WWW.MASH.DOBROTA.BIZ
БЕСПЛАТНАЯ  ИНТЕРНЕТ  БИБЛИОТЕКА - онлайн публикации
 

«О ВЫ ЧИ С Л ЕН И И УПРА ВЛЕНИ Й В Н ЕЛИ НЕЙ НЫ Х СИСТЕМ АХ В ведение В статье рассм атриваю тся управляемы е процессы, динамика которых описывается системой обыкновенных диф ...»

У Д К 517.977

Э. Г. А л ь б р ех т

О ВЫ ЧИ С Л ЕН И И УПРА ВЛЕНИ Й

В Н ЕЛИ НЕЙ НЫ Х СИСТЕМ АХ

В ведение

В статье рассм атриваю тся управляемы е процессы, динамика которых

описывается системой обыкновенных диф ф еренциальны х уравнений при на­

личии геометрических ограничений на управляю щ ие силы. Известно [1,2],

что необходимые условия оптимальности управлений в форме принципа м ак­ симума П онтрягина приводят в общем случае к краевой задаче для нелиней­ ной канонической системы диф ф еренциальны х уравнений, которая не имеет универсального и эфф ективного метода решения. П редполагается, что ф ун к­ ция П онтрягина непрерывно диф ф еренцируем а по ф азовы м координатам и управлениям и ее максимум по управлениям достигается на единственном векторе. Д иф ф еренцируем ость максимума функции П онтрягина [3] позволя­ ет записать уравнение Гам ильтона-Я коби и использовать его д ля вычисле­ ния общего решения канонической системы, опираясь на теорему Якоби [4,5] об интегрировании канонических уравнений и методы построения полного интеграла [4], развиты е в классической механике. При известном полном ин­ теграле уравнения Гам ильтона-Я коби краевая задача принципа максимума сводится к вычислению решения системы нелинейных алгебраических урав­ нений. Это позволяет дать описание решения краевой задачи принципа м ак­ симума и, следовательно, искомого программного экстремального процесса, опираясь на численные методы решения нелинейных алгебраических уравне­ ний. Приводится модельный пример об оптимальном разгоне и торможении материальной точки, движ ущ ейся в сопротивляю щейся среде .



Рассмотрена задача синтеза оптимального управления [1,6-10] в случае вы пуклы х линейно-квадратичны х задач с подвижным правым концом [11] при отсутствии ограничений на управления. Показано, что программные кон­ струкции принципа максимума [1] могут быть использованы [6] для ф орм и­ рования управлений по принципу обратной связи. У казы вается частный слу­ чай, когда решение задачи получается в явном аналитическом виде. Приведен пример вычисления решения задачи Коши для системы уравнений Риккати [7,10] .

© Э. Г. Альбрехт, 2006 Э. Г. Альбрехт. О вычислении управлений в нелинейных системах

1. П о с т а н о в к а з а д а ч и Будем рассм атривать управляемы е процессы или объекты произвольной ф изической природы, динамика которых на заданном конечном промеж утке времени I Е [0, 1] описывается системой обыкновенных диф ф еренциальны х уравнений в нормальной форме:

(1.1) Здесь ж — { ж х,...,ж п} Е Мп - ф азовы й вектор, определяющий состоя­ ние рассматриваемого процесса в произвольный текущ ий момент времени, г/ = {г/1,..., и т } Е Мш - управляю щ ее воздействие. Н а управляющ ие силы наложено геометрическое ограничение: и Е II С Мш, где область управления и - замкнутое и ограниченное множество .

Будем предполагать, что вектор-ф ункция /(,ж,гг) Е Мп определена и непрерывна по совокупности переменных, ж, и при I Е [0,х], х Е Мп, и Е и С Мш, и в каж дой ограниченной области С С 1 п удовлетворяет усло­ вию Липш ица по ж, т. е. неравенство означает евклидову норму вектора щ Ь((?) - полож ительная постоянная. Н а­ конец, примем, что при любых значениях I Е [^0,Л ], ж Е Мп, и Е ?7 С Мш выполняется неравенство

–  –  –

где к; - некоторая полож ительная постоянная .



О п р е д е л е н и е 1.1. В ектор-ф ункция и — г/(), определенная на некотором отрезке времени I Е [0,х] и принимаю щ ая значения в области управления С/, назы вается допустимой [1, с. 5-23], если ее компоненты щ{€) (г = 1,..., га) являю тся кусочно-непрерывными ф ункциям и с разры вам и первого рода в ко­ нечном числе изолированных точек I — Е ( ^ Д ) С/ = 1,..., ^ ). Д л я определенности будем полагать, что в точках разры ва ф ункции щ{€) непре­ рывны справа .

Подставим в правую часть уравнений движ ения (1.1) некоторое допусти­ мое управление и — и{) и рассмотрим систему

–  –  –

Е [0,Н] 0* = 1,..., ^ ;

П равая часть этой системы разры вна при I — г = 1,..., га). Примем, что в точке I — т ^ символ х означает правую произ­ водную по времени .

Решение системы (1.4) при некотором начальном условии ж(0) = х ^ °\ порождаемое произвольным допустимым управлением и — гф), будем обо­ значать символом х — х{Ь\и)\ иногда, если из контекста ясно, о каком допу­ стимом управлении идет речь, будем писать кратко: х — х{б). При выполне­ нии указанны х выше условий (1.2), (1.3) это решение существует на любом конечном промеж утке времени единственно, непрерывно и кусочно­ дифф еренцируемо [1, с. 15-17; 12] по I при любом начальном векторе х^°\ В статье рассм атриваю тся задачи оптимального управления с подвижным правым концом и с фиксированными границами .

При изучении задачи управления с подвижным правым концом предпо­ лагается, что задано начальное условие ж(0) = х ^ и задан функционал, оценивающий качество процесса управления

–  –  –

З а д а ч а 1.1 .

Среди допустимых программных управлений и — и{б) требует­ ся найт и оптимальное управление и — г/°(), м иним изирую щ ее функционал 1[и] (1.5) на движ ениях системы (1.1), ш. е. удовлетворяющее неравенству

–  –  –

каково бы ни было допустимое управление и — и{б) .

При изучении задачи управления с ф иксированными границами предпо­ лагается, что заданы начальное состояние х(ф0) — х ^ ° \ конечное состояние ж(И) = х ^ и ф ункционал, оценивающий качество процесса управления,

–  –  –

З а д а ч а 1.2 .

Среди допустимых программных управлений и — гф), перево­ дящ их систему (1.1) из заданного начального состояния х{ф0) — х в заданное конечное ж(Н) = требуется найт и оптимальное управление Э. Г. Альбрехт. О вычислении управлений в нелинейных системах

–  –  –

Здесь ф Е Мп - вспомогательный вектор, верхний индекс Т означает транс­ понирование .

Т е о р е м а 2.1 .

Пусть выполнены условия (1.2), (1.3), 2.1. Если {ж°(),и°{б)}, Е [0,1] - опт им альны й процесс в управляемой системе (1-1), ко­ гда качество процесса управления оценивается функционалом (1.5), то Н (, ж°(), ф°(б), и) как функция переменной и в каждой точке непрерыв­ ности управления и 0(б) имеет м аксим ум при и — и 0(б), т. е .





–  –  –

З а м е ч а н и е 2.1.

Если {ж°(),г/°()}; Е [0,].] - опт им альны й процесс в управляемой системе (1.1), когда качество процесса управления оценивается функционалом (1.7), то в формулировке теоремы 2.1 надлеж ит зам енит ь краевые условия (2.4) на следующие:

–  –  –

Усилим требования к рассматриваемым ф ункциям и примем У с л о в и е 3.1. Функции /(, ж,гл) и сс(,ж,г/); фигурирующие в постановках задач 1.1, 1.2, и и х частные производные

–  –  –

Пусть выполнены условия 2.1, 3.1, тогда при любом Е [o?i] ф ункция Понтрягина 77 (, ж, 0, г/), (2.1) непрерывно диф ф еренцируем а по переменным ж, 0 и и. Предположим, что при любых значениях {, ж, -0} Е [о, i] х Kn х 1 п максимум в правой части равенства

–  –  –

Очевидно, что любое решение {ж°(), 0°()} уравнений (3.2), порож дае­ мое граничны ми условиями (2.4) или (2.5), ф ормирует экстремальны й про­ цесс {ж°(), u°{t) — u°(t, ж°(), 0 °())}, который удовлетворяет необходимым Э. Г. Альбрехт. О вычислении управлений в нелинейных системах условиям оптимальности и, следовательно, подлеж ит исследованию на опти­ мальность .

Д л я вычисления искомого реш ения {ж°(), ф°()} системы уравнений (3.2) будем строить общее решение канонической системы (3.2), опираясь на урав­ нение Г ам ильтона-Я коби [4,5] (3.3)

–  –  –

с 2п произвольными постоянными а — { а \,..., а п}, Ъ — {Ьх,..., Ьп } .

Разрешив первую группу уравнений в (3.5) относительно величин х — — {жх,..., х п } и подставив полученное решение во вторую группу уравнений в (3.5), получим общее решение канонических уравнений х — ж(; а, 5), ф — фф; а, Ь). (3.6) Общее решение канонических уравнений (3.6) не всегда удается получить в явном аналитическом виде через элементарные функции, и следовательно, в общем случае, когда рассм атривается нелинейная управляем ая система, первая группа уравнений в (3.5) дает неявное описание движения. Выведем уравнения для вычисления произвольных постоянных. Д л я этого подставим соотношения (3.6) в равенства (3.5) и получим 2п тож деств. Будем иметь (3.7)

–  –  –

Последние равенства служ ат для вычисления трех неизвестных векторов а, 6, ж(П), которые могут быть найдены при помощи стандартны х численных методов решения нелинейных алгебраических уравнений. Вычислив векто­ ры а, Ь и подставив их значения в (3.7), получим неявное описание решения { ж ° ( ), к р а е в о й задачи (2.3), (2.4) принципа максимума. Таким обра­ зом, приходим к следующему выводу .

Т е о р е м а 3.2 .

Если 3{ф,х,а) - полный интеграл уравнения Г ам ильт онаЯкоби (3.3), то, вычислив решение {а, Ъ, х{ф\)} системы нелинейны х алгеб­ раических уравнений (3.8), получим неявное описание реш ения {х°{б),ф°{б)} краевой задачи (2.3), (2.4) принципа м аксим ум а в форме равенств (3.7) .

Перейдем теперь к описанию решения краевой задачи (2.3), (2.5). Подста­ вим краевы е условия (2.5) в первую группу уравнений в соотношениях (3.5) и получим 2п равенств

–  –  –

которые позволяю т вы числить произвольные постоянные {а, Ь} .

Т е о р е м а 3.3 .

Если (,ж,а) - полный интеграл уравнения Г ам ильт онаЯкоби (3.3), то, вычислив решение {а, Ь} системы нелинейны х алгебраиче­ ских уравнений (3.9), получим неявное описание решения {х°{б),ф°{б)} крае­ вой задачи (2.3), (2.5) принципа м аксим ум а в форме равенств (3.7) .

Таким образом, опираясь для построения решения задач 1.1 и 1.2 на тео­ рию канонических уравнений, трудную проблему вычисления бесконечномер­ ного решения краевой задачи (2.3), (2.4) (или (2.3), (2.5)) можно свести к вы­ числению [14-17] решения системы нелинейных алгебраических уравнений, если удастся указать полный интеграл уравнения Г ам ильтона-Я коби (3.3) .

4. У п р а в л е н и е с о б р а т н о й с в я з ь ю

В параграф ах 2, 3 описано построение экстремального программного управления и°(ф), Е [0,1] в зависимости от начального состояния {0,ж(0)} управляемого процесса, т. е. и°{Ь) — и°{Ь\ 0, х ^ ). Однако очевидно, что в подавляющем большинстве случаев применение программного управления неэф ф ективно и не позволит достичь поставленной цели, потому что ф ак ти ­ ческое, реализую щ ееся на деле, движение объекта будет отличаться от тре­ буемого из-за погрешностей в исполнительных и измерительных каналах, а такж е из-за наличия мгновенных или постоянно действующих возмущений .

Э. Г. Альбрехт. О вычислении управлений в нелинейных системах У казанны е обстоятельства приводят к необходимости так вы бирать управ­ ляющ ие силы, чтобы реализую щ ееся в действительности движение объекта непрерывно корректировалось по ходу процесса, используя управление по принципу обратной связи [1,3,6,11]. Д л я практической реализации управ­ ления по принципу обратной связи предполагается, что в каж ды й текущ ий момент времени I имеется возможность измерять или вы числять по доступ­ ной информации [6] ф азовы й вектор х{ф) и строить управляю щ ее воздействие как некоторую функцию и — гф, ж()), зависящ ую от этих величин .

О п р е д е л е н и е 4.1. Допустимым управлением и — г/(,ж) назы вается произ­ вольная непрерывная по совокупности переменных ф ункция, принимаю щ ая при всех Е Г = [0Д]_] х Мп значения в области управления II .

Основным средством решения задач управления с обратной связью яв­ ляется метод динамического программирования. Общ ая формулировка ме­ тода динамического программирования в форме необходимых и достаточ­ ных условий оптимальности и ф ундам ен тальная теория построения решений уравнения Гам ильтона-Я коби обоснована в исследованиях [8,9], где приведе­ на подробная библиография, отраж аю щ ая современное состояние проблемы .

Будем использовать метод динамического программирования в форме доста­ точных условий оптимальности [7] .

Т е о р е м а 4.1 .

Если мож но указать непрерывно дифференцируемую функ­ цию У(,ж) и допустимое управление и°{ф^х), удовлетворяющие условиям

–  –  –

В аналитическом случае [7] можно строить локальные решения задачи Коши (4.1), (4.2), опираясь на теорему С. Ковалевской [18], в виде рядов по степеням ф азовы х координат с коэф фициентами, зависящ ими от времени .

Ниж е обсуждаю тся методы вычисления только членов наинизшего порядка в этих рядах, члены более высокого порядка могут быть найдены аналогич­ ным образом .

Известия УрГУ № 46 Соответственно при дальнейш ем изложении м атериала ограничимся рас­ смотрением вы пуклы х линейно-квадратичны х задач оптимального управле­ ния с подвижным правым концом [11] и при отсутствии ограничений на управления. Построение решений уравнения Гам ильтона-Я коби (4.1) для линейно-квадратичной задачи с фиксированным правым концом изучено в статье [19] .

Пусть на конечном отрезке времени [о?Н] задана линейная управляем ая система х = Ах + В иу (4.4) где А Е Мпп, В Е Ш - постоянные матрицы .

пт Качество процесса управления оценивается квадратичны м функционалом гЬ 1[и ] ~ / (жт ()Рж() + и Т ^)С2и^)) (И + жт (П)7?ж(П), (4.5) Ло где (3 Е Мшш - определенно полож ительная матрица, а Р Е Мпп и 7? Е Мпп суть постоянно положительны е матрицы .

Момент 7 = 7о начала процесса и исходное состояние ж(70) = не зад а­ Е 7?п. Предположим, ны и являю тся произвольными, причем 0 ^ 70 Н, что эти величины как-нибудь выбраны и временно зафиксированы. Постро­ им оптимальное решение задачи 1.1 для системы (4.4) и ф ункционала каче­ ства (4.5), которое существует и единственно [11]. Будем рассм атривать два случая: простой, когда Р — 0, и общий, когда Р ф 0. В простом случае опти­ мальное управление и минимальное значение ф ункционала (4.5) находятся в явном аналитическом виде. Выполнив необходимые вычисления в соответ­ ствии с теоремой 2.1, получим

–  –  –

В общем случае, когда Р - ненулевая матрица, оптимальное управление и минимальное значение ф ункционала (4.5) теоретически такж е могут быть Э. Г. Альбрехт. О вычислении управлений в нелинейных системах вы раж ены через элементарные функции, каковы бы ни были постоянные м ат­ рицы Л, 7?, Р, д, 7?. Основные затруднения носят вычислительны й характер и возникаю т из-за необходимости вычисления корней характеристического уравнения канонической системы принципа максимума, которая в рассм ат­ риваемом случае имеет вид х = А х + ^ В ( ^ ~ 1В Т 'ф, ф — 2 Р х — А тф, (4.9) и последующего вычисления произвольных постоянных по граничны м усло­ виям ж(70) = х ^ ° \ ф(А\) = —27?ж(?1). (4.Ю) Рассмотрим применение метода динамического программ ирования для построения управления с обратной связью в случае системы (4.4) при усло­ вии минимума ф ункционала (4.5). Решение задачи Коши (4.1), (4.2) будем искать в виде квадратичной ф ормы с неизвестными коэф фициентами, кото­ рые непрерывно дифф еренцируем ы по времени 7, т. е. положим

–  –  –

где (7(7),7 Е [70,71]- симметричная матрица, подлеж ащ ая определению .

Основное уравнение метода динамического программирования (4.1) в рас­ сматриваемом случае имеет вид пип {жт (С(?) + Л ТС(7) + С{€)А)х + 2итВ тС ^ ) х + и т(ди + х тР х } = 0 .

иеЯ11 М инимум в левой части этого равенства достигается на управлении

–  –  –

Зад ач а Коши (4.13) имеет единственное решение, продолжимое [11] в сторону убывания времени на весь отрезок [7о,7]_], ?о ^ 0 .

Уравнения типа (4.13) возникаю т в различны х задачах оптимального управления. В зависимости от конкретной постановки задачи оптимально­ го управления это обстоятельство приводит к многообразным теоретическим проблемам. Теории и методам вычисления решения уравнений Р иккати по­ священо большое количество работ многих исследователей. Теория и суще­ ствующие практические методы решения уравнений Р иккати в различны х ситуациях изложены, например, в монографии [10] .

Известия УрГУ № 46 Д л я практической реализации управления по принципу обратной свя­ зи необходимо заранее, до начала управления, вы числить решение системы уравнений Риккати, запомнить его и затем использовать в процессе управ­ ления по мере поступления данных о реализовавш ихся значениях ф азовы х координат. Кроме стандартны х численных методов решения диф ф еренциаль­ ных уравнений для этой цели в рассматриваемой ситуации могут быть ис­ пользованы описанные выше программные конструкции принципа максиму­ ма. Действительно, из равенства (4.3) вытекает, что если расф иксировать на­ чальное состояние {0,ж(0)} в соотношениях (4.6)— (4.8), т. е. полож ить t 0 —, Д 0) = х, то мы получим [6] оптимальное управление по принципу обрат­ ной связи и функцию У(,ж), (4.11). Таким образом, справедлив следующий вывод .

Т е о р е м а 4.2 .

П усть м атрицы A 7B 7P 7Q 7R постоянны, причем P 7R я в ­ ляю т ся постоянно полож ит ельны м и; a Q - определенно положительной .

Пусть выполнены следующие операции:

1. Найдено общее решение канонической системы (4.9) .

2. Определены произвольные постоянные из граничных условий (4.10) и построено оптимальное программное управление u 0( t; t0, x ^ ) .

3. Вычислено м иним альное значение I[u°] = V ( t 0, x ^ ) функционала ка­ чества (4.5) .

Тогда, положив t 0 — t, х ^ = х, получим оптимальное управление u ° ( t,x ) — u ° ( t; t,x ) по принципу обратной связи. Матрица C ( t ) квадратич­ ной формы V ( t, x ) являет ся решением системы уравнений Риккат и (4.13) .

В частном случае, когда Р — 0, им ею т место равенства

–  –  –

Рассмотрим материальную точку М с переменной массой га(), которая движ ется по идеально гладкой горизонтальной прямой в сопротивляю щейся среде. Будем предполагать, что сила сопротивления пропорциональна скоро­ сти точки во второй степени. Пусть реактивная масса m (t) вы брасывается непрерывно с постоянной по величине с, но переменной по направлению от­ носительной скоростью так, что производная rh(t) существует и непрерывна .

Э. Г. Альбрехт. О вычислении управлений в нелинейных системах Уравнение движ ения точки М имеет вид

–  –  –

Предположим, что нас интересует только проблема управления скоростью точки, а требований к ее положению на прямой не имеется. В таком случае в уравнениях модели (5.1) первое уравнение можно отбросить и рассм ат­ ривать только второе уравнение, определяющее динамику изменения скоро­ сти. Н ачальные и граничные условия будем вы бирать так, чтобы в процессе управления не происходило изменение направления скорости и все время вы­ полнялось неравенство ж2 ^ 0. В таком случае, обозначив ж2 — ж, будем рассм атривать уравнение х — —Аж2 + и. (5.2) П р и м е р 5.1. Рассмотрим задачу об оптимальном торможении точки. Пусть задано начальное состояние ж(0) = х 0 0 системы (5.2). Найдем решение задачи 1.1, когда качество управления оценивается функционалом

–  –  –

Численные решения уравнений (5.7), полученные для конкретных зна­ чений исходных данных 0,жо,А, позволяю т дать неявное описание решения {ж°(),ф°{Ь)} краевой задачи (2.3), (2.4) принципа максимума и, следователь­ но, искомого экстремального процесса {ж°(), г/°()} в виде (5.5), (5.6) .

При А = 0, когда задача 1.1 линейна, решение уравнений (5.7) находится в явном виде. Действительно, имеем

–  –  –

П р и м е р 5.2 .

Рассмотрим задачу об оптимальном разгоне точки. Пусть за­ даны начальное состояние х{Ь0) — х 0 0 и конечное ж(1) = х 0 системы (5.2). Найдем решение задачи 1.2, когда качество управления оценивается функционалом 1{и } = ] - [ и 2(г)и .

П овторяя предыдущие вычисления, составим уравнение движ ения по (3.5), которое в данном случае имеет вид

–  –  –

Соотношения (5.8)— (5.10) полностью описывают искомый экстремальны й процесс. Численно находим решение а уравнения (5.9) и, подставляя его в (5.8), (5.10), получим неявное описание искомого экстремального процесса .

Вычислим решение задачи при Л = 0. Уравнение (5.9) примет вид

–  –  –

Подчеркнем в заключение, что при достаточно м алы х значениях парам ет­ ра Л из (5.4) вы текает положительность величины а. Следовательно, решения задач об оптимальном разгоне и торможении разлагаю тся в сходящиеся ряды по степеням Л. К оэф ф ициенты этих рядов легко находятся из приведенных выше общих соотношений .

–  –  –

Пусть качество процесса управления оценивается функционалом (5.12) (5.13) (5.14) Выполнив необходимые вычисления, в соответствии с (4.15), (4.16) получим решение задачи Кош и (5.13), (5.14):

–  –  –

19. А л ь б р е х т Э.Г., С о б о л е в О.Н. Синтез систем управления с минимальной




Похожие работы:

«МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ _ (МИИТ) _ Кафедры "САПР транспортных конструкций и сооружений" "Подземные сооружения" КОНСТРУИРОВАНИЕ И РАСЧЕТ ОБДЕЛОК ТРАНСПОРТНЫХ ТОННЕЛЕЙ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ПК "МУССОН" Под редакцией члена-ко...»

«Гидроэнергетика Круговорот воды в природе происходит благодаря активности Cолнца, в результате чего вода испаряется из океанов, морей и других водных поверхностей, формирует тучи, выпадает в виде дождя или снега и попадает назад в океан. Энергия этого круговорота, движимого Солнцем, наиболее эффективно используется в гидроэнергетике. Ис...»

«ДЕПАРТАМЕНТ ВНУТРЕННЕЙ И КАДРОВОЙ ПОЛИТИКИ БЕЛГОРОДСКОЙ ОБЛАСТИ ОБЛАСТНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "РАКИТЯНСКИЙ АГРОТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ТЕХНИКУМ" КОНТРОЛЬНО-ОЦЕНОЧНЫЕ СРЕДСТВА учебной дисциплины Основы технического ч...»

«СПЕЦИАЛЬНОЕ К О Н С Т Р У К Т О Р С К О Е БЮРО Q СКБ СТРОЙПРИБОР ПРИБОРЫ НЕРАЗРУШАЮЩЕГО КОНТРОЛЯ СПЕЦИАЛЬНОЕ К О Н С Т Р У К Т О Р С К О Е БЮРО СКВ CTROlTiriRMSOR ПРИБОРЫ НЕРАЗРУШАЮЩЕГО КОНТРОЛЯ Более 20 лет мы разрабатываем, производим и поставляем нашим потребите­ лям со...»

«ИСТОЧНИК БЕСПЕРЕБОЙНОГО ЭЛЕКТРОПИТАНИЯ ИБЭП-220/24В-24А-1/2(360)-3U LAN ИБЭП-220/24В-24А-2/2(360)-3U LAN РУКОВОДСТВО ПО ЭКСПЛУАТАЦИИ 2018г. СОДЕРЖАНИЕ.1. Введение . 2.Основные технические характеристики ИБЭП. 3. Указания по безопасности. 4.Устройство и основные функции ИБЭП. 5. Порядок установки ИБЭП 7. Работа с...»

«УДК 550.837.76 РАСЧЕТ ФОРМЫ ОТРАЖЕННОГО СИГНАЛА ОТ ЛИНЕЙНЫХ ОБЪЕКТОВ ПРИ ИМПУЛЬСНОМ ЗОНДИРОВАНИИ ИССЛЕДУЕМОГО ПРОСТРАНСТВА Шевченко И. Н., научный руководитель д-р техн. наук Панько С.П. Сибирский федеральный университет Радиотехнические методы определения внутренней структуры объектов находя...»

«Алгоритм автоматического доказательства теорем в аксиоматических теориях и программное средство логического вывода для интуиционистской логики Аспирант: Павлов Владимир Александрович Научный руководитель: доц., к. т. н. Щукин Александр Валентинович Специальность 05.13.11 Санкт-Пете...»

«Стафеев Дмитрий Валерьевич СБЛИЖЕНИЕ ИНТЕРЕСОВ ГОСУДАРСТВА, БИЗНЕСА И СПОРТА КАК РЕЗУЛЬТАТ ТРАНСФОРМАЦИИ МЕЖДУНАРОДНОГО СПОРТИВНОГО ДВИЖЕНИЯ В статье ставится задача определить роль политических и экономических факторов в трансформации международного спортивного движения. Автор анализиру...»




 
2019 www.mash.dobrota.biz - «Бесплатная электронная библиотека - онлайн публикации»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.