WWW.MASH.DOBROTA.BIZ
БЕСПЛАТНАЯ  ИНТЕРНЕТ  БИБЛИОТЕКА - онлайн публикации
 


«Л.М.Охри.менко ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ПОСТРОЕНИЯ ЧИСЛЕННЫХ СХЕМ КОНЕЧНО-РАЗНОСТНОГО ТИПА Димитровград-1982 /дл 621.L39.5I ихрименко А.И. даЬпЗШЫЬ' лШТиДА ...»

НИИАР-17532)

.'U'.i-J'./i'C.i" ;

Л.М.Охри.менко

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА

ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

ДЛЯ ПОСТРОЕНИЯ ЧИСЛЕННЫХ СХЕМ

КОНЕЧНО-РАЗНОСТНОГО ТИПА

Димитровград-1982

/дл 621.L39.5I

ихрименко А.И. даЬпЗШЫЬ' лШТиДА iDiTilTPAJibHblX УРАВНЕНА!

№ nOCTPOiiHii.4 iilCLoEHHciX С Ш K0tiE4HO-PA3h0CIH0rC 1Ш1А:

Препринт,- г:1"1\Р-17(532).-А1СЛПтровград, ISoii, 2С с .

Реферат Излагается метод сведения краевой задачи третьего рода для двумерного уравнения диффузии с кусочно-лостояннши коэффициентами в ооласти сложной геометрии к системе интегральных уравнении. Система ллкелных алгебракческих уравнений, аолучаемая дискретизацией интегральных операторов, имеет "разреженную" матрш^у коэффициентов и эффективно решается методом поблочного исключения Гаусса оез итерации остатка. Для получения системы линешых алгеораическ;ас уравнений исдользуется липовая аппроксимация гранщ ооластеи, а искогА^е функд^а! на кавдом прямоЛ1ше±шом отрезке полагаются nocTOflHHiibm. приведены результаты сравнительных расчетов, полученные по программе, реализущея предлагаемые ;летод. Указывается ка перспективность использования метода в сочетании с преобразованием Лапласа для решения нестационарных задач (рис.4, табл.3, список лит.- 9 назв.) .

Научно-исследовательский институт атомных реакторов им. В.И.Ленина (НИИАР). 1982 г .

I. ВВВДЕНИЕ Метод интегральных уравнений представляет собой недавно возникший вариант общего метода потенциала и основывается на применении интегрального уравнения,связыва1щего естественные граничные условия. Преимущество такого подхода заключается в том, что размерность исходной краевой задачи для уравнения в частных производных уменьшается на единицу, например, трехмерное уравнение сводится к двумерному интегральному. Хотя решение интегрального уравнения определяет искомые величины лишь на границе области, решение во внутренних точках, если это необходимо, можно получить при помощи квадратур. При решении задач таким методом использования каких-либо специальных функций или моделирования внутренней области не требуется. Метод, вообще говоря, применим для решения любых эллиптических задач, которые описываются квазилинейными дифференциальными уравнениями в частных производных .

Исходным моментом метода интегральных уравнений является применение формулы Грина к искомому решению основного дифференциального уравнения ж к некоторому его фундаментальному решению, описывающему поле точечного источника (т.е. к функции Гржва), в результате чего объемный интеграл преобразуется в поверхностный. Используемая функция Гржыа не обязательно должна удовлетворять соответствующим граничным условии задачи (в этом случав задача, по существу, была бы уже решена). Однако, если функция Грана удовлетворяет заданным краевым условиям на участке границы, то этот участок может бить ксклвчея прж последующих вычислениях. Ясно, что выбор подходящего фундаментального решения может оказаться существенным, особенно, если в дальнейшем потребуется применение численных методов .

Заключительный этап применения метода состоит в дискретизации полученных интегральных уравнений и их численного решения. Очевидно, что использование интегральных уравнений вследствие уменьшения размерности задачи на единицу может дать некоторые преимущества, однако интегральные уравнения непросто представить в виде, удобном для численного решения .





Поэтому во многих случаях этот метод казался менее эффективным, чем,например, метод конечных элементов или метод конечных разностей. Несмотря на хорошо известные трудности, связанные с аппроксимацией дифференциальных уравнений и граничных условий конечными разностями в многомерных сложных областях, эффективность применения конечно-разностных методов в основном определяется их простотой, обусловленной сильной разреженностью матрицы коэффициентов. Линейная система алгебраических уравнений, возникающая после дискретизации интегральных уравнений, имеет полностью заполненную матрицу коэффициентов, и ее преобразование оказывается трудоемким .

Поскольку значения коэффициентов, этой системы' хранятся в оперативной памяти ЭВМ, могли рассматриваться лишь относительно простые задачи .

Однако эффективность метода интегральных уравнений можно повысить, используя специальные приемы для составления интегральных уравнений. Одни из таких приемов применительно к решению двумерной условно-критической задачи переноса нейтронов в реакторе и к определению двумерных стационарных полей температур в многозонных твэлах описан в работах.[I.2!- В этжх работах соответствующе задачи переноса нейтронов ж тепла решались в двумерной обласЧя, состоящей из двусвязных подобластей, вложенных друг в друга, в которых физические свойства среды считаясь постоянными. Используя азвестные фундаментальные рещеяжя для каждой подобластв, составлялась система интегральных ураввеввй относительно вевввествнх функций ва границах подобластей. Граница каждой подобластв представлялась при помощж прямолжвейвнх оегмеитов, в пределах которых неизвестные функции квадратично интерполировались. Возникавмая прв атом система лижевжнх алгебраических ураввеввй вмела матрицу к т Ц я щ и ш ш в блочно-трехджагонального вида в аффектами ремалаоь оджжм вв вариантов метода "прогонки" [з]. Размерность блоков матрвцн овстемн оказывалась прв атом раввой числу увловых точек ва границах соответствущих подобластей. Вовввквовевве матрвцн блочнотрехдваговальвого вида является следствием аспольвованного приема: раебжеввя исходной области ва двусвяевме подобластв, вложенные друг в друга, ж последувцей записи интегральных уравнений для каждой подобласти .

К сожалели), предложенный алгоритм обладает рядом сужественннх с практической точки вреввя недостатков .

Во-первых, прв расчете достаточно сложных систем необходимо использовать больное число узловых точек на границах подобластей, что ве всегда возможно из-за ограниченности оперетивной памяти ЭВМ. Во-вторых, представление исходной области в вжде ооакжупжости двусвлзннх областей, вложенных друг в друга, сильно ограввчжвает класс ремае— мнх задач .

Предлагаемнй в наотоявей работе подход джя ремеввя сложных еедач позволяет ва основе метода интегральных уравнений формировать схемы, ве уступеважсе по простоте ж представляет оооой дадвеймеа раввожольвоеажного в раоотах [1,2]. РаоомотHi врвмере краевой еедачв третьего рода для двумерного ш едуПОСТАНОВКА ЗАдЛ;31 (Широкий класс Физических процессов переноса (тепла, нейтронов и т.д.) описывается стационарным уравнением дифоуэии;

,U&. () Кусочно-непрерывные функции d(*t), f ^ ) п f[\) предполагаются заданными и имеющими определенный физически смысл в каждой задаче .

Краевая задача третьего рода состоит з определении функция 4 4 * 0 » удовлетворяющей в области & уравнеияю (I) и граничному условию:

где Г - граница области & ;

Ь, W - заданные функции на границе Г Предполагается, что плоскую область & с : г можно разбить на несколько односвязных подобластей (п, ограниченных замкнутыми контурами Pi/i = 1, 2,..., N /, внутри которых функции d(4r), 6 ( ; t ) t j ( : t ) постоянны, т.е .

&=u6i, d ^ e d i, 6 ^ ) = 6 L, J(^)^fi при nt&i. Пусть &o-Rjv& и Г г Г - граница области &о, тогда непустое пересечение границ областей 6i и в обозначим fij.т.е .

Г » j e Г* ЯРj. Будем считать, что вектор единичной нормали iuj ( ^ с fij) направлен из области Bi B - & J .

В этих предположениях решение задачи ( I ), (2) сводится к определенно функций Ч«.

€ C*((n)ftC*(&i), удовлетворят»:

. уравненжя!

. условиям сопряжения на грантах раздела областей и^ ;

–  –  –

из соотношенжЁ (12), пожучим систему интегральных уравнени!, которым должны удовлетворять функции *?

и ^,,,,,

К этим уравнениям присоединяются требования, вытекающие из условии сопряжения (4):

к граничного условия (5):

где Мо - число подобластей &i, i= 1,2,..., N, таких, что Pi ПГ 0 ^= ф .

Из интегрального представления (II) следует, что значения функций 4i внутри областей &i/i = 1,2,..., N / связаны с функциями fij и 3ij на границах Г^ соотношениягли Соотношения (14)-(1?) можно рассматривать как интегральную формулировку исходной краевой задачи (3)-(5), а именно: требуется определить функции V^, 3ij, удовлетворяющие на границах областей &i уравнениям (14)-(16), а затем с помощью квадратур (17) найти значения искомых функций внутри областей 6» .

Чтобы утверждать эквивалентность краевой задачи (3)-(5) системе жнтегральных уравнений (14) с условиями (15) и(16), необходимо показать, что пункции / L = I,..., М/, определяемые формулами (I?), является решениями краевой задачи (3)-(J5). Доказательство этого утверждения проводится с помощью рассуждений, аналогичных изложенным в работах [1,2] .

Таким образом, исходная краевая задача (3)-(5) сводится к решению системы интегральных уравнений с условиями (15) и (16) относительно функций на границах ЧЧ;, 3 i j с последующим восстановлением решения во внутренних точках по формулам (17) .

Как отмечалось, интегральные уравнения непросто представить в виде, удобном для численного решения, так как после их дискретизации возникают системы алгебраических уравнений с полностью заполненной матрицей коэффициентов .

Система (14) в этом отношении обладает тем преимуществом, что позволяет получить матрицу ленточного типа, в силу чего ее обращение выполняется легче, чем обращение матриц, полученных в предыдущих исследованиях. Указанное преимущество обусловлено разбиением исходной области & на подобласти & L, что приводит к системе уравнений типа (14). В таком разбиении и состоит существо предполагаемого подхода для решения сложных задач методом интегральных уравнений. Предполагая в дальнейшем использование метода поблочного исключения Гаусса [4] (частным случаем которого является устойчивый прж счете метод матричной факторизации [б] ) для решения дискретизированных интегральных уравнений, необходимо цреобразовать систему (14)-(16) к виду, удобному для численного решения .

4. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СИСТЕМЫ ИНТЕГРАЛЬНЫХ. УРАВНЕНИИ

Принцип формирования системы интегральных уравнений, удобной для численного решения, состоит в записи двух уравнений для определения неизвестных Чц и 3ij на каждой гранте раздела подобластей &i и &j. Условия сопряжения (15) позволяют умяныжть число неизвестных в задаче. Если в качестве неизвестных брать функции с таким двойным индексом, каков индекс нормали ( означает, что нормаль направлена из 6ч в &j ), и исходя из этого принципа, нумеровать Г и, то при «-, j ^ 0 на границе Г ^ могут быть составлены два уравнения, которые удобно записать в операторном виде (рис.1):

Здесь X - единичный оператор;

(19) (20) Рис.1. Нумерация границ раздела подобластей и неизвестных (стрелкамж показаны направлевжя нормалей) В записи двух уравнений (18) существенно то, что перв ш пишется уравнение для той подобласти, в которую направлена нормаль ruj. Такая запись обусловлена необходимостью (в дальнейшей) разрешения системы (18) относительно Фу и 3ij. Рассуждения по обоснованию разрешимости уравнений (18) относительно Vij, 3»j приведены в работах [1,2]. Знаки перед операторами и R в (18) и (20) определяется из принципа положительности обхода области &i по контуру Pi. Если область &* граничит с & 0 = R * \ (рис.2), то на границе t\« могут быть составлены также два уравнения, одно из которых представляет собой уравнение типа (16), а второе является •интегральным:

грашгчит с обласаью Составляя таким образом пары уравнений типа (IS) и (21) для каждой границы раздела подобластей 6ч и &j .

получим систему интегральных уравнений, удобную для численного решения .

Следующий этап применения метода состоит в дискретизации интегральных уравнений и их численного решения .

1С5. ДИСКРЕТИЗАЦИЯ ИНТЕГРАЛЬШХ УРАВНЕНИИ И ИХ ЧИСЛЕННОЕ Р Н П Ш Е

Для решенкя интегральных уравнений широко р ся летод Вылова-Боголюбова [б], который состоит в замене интегрального уравнения системой линейных'алгебраических уравнений.

Применение метода к уравнениям тиса (14) включает в себя следующие основные этапы:

. выбор вспомогательной границы Г\, аппрокспг.лрущей границу подобласти 6i ;

. выбор аппроксимации искомых функций;

. вычисление коэффициентов линейной системы;

. решение линейное системы .

В рассматриваемом случае будет использоваться наиболее простой вариант метода, когда границы подобластей Gi аппроксимируются прямолинейными отрезками, а искомые хуккции в пределах каждого из них считаются постоянными..птл получения линейной системы алгебраических уравнении в качестве контрольных точек выбираются центры прямолинейных отрезков .

Проводя такую процедуру во зсех операторах уравнений (14) и используя указанный принцип формирования, получим линейную систему алгебраических уравнении вида (IS), (21), где, например, под операторами tVi.cn и R^i* .

необходимо понимать матрицы размерности, равной числу узловых точек на границах раздела ГЧ*. Матричные элементы представляются интегралами от известных функций, часть из которых может быть вычислена аналитически .

Оформляя неизвестные задачи в виде вектор-столбцов ZLK - ( |j*), где $ U, О т - векторы размерности, равной'числу узловых точек на границе Г\к, и применяя соответствующую нумерацию неизвестных, можно аолучиаь матрицу блочно-ленточного типа:

i Аи 2к« Wi, L«f,...,S, (22) 1Ж1 где S - число границ ГЧ* .

Структура каждого уравнения системы (22) определяется соотношениями (18) и (21), из которых видна разреженность матрицы системы (22). При построении системы уравнений (22) в качестве единицы длины выбирается наибольший из размеров всех подобластей, а в качестве масштаба диффузионных потоков 3iK - среднее значение di/i =1,2,...,N/ При этом получается устойчивая при счете система уравнений, которая решается методом поблочного исключения Гаусса без итерации остатка .

Для подобластей G-1, имеющих общую границу с тремя и четырьмя соседними подобластями, предлагаемый алгоритм реализован в виде вычислительной программы на Э Ш .

Программа составлена на L -языке 7] подмножестве А Ш Ш - 6 0 для ЭВМ типа БЗШ-6 .

чтобы СЛОЖНЕЙ вычислительный метод оказался полезным, необходимо с достаточной тщательностью выполнять не только численный анализ, но и программирование. Например, метод конечных элементов был бы крайне неэффективен, если бы при этом не были разработаны специальные программы для решения симметрических ленточных систем уравнений. Описываемая программа построена таким образом, что при решении задач, возникающих на практике, удовлетворялись следующие требования:

. программа проста в обращении;

. быстродействие и точность её выполнения удовлетворительны;

. программа легко видоизменяется для работы на $ Ш, отличной от Э Ш БЭСМ-6, для которой она была первоначально написана .

В программе имеются весьма незначительные ограничения на порядок представления давних. Узловые точки ж гракипы раздела подобластей можно нумеровать в произвольном порядке. Предусмотрены значительные возможности для самостоятельного формирования данных, внешние нормали на гоаницах вычисляются автоматически самой программой. Порядок нумерации неизвестных также определяется автоматически .

Может рассматриваться до 150 подобластей, 600 прямолинейных отрезков, 1500 геометрических узлов. Данные, относящиеся к ломаным границам раздела подобластей (например, значения заданных ка границах функций), хранятся в последовательных файлах внешней памяти. Уравнения (коэффициенты матрицы и свободные члены) формируются поблочно, блок помещается в файл, допускащий прямую выборку. 5 процессе формирования каждого блока последовательные файлы (с данными, относящимися к границам раздела) считается один раз от начала до конца .

6. ИЛЛЮСТРАТИВНЫЕ ПРИМЕРЫ

Чтобы дать представление о типичных результатах, которые можно получить, применяя предлагаемый метод, в этом разделе рассматриваются два иллюстративных примера .

Первый пример - стационарный перенос тепла в неоднородной призме квадратного сечения. Основания призмы изолированы, а на боковой поверхности задаются условия конвективного теплообмена. Сечение призмы разбивается на 16 подобластей, как показано на рис.3 .

Описание процесса сводится к решению краевой задачи (3)-(5), где искомые функции 4i и коэффициенты cL, Ji, bi имеют физический смысл температуры, коэффициента теплопроводности, удельного тепловыделения и коэффициента вненней теплоотдачи соответственно. При этом » ; 2 W i полагаются равная нулю .

Физические характеристики подобластей (зов) приведены в табл.1 .

С.463 (0,463; 0,413) 0.363 (0,463; СД815) (0,363; 0,1815) <

–  –  –

Видно, что увелнченже порядка аппроксжмаца функций* на прлюлжнейннх сегментах не приводит к существенному повыоенжв точности расчета .

Во втором примере рассматривается нестационарный процесс переноса тепла в однородной пржзме квадратного сечеижя. Основанжя пржэмы изолированы, во внутренних точках температура в начальный момент равна нулю, а на боковой поверхности призмы поддерживается единичная температура .

Сечение призмы разбивается*на 121 подобласть (рис.4) .

Нестационарный процесс переноса тепла также сводится к решению краевой задачи (3)-(5).

В этом легко убедиться, если применить преобразование Лапласа к нестационарному уравнению теплопроводности без внутренних источников тепла:

–  –  –

где А,Ь, aj,bj H J m - постоянные, которые определяются следущнм образом. Преобразуя по Лапласу уравнение (25) и умножая на параметр преобразования S, можно получить • S.,»(S)*A+4+--T*TL Выбираются число m ж последовательность значений параметра S : S - S *. ns *» 2 М. где М =п»+ 2. Входящие в формулу (25) m постоянных fy принимаются равншж первым m «ваченжш Sn.Затем вычисляется траноформанта функцо }»(5) Д*я хаждого из М значений S n. Прж подояновке этжх велжчжн для каждого значения в формулу (26) получайся М уравненжй:

(\ш\,С,...,П. \С{) Они образует сжсмму лжявжих ыгебражческих уравнений отяосжтельво М ввжзвмянх А,6 ж aj. которая может бить р е м » хюорадотвш жиюй^ибо жз разнообразных стандартных процедур»

При альтернативном способе вычисления постоянных в уравнении (25) можно по отдельности опредвлжть значения А ж в, как опжсано ниже. Умножая соотношение (26) на& и переходя к пределу щ ш S ^ O, получаем { m sV(S)-Bi Ш) Следовательно, В можно определить по значенжю $*(Ь), вычисленному при малых S. Воли f (0)= 0 (как это часто наблюдается), то из (25) следует, что a i* (29) Подстановка в формулу (27) величин (28), (29) я m дополнительно выбранных значений S n приводит к m совместным уравнениям относительно лп неизвестных Q.J .

Опыт показывает, что наилучшие результаты при обратном преобразовании по методу работы ВД можно получить, выбирая М таких значений S n, которые образует геометрическую прогрессию. Границу интервала требуемых значений можно определить, вычисляя функцию J*(S) при произвольных S, изменяющихся в широком диапазоне, и строя график Sj*(S) в зависимости от fn S. Из такого графика видно, что |*(S) обычно выходит ва постоянный уровень при очень малых или очень больших значениях S. Значения Sn в уравнениях (27) могут выбираться в пределах некоторого характерного участка ва оси &, т.е. в области заметного изменения функции $* (S), обваружоаемо! с помощью того же грвфка. Остается лишь подобрать знаменатель геометрической прогрессии, что, в свою очередь, определит числе членов ряжа. Как ж в других методах обращения, число членов должно оставаться небольшим, чтобы уменьшить неустойчивость при счете .

В данном случае, поскольку внутрж тела температура в начальны! момент равна иуж, ждя вычислю* раяевня во внутренних точках шошшт щ/^шятятшол omrooot « w w H H m по отдельности определить постояшн* А и Ь в выражении (25) .

–  –  –

-0,007 *0

-0,002

-3,0 0.010 0,007 0,005 0,003

-2,6. 0,144 0,143 0,075 0.074

-2,2 0,446 0,257 0,454 0,261

-1,8 0,728 0,724 0,479 0,774

-1,4 0,681 0,877 0,672 0,668

-1.0 0,955 0,954 0,854 0,853

-0,6 0,993 0,992

-0,2 0,978 0,977 1,000 0,999 0,2 1,000 1,000

–  –  –

Применение описанной методики представления данных при юс численном анализе и организации вычислительной программы приводит к значительному повышению эффективности метода интегральных уравнений. Представление геометрической конфигурации при помощи линейных функций позволяет достаточно точно смоделировать действительную границу области. Пока нельзя сделать адекватного вывода об относительной эффективности аппроксимаций различного порядка .

По-видимому» чтобы получить достаточно достоверные результаты, следует применять квадратичную или кубическую аппроксимацию. Однако во всех случаях полезно провестк предварительное решение, используя линейную аппроксимацию, чтобы проверить правильность выбранного разбиения.

Как показывает первый пример, по-ввдииону, порядок полиномиально:!

аппроксимации искомых функций на границах должен быть на единицу меньше, чем порядок аппроксимации границ .

Из второго примера видно, что метод интегральных уравнений в сочетании с преобразованием Лапласа оказывается эффективным при решении разнообразных типов задач, в которых рассматриваются нестационарные процесса. ыла достигнута хорошая точность, несмотря на относительно груоые аппроксимации, применявшиеся при счете .

Разбиение исходной области на подобласти оказывается существенным для повышения эффективности вычислений и незначительно влияет на их точность. Поблочное решение уравнении является эффективным и не уступает в этом отношении численным схемам решения конечно-разностных уравнений .

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Охрименко А.И., Шихов С Б. Метод интегральных уравнений для расчета реакторов сложной геометрии в многогрупповом Р« -приближения: Препринт.-НИИАР-34(442).л^литровград, 19вО .

2. Охрименко А.И., Поляков С.Н. Температурное поле в поперечной сечении многозонного твэла сложного профиля:

Препринт НИИАРа.-11-28(322).-Димитровград, 1977 .

3. iihrlich A, and Hurwits H. Kultigroup Methods for Neutron Diffusion Problem,- Nucleonics, 1954, v.12, Ко. 2, p.23 .

4. Гавурин M.K. Лекции по методам вычислений.- М.:Наука, 1971 .

5. :.1арчук Г.К. гЛетоды расчета ядерных реакторов - М.:

Госатилиздат, 1961 .

6. ланторович Ji.B., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа.- М.: Физматгиз, 1962 .

7. Ершов А.П. Альфа-система: Руководство для составления программ.- Новосибирск: СО АН СССР, 1966 .

8. Schapery R.A* Approximate methods of transform invert aion for viscoelastic stress analysis in "Proceedings of the 4 th U.S. National Congress on Applied Mechanics';

1962, v.2, p.1075-1085. .

9. Карслоу Г. Егер Д. Теплопроводность твердых тел.-М.:

Физматгиз, 1964 .

Рукопись пссчупила в y II.Go.cil, обраоотака Зи.ОЗ.о^ .

Окончательно подготовлена авторов O2.Cfi.iiJ .

Александр Иванович Охрименко

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИл ДЛЯ ШСТРОЗНКЯ

ЧИСЛЕННЫХ СХЕМ КОНЕЧНО-РАЗНОСТНОГО ТИПА

Научный редактор Ю.П.Кормушкин Редактор Ю.В.Волкова Корректор С.К.Юдачева Подписано к печати 28.04.82. T-I0II7.Формат 60x90 1/16 .

Офсетная печать. Печ.л. 1,5. Уч.-изд.л. 1,2. Тираж 170 экз .

Индекс 3624. Заказ 873. Цена 18 коп .

Отпечатано на ротапринте НИИАРа, и ш ь 191 г .

433510, Диштровград-Ю, НИИАР А.И.Охрименко НИИАР-17(532) УДК 621.039.51 Пр1|умен8нив метода интегральннг уравнений пдядостровния численных схем конечно—разностного тип**

• Излагается метод решения краевой задачи третьего рода для двумерного уравнения диффузии в области сложной геометрии. Метод основан на возможности разбиения исходной области на совокупность односвязных подобластей с последующей запись» интегральных уравнений для каждой из них .

После дискретизации интегральных операторов получается система линейных алгебраических уравнений с "разреженной" матрицей коэффициентов,которая решается методом поблочного исключения Гаусса без итерации остатка. Приведены результаты сравнительных расчетов, полученные с помощью вычислительной программы,реализующей предлагаемый метод .

Препринт Научно-исследовательского института атомных реакторов им. В.И.Ленина, Димитровград, 1982 A.I.Okhrimenko RIAR-17C532) UDC 621.039.51 Атго11сд1:1оп of the Inteeral Xauation Method to Construction Described la the method fo» solving the boundary value problem of the third kind for the two-dimensional diffusion equation in the intricate geometry regions. She aethod is based on divisibility of the initial region into the totality of simple-connected subregions followed by writing Integral equations for eaoh of them. After discretisation of the integral operators their have a system of linear algebraic equations with the "spaced" coefficient matrix which is solved by using the Gauss method of blocked elimination without any iteration of the residual* Presented are the results from calculations obtained with the help of the code realising the above method .

Preprint. Besearoh Institute of Atomic Reactors named after V.I. Lenin» Diaitrovgrad, 1982 18 коп. Индекс

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

ДЛЯ ПОСТРОЕНИЯ ЧИСЛЕННЫХ СХЕМ

КОНЕЧНО-РАЗНОСТНОГО ТИПА






Похожие работы:

«СОВРЕМЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ПОПУЛЯЦИЙ ОРХИДНЫХ В ПРЕДЕЛАХ ВЫШНЕВОЛОЦКО-НОВОТОРЖСКОГО ВАЛА ТВЕРСКОЙ ОБЛАСТИ Е.С. Пушай, С.М. Дементьева Тверской государственный университет, Тверь, 170100, ул. Желябова, д. 33, e-mail:pushai@rambler.ru На территории Тверской области отмечено...»

«Лукашевич А. А. Принципы изложения материала в путевых (казанских) Согласниках XVII в. Путевой распев, сформировавшийся в 70-е гг. XVI в. как целостная система мелодических формул со своей нотацией1, является производным от столпового распева2. Путевые попевки образуются из столповых путем увеличения длительностей в 2 раза...»

«АКАДЕМИЯ НАУК СССР КОМИ Ф И Л И А Л ИНСТИТУТ ГЕОЛОГИИ Н. П. Юшкин И. И. Шафрановский К. П. Янулов ЗАКОНЫ СИММЕТРИИ В МИНЕРАЛОГИИ Ответственные редакторы Н. Н. ШЕФТАЛЬ, А. М. АСХАБОВ ЛЕНИНГРАД Из...»

«Источник: Сонеты. Перевод С. Я. Маршака // Шекспир В. Полное собрание сочинений: В 8 т. / Под ред. А. А. Смирнова. М.-Л.: Гослитиздат, 1949, Т. 8. С. 517-596. + комментарий и примечания. С. 649-653. СОНЕТЫ ПЕРЕВОД С. Я. МАРШАКА Мы урожая ждем от лучши...»

«Алгебра сигнатур 999 Семь дней после смерти Что происходит с Душой человека в течение семи дней после того, как он освобождается из этого мира (т.е. умирает)? спрашивает Бен Иш Хай. После того, как человек освобождаетс...»

«ГОСУДАРСТВЕННАЯ КОМИССИЯ ПО РАДИОЧАСТОТАМ ПРИ МИНИСТЕРСТВЕ СВЯЗИ И МАССОВЫХ КОММУНИКАЦИЙ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РЕШЕНИЕ от 19 февраля 2010 г. N 10-06-01-1 О ХОДЕ РЕАЛИЗАЦИИ МЕРОПРИЯТИЙ ПО ПРОВЕДЕНИ...»

«design by Alessandro La Spada Point of view Il sistema Land, trae ispirazione dalla trasfigurazione di immagini aeree della terra, visioni prospettiche che ritraggono terreni coltivati dall’uomo e rivelano da questo particolare punto di vista, affascinanti cromatismi e composizioni geometriche spontanee. Da qui il pretesto per...»

«0502337 1Ш т ПРОИЗВОДСТВО СОВРЕМЕННОГО ХЛЕБОПЕКАРНОГО И КОНДИТЕРСКОГО ОБОРУДОВАНИЯ Настоящее Российское качество! СИСТЕМА УПРАВЛЕНИЯ КАЧЕСТВОМ ОДОБРЕНА LLOYDS REGISTER QUALITY ASSURANCE [JO СТАНДАРТАМ BS EN ISO 9001 : 2000, СЕРТИФИКАТ ft RU 010004 НОВИНКА "Муссон-ро...»







 
2019 www.mash.dobrota.biz - «Бесплатная электронная библиотека - онлайн публикации»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.