назайкинский В. Е. Алгебры с общими перестановочными соотношениями и их приложения. I. Псевдодифференциальные уравне­ ния с растущими коэффициентами // Итоги науки и техники. Сер. Со­ врем. пробл. мат. — М.: ВИНИТИ, 1979. — Т. 13. — С. 5–144 .

29. Маслов В. П., Федорюк М. В. Квазиклассическое приближение для урав­ нений квантовой механики. — М.: Наука, 1976 .

30. Мищенко А. С., Стернин Б. Ю., Шаталов В. Е. Лагранжевы многообра­ зия и метод канонического оператора. — М.: Наука, 1978 .

31. Назайкинский В. Е., Стернин Б. Ю., Шаталов В. Е., Шульце Б.-В. Кван­ тование канонических преобразований на многообразиях с коническими особенностями // Докл. РАН. — 1999. — Т. 367. — Вып. 4. — С. 447–450 .

32. Пелиновский Е. Н. Гидродинамика волн цунами. — Нижний Новгород:

ИПФ РАН, 1996 .

33. Стернин Б. Ю., Шаталов В. Е. Теорема Атья–Ботта–Лефшеца о непо­ движной точке в симплектической геометрии // Докл. РАН. — 1996 .

— Т. 348. — Вып. 2. — С. 165–168 .

34. Стернин Б. Ю., Шаталов В. Е. Теорема Лефшеца о неподвижной точке для квантованных канонических преобразований // Функц. анализ и его прил. — 1998. — Т. 32. — Вып. 4. — С. 35–48 .

35. Фейнман Р. Статистическая механика. — М.: Мир, 1975 .

36. Фейнман Р., Хибс А. Квантовая механика и интегралы по траекториям .

— М.: Мир, 1968 .

37. Функциональный анализ / Под ред. C. Г. Крейн. Справочная математи­ ческая библиотека. — 2 изд. — М.: Наука, 1972 .

38. Atiyah M. F., Bott R. A Lefschetz fixed point formula for elliptic complexes .

II. Applications // Ann. Math. — 1968. — Vol. 87. — P. 451–491 .

39. Dobrokhotov S. Yu., Shafarevich A. I., Tirozzi B. Localized wave and vortical solutions to linear hyperbolic systems and their application to linear shallow water equations // Russ. J. Math. Phys. — 2008. — Vol. 15. — No. 2 .

— P. 192–221 .

40. Dobrokhotov S. Yu., Tirozzi B., Vargas C. A. Behavior near the focal points of asymptotic solutions to the Cauchy Problem for the linearized shallow water equations with initial localized perturbations // Russ. J. Math. Phys. — 2009 .

— Vol. 16. — No. 2. — P. 228–245 .

41. Epstein C., Melrose R. Contact degree and the index of Fourier integral op­ erators // Math. Res. Lett. — 1998. — Vol. 5. — No. 3. — P. 363–381 .

42. Kubo R. Thermodynamics. — Amsterdam: North-Holland, 1968 .

43. Leichtnam E., Nest R., Tsygan B. Local formula for the index of a Fourier integral operator // J. Differential Geom. — 2001. — Vol. 59. — No. 2 .

— P. 269–300 .

44. Melrose R. Transformation of boundary problems // Acta Math. — 1981 .

— Vol. 147. — P. 149–236 .

45. Schulze B.-W. Pseudodifferential Operators on Manifolds with Singularities .

— Amsterdam: North–Holland, 1991 .

46. Schulze B.-W., Sternin B., Shatalov V. Differential Equations on Singular

Manifolds. Semiclassical Theory and Operator Algebras. — Berlin–New York:

Wiley–VCH Verlag, 1998. — Vol. 15 of Mathematics Topics .

47. Stoker J. J. Water Waves: The Mathematical Theory with Applications .

— New York: Wiley, 1958 (reprinted in 1992) .

48. Vukainac T., Zhevandrov P. Geometric asymptotics for a degenerate hy­ s perbolic equation // Russ. J. Math. Phys. — 2002. — Vol. 9. — No. 3 .

— P. 371–381 .

49. Weinstein A. Some questions about the index of quantized contact transfor­ mations // RIMS Kkryuku. — 1977. — Vol. 104. — P. 1–14.




Похожие работы:

«134 Заключение Глава 1: Параметрическое возбуждение термоконцентрационной конвекции в слое пористой среды В первой главе исследована термоконцентрационная конвекция бинарной смеси в подогреваемом снизу горизонтальном слое пористой среды при наличии модуляции поля тяжести. Для случая фиксированного теплового потока чер...»

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ТЕХНИЧЕСКОМУ РЕГУЛИРОВАНИЮ И МЕТРОЛОГИИ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ГОСТ Р и с о СТАНДАРТ 21 57 1— РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Продукты пищевые МЕТОДЫ АНАЛИЗА ДЛЯ ОБНАРУЖЕНИЯ ГЕНЕТИЧЕСКИ МОДИФИЦИРОВАННЫХ ОРГАНИЗМОВ И ПОЛУЧЕННЫХ ИЗ НИХ ПРОДУКТОВ Экстракция нуклеиновых кислот ISO 21571:2005 Foodstuffs — Methods o...»

«ЖК-мониторы ASUS VZ249H, VZ249Q, VZ249HE: Инструкция пользователя Модель VZ249 ЖК-монитор Руководство пользователя Первое издание Январь 2016 г. Copyright © 2016 ASUSTeK COMPUTER INC. All Rights Reserved. No part of this manual, includ...»

«УДК 629.73.05/06 СИСТЕМЫ РАЗГРУЗКИ НАСОСОВ А.А. Волков, А.А. Степанов Объектом исследования были системы управления подачей гидронасоса. Работы связаны с исследованием энергетических характеристик блоков питания. Особое внимание было уделен...»

«ООО МИКРОЛ +7 (4722) 40-00-75 микрол.рф ф л.р о Блок преобразования сигналов тензодатчиков БПТ-3 кр РУКОВОДСТВО ПО ЭКСПЛУАТАЦИИ ПРМК.426442.036 РЭ ми УКРАИНА, г. Ивано-Франковск ООО МИКРОЛ +7 (4722) 40-00-75 микрол.рф ф Данное руководство по эксплуатации является оф...»

«2 ОГЛАВЛЕНИЕ ВВЕДЕНИЕ ГЛАВА 1. ТИПЫ ИЗОТЕРМИЧЕСКОГО ПОДВИЖНОГО СОСТАВА Современное состояние парка изотермических транспортных средств 1.1 1.2 Требования, предъявляемые к изотермическому подвижному составу 1.2.1 Требования к контролю качества специализированных транспортны...»

«Источники бесперебойного питания Powercom WOW 700U, WOW 500U, WOW 1000U: Инструкция пользователя ВАЖНЫЕ ИНСТРУКЦИИ ПО БЕЗОПАСНОСТИ СОХРАНИТЕ ДАННОЕ РУКОВОДСТВО: В данном руководстве содержатся важные инструкции по технике безопас...»

«СЕКЦИЯ 5. СОВРЕМЕННЫЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ И КОМПЬЮТЕРНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ В МЕТАЛЛОВЕДЕНИИ УДК 669 245 А. Ф. Гибадуллина*, А. Ю. Жиляков, В. А . Хотинов, И. Б. Половов143 Уральский федеральный университет имени первого Президента Ро...»







 
2019 www.mash.dobrota.biz - «Бесплатная электронная библиотека - онлайн публикации»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.