WWW.MASH.DOBROTA.BIZ
БЕСПЛАТНАЯ  ИНТЕРНЕТ  БИБЛИОТЕКА - онлайн публикации
 

«ВАРИАЦИ ОНН Ы Й М ЕТО Д РА ЗДЕЛ ЕН И Я П ЕРЕМ ЕНН Ы Х Д Л Я З А Д А Ч П Л А С Т И Ч Е С К О Г О УДАРА* В работе рассм атривается один из возм ож ны х методов реш ения динам ...»

У ДК 539.3

В. П. Ф едотов, Л. Ф. С п евак

ВАРИАЦИ ОНН Ы Й М ЕТО Д РА ЗДЕЛ ЕН И Я П ЕРЕМ ЕНН Ы Х

Д Л Я З А Д А Ч П Л А С Т И Ч Е С К О Г О УДАРА*

В работе рассм атривается один из возм ож ны х методов реш ения динам и­

ческих зад ач механики деформ ируем ого твердого тела, позволяю щ ий более

точно определять поля напряж ен и й и, следовательно, лучш е рассчиты вать

повреж денность м атериала. М етод основан на разделении переменных. Про­ странственная квази стати ческая зад ач а реш ается с помощью вариационного метода, основанного на ослаблении определяю щ их уравнений и одновремен­ ном независимом варьировании напряж енного и деформ ированного состоя­ ний. П арам етры, зависящ ие от времени, определяю тся как решение системы обыкновенных диф ф еренциальны х уравнений. Описанный метод применен к решению двух зад ач ударного взаим одействия .

1. П р и бл и ж ен н ы й м етод реш ения ди н ам и ч еск и х задач Численное решение гиперболических динам ических уравнений упруго­ пластического деф орм ирования остается важ нейш ей, до конца не решенной задачей м еханики деформ ируем ого твердого тела. Наиболее традиционны й подход к решению таких задач, связанны й с конечноэлем ентны м разбиением деф орм ируем ой области и конечно-разностной шаговой процедурой реш ения во времени, м ож ет привести к достаточно грубому вы числению компонент градиента напряж ений и вектора ускорений, поскольку они определяю тся к ак численные вторые производные соответственно по пространственны м и временным координатам .



Д л я упругопластических зад ач д о к азан а сильная сходимость таких методов д л я перемещений и сл аб ая д л я напряж ений (пер­ вые производные от перемещений), доказательств сходимости вторых про­ изводных нет. Это приводит к невыполнению базовых уравнений движ ения при численной реализации, причем определить отклонение приближ енного реш ения от точного весьм а затруднительно. Ч астично снять эту проблему позволяет нижеописанны й метод разделения переменных [1, 2] .

И нтегрирование системы диф ф еренциальны х уравнений краевой задачи в рам к ах теории пластического течения (более слож ны е модели пластично­ сти не м еняю т сущ ества предлагаемого метода) У г ^ + Р {д{ - ур) = 0, = (У«,- + У,-«) /2, ^ = 8* (еы ), а = а ( 0, *Работа выполнена при поддержке РФФИ, проект №98-01-00018 .

© В. Ф. Федотов, Л. Ф. Спевак, 2000 Известия УрГУ 2000 №18 м ож ет быть заменено эквивалентны м решением следующего вариационного уравнения [3]:

J (s (е ) Ы ^а (с г

–  –  –

Здесь V* — оператор ковариантного диф ф еренцирования; crJ и — контравариантны е и ковариантны е компоненты тензоров напряж ений и скоростей деф орм ации соответственно; р — м ассовая плотность; gi — контравариантные компоненты вектора массовой силы, действую щ ей на тело; — контравариантны е компоненты вектора ускорения; — ковариантны е компо­ ненты вектора скорости; s гз и е^ — контравариантны е и ковариантны е ком ­ поненты девиаторов напряж ений и скоростей деф орм ации соответственно;

а и — первые инварианты тензоров напряж ений и скоростей деформ ации;

/ г — контравариантны е компоненты вектора поверхностного напряж ения;

V и S — соответственно объем и поверхность деформ ируем ого тела. По по­ вторяю щ им ся разновы соким индексам производится суммирование.



Учтено, что определяю щ ие уравнения s J = s J ( е м ), а = т() разреш им ы относи­ тельно е^1 и соответственно:

–  –  –

Решение этой системы обыкновенных д иф ф еренциальны х и алгебраических уравнений при соответствую щ их н ачальны х условиях с подстановкой в (2) определяет действительны е поля скоростей и напряж ений исходной краевой задачи .

2. Удар уп ругоп ласти ч еск ого ст ер ж н я о ж естк у ю пр егр аду

–  –  –

Здесь Т = У 5^-5^/2 — интенсивность касательны х напряж ений; Н = у /2 е ^ е г^ — интенсивность скоростей деф орм ации сдвига; (7 — модуль упру­ гости на сдвиг; (7 = Е/3] Е — модуль Ю нга. О тметим, что д л я постановки задачи в скоростях и н ап ряж ен и ях обратных зависимостей, вы раж аю щ их компоненты тензора скоростей деф орм ации через компоненты тензора на­ пряж ений, не существует. К р аевая зад ач а теории пластичности в этом слу­ чае будет эквивалентна вариационному уравнению [3] S J = S(J^ (Т Н ' + (Шхю ) 1х) = 0 'х (7) д л я выбранного виртуального поля скоростей у'х, удовлетворяю щ его гра­ ничным условиям задачи, и виртуального поля напряж ений а хх, удовлетво­ ряющ его определяю щ ему уравнению, уравнению равновесия и граничны м условиям задачи .

Решим вариационную задачу (7) разностны м методом.

Выберем одномер­ ные виртуальны е поля скоростей и напряж ений в следую щ ем виде:

V' - V' *4 = V1 = г 1-1 (X - Хг-1) + « •_ !, Хг-1 X Ж;; (8) а' —а' а хх = а = г-1 (х - Хг-х) + ^ - 1, Жг-1 х ж», (9) остальны е компоненты вектора скорости и тензора напряж ений по условию задачи равны нулю. Здесь хо = 0, а д,..., х п = Ь — координаты точек равно­ мерного разбиения отрезка [0,1/]; Н = Ь / щ г^() и оф) — искомые значения скорости и н ап ряж ен и я в узл ах разбиения. В к аж д ы й момент времени на пром еж утке деф орм ирования стер ж н я величины и а\ представляю т собой варьируем ы е парам етры в вариационной задаче (7). У равнение равновесия дсг' / д х = ргх удовлетворим внесением его под интеграл в ф ункционале J с м нож ителем Л а гр а н ж а Л, который так ж е представим кусочно-линейной ф ункцией А' — А' А' = —— 1-1 (х - Хг-г) + \'г_ъ Хг- 1 X Ж*. (10)

–  –  –

в силу чего ф ункционал в уравнении (7) прим ет вид ф ункции переменных v 'v X'v a 'v i = !•••п .

В соответствии с предлагаем ы м методом решим вариационную задачу д л я произвольного фиксированного момента времени методом Р и тц а — ис­ ходя из необходимых условий экстрем ум а ф ун кц и он ала (7):

–  –  –

а так ж е значения Т, соответствую щ ие соотнош ениям (6), (7), (12). В ре­ зультате получим системы уравнений д л я нахож дения значений щ(Ь) =

Jq Vi (t)dt — перемещений узлов относительно н ачальны х полож ений и сгф):

–  –  –

где и = (од, Щ,..., од)т, а = (сто, а \,..., а п )т — вектор-ф ункции времени;





А и С — постоянны е трехдиагональны е м атрицы, К (и) — вектор-ф ункция векторного аргумента .

С истем а обыкновенных диф ф ерен ц иальны х уравнений (13) д л я прим ера бы ла реш ена численно, методом Р у н ге -К у тта третьего порядка, с н ачальн ы ­ ми условиям и Ui(to) = 0, Vi(to) = d u i / d t \t=t0= V* — 1, • • •, ПРИ следую щ их значениях параметров: п = 10, р = 8000 к г /м 3, Е = 2 • 1011 Па, L = 0.1 м, v* = —300 м /с, т = 2 • 108 Па, д = 8 • 108 Па, q = 0.5. Отметим, что, ис­ ходя из граничны х условий, на этапе взаим одействия стер ж н я с преградой од() = 0, го() — 0, &n{t) — 0- И з реш ения системы (13) были найдены значения перемещений и скоростей узлов, а из уравнений (14) — значения напряж ений в узл ах как ф ункции времени. Полученное решение описыва­ ет процесс деф орм ирования стер ж н я до момента отскока от преграды. Этот момент времени t = * определяется из условия равенства нулю н ап ряж ен и я в точке контакта стер ж н я и преграды : оо(*) = 0. Д л я описания движ ения и деф орм ации стер ж н я после отскока от преграды необходимо поставить 2000 Известия УрГУ №18 новую краевую задачу. Н ачальны м и условиям и д л я нее будут значения пе­ ремещ ений и скоростей узлов, слож ивш иеся к моменту отскока. Г раничны е условия на втором этапе дви ж ен и я стер ж н я прим ут вид од() = 0, од() = 0 .

Т аким образом, используя эти условия, из уравнений (13), (14) мы можем определить как ф ункции времени значения перемещений и скоростей узлов, так и значения напряж ений в узл ах и после отскока стерж ня .

П араллельн о с решением системы уравнений (13)— (14) подсчиты валась повреж денность ф м атери ал а стерж н я.

Расчет производился в соответствии с теорией разруш ения, описанной в работе [3]:

т

–  –  –

3. П робивание тонкой пластины летящ им ш ариком В качестве еще одной иллю страции метода рассмотрим задачу пробива­ ния тонкой круговой пластины, имеющей толщ ину Н и радиус Д, ж естким ш ариком массой т и радиусом которы й до встречи с пластиной имел скорость г (рис. 5,а). С права от пластины находится некоторая среда, ока­ 5о зы ваю щ ая определенное сопротивление ее движ ению. С лева на пластину а ( о) б ( = 0) в ( 0) Рис. 5. Схема деформирования и разрушения тонкой пластины, пробиваемой жестким шариком действует только сосредоточенная си ла Р, обусловленная ударяю щ им ш а­ риком. Т ребуется рассчитать нап ряж енно-деф орм ированное состояние п л а­ стины, ее повреж денность, м акроразруш ение и другие парам етры, сопут­ ствующ ие процессу удара .

Постановку и приближ енное решение задачи осуществим в сопутствую ­ щей лагранж евой системе координат. В качестве эйлеровой системы коор­ динат вы брана д екартова система х, у, г. С делаем предполож ения: 1) отсут­ ствую т деф орм ации пластины в радиальном и осевом направлениях; 2) тол­ щ ина пластины существенно меньше ее радиуса, она не м еняется в процес­ се деф орм ации и все величины напряж енно-деф орм ированного состояния постоянны по толщ ине пластины. В этом случае м етрический тензор д л я лагранж евой системы координат можно считать приближ енно равны м ме­ трическому тензору цилиндрической системы координат г, (/?, г .

С ф орм улируем граничны е условия. С права от пластины находится в я з­ к а я среда, которая оказы вает сопротивление движ ению правой поверхности м ембраны с поверхностным напряж ением

–  –  –

Л ев а я поверхность деф орм ирую щ ейся пластины свободна от поверхностных В.П.Федотов, Л.Ф.Спевак. Вариационный метод разделения переменных напряж ений, кроме сосредоточенной силы воздействия ударяю щ его ш арика .

По периметру пластина закреплена .

Будем считать, что м атериал пластины изотропный, девиаторы н ап р я­ ж ений и скоростей деф орм ации подобны. П редполож им такж е, что этот м а­ териал несж имаемы й, ж есткопластический и испы ты вает развиты е пласти­ ческие деф орм ации, так что упругими деф орм ациям и можно пренебречь .

Этим предполож ениям соответствует следую щее определяю щ ее соотноше­ ние д л я инвариантов девиаторной части:

–  –  –

где п — известная величина .

По предполож ению пластина очень тонкая.

Поэтому н агрузка на п ра­ вой поверхности пластины, предопределенная сопротивлением среды, м ож ет быть отнесена к категории массовых сил:

–  –  –

Будем считать, что с момента о (см - Рис- 5), являю щ егося моментом н ача­ л а процесса, имеет место прилипание некоторой части поверхности ш арика к поверхности пластины. П рилипш ая часть пластины не деф орм ируется .

Ш арик рассм атривается как некоторая масса, добавленная к недеформирую щ ейся части пластины.

Вариационное уравнение (1) в рассм атриваем ом случае будет иметь следую щ ий вид:

–  –  –

где у, а — в к аж д ы й момент времени варьируем ы е парам етры, а вообще говоря, искомые ф ункции времени. Единственной ненулевой компонентой тензора скоростей деф орм ации будет

–  –  –

где с — варьируем ая величина, ф у н кц и я времени. И нтенсивность к асатель­ ных напряж ений вы р аж ается следую щ ей формулой:

Т' = 4. (22) Здесь так ж е следует учесть, что Т ' полож ительно .

Т аким образом, в произвольны й момент времени имеем три варьируем ы е п арам етра, у, а, с, определяю щ ие виртуальное состояние. П одставляя в (16) соотнош ения (17)— (22) и значение ускорения

–  –  –

У равнения (23), (24) представляю т собой систему двух диф ф еренциальны х уравнений первого п оряд ка относительно ф ункций у = у(Ь) и а = а(Ь). Решив В.П.Федотов, Л.Ф.Спевак. Вариационный метод разделения переменных эту систему, определим деф орм ированное состояние пластины в период ее деф орм ирования до момента м акроразры ва. У равнение (25) яв л я е тс я алге­ браическим. И з него по известны м V = г() и а = а() можно найти значение с = с(), а с учетом (21) — напряж енное состояние за весь период деф орм и­ рования до р азры ва пластины .

О братимся теперь к назначению н ачальны х условий г = ^(о) и ао = о а(о), необходимых д л я реш ения д и ф ф еренциальны х уравнений. В качестве начального момента назначим момент, когда ш арик полностью пересечет плоскость г = 0 (см. рис. 5,6). Будем считать, что в момент столкновения ш арика с пластиной весь импульс силы ш арика гпу8о передается системе ш ари к-п ласти н а. После этого ш арик д ви ж ется вместе с пластиной до мо­ м ента ее разруш ения. И з условия сохранения им пульса следует m v so = m v о + 2nhpvo / exp (—аог2) rdr. (26) Jo Д л я определения двух величин, vq и а о, необходимо еще одно уравнение .

Т аким уравнением м ож ет быть принято условие малого, но известного пе­ ремещ ения границы пластины к моменту to- Мы предполож или, что к этому моменту центр пластины перем естится от исходного состояния на величину 2R s (рис. 5,6). В этом случае точки пластины с координатой г = R пере­ м естятся в направлении оси 2 на величину 2 R S exp ( — аог2). П олож им, что это отклонение не долж но превы ш ать толщ ину пластины /i, т.е. с погреш­ ностью h вы полняется условие закрепления пластины. Из этого условия определится искомый парам етр ао = ln(2R s/ h ) / R 2. Тогда из уравнения (26) определится значение vq .

П араллельн о с решением системы уравнений (23)-(25) подсчиты валась повреж денность м атери ал а пластины в каж д ой ее точке.

П ри расчете н ап р я­ женного состояния вы яснилось, что его показатели в каж д ой точке пласти­ ны в любой момент ее деф орм ации постоянны и имеют следую щие значения:

кг = 0, — 1- П оскольку деф орм ац и я каж д ой точки протекает монотонно (без смены направления деф орм ации), то повреж денность определится из уравнения (27)

–  –  –

где F = 2irhRsa rz \r=Rs, и будет продолж ать движ ение .

Б ы л проведен расчет д л я следую щ их парам етров процесса уд ара стал ь­ ного ш арика по стальной пластине: р = 8000 к г /м 3, R = 0.1 м, R s = 0.01 м, h — 5 • 10-5 м, т = 2 • 108 Па, п = 0.2, к = — 8 0.5 к г /м 3с, v* = 1500 -7 2000 м /с .

При г 1500 м /с происходит разруш ение пластины в месте соприкос­ 5о новения с ш ариком. Н а рис. 6 по казан а зависимость значения момента р а з­ руш ения от скорости полета ш арика. Рис. 7 изображ ает глубину продавливания центра пластины в момент ее разруш ения в зависимости от скорости полета ш арика .

Проведенные расчеты п оказали хорошую применимость рассмотренного метода разделения переменных д л я реш ения динам ических зад ач механики с учетом накопления повреж денности и разруш ения .

Л итература

1. К о л м о г о р о в В. Л. Метод расчета напряженно-деформированного состояния в общей краевой задаче развитого течения / / Вести. ПГТУ. Механика: Сб. науч .

тр. Пермь. 1995. №2. С.87-98 .

2. K o l m o g o r o v V. L., F e d o t o v V. P., S p e v a k L. F. A mathematical model for the formation and development of defects in mtal / / Studies in Applied Mechanics, №45 (Advanced Methods in Materials Processing Defects): Proc. 3rd Intern. Conf .

on Materials Processing Defects, 1997, Cachan, France. Amsterdam: Elsevier, 1997 .

P.51-60 .

3. К о л м о г о р о в В. Л. Механика обработки металлов давлением. М.: Металлургия, 1986.




Похожие работы:

«ИЗВЕСТИЯ ТОМСКОГО ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮ ЦИИ И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА имени С. М. КИРОВА Том 292 _ 1974 ВЛ И Я Н И Е НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКОГО ПРОГРЕССА НА Р А Ц И О Н А Л Ь Н О Е И С П...»

«цнииомтп Госстроя СССР Руководство по определению кренов инженерных сооруж ений башенного типа геодезическими методами Москва 1981 черное кружево фото ЦЕНТРАЛЬНЫЙ НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ И ПРОЕКТНО-ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЙ ИНСТИТУТ ОРГАНИЗАЦИИ, МЕХАНИЗАЦИИ И ТЕХНИЧЕСКОЙ ПОМОЩИ СТРОИТЕЛЬСТВУ (ЦНИИОМТП) ГОССТРОЯ СССР РУКОВОДСТВ...»

«РОССИЙСКОЕ АКЦИОНЕРНОЕ ОБЩЕСТВО ЭНЕРГЕТИКИИ ЭЛЕКТРИФИКАЦИИ "ЕЭС РОССИИ" Департамент науки и техники ОБЪЕМ И ТЕХНИЧЕСКИЕ УСЛОВИЯ НА ВЫПОЛНЕНИЕ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ЗАЩИТ ТЕПЛОЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО ОБОРУДОВАНИЯ БЛ...»

«ВЕСТНИК Брянской ГСХА № 6 (52) 2015 года НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ ФЕДЕРАЛЬНОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО БЮДЖЕТНОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ "БРЯНСКИЙГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ" Учредитель ФГБОУ ВО "Брянский государственный аграрный университет" Главный редакто...»

«База нормативной документации: www.complexdoc.ru Министерство жилищно-коммунального хозяйства РСФСР Ленинградский научно-исследовательский институт ордена Трудового Красного Знамени Академия коммунального хозяйства им. К.Д. Памфилова ТЕХНОЛОГИЧЕСКАЯ КАРТА № 28...»

«Перечень услуг и работ по содержанию общего имущества в многоквартирном доме 1. Содержание, обслуживание и ремонт лифтового оборудования;2. Вывоз твердых бытовых отходов;3. Вывоз жидких бытовых отходов;4. Содержание, техническое обслуживание и ремонт мест общего пользования, благоустройство территорий;5. Санитарное содержание мест общ...»

«ЗАО“Чебоксарский электромеханический завод” Подстанция трансформаторная комплектная на напряжение 6-10/0,4 кВ киоскового тупикового типа КТПК-ЧМВВ-6(10)/0,4 мощностью до 250 кВА Техническое описание Чебоксары – 2012 г. 1 Назначение и усло...»




 
2019 www.mash.dobrota.biz - «Бесплатная электронная библиотека - онлайн публикации»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.