WWW.MASH.DOBROTA.BIZ
БЕСПЛАТНАЯ  ИНТЕРНЕТ  БИБЛИОТЕКА - онлайн публикации
 

«Исмаилов Исмаил Габулла оглы Условная оптимизация при наличии связей в виде операторных уравнений. ...»

1

Московский Государственный Университет

имени М.В.Ломоносова

Факультет вычислительной математики и кибернетики

На правах рукописи

Исмаилов Исмаил Габулла оглы

Условная оптимизация

при наличии связей

в виде операторных уравнений .

Специальность 01.01.09 – Дискретная математика и

математическая кибернетика

Автореферат диссертации

на соискания ученонй степени

кандидата физико-математических наук

Москва 2014

Работа выполнена на кафедре Исследования операций факультета

Вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета им. М.В.Ломоносова .

Научный руководитель: кандидать физико-математических наук, доцент Владимир Викторович Морозов

Официальные оппоненты:

д.ф.-м.н -----к.ф.-м.н ------

-------------------

Ведущая организация:

----------

Защита состоится «____» ________ 201_ года в ____ часов ____мин. на заседании Диссертационного совета ---№----- при фаультете ВМиК МГУ им .

М.В.Ломоносова по адресу 119991, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, д. 1, стр. 52, ауд. ____

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета ВМиК МГУ им. М.В.Ломоносова по адресу 119991, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, д. 1, стр. 52 .

Автореферат разослан «____» ________ 201_ г .

Ученый секретарь диссертационного совета -----------

Общая характеристика работы

.

Постановка задач. В работе рассматриваются вопросы разрешимости и методы решения некоторых классов задач условной оптимизации .

Отличительной чертой у рассматриваемых задач является наличие ограничения в виде операторного уравнения и включения .

Пусть B – банахово пространство, V – рефлексивное банахово пространство, V'–пространство, сопряженное с V, KB – некоторое множество .

Формулировка основной группы задач, рассматриваемых в настоящей работе, следующая:

J(k,u)min, kK, З1 .

A(k)u=f(k), (1) где A(k):VV', f(k)V' при kK. Предполагается, что уравнение (1) имеет единственное решение u(k)V для любого kK .

Задача оптимального выбора распределения жесткости Пример 1В .

мембраны заключается в минимизации целевого функционала J(u) на множестве решений семейства граничных задач div(k(x)u(x))=f, x, u|=0, из соболева пространства, где параметр семейства – коэффициент k(x), принадлежит множеству

–  –  –

задания граничной задачи:

-div(u(x))=2, u|=0 .

Здесь ПRm – некоторая область .

Пример 3В. Пусть в задаче З1: B=B1V', K=K1K2, K1B1, K2V', A(k)u=A(k1)u, f(k)=k2. Тогда ограничение (операторное уравнение) приобретает вид A(k1)u=k2 и мы имеем задачу условной оптимизации с ограничением в виде операторного включения A(k1)uK2. В частности, если K1=B1, V'= R2, а K2R2 обозначает первую четверть (правую половину абсциссы) то задача З1 переходит в задачу математического программирования с двумя ограничениями в виде неравенств (одного неравенства и одного равенства) .

Случай K2=V' соответствует отсутствию ограничения A(k1)u=k2 .

Пример 4В. Пусть в примере 3В A(k1)u=Au, J(k,u)=J(u), K2=AU, где A:VV' – линейное взаимно однозначное отображение, например, оператор вложения, UV некоторое множество. В таком случае мы имеем общую задачу условной оптимизации J(u)min, uUV .





Пример 5В. Задача оптимизации анизотропных свойств упругих тел (см .

[4 - с.159]) заключается в минимизиации функционала J(u) на решениях из соболева пространства () семейства уравнений div(A(x)u(x))=f, x, (2) где параметр семейства, матрица А(х), принадлежит множеству:

М={A(x):RmRm, ||2(A(x),)||2 для Rm, при п.в. х} Здесь Rm – некоторая область, Элементы матрицы А(х) – ограниченноизмеримые функции aij(x)L(), i,j=1,2,…m, 0 .

Актуальность темы исследования. Спектр практических проблем, которые приводят к задачам условной оптимизации при наличии связей в виде граничных или начально-краевых задач для уравнений с частными производными, очень широкий. Систематическое изучение таких задач начинается с 60-х годов. Ранее, исследования в этой области концентрировались вокруг небольшого числа одномерных задач. Развитием методов вариационного исчисления, теории оптимальных процессов, нелинейного программирования и др., в последующий период стало возможно проведение общих исследований в этом направлении. Основные результаты того периода систематизированы в монографиях А.Г. Бутковского [3] (1965г.) и Ж-Л. Лионса [1] (на французском в 1969г., перевод на русский язык в 1972г.) .

В книгах Ж-Л. Лионса [1] и К.А. Лурье [2] обращается внимание на специфику задач оптимизации старших коэффициентов эллиптических уравнений 2-го порядка на аспектах разрешимости [1] и вывода необходимых условий оптимальности [2]. В работах [5-7], в работе автора [2] приведены примеры задач оптимизации старших коэффициентов, в которых отсутствует оптимальный коэффициент. В целом, общие теоремы разрешимости задач оптимизации старших коэффициентов удалось доказать после разработки теории сходимости обратных операторов – G-сходимости [8-11]. Но, эта теория показала, что множество скалярных старших коэффициентов не замкнуто в Gтопологии, и соответствующее расширение экстремальной задачи (т.е. Gзамыкания класса скалярных коэффициентов) [12] приводит к задачам оптимизации в классе матриц. (В примере 1В это означает, что свойства мембраны из изотропного материала могут быть сколь угодно близки к свойствам мембраны из анизотропного материала.) Это обстоятельство углубляет важность разработки методов для поиска оптимальных матриц .

Упомянутые в [2] проблемы на пути получения необходимых условий оптимальности решены в работах автора [1-4],[7]. В работах автора [1-3],[7] получены условия оптимальности, установлено разрешимость некоторых классов задач .

Вопросы существования оптимальной области задания граничных задач рассматривались в работах [7],[13-16], и др. Подходы к решению таких задач предложены в работах [2],[4],[17-21] и др .

Цели исследования.

Целью диссертации является исследование двух основных вопросов, связанных с задачами условной оптимизации со связями в виде операторных уравнений:

существование оптимального решения методы поиска решения:

а) вывод необходимых условий оптимальности;

б) построение численных методов минимизации .

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми. В ней впервые доказываются (разными методами) условия оптимальности для общей задачи условной оптимизации со связью в виде операторных уравнений, в частности, для задач оптимального управления эллиптическими системами. Из доказанных необходимых условий выводятся принцип максимума Понтрягина и правило множителей Лагранжа для этих задач. Для одного класса невыпуклых задач доказывается необходимое и достаточное условие оптимальности, т.е. на них обобщается теорема КунТаккера. Доказаны ряд теорем разрешимости оптимизационных задач .

Построена теория оптимального выбора области задания граничных задач, Теоретическая и практическая значимость. В диссертации построена единая теория задач условной оптимизации при наличии связей в виде операторных уравнений, приведены общие методы решения таких задач .

Вопросы разрешимости, непрерывной зависимости решения от данных задачи и методы решения изложены с единой позиции. Обращено внимание на некоторые возможные обобщения теорем, не останавливаясь на подробностях .

Некоторые ранее известные утверждения теории оптимизации получены, как следствия утверждений этой теории .

Практическая ценность работы заключается в том, что исследования некоторых типов задач доведены до этапа использования пакетов прикладных программ для получения их решений в явном виде. Это относится к задачам оптимизации области задания граничных задач, оптимизации коэффициента нелинейного уравнения четвертого порядка. В некоторых случаях выписываются явные формулы для решений задач .

Методология и методы исследования. Теоремы о существовании экстремума – оптимального коэффициента или правой части – в работе доказываются путем установления компактности множества решений уравнения состояния двумя способами: 1) через их непрерывную зависимость от управляющего параметра; 2) через разрешимость обратных задач .

Для исследования задач о выборе оптимальной области задания эллиптических систем, вводится понятие решения уравнения с неограниченными коэффициентами, с помощью которого задача оптимизации области задания эллиптических уравнений приводится к задаче оптимального выбора их младших коэффициентов. Вводится понятие невырожденной задачи, устанавливается критерия разрешимости. Для доказательства разрешимости одного класса задач с нелинейным уравнением состояния непосредственно строится минимизирующая последовательность, доказывается ее сходимость .

Для поиска решения оптимизационных задач доказываются необходимые условия оптимальности, характеризующие их решения. Для одних типов задач формула решения получаются из условий оптимальности, для решения других предлагаются численные методы .

Положения, выносимые на защиту .

1. Для общей задачи оптимизации доказываются необходимые условия оптимальности, которые в ряде случаев позволяют выписать непосредственно формулу решения задачи. Предложенная формулировка условий оптимальности «гибкая» и позволяет привлечь методов смежных математических дициплин для доведения процесс решения до числового результата. Например, указывется путь, как с привлечением методов теории матриц можно найти оптимальную матрицу в явном виде .

2. Построена теория выбора оптимальной области задания граничных задач, которая позволяет найти оптимальную область задания эллиптической системы с дифференциальным оператором любого порядка. В общем случае, для достижения этой цели необходимо решить систему оптимальности, которую составляют уравнение состояния и сопряженное уравнение .

Оптимальной будет подобласть, в которой произведение решений этих уравнений отрицательна. А решение упомянутой системы вопрос не теоретический, а вычислительный .

3. Вопрос существования оптимального коэффициента решается путем изучения свойств семейства решений уравнения состояния, соответствующего данному семейству коэффициентов, непосредственным построением минимизирующей последовательности и путем доказательства эквивалентных условий существования .

Результаты, вошедшие в диссертацию, Апробация результатов .

докладывались и обсуждались на научной конференции XXI Гагаринские чтения, Москва, 1995, на международной конференции, посвященной памяти академика А.Н. Тихонова, IIPP-96, МГУ, на международной конференции "Интеллектуальные системы", Санкт-Петербург, 1996 .

Основные результаты диссертации обсуждались на факультете ВМиК МГУ имени М.В.Ломоносова на семинаре под руководством профессора Ф.П. Васильева .

Публикации Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [1-7] .

Структура диссертации Диссертация состоит из введения, четырех глав, включающих в себя в совокупности 16 параграфов, заключения и списка литературы. Объем работы 102 страницы. Список литературы состоит из 67 наименований Краткое содержание диссертации В первой главе рассматриваются задачи условной оптимизации при наличии связей в виде операторных уравнений в абстрактных банаховых пространствах .

Пусть B – банахово пространство, V – рефлексивное банахово пространство, V' – пространство, сопряженное с V. Пусть KB некоторое множество .

Определение. Положим p,kK .

– разность k-p называется допустимым направлением для pK, если существует положительное число 0 такое, что для любого (0,0) p+(k-p) принадлежит множеству K .

– множество KB называется конусом в пространстве B, если K={kB| kKkK 0} .

– Пусть G – банахово пространство, G' – его сопряженное. Конус Z'G' называется сопряженным к конусу ZG, если для любых Z', zZ,z0 Для оптимальной пары в задаче З1 справедливо следующее условие оптимальности:

Лемма 1. Пусть A(k) – оператор, удовлетворяющий неравенству ||u-v||2 A(k)u-A(k)v,u-v, (3) при всех kK, функционал Понтрягина Н(k,u,w)= A(k)u-f(k),wV-J(k,u), дифференцируем на множестве пар (k,u)KU(K), где U(k)={vV| ||v||-1||f(k)-A(k)0||}, A(k)u – отображение, дифференцируемое по u, oператор А(k) и функционал

f(k) – липщицевые с коэффициентами L1 и L2 соответственно:

||A(k)u-A(p)u||L1||k-p||B||u||V, ||f(k)-f(p)||L2||k-p|| .

Тогда оптимальная пара (p,v) в задаче З1 удовлетворяет следующему неравенству

–  –  –

б),zG0 .

Условия 1) – это условие стационарности функционала Лагранжа .

Равенство 2а) выражает условия дополняющей нежесткости. Неравенство 2б) показывает, что принадлежит конусу, сопряженному Z. Если G – сеперабельное гилбертово пространство и Z – множество векторов с неотрицательными компонентами, тогда Z – самосопряженный конус. В этом случае из условия 2б) следует включение Z, т.е. условие 2б) выражает неотрицательность компонентов вектора (неотрицательность множителей Лагранжа соответствующих ограничениям в виде неравенств). В этих предположениях условия 1) и 2) совпадают с условиями принципа Лагранжа, приведенными, например в [22,с.148],[23,c.47]

Из формулы (9) следует равенство:

H'z(p,d,v,w,)=. (11) Учитывая (11) в условиях 2а), 2б) легко заметить, что эти условия вместе выражают условия оптимальности типа (7), сформулированные для задачи минимизации функционала Лагранжа (9) на конусе zZ (см. [22,с.140]). А условия 1) означает запись вариационного неравенства типа (7) для задачи минимизации функционала (9) на выпуклом множестве kK.

Для сопоставления приведем еще одну теорему:

Теорема 2. Пусть К – выпуклое множество банахово пространства В, и выполнены условия леммы 2 .

Кроме того, известно, что функционал

H(k,d,v,w,)–вогнут по k. Тогда выполнено следующее условие оптимальности:

H(p,d,v,w,)= max H(k,z,v,w,). (12) kK, zZ

–  –  –

с оператором А(k), удовлетворяющим неравенству (3) для любого kK .

Отображение u(k):KV назовем сильно-слабо Определение .

непрерывным, если сильная сходимость последовательности {kn} в банаховом пространстве B к элементу k0B влечет за собой слабую сходимость последовательности u(kn) в банаховом пространстве V к элементу u(k0) Теорема 3. Пусть, К – выпуклое множество, u(k) сильно-слабо непрерывное отображение из К в V, а функционал H(k,u)=A(k)u,u-2f(k),u-G(k) вогнут по k. Тогда для того, чтобы пара (k0,u0) была оптимальной для минимизационной задачи ((13)-(14)), необходимо и достаточно, чтобы эта пара образовала седловую точку функционала Н(k,u):

kK, uV .

Н(k,u0)Н(k0,u0)Н(k0,u) З3. Пусть V – вещественное рефлексивное банахово пространство, V'– пространство сопряженное V. Рассмотрим задачу минимизации функционала J(A,u) (15) на некотором множестве М операторов A:VV', где u является решением уравнения состояния Au=f (16) для некоторого фиксированного fV' .

Предполагается, что для любого оператора АМ существует единственное решение uV операторного уравнения (16), т.е. уравнение (16) определяет отображение u(A):MV .

Теорема 4. Пусть М – выпуклое подмножество множества линейных коэрцитивных операторов, удовлетворяющих неравенству (3), G(A)–выпуклый функционал: G:MR1, J(u)–функционал, дифференцируемый в шаре Z={uV| ||u||-1||f||} .

Тогда, если оператор BМ реализует минимум функционала J1(A,u)=J(u)+G(А), то выполнено следующее условие оптимальности

–  –  –

Предположим, что D-B–допустимое направление для оператора ВМ .

Рассмотрим уравнение (В+(D-B))u=f (18) для достаточно малых. Для каждого фиксированного оператора D это уравнение определяет некоторую функцию u() .

Лемма 3. Пусть B и D – линейные ограниченные операторы, удовлетворяющие неравенству (3) .

Тогда функция u(), определяемая уравнением (15), имеет производные любого порядка.

Притом справедливы следующие формулы:

u(m)()=m[(В+(D-B))-1(B-D)]u(m-1)() .

u(m)()=m![(В+(D-B))-1(B-D)]mu() .

С помощью этих формул можно доказать условия оптимальности первого и второго порядков. Получаемое из этих формул условие оптимальности первого порядка аналогично теореме 4. Приведем условие оптимальности второго порядка .

Теорема 5. Пусть М – выпуклое подмножество множества линейных коэрцитивных операторов, удовлетворяющих неравенству (3), J(u)– функционал, дважды непрерывно дифференцируемый в шаре Z={uV, ||u||-1||f||}, J(u)C2(Z) .

Тогда, если оператор BМ реализует минимум функционала J(u) на множестве М, v=B-1f и J'(u(B))=0, то для допустимого направления DM выполнено следующее условие оптимальности:

J''(v)(v-B-1Dv,v-B-1Dv0 .

доказываются теоремы о разрешимости Во второй главе минимизационных задач .

З4. Пусть ПRn – некоторая ограниченная область. Рассмотрим задачу J(u)min, K={(k1(x),…kr(x))=k(x)Lr(П)| k(x)P для п.в.хП} .

Lu+В(x,k1(x),…kr(x),u,u)=f, uH01(П), где PRr, L:H01(П)H-1(П) непрерывный дифференциальный оператор второго порядка, В – функция, измеримая по х и непрерывная по всем остальным аргументам, J(u):H01(П)R1, fH-1(П) .

Обозначим через QRn+1 множество обладающее свойством: для uU(K) и для п.в. xП, (u(x),u(x))Q, а через соQ обозначим его выпуклую оболочку .

Лемма 4. а) Пусть в задаче З4 P – связное множество и для qQ существуют функции p0(x,q),p1(x,q)K такие, что отображения

–  –  –

непрерывны. Тогда U(K) – замкнутое множество .

б) Если, кроме того, L – линейный оператор, (x,q) вогнута, а (x,q) выпукла по q на соQ для п.в. xП, то U(K) – выпуклое множество .

Теорема 5. Пусть оператор L+B(k):VV' удовлетворяет неравенству (3) при всех k из K .

, ||В(k)0||M для некоторого М0 и для всех k из K, оператор

A:VV' ограничен:

||Au-A0||L||u|| при ||u||-1(||f-A0||+М), L=const .

J(k,u)=J(u):H01(П)R1 – слабо непрерывный функционал. Тогда задача З4 имеет решение .

Рассмотрим задачу минимизации линейного функционала (g,u): R2R1, на решениях семейства матричных уравнений Au=f .

Здесь gRm – вектор цены, а матрица A принадлежит множеству:

АМ={A:R2R2, |u|2(Au,u)|u|2 для uR2} Рассмотрим множество матриц вида A=R() .

Здесь – число, R() – матрица поворота. Составим два множества Z1= {vR2| v=Au, AM, uR2}, Z2= {vR2| v=AuR()u, R()M, u R2} .

Можно показать, что Z1=Z2, и при этом между элементами матриц A и R() должны выполняться соотношения (19)

–  –  –

(23) Для решения задачи из примера 5В оптимальную матрицу нужно выбирать, пользуясь равенством (23) для каждой точки x. В этой задаче область – поперечное сечение стержня .

Пусть матрица BM оптимальна в этой задаче, v(x) () соответствующее решение уравнение (2), а w(x) () решение сопряженного уравнения div(B*(x)w(x))=J'(v(x)), x .

Формула (23) показывает, что для любого целевого функционала J(u) среди оптимальных стержней есть тот, который получается сшиванием по всей длине двух (всего двух) стержней с разными характеристиками. Притом линия шва определяется уравнением R((x))v(x),w(x))=0. Если в области функция R((x))v(x),w(x)) не меняет знак, то материал оптимального стержня будет

–  –  –

(26) граничную задачу (24) можно записать в виде (25). Вне области основание должно быть абсолютно жестким, а в области его упругое сопротивление нулевое .

Решение уравнения (25) с коэффициентом (26) можно построить, решая уравнения (25) с коэффициентами (27)

–  –  –

L(П) к характеристической функции области 0. Тогда u(r)u(0) слабо в H0m(П) .

Теорема 8. Пусть А коэрцитивный линейный ограниченный оператор, J(k,u)Lp(П)H0m(П)R1 – функционал, слабо непрерывный по u и непрерывный по k, 1p, пара (p(),v()) – оптимальна в минимизационной задаче З6 .

Последовательность ()=1-p()/ *-слабо в L(П) сходится к (0), где (0) – характеристическая функция области 0. Тогда 0 – решение задачи З5 .

Теорема 9. Пусть функционал J(u) и оператор Аu дифференцируемы, A – сильно монотонный оператор, выполнено неравенство [см .

40 с.74] ||u||L(П)C||u||H0m(П) для uH0m(П), C=const .

–  –  –

то оптимальный коэффициент p(x) в задаче З7 принимает только два значения т.е. p(x)K. Но KK'. Поэтому задача 36 (и следовательно З5) тоже имеет решение .

В четвертой главе рассматривается задача минимизации функционала

–  –  –

Определение.

Будем говорить, что задача (37)-(38) удовлетворяет условию (А) если функция а(х,k,q) равномерно липшицева по переменной q, с константой L, и выполняются следующие неравенства:

0 а(х,p,q), x, p,qR1 .

|g| M 2(Lhd)-1 .

Определение.

Будем говорить, что задача (37)-(38) удовлетворяет условию (В), если функция а(x,p,q) непрерывно зависит от своих двух последних аргументов p и q, измерима по х, кроме того а монотонно невозрастает по q и выполнены следующие неравенства:

0 а(х,p,q), для п.в. x, p,qR1, g (x) 0 п.в. в .

Теорема 4.3 .

1. Пусть f(x,q,r) непрерывная функция переменных q и r, измерима по х, монотонно не возрастает по r и монотонно не убывает по q, функция а – строго вогнута по p, а граничная задача (37)-(38) удовлетворяет условиям (А), (В). Тогда

1) граничная задача (37)-(38) имеет единственное решение для k(х)K,

2) на множестве (39) функционал F достигает своего минимума .

В заключении выражаю глубокую благодарность научному руководителью В.В.Морозову, направившему меня на занятие этой тематикой .

Список литературы .

1. Лионс Ж-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными.–М.:Мир, 1972 .

2. Лурье К.А. Оптимальное управление в задачах математической физики. –М.:

Наука, 1975 .

3. Бутковский А.Г. Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами. –М.: Наука, 1965 .

4. Баничук Н.В. Оптимизация форм упругих тел. –М.: Наука, 1980

5. Murat M.F. Un contre-example pour de problem du controle dans les coeficient//CRAS ser. A. Paris, 1971. 273. P. 708-711 .

6. Корсакова Л.В. Пример несуществования решения задачи Лионса об оптимальном управлении//Пробл. мат. анализа ЛГУ. 1977. Вып. 6. С.60-67

7. Осипов Ю.С., Суетов А.П. Об одной задаче Ж.Л. Лионса//ДАН СССР. 1984 .

276, №2. С.288-291 .

8. Жиков В.В., Козлов С.А., Олейник О.А. Усреднение дифференциальных операторов. –М.: Издательская фирма физико-математической литературы,

9. Spognolo S. Convergenze in energy for elliptic operators//Proc. 3-rd Symp. Numer solute. Part. Diff. eq. 1976. P 469-498 .

10. Sergio Spognolo. Some convergence problems.//Symp. Math. (1975 (Conv. Alta Matematica Roma, Marzo 1974,

11. Ennio De Giorge. Г-convergenza e G-convergenza.//Bulletino U.M.I. (3) 14-A (1977), 213-220

12. Райтум У.Е. Расширение экстремальных задач, связанных с линейным эллиптическим уравнением//ДАН СССР. 1978, Том243, №2. С.281-283 .

13. Муравей Л.А. О существовании решений вариационных задач в областях со свободными границами//ДАН СССР. 1984.278, №3. С. 541-544 .

14. Керимов А.К. Задачи оптимизации со свободными границами.ДАН, 266, Т 3, с. 545-548, 1982.Сhenais D. On the existence of a solution in a domain identification problem// Math. Anal. And appl. 1975.52. P. 708-219 .

15. Таrtar L. Rproblemes de kontrole des coefficients dans les equations aux derives partielles//Lect. Notes and mat. Sys. 1975. 107. P. 420-426 .

16. Суетов А.П. Алгоритм оптимизации формы эллиптической системы в задаче о теплоизоляции.//Тр.ИММ УрО РАН, т.3, 172-182 .

17. Acker Andrew. A free boundary optimization problem.//SIAM vJ. Math. Anal .

vol.9, No6, December, 1978 .

18. Zolesio Jean-Paul. The material derivative (on speed) method for shape optimization .

19. Zolesio Jean-Paul. Domain variational formulation for free boundary problems .

Optimization of distributed parameter system, vol. II, pp. 1152-1194, Njioff. The Hagal, 1981 .

20. Pironneau O. Optimal Shape Design for Elliptic Systems. Springer-Verlag, NewYork, 1983 .

21. Сухарев А.Г., Тимохов А.В., Федоров В.В. Курс методов оптимизации. –М.:

Физматлит, 2005 .

22. Галеев Э.М., Тихомиров В.М. Краткий курс теории экстремальных задач. – М.: Издательство МГУ, 1989 .

Работы автора по теме диссертации

1. Исмаилов И.Г. Некоторые задачи оптимизации линейных коэрцитивных операторов//Изв. вузов. Приборостроение.1994, №7-8.С. 52-55 .

2. Исмаилов И.Г. Некоторые задачи управления коэффициентами для эллиптических урвнений высокого порядка//Вестн. Моск. Ун-та. Сер.15, Вычисл. Матем.. и киберн.. 1996. №3. С. 22-30 .

3. Исмаилов И.Г. Морозов В.В. Некоторые задачи оптимального проектирования и сведение их к антагонистической игре.//Вестн. Моск .

Ун-та. Сер.15, Вычисл. Матем.. и киберн.. 1998. №2. С. 21-25 .

4. Исмаилов И.Г. Некоторые задачи условной оптимизации при наличии связей в виде операторных уравнений. Принцип максимума Понтрягина.//Вестн. Моск. Ун-та. Сер.15, Вычисл. Матем. и киберн. .

1998. №3. С. 31-38. .

5. Исмаилов И., Муравей Л.А., Эйниев Э. Некоторые задачи оптимизации конструкций. //Труды международной конференции "Интеллектуальные системы", Санкт-Петербург, Т. 1, С. 221-226, 1996 .

6. I.Ismailov and L. Muravey. Some problems of coefficient control for the elliptic equations of high order.//

Abstract

of international conference dedicated to the memory of academician A.N.Tikhonov. IIPP-96. МГУ. С.81

7. Исмаилов И.Г. Об условиях оптимальности в задачах оптимизации на решениях операторных уравнений.//Проблемы математической физики .

М. 1998. С.55-67 .





Похожие работы:

«Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования ПОВОЛЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ И ИНФОРМАТИКИ РУКОВОДЯЩИЙ РД ПГУТИ 2.02.7 – 2016 ДОКУМЕНТ Система менеджмента качества ОТДЕЛ УЧЕБНЫХ ЛАБОРАТОРИЙ Положение Самара РД ПГУТИ 2.02.7 2016 ОТ...»

«Беспроводная мышь А4 TECH c технологией “V-Track” Работает без коврика на любой поверхности www.a4-gcube.ru Подготовка к работе 1. Извлеките приемник, который закреплен в основании мыши и подключите его к USB-порту компьютера.2. Установите батарейки, входящие в комплект поставки в клавиатуру и мышь, соблюд...»

«Ан.Г. Марчук, д-р физ-мат. наук Ин-т вычислительной математики и математической геофизики СО РАН (Россия, 630090, Новосибирск, пр. Лаврентьева, 6, тел.(383) 3309523, Е-mail: mag@omzg.sscc.ru ) Минимизация погрешностей при численных расчётах во...»

«Программное обеспечение Oscar Mouse Editor (Преимущество в игре) Руководство пользователя Модели: XL-771K, XL-755K, XL-740K, XL-730K, XL-750MK, XL-750BK, X-748K, X-738K, X-718K, X-710MK, X-7...»

«Рынок марганцевых сплавов – 2009 – сентябрь ООО Инфометгео / Александр Терешин Информационный обзор РЫНОК МАРГАНЦЕВЫХ СПЛАВОВ – 3кв. 2009 Москва 2009 © ООО Инфометгео / Александр Терешин / http://www.i...»

«1. НАЗНАЧЕНИЕ И СОСТАВ ИСМ МИРАЖ 4 1.1 Основные принципы функционирования ИСМ Мираж _ 5 1.2 Состав ИСМ Мираж _ 5 2 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ВОЗМОЖНОСТИ ПЦН _ 6 3. АППАРАТНЫЕ СРЕДСТВА ПЦН _ 7 3.1 КОММУНИКАЦИОННОЕ ОБОРУДОВАНИЕ_ 7 3.1.1 GSM/GPRS-модем 7 3.1.3 Преобразователи RS-232 (расширители COM-портов) 7 3.1.3.1 Преобразователи PCI -RS-232...»

«ПРАВИТЕЛЬСТВО РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ "САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ" (СП6ГУ) РАСПОРЯЖЕНИЕ 09. ОЛ. МП !об установлении индивиду...»

«ПРОЕКТ ПРОГРАММЫ ДИСЦИПЛИНЫ Министерство образования и науки РФ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Новосибирский национальный исследовательский государственный университет" (Новосибирский государ...»







 
2019 www.mash.dobrota.biz - «Бесплатная электронная библиотека - онлайн публикации»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.